Introducción a la

Programación

Lineal

Situación:Gepetto S.L., confecciona muñecos y trenes demadera. Cada muñeco produce un beneficio netode $ 3, mientras que cada tren produce unbeneficio neto de $ 2. Un muñeco de maderarequiere 2 horas de trabajo de acabado y 1 hora detrabajo de carpintería, mientras que un trenrequiere 1 hora de trabajo de acabado y 1 hora detrabajo de carpintería. Cada semana Gepetto puededisponer de todo el material que necesite, perosolamente dispone de 100 horas de acabado y 80horas de carpintería. También la demanda detrenes puede ser cualquiera (sin límite) y lademanda de muñecos es como máximo 40. Gepettoquiere maximizar sus beneficios. ¿Cuántosmuñecos y cuántos trenes debe fabricar Gepetto?.

Cada muñeco:

• Produce un beneficio neto de $ 3.

• Requiere 2 horas de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora de trabajo de carpinteria.

Cada tren:

• Produce un beneficio neto de $ 2.

• Requiere 1 hora de trabajo de acabado.

• Requiere 1 hora trabajo de carpinteria.

Gepetto S.L., confecciona muñecos y trenes de madera.

Cada semana Gepetto puede disponer de:

• Todo el material que necesite.

• Solamente 100 horas de acabado.

• Solamente 80 horas de carpinteria.

También:

• La demanda de trenes puede ser cualquiera (sin límite).

• La demanda de muñecos es como máximo 40.

Gepetto quiere maximizar sus beneficios.¿Cuántos muñecos y cuántos trenes debe fabricar?

Ordenamos los datos

VARIABLES DEL PROBLEMA

¿Cuántos muñecos y cuantos trenes debe fabricar Gepetto para obtener un máximo beneficio?

x = nº de muñecos producidos a la semana

y = nº de trenes producidos a la semana

Función Objetivo

El objetivo de Gepetto es elegir valorespara x e y para maximizar su beneficio. Usaremos la variable B para denotar el valor de la función objetivo. La funciónobjetivo de Gepetto es:

Max B = 3x + 2y

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

Muñeco Tren

Beneficio

(euros)3 2

Acabado

(horas)2 1 ≤ 100

Carpintería

(horas)1 1 ≤ 80

Demanda ≤ 40

Formulación matemática del PPL

2 x + y ≤ 100 (restricion de acabado)

x + y ≤ 80 (restricion de carpinteria

x ≤ 40 (demanda muñecos)

Variables de Decisión x = nº de muñecos producidos a la semana

y = nº de trenes producidos a la semana

Max B = 3x + 2y (función objetivo)

Max B = 3x + 2y (función objetivo)

Sujeto a las siguientes restricciones:

2 x + y ≤ 100 (restricción de acabado)

x + y ≤ 80 (restricción de carpinteria)

x ≤ 40 (restricción de demanda de muñecos)

x ≥ 0 (restricción de signo)

y ≥ 0 (restricción de signo)

En resumen tenemos el siguiente modelo de optimización:

Formulación matemática del PPL

Las restricciones conforman un sistema de inecuaciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

El cual resolveremos, y encontraremos el conjunto solución,

que en programación lineal se le llama región factible.

Representación Gráfica de las restricciones

En primer lugar graficamos

las restriciones de no

negatividad

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

x ≥ 0Suponemos que es ecuacionx + 0y = 0

y ≥ 0Suponemos que es ecuacion0x + y = 0

x 20 100

y 0 0

x 0 0

y 40 80

x = 0

y = 0

Representación Gráfica de las restricciones

2x + y = 100

Para representar gráficamente la

primera restricción, 2x + y ≤ 100 :

Suponemos 2x + y = 100

tabulamos y dibujamos la recta.

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Elegimos el semiplano que

cumple la desigualdad:

tomamos el punto (0, 0)

2(0) + (0) ≤ 100

0≤ 100 (V)

Así que tomamos el

semiplano que lo contiene.

x 0 50

y 100 0

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x + y = 80

Segunda restricción,

x + y ≤ 80

Suponemos

x + y = 80 tabulamos y

dibujamos la recta.

Elegimos el semiplano que

cumple la desigualdad:

tomamos el punto (0, 0)

(0) + (0) ≤ 80

0≤ 80 (V)

Así que tomamos el

semiplano que lo contiene.

x 0 80

y 80 0

Representación Gráfica de las restricciones

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

x = 40

Segunda restricción,

x ≤ 40

Suponemos

x + 0y = 40 tabulamos y

dibujamos la recta.

Elegimos el semiplano que

cumple la desigualdad:

tomamos el punto (0, 0)

(0) + (0) ≤ 40

0≤ 40 (V)

Así que tomamos el

semiplano que lo contiene.

x 40 40

y 100 40

Representación Gráfica de las restricciones

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

2x + y = 100

x + y = 80

x = 40

La intersección

de todos estos

semiplanos

(restricciones)

nos da la región

factible.

Region factible

Región

Factible

x = 0

y = 0

Pero la solución

optima esta en

alguno de los

vértices de la

región factible.

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

2x + y = 100

x + y = 80

x = 40

Región

Factible

La región factible (al

estar limitada por

rectas) es un polígono.

En este caso, el

polígono ABCDE.

A

B

C

D

EComo la solución

óptima está en alguno

de los vértices (A, B, C,

D o E) de la región

factible, calculamos

esos vértices.

Vértices de la región factibleRestricciones

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

x ≥ 0

y ≥ 0

x = 0

y = 0

Región

Factible

E(0, 80)

D(20, 60)

C(40, 20)

B(40, 0)A(0, 0)

Vértices de la región factible

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

2x + y = 100

x = 40

x + y = 80

Los vértices de la región factible es la intersección de dos rectas.

El vértice B es la intersección de las

rectas x = 40; y = 0

La solución del sistema es (40;0)

El vértice C es la intersección de las

rectas x = 40; 2x + y = 100

La solución del sistema es x=40; y = 20

El vértice D es la intersección de la

recta 2x + y = 100 y x + y = 80

La solución del sistema x=20; y = 60

El vértice E es la intersección de la

recta x + y = 80 y x = 0

La solución del sistema x=0; y = 80.

El vértice A es la intersección de las

rectas x = 0; y = 0

La solución del sistema es (0;0)

x = 0

y = 0

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max B = 3x + 2y

Sustituimos los valores de los

vértices en la función objetivo, y

como queremos maximizar la función

entonces la solución es el valor

máximo

Vértice B = 3x + 2y

(0, 0) B = 3(0)+2(0) = 0

(40, 0) B = 3(40)+2(0) = 120

(40, 20) B = 3(40)+2(20) = 160

(20, 60) B = 3(20)+2(60) = 180

(0, 80) B = 3(0)+2(80) = 160 20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

La solución óptima es:

x = 20 muñecos

y = 60 trenes

B = $ 180 de beneficio

Resolución analítica

Y

X

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)(0, 0)

Max B = 3x + 2y

Para hallar la

solución óptima le

damos a B el valor

de cero, tabulamos y

graficamos la recta.

Resolución gráfica

x 0 -40

y 0 60

0 = 3x + 2y

Región

Factible

(0, 80)

(20, 60)

(40, 20)

(40, 0)

(0, 0)

Max B = 3x + 2y

Para saber en cual de los vértices

está la solución óptima

dezplazamos la recta, paralela a la

primera por todos los vértices y nos

damos cuenta que la recta corta al

polígono en todos los vértices,

menos en el vértice (20;60),

reemplazamos en la función

objetivo y tenemos:

20

20 40 60 80

40

60

80

100

Y

X

Resolución gráfica

B = 3x + 2y

B = 3(20) + 2(60)

B = $ 180 de beneficio

Entonces la solución

óptima es:

x = 20 muñecos

y = 60 trenes

Programación lineal

La programación lineal es el conjunto

de técnicas matemáticas que pretenden

optimizar (maximizar o minimizar) una

función objetivo, sujeta a una serie de

restricciones, expresadas por

inecuaciones lineales, para obtener el

mayor beneficio o menor coste.

Optimizar es determinar la mejor manera

de realizar una actividad, con el uso

eficiente de los recursos disponibles.

Matemáticamente podemos decir que

optimizar es maximizar o minimizar.

Función Objetivo.

Es una función lineal de dos variables de la forma:

F(x;y) = ax + by

La que se quiere optimizar, es decir, maximizar o minimizar.

Restricciones

Son desigualdades que limitan los posibles valores

de las variables de decisión.

En el problema anterior las restricciones vienen dadas por la disponibilidad de horas de

acabado y carpintería , y por la demanda de muñecos.

Y no olvidarnos de lasrestricciones de signo o no

negatividad:

x ≥ 0

y ≥ 0

2 x + y ≤ 100

x + y ≤ 80

x ≤ 40

Región factible

Es la region del planodelimitada por el sistemade desigualdades queforman las restricciones.En la región factible seencuentran todos lospuntos que satisfacentodas las restricciones.

Solución ÓptimaLa solución óptima de un PPL está

siempre en la frontera de la región

factible, en un vértice (si la

solución es única), o en un

segmento entre dos vértices

contiguos (si hay infinitas

soluciones).

Para un problema de maximización, una

solución óptima es un punto en la

región factible en el cual la función

objetivo tiene un valor máximo. Para un

problema de minimización, una solución

óptima es un punto en la región factible

en el cual la función objetivo tiene un

valor mínimo.

Un vertice o punto

esquina es un punto

que pertenece a la

frontera de la region

factible que resulta de

intersecar dos rectas.

Aplicaciones

La programación lineal surgió inicialmenteespecialmente para dar respuesta a cuestiones decarácter logístico y militar, sin embargo es en laindustria y en la economía, donde posteriormente, haencontrado sus aplicaciones más importantes.

Así, por ejemplo, la Programación Lineal permiteresolver problemas de mezclas, nutrición de animales,transporte, inversiones, optimización del tiempo,almacenaje, planes de producción, escalonamiento dela fabricación, problemas de circulación, planes deoptimización de semáforos, estudios decomunicaciones internas, etc.

En este tipo de problemas, se presentan situacionesque las que se exige maximizar o minimizar algunasfunciones que se encuentran sujetas a determinadaslimitaciones, denominadas restricciones.

Resolvemos lo siguiente2. Dorian Auto fabrica y vende coches y

furgonetas. La empresa quiere emprender unacampaña publicitaria en TV y tiene que decidircomprar los tiempos de anuncios en dos tiposde programas: del corazón y fútbol. Cadaanuncio del programa del corazón es visto por6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.Cada partido de fútbol es visto por 3 millonesde mujeres y 8 millones de hombres. Unanuncio en el programa de corazón cuesta50.000 € y un anuncio del fútbol cuesta100.000 €. Dorian Auto quisiera que losanuncios sean vistos por lo menos 30 millonesde mujeres y 24 millones de hombres. DorianAuto quiere saber cuántos anuncios debecontratar en cada tipo de programa para que elcosto de la campaña publicitaria sea mínimo.

Formulación del problema:

Corazón

(x)

Fútbol

(y)

mujeres 6 3 6x + 3y ≥ 30

hombres 2 8 2x + 8y ≥ 24

Costo

1.000€50 100 50x +100y

Variables de decisión: x = nº de anuncios en programa de corazón

y = nº de anuncios en fútbol

Min z = 50x + 100y (función objetivo )

s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)

2x + 8y ≥ 24 (hombres)

x ≥ 0, y ≥ 0 (no negatividad)

Formulación del problema:

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x ≥ 0

y ≥ 0

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Dibujamos la región factible.

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

La región factible

no está acotada

Región

Factible

Calculamos los vértices de la región factible:

A

B

C

El vértice A es solución del

sistema

6x + 3y = 30

x = 0

Por tanto, A(0, 10)

El vértice B es solución de

6x + 3y = 30

2x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2)

El vértice C es solución de

2x + 8y = 24

y = 0

Por tanto, C(12, 0)

Región

Factible

Resolvemos por el método analítico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

Vértice z = 50x + 100y

A(0, 10)z = 50·0 + 100·10 =

= 0+10000 = 10 000

B(4, 2)z = 50·4 + 100·2 =

= 200+200 = 400

C(12, 0)z = 50·12 + 100·0 =

= 6000+0 = 6 000

El costo mínimo se obtiene en B.

Solución:

x = 4 anuncios en programa corazón

y = 2 anuncios en programa futbol

Costo z = 400 (mil €)

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

Región

Factible

Resolvemos por el método gráfico

A(0, 10)

B(4, 2)

C(12, 0)

X

Y

2 4 6 8 10 12 14

14

12

10

8

6

4

2

El coste mínimo

se obtiene en el

punto B.

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

Z = 600

Z = 400

Solución:

x = 4 anuncios en programa corazón

y = 2 anuncios en programa futbol

Costo z = 400 (mil €)