programación lineal-3

5/12/2018 programaci n lineal-3 - slidepdf.com

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MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LOS NEGOCIOS

Comentarios finales:

1.- Si cambian simultáneamente 2 coeficientes de la función objetivo, es posible que ambos salgande sus respectivos intervalos de optimalidad y que no afecten a la solución óptima.

Por ejemplo, teníamos2

3

10

7

10

7

2

3

2

1

2

1≤≤⇔−≤−≤−

c

c

c

c

Si duplicamos2

3

2

2

10

7

2

1

21 ≤≤c

ctendremosc yc , es decir, no se alteró la pendiente de la

recta función objetivo ( ) ( )2211 22 xc xc Z += , tampoco la solución óptima ( sí el valor óptimo).

Sin embargo el nuevo valor 202'11== cc queda fuera del intervalo de optimalidad para 1

c .

2.- El precio sombra da el cambio en el valor de la función objetivo por cada aumento unitario en

el lado derecho de una restricción. Un precio sombra positivo significa que el aumento en el ladoderecho implicará también un aumento en la función objetivo. Un precio sombra negativo indicaque disminuir el lado derecho implicará un aumento en el valor de la función objetivo.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL POR COMPUTADOR.

THE MANAGEMENT SCIENTIST (TMS) es un software para PC que contiene un módulo deProgramación Lineal con el siguiente

MENU DE SELECCIÓN DE PROBLEMAS

Operaciones1.- CREAR UN PROBLEMA NUEVO2.- RECUPERAR UN PROBLEMA ALMACENADO3.- CONTINUAR CON EL PROBLEMA ACTUAL4.- ELIMINAR EL PROBLEMA ALMACENADO5.- VOLVER AL MENU PRINCIPAL

Volvamos al problema : 21910max x x Z +=

s.a.

0,

)(1 3 5

4

1

1 0

1

)(7 0 83

2

)(6 0 06

5

2

1

)(6 3 01 07

21

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

≤+

≤+

x x

I E x x

T x x

C x x

C T x x

Como no podemos ingresar coeficientes racionales de la formaq

p, los aproximamos por números

decimales con alguna cantidad apropiada de dígitos. 21

910max x x Z +=

20




s.a.

0,

)(1 3 52 5.01.0

)(7 0 86 6 6 6 7.00.1

)(6 0 08 3 3 3 3.05.0

)(6 3 00.17.0

21

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

≤+

≤+

x x

I E x x

T x x

C x x

C T x x

Observe que al realizar estas aproximaciones en los coeficientes, podemos obtener una soluciónóptima ligeramente distinta a la que hubiésemos tenido con los valores originales.

Supongamos que se ejige la opción 1 (CREAR UN NUEVO PROBLEMA) en el menú.

Allí se pide tipear la función objetivo y las restricciones:

FUNCIÓN OBJETIVO: MAX 10X1+9X2 ( enter )RESTRICCIÓN 1 : .7X1+1X2<630 ( enter )RESTRICCIÓN 2 : .5X1+.83333X2<600 ( enter )RESTRICCIÓN 3 : 1X1+.66667X2<708 ( enter )RESTRICCIÓN 4 : .1X1 +.25X2<135 ( enter )RESTRICCIÓN 5 : FIN

Ahora aparece el menú de RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

OPCIONES: 1.- Resolver el problema2.- Almacenar el problema3.- Visualizar / Revisar y corregir el problema4.- Volver al menú de selección de problemas

Aquí aplicamos 1 : resolver el problema

TMS entrega el siguiente cuadro:

VALOR DE LA FUNCIÓN OBJETIVO : 7667.994100

VARIABLE VALOR COSTOS REDUCIDOS

X1 539.998410 0.000000X2 252.001099 0.000000

RESTRICCIÓN HOLGURA/EXCEDENTE PRECIOS DUALES

1 0.000000 4.3749562 120.000702 0.0000003 0.000000 6.9375314 17.999870 0.000000

INTERVALOS DE COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

VARIABLE LÍMITE INFERIOR VALOR ACTUAL LÍMITE SUPERIOR

X1 6.300000 10.000000 13.499931X2 6.666700 9.000000 14.285715

INTERVALOS DE LOS LADOS DERECHOS

RESTRICCIÓN LÍMITE INFERIOR VALOR ACTUAL LÍMITE SUPERIOR

21




1 495.600010 630.000000 682.3631602 479.999300 600.000000 NO HAY3 580.001460 708.000000 900.0000004 117.000130 135.000000 NO HAY

La columna de “COSTOS REDUCIDOS” indica cuánto tendría que mejorar ( aumentar para problema de maximización o disminuir para problemas de minimización) el coeficiente de lafunción objetivo de cada variable de decisión, antes de que sea posible que dicha variable asumaun valor positivo en la solución óptima. Si una variable ya es positiva en la solución óptima( como ocurre en nuestro caso), su costo reducido es 0.

La columna HOLGURA/EXCEDENTE muestra la holgura ( ≤ ) o el excedente (≥ ) que se produce en cada restricción ( en cada sección o departamento) en la solución óptima. En nuestrocaso, (CT) tiene holgura 0 y (T) tiene también holgura 0, lo que indica que la solución óptima seencuentra en la intersección de ambas, vale decir, las 2 restricciones (CT) y (T) son limitantes del problema en la solución óptima.

La columna PRECIOS DUALES contiene información respecto al valor de cada uno de losrecursos en la solución óptima.

Se define el precio dual correspondiente a una restricción es el mejoramiento en el valor óptimode la función objetivo, por el aumento unitario en el lado derecho de la restricción.

En un problema de maximización, PRECIO DUAL = PRECIO SOMBRA y como veremos másadelante, en un problema de minimización PRECIO DUAL = - PRECIO SOMBRA

El precio dual de la restricción 1 es 4.374956, es decir, una hr. adicional de tiempo de (CT) mejora( aumenta) el valor de la función objetivo en $ 4.374956

La sección final del listado, INTERVALOS DEL LADO DERECHO, entrega la siguienteinformación:Mientras los lados derechos de las restricciones se mantengan dentro de esos intervalos, el preciodual correspondiente da el mejoramiento del valor de la función objetivo por aumento unitario enel valor del lado derecho , es decir, el precio dual no varía.

Por ejemplo, en la primera restricción (CT) , el lado derecho es 630. Como el precio dual es $ 4.37, puede concluirse que las horas adicionales aumentarán la función objetivo en $ 4.37 por hora.También una reducción de 1 hora, disminuirá el valor de la función objetivo en $ 4.37.

Este precio dual es válido para aumentos en el lado derecho hasta 682.363160 y paradisminuciones hasta 495.600010

Así, los extremos derecho e izquierdo de estos intervalos, dan los límites dentro de los cuales los precios duales son aplicables. Para cambios que queden fuera de estos márgenes, es necesariovolver a resolver el problema para encontrar la nueva solución óptima y el nuevo precio dual.

Al intervalo sobre el cual es aplicable el precio dual se le llama intervalo de factibilidad.

Observación:

El análisis de sensibilidad que entre TMS se basa en el supuesto de que los coeficientes se varíande uno a la vez, mientras los demás se mantienen fijos como en el problema original.

Luego este análisis de sensibilidad no se aplica a dos o más cambios simultáneos en el problema.

Cambios Simultáneos

Éstos se pueden realizar en base a la regla del 100%.Aquí, para cada coeficiente que se modifica se calcula el % de aumento o disminución permisible

que el cambio representa. Para un coeficiente de la función objetivo, el aumento (o la

22




disminución) permisible es la cantidad máxima en que puede aumentarse ( o disminuirse) elcoeficiente sin exceder el límite superior ( o inferior) del intervalo de optimalidad.

Lo mismo rige para el lado derecho de una restricción con respecto a su intervalo de factibilidad.

Regla del 100% para los coeficientes de la función objetivo

Para todos los coeficientes de la función objetivo que cambian, sumar los porcentajes de losaumentos y de las disminuciones permisibles. Si la suma de estos porcentajes no excede el 100%entonces la solución óptima no cambiará.

Regla del 100% para los lados derechos de las restricciones

Para todos los lados derechos que cambian, sumar los % de los aumentos y las disminuciones

permisibles. Si la suma es estos % no excede el 100% entonces los precios duales no cambiarán.Ejemplo

Supongamos que se pueden obtener 20 hrs. adicionales en (CT) y 100 hrs. adicionales en (T).El aumento permisible para (CT) es 682.363160 – 630.0 = 52.36316El aumento permisible para (T) es 900.0 – 708.0 = 192.0

Las 20 hrs. adicionales de (CT) son el %19.3810036316.52

20=∗ del aumento permisible en el

lado derecho de esta restricción.

Las 100 hrs. adicionales de (T) son el %08.52100192

100=∗ del aumento permisible en el lado

derecho de esta restricción.

El % de cambios acumulado es 38.19%+52.08% = 90.27%

Como este valor resulta menor que 100%, se concluye que los precios duales son aplicables y quela función objetivo mejorará ( aumentará) en 40.78194.610037.420 =∗+∗

EJEMPLO

Consideremos el siguiente modelo:

0,

)(60012

)(35011

)1(1251..32min

21

21

21

1

21

≥

≤⋅+⋅

≥⋅+⋅

≥⋅

+=

x x

nto procesamietiempo x x

total producción x x

dedemanda xa s x x Z

Solución por TMS:



X1 250.000000 0.000000X2 100.000000 0.000000


1 125.000000 0.0000002 0.000000 -4.0000003 0.000000 1.000000



23




X1 NO HAY 2.000000 3.000000X2 2.000000 3.000000 NO HAY



1 NO HAY 125.000000 250.0000002 300.000000 350.000000 475.0000003 475.000000 600.000000 700.000000

La columna “PRECIO DUALES” muestra el mejoramiento ( reducción de costo) que se da en lafunción objetivo por cada incremento unitario en el lado derecho de la restricción.

Así, por ejemplo, la restricción 3 que tiene un precio dual de 1.0, indica que al incrementar eltiempo de procesamiento en 1 hr ( o sea pasar de 600 a 601 ), el valor de la función objetivomejorará ( disminuirá) en $1, es decir pasará de $800 a $799.

La sección “INTERVALOS DE LADO DERECHO” muestra que el límite superior para la mismarestricción 3 es de 700 hrs. Por ello, el precio dual de $1 será aplicable a cada hora de tiempo de procesamiento hasta un total de 700 hrs.

Veamos ahora el precio dual de la restricción 2, cuyo valor es - 4.0.Este precio dual negativo indica que la función objetivo no mejora si se aumenta en una unidad elvalor del lado derecho ( pasa de 350 a351). En tal caso, la función de costo ( función objetivo)empeorará en $4, o sea que el costo aumentará en $4 , pasando de $800 a $804.

Ante un precio dual negativo, la idea será disminuir el lado derecho de la restricción, con la

consiguiente disminución del costo total. Si hubiésemos pasado de 350 a 349 en el lado derecho, elcosto total se reduciría ( o sea mejoraría) en $4, de modo tal que pasaría de $800 a $796.

Observaciones:

1.- La interpretación del “mejoramiento” en el valor de una función objetivo, depende si el problema es de minimización o de maximización. En el primer caso, mejorar es disminuir,mientras que en el segundo caso, mejorar es aumentar. El “empeoramiento” se entiende alrevés.

2.- El precio dual es el “mejoramiento” de la función objetivo por aumento unitario en el ladoderecho de la restricción.

3.- El precio dual de una restricción del tipo ininii b xa xa xa ≤+++ .......2211 será siempre0≥ .

Esto es así porque aumentar ib no puede hacer que empeore la función objetivo.

máx con 'i

b≤

máx con ib≤

min con ib≤ y 'i

b≤

R 'i

b≤

ib≤ ( en este caso 'ii

bb < )

La región R aumenta a R’ , siendo ' R R⊆ . El máximo aumenta y el mínimo no varía, o seaque la función objetivo no empeora.

De forma similar, si la restricción es del tipo ininii b xa xa xa ≥+++ .......2211 , el precio dualserá siempre 0≤ . Esto es así porque el aumento en i

b no puede mejorar el valor de lafunción objetivo.

min con '

ib≥

máx con ib≥

min con ib≥ R

24




( en este caso '

iibb < )

'i

b≥

ib≥

La región R disminuye a R’ , o sea R R ⊆' . El máximo no cambia y el mínimo aumenta,o sea que la función objetivo no mejora.

UN PROBLEMA CON MÁS DE 2 VARIABLES

Una firma fabrica sistemas portátiles de radio-comunicación que pueden utilizarse encomunicaciones en dos sentidos. El nuevo producto de la Cía. , que tiene un alcance de hasta 25millas, es particularmente apropiado para diversas aplicaciones personales y de negocios. Loscanales de distribución para el nuevo equipo de radio son:1.- Distribuidores de equipos marinos2.- Distribuidores de equipos para negocios3.- Cadenas nacionales de tiendas de menudeo4.- Pedidos por correo.

Dada las diferencias en los costos de distribución y de promoción, la redituabilidad del productovaría según el canal de distribución. Además los costos de publicidad y los esfuerzos personales deventas que se requieren, también varían según el canal de distribución.

Los datos sobre utilidades, costos de publicidad y de esfuerzos personales de ventas, se resumen enel siguiente cuadro:

Canal de distribución Utilidad por unidad vendida

Costo de publicidad por unidad vendida

Labor del personal deventas por unidad

Distrib. de equipo marino $ 90 $ 10 2 hrs.Distrib.de equipo para negocio $ 84 $ 8 3 hrs.Cadena nacional de tiendas $ 70 $ 9 3 hrs.Pedidos por correo $ 60 $ 15 ninguna

La empresa ha determinado que su presupuesto de publicidad debe ser de $ 5000 y hay un máximode 1800 hrs. de tiempo disponible en el personal vendedor para asignarlo al esfuerzo de ventas.

Los administradores han decidido también fabricar exactamente 600 unidades para el períodoactual de producción. Finalmente, un contrato vigente con una cadena nacional de tiendas demenudeo, exige que se distribuyan a lo menos 150 unidades a través de este canal.

El problema que enfrenta la Cía. es establecer la estrategia que maneje la distribución de susequipos, de modo que se maximice la redituabilidad global en la fabricación de los nuevosaparatos.

Debe decidirse cuántas unidades asignar a cada canal de distribución, la forma de asignar el presupuesto de publicidad y la fuerza de ventas a cada uno de los 4 canales de distribución.

Modelo:

Sean=

1 x

número de unidades fabricadas para el canal 1 =2 x número de unidades fabricadas para el canal 2

=3

x número de unidades fabricadas para el canal 3 =4 x número de unidades fabricadas para el canal 4

Objetivo: Maximizar la utilidad 432160708490 x x x x Z +++=

25




≥≥

=+++

≤++

≤+++

+++

0,,,

)(150

)(600

).(1800332

)(5000159810..

60708490m ax

4321

3

4321

321

4321

4321

x x x x

convenio x

produccióndenivel x x x x

ventasde fuerzadisponib x x x

publicidad x x x xa s

x x x ximizar

El resultado según TMS es el siguiente:



X1 25.000031 0.000000X2 424.999970 0.000000X3 150.000000 0.000000X4 0.000000 45.000000


1 0.000000 3.0000002 24.999542 0.0000003 0.000000 60.0000004 0.000000 -17.000000



X1 84.000000 90.000000 NO HAYX2 50.000011 84.000000 90.000000X3 NO HAY 70.000000 87.000000X4 NO HAY 60.000000 105.000000



1 4859.001000 5000.000000 5850.0000002 1775.000490 1800.000000 NO HAY3 515.000000 600.000000 603.5713504 0.000000 150.000000 199.999100

Se pide interpretar cada uno de los valores entregados por TMS en este problema.

APLICACIÓN DEL PROGRAMA LINDO

Se trata de otro software que permite resolver una serie de problemas de optimización, comoProgramación Lineal, Programación entera, Programación cuadrática, etc.

Se dispone de este software, además de su manual de uso.

Evidentemente, la información de salida cuando se aplica a un problema de programación lineal esequivalente a la obtenida por TMS.

Usaremos este último ejemplo para mostrar los resultados, tal como aparecen al aplicar LINDO.

26




Ingreso de datos:

1) Escribir “ MAX 90X1+84X2+70X3+60X4” ( Enter)2) Escribir “ st ” (Enter)3) Escribir las restricciones:

10X1+8X2+9X3+15X4<5000 ( Enter)2X1+3X2+3X3<1800 (Enter)X1+X2+X3+X4=600 (Enter)X3>150 ( Enter)

4) Escribir “END”

Con ello queda el problema ingresado.

MAX 90X1+84X2+70X3+60X4SUBJECT TO

2) 10X1+8X2+9X3+15X4< = 50003) 2X1+3X2+3X3 < =18004)X1+X2+X3+X4 = 6005)X3 > = 150END

Para obtener el resultado debemos pinchar “solve” y aparece lo siguiente:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJETIVE FUNCTION VALUE1)48450.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 25.000000 .000000X2 425.000000 .000000X3 150.000000 .000000X4 .000000 45.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) .000000 3.0000003) 25.000000 .0000004) .000000 60.0000005) .000000 -17.000000

LINDO nos pregunta si deseamos el Análisis de Sensibilidad. El resultado es el siguiente:

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE

X1 90.000000 INFINITY 6.000000X2 84.000000 6.000000 34.000000X3 70.000000 17.000000 INFINITYX4 60.000000 45.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES

CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE

27




2 5000.000000 850.000000 50.0000003 1800.000000 INFINITY 25.0000004 600.000000 3.571429 85.0000005 150.000000 50.000000 150.000000

EJERCICIOS

1.- Considérese el programa lineal siguiente: 21

32max x x +

s.a

0,

162

24342

10

21

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

≥+

≤+

x x

x x

x x x x

x x

(a) Resuelva este problema mediante el método gráfico.(b) Determine el intervalo de optimalidad para 21

c para yc

(c) Supóngase que se aumenta 1c de 2 a 2.5 ¿Cuál es la nueva solución óptima?

(d) Calcule los precios sombra para las restricciones 1 y 2 e interprételos(e) ¿Cuáles son los precios duales para las restricciones 1 y 2? Interprételos.

Resp :1.5 y 0 ; se interpretan igual a los precios sombra

(f) Si se aumenta 1c a 3 y 2c a 4, obtenga la nueva solución óptima

2.- Considérese el programa lineal siguiente: 21

min x x +

s.a

0,

116

52

72

21

21

21

21

≥

≥+

≥+

≥+

x x

x x

x x

x x

(a) Resuelva este problema mediante el método gráfico(b) Determine el intervalo de optimalidad para 21

c para yc

(f) Supóngase que se disminuye 2c a 1/3 ¿Cuál es la nueva solución óptima?

(c) Calcular e interpretar los precios sombra para cada restricciónResp. .333 ; .333 ; 0

(d) ¿Cuáles son los precios duales? Interpretarlos. Resp: -.333 ; -.333 ; 0

3.- Considere el ejercicio propuesto de página 15 con relación a la firma ABC que fabricaguantes para béisbol, cuyo modelo resulta ser:

21

85max x x +

s.a.

0,

1004

1

8

1

min3003

1

2

1

90023

21

21

21

21

≥

≤+

≤+

≤+

x x

embarque y Empaque x x

adoTer x x

Costura yCorte x x

Usando los resultados obtenidos por TMS y que se muestran en la página siguiente:(a) ¿Cuál es la solución óptima y su contribución a las utilidades?(b) ¿Qué restricciones son limitantes?

28




(c) ¿Cuáles son los precios duales para los recursos? Interprete cada uno.(d) Si se puede programar tiempo extra para uno de los departamentos ¿en dónderecomendaría que se hiciera?(e) Determine los intervalos de optimalidad para los coeficientes de la función objetivo.Interprete.

(f) Interprete el intervalo de factibilidad para los lados derechos.(g) ¿Cuánto mejoraría de la solución óptima si se dispone de 20 hrs. de tiempo de empaque yembarque? Resp: 560.

SOLUCIÓN POR TMS DEL PROBLEMA 3

Valor de la función objetivo = 3700.001500

Variable Valor Costos reducidos

X1 500.001500 0.000000X2 149.999298 0.000000

Restricción Holgura/Excedente Precios Duales

1 174.999634 0.0000002 0.000000 2.9999853 0.000000 28.000061


Variable Límite inferior Valor actual Límite superior

X1 4.000000 5.000000 12.000120X2 3.333300 8.000000 10.000000


Restricción Límite inferior Valor actual Límite superior

1 725.000370 900.000000 No hay2 133.332016 300.000000 400.000000

3 74.999992 100.000000 134.999817

4.- La empresa Innis Investments administra fondos de diversas compañías y clientes de alto poder económico. La estrategia de inversión se diseña en especial para las necesidades de cadacliente. Un cliente nuevo ha autorizado a la Innis invertir 1.2 millones de dólares en dos fondosde inversión: uno de acciones y uno de mercado de dinero.

Cada unidad del fondo de acciones cuesta US$50 y ofrece una tasa anual de rendimiento de10%; cada unidad del fondo de mercado de dinero cuesta US$100 y ofrece una tasa derendimiento anual de 4%.

El cliente desea minimizar el riesgo, sujeto al requisito de que los ingresos anuales de la

inversión sean cuando menos de US$60000. De acuerdo con el sistema de medición de Innis,cada unidad invertida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8 y cada unidadinvertida en el mercado de dinero tiene un índice de riesgo de 3. El índice mayor asociado alfondo de acciones simplemente señala que el riesgo de la inversión es mayor.El cliente de Innis también ha especificado que se deben invertir cuando menos US$300000 enel fondo de mercado de dinero.

(a) Determine cuántas unidades de cada fondo debe invertir Innis para que el cliente puedaminimizar el índice de riesgo total de la cartera.(b) ¿Cuántos ingresos anuales se generarán en esta estrategia de inversión?(c) Supóngase que el cliente desea maximizar el rendimiento anual ¿Cómo se deben invertir losfondos?

29




Si denotamos por dinerodemercadode fondoel encompradasunidades x

accionesde fondoel encompradasunidades x

=

=

2

1

La solución dada por TMS se muestra en la tabla que sigue y corresponde al modelo: 21

38min x x +

s.a.

0,

3000

6000045

120000010050

21

2

21

21

≥

≥

≥+

≤+

x x

dinerodemercadounidadesdeMínimo x

anual ingreso x x

sdisponible fondos x x

Valor de la función objetivo= 62000.000000


X1 3999.998000 0.000000

X2 10000.002000 0.000000


1 0.000000 0.0566672 0.000000 -2.1666673 7000.002000 0.000000



X1 3.750000 8.000000 No hayX2 No hay 3.000000 6.400000



1 77999.880000 1200000.000000 1499999.7500002 48000.008000 60000.000000 102000.0160003 No hay 3000.000000 10000.002000

(d) ¿Cuál es la solución óptima y cual es el riesgo mínimo total?(e) Especifique el intervalo de optimalidad para los coeficientes de la función objetivo(f) ¿Cuál es el ingreso anual que se obtiene con esa cartera?(g) ¿Cuál es la tasa de rendimiento de la cartera?(h) ¿Cuál es el precio dual para la restricción de los fondos disponibles? Interprete.Resp: (f) 60000 (g) 5% (h) 6 centavos de dólar aprox.

5.- Considere el siguiente problema de programación lineal y la solución que se muestra acontinuación dada por TMS. 321 161515min x x x ++

s.a.

≥

≥−+≥+−

≤+

0,,

2043

1565.0

30

321

321

321

31

x x x

x x x

x x x

x x

Valor de la función objetivo= 139.729736


X1 7.297298 0.000001X2 0.000000 0.675674

30




X3 1.891892 0.000001


1 20.810810 0.0000002 0.000000 -3.4054063 0.000000 -4.432433



X1 1.333333 15.000000 15.543477X2 14.324326 15.000000 No hayX3 13.500005 16.000000 180.000000



1 9.189190 30.000000 No hay2 3.333333 15.000000 111.2499923 -2.500000 20.000000 89.999992

(a) ¿ Cuál es la solución óptima y cuál es el valor óptimo para la función objetivo?(b) ¿Cuáles restricciones son limitantes?

(c) ¿Cuáles son los precios duales? Interprete(d) ¿Cuáles son los precios sombra?

(e) Si se pudiera modificar el segundo miembro de una restricción en una unidad ¿Cuál eligiría?

6.- Un fabricante elabora 3 componentes que vende a compañías de refrigeración, los cuales se procesan en dos máquinas: una cepilladora y una rectificadora. Los tiempos ( en minutos) quese requieren en cada máquina son los que aparecen en la siguiente tabla:

Componente Cepilladora Rectificadora

1 6 4

2 4 53 4 2

La cepilladora está disponible durante 120 hrs. y la rectificadora durante 110 hrs.

No se pueden vender más de 200 unidades del componente 3, pero pueden venderse hasta 1000unidades de cada uno de los otros componentes. De hecho, la Cía. ya tiene pedidos para 600unidades del componente 1 que debe satisfacer. Las contribuciones a las utilidades de loscomponentes 1, 2 ,3 son $8, $6 , $9, respectivamente.

(a) Plantee el problema y determine las cantidades de producción que se recomiendan.

Utilice LINDO para resolver.(b) ¿Cuáles son los intervalos de optimalidad para las contribuciones a las utilidades de los 3componentes? Interprete estos márgenes.(c) ¿Cuáles son los intervalos de factibilidad para los lados derechos? Interprete.(d) Si se pudiera tener a disposición más tiempo en la cepilladora ¿cuánto costaría?(e) Si se pudiera vender más unidades del componente 3 reduciendo su precio de venta en $4,¿debería la Cía. reducir el precio?

Resp: (d) 0 (e) no.

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programación lineal-3

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