programación lineal: modelos...

Programacion Lineal: Modelos PLE

CCIR / Matematicas

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CCIR / Matematicas Programacion Lineal: Modelos PLE [email protected] 1 / 35

Introduccion

Introduccion

En esta lectura se veran como se puede modelar situaciones mediante un modelo

de programacion lineal entera o entera mixta (PLE). Tambien veremos algunos

ejemplos que ilustran como modelar situaciones que nos son lineales, tanto en las

restricciones como en la funcion objetivo, que mediante la introduccion de

variables binarias se pueden convertir a un modelo lineal.


0-1 Knapsack problem

0-1 Knapsack problem

Suponga que hay n proyectos y que el costo del proyecto i es ci y que por otrolado el valor del proyecto es ai . Cada proyecto se realiza o no, de manera que noes posible realizar una fraccion de el. El presupuesto disponible es limitado y tieneel valor b. El problema de la mochila consiste en elegir un subconjunto deproyectos que maximice el valor obtenido y que no exceda el presupuesto dado:

Maxn∑

i=1

ai xi

sujeto an∑

i=1

ci xi ≤ b

La variable binaria xi sirve para determinar cuando el proyecto i es seleccionado: 0

si no lo es, 1 si sı lo es.


Ejemplo 1

Ejemplo 1

StockCo considera cuatro inversiones. La inversion 1 proporcionara un valoractual neto (VAN) de 16,000 dolares; la inversion 2 un VAN de 20,000 dolares; lainversion 3 un VAN de 12,000 dolares; y la inversion 4 un VAN de 8,000 dolares.Cada inversion requiere cierto flujo de caja en el momento actual; la inversion 1requiere 5,000 dolares; la inversion 2 requiere 7,000 dolares; la inversion 3 requiere4,000 dolares; y la inversion 4 requiere 3,000 dolares. Se dispone de 14,000dolares para la inversion. Formule y resuelva un modelo PLE para maximizar elVAN obtenido por StockCo.

Variables de Decision:

xi =

{1 si se realiza la inversion i0 otro caso

Objetivo: Maximizar el VAN:Max z = 16, 000 x1 + 20, 000 x2 + 12, 000 x3 + 8, 000 x4

Restricciones:

5, 000 x1 + 7, 000 x2 + 4, 000 x3 + 3, 000 x4 ≤ 14, 000xi = 1 o 0, para i = 1, 2, 3, 4.


Ejemplo 1

Codigo LINDO y reporte Euing

MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 476.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COSTY1 1.000000 0.000000Y2 0.000000 0.000000Y3 0.000000 0.000000Y4 0.000000 0.000000

X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.2360003) 0.000000 -0.0040004) 0.000000 0.0040005) 0.000000 0.2360006) 0.000000 0.2320007) 0.000000 0.2400008) 0.000000 1.0000009) 1.000000 0.000000

10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Ejemplo 1

Modifique el modelo para StockCo para considerar por separado cada una de lassiguientes restricciones:

1 StockCo puede realizar los mas dos inversiones.

2 Si StockCo invierte en la inversion 2, entonces debe tambien invertir en la 1.

3 Si StockCo invierte en la inversion 2, entonces no podra invertir en la 4.

Respuestas

1 Basta anadir al modelo la restriccion: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 2Esto hace que entre todos los proyectos hay a lo mas dos sı’s

2 Basta anadir al modelo la restriccion: x2 ≤ x1

Esto hace que un sı para el proyecto 2 implique un sı para el proyecto 1.

3 Basta anadir al modelo la restriccion: x2 + x4 ≤ 1Esto hace que entre los proyectos 2 y 4 hay a lo mas un sı.


Ejemplo 2

Ejemplo 2

Gandhi Cloth Co puede fabricar 3 tipos de ropa: camisas, shorts y pantalones.Para poder fabricar la ropa, la companıa debe disponer de la maquinaria adecuadala cual debe rentar. Para fabricar camisas la maquinaria se renta en 200 dolarespor semana; la maquinaria para hacer shorts se renta en 150 dolares por semana;y la maquinaria para hacer pantalones cuesta 100 dolares por semana. Lasiguiente tabla contiene informacion sobre los requerimientos para fabricar la ropaen tela y en horas de trabajo, ası mismo contiene informacion sobre los precios deventa y los costos de la matera primas.

TRABAJO TELA PRECIO VENTA COSTOHoras m2 dolares dolares

Camisa 3 4 12 6Short 2 3 8 4

Pantalon 6 4 15 8

Disponibles 150 160

Suponiendo que los costos de renta son independientes de las cantidades de ropa

a producir, formule y resuelva un modelo PLE para la companıa Gandhi de

manera que maximice sus ganancias semanales.


Ejemplo 2

Variables de Decision:

x1 = numero de camisas a fabricarx2 = numero de shorts a fabticarx3 = numero de pantalones a fabricarRelativas a la renta de maquinaria:

y1 =

{1 si se fabrican camisas0 otro caso

y2 =

{1 si se fabrican shorts0 otro caso

y3 =

{1 si se fabrican pantalones0 otro caso

Objetivo Maximizar:

z = + (12 x1 + 8 x2 + 15 x3)− (6 x1 + 4 x2 + 8 x3)− (200 y1 + 150 y2 + 100 y3)


Ejemplo 2

Restricciones

No exceder el numero de horas disponibles de trabajo3 x1 + 2 x2 + 6 x3 ≤ 150

No exceder la cantidad semanda de tela disponible:4 x1 + 3 x2 + 4 x3 ≤ 160

Si se decide hacer al menos una camisa, debe rentarse la maquinaria dehacer camisas: x1 ≤ M1 y1

Si se decide hacer al menos un short, debe rentarse la maquinaria de hacershorts: x2 ≤ M2 y2

Si se decide hacer al menos una pantalon, debe rentarse la maquinaria dehacer pantalones: x3 ≤ M3 y3

x1, x2, x3 enteros no negativos, y1, y2, y3 1 o 0.


Ejemplo 2

Para las restricciones anteriores, M1, M2 y M3 son numeros grandes de forma talque un 0 en yi condiciona a que xi = 0 y un 1 en yi no pone restricciones a xi .

Estos valores de Mi son calculables por las restricciones. Por ejemplo, si solo se

hicieran camisas (x2 = 0 y x3 = 0) por las horas de trabajo se debe cumplir que

3 x1 ≤ 150, ası x1 ≤ 50. Por tanto, se puede elegir M1 = 50 o un numero mayor.

De igual manera, si solo se hacen shorts (x1 = 0 y x3 = 0) de la restriccion de

horas de trabajo se tiene que cumplir 2 x2 ≤ 150, y sı x2 ≤ 75. Por tanto, se

puede elegir M2 = 75 o cualquier numero mayor. Si ahora decidimos elegir solo

hacer pantalones (x1 = 0 y x2 = 0) por el numero de horas disponibles se debe

cumplir 6 x3 ≤ 150, y ası x3 ≤ 25. Por tanto, se puede elegir M3 = 25 o cualquier

numero mayor.


Ejemplo 2


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Ejemplo 3

Ejemplo 3

Hay seis ciudades (ciudades 1-6) en el Condado Kilroy. El condado debedeterminar en que ciudad construir estaciones de bomberos. El condado quiereconstruir una cantidad mınima de estaciones, pero quiere asegurarse que paracada ciudad hay al menos una estacion que esta a 15 minutos de viaje. Los datosde los tiempos de viaje, en minutos, de una ciudad a otra estan en la siguientetabla. Formule y resuelva un modelo PLE que dira en que ciudades construir unaestacıon de bomberos.

HACIADE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6

Ciudad 1 0 10 20 30 30 20Ciudad 2 10 0 25 35 20 10Ciudad 3 20 25 0 15 30 20Ciudad 4 30 35 15 0 15 15Ciudad 5 30 20 30 15 0 14Ciudad 6 20 10 20 25 14 0


Ejemplo 3

Variables de decision:

xi =

{1 si estacion de bomberos en la ciudad i0 si no

Objetivo:

Minimizar el total de estaciones de bomberos: Minimizar∑6

i=1 xiRestricciones

Cubrir a la ciudad 1: Como solo ella misma y la ciudad 2 estan a 15 minutoso menos, entonces la ciudad 1 se cubrirıa teniendo estaciones de bomberosen la ciudad 1 y/o en la ciudad 2: x1 + x2 ≥ 1

Cubrir a la ciudad 2: x1 + x2 + x6 ≥ 1

Cubrir a la ciudad 3: x3 + x4 ≥ 1





Ejemplo 3


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Ejemplo 4

Ejemplo 4

FC-Co considera construir plantas en tres localidades desde donde se proveeranproductos a otras 4 ciudades distintas. La primera de las posibles plantas tendrıauna capacidad de 39 productos y un costo de 91 unidades de capital; la segundatendrıa una capacidad de 35 productos y un costo de 70 unidades de capital; latercera tendrıa una capacidad de 31 productos a un costo de construccion de 24unidades de capital. La ciudad 1 tiene una demanda de 15 productos, la segundade 17, la tercera de 22 y la cuarta ciudad de 12 productos. Determine cuales delas plantas debe construir de manera que se minimice el costo de construccion yel costo por envio total. Suponga que debe proporcionar a las ciudades losproductos requeridos y que no debe exceder las capacidades de las plantas. Loscostos de envio unitarios en unidades de capital desde cada planta a cada ciiudadestan dados en la siguiente tabla.

C1 C2 C3 C4

P1 6 2 6 7P2 4 9 5 3P3 8 8 1 5


Ejemplo 4

Variables de decision

yi : variable binaria que indica si la planta i se construye

xi,j : Variable entera que determina cuantos productos se envian desde laplata i a la ciudad j .

Objetivo

Min z =3∑

i=1

cpi · yi +3∑

i=1

4∑j=1

ci,j · xi,j

Restricciones

Cumplir demandas: Para toda ciudad j = 1, 2, 3, 4,∑3

i=1 xi,j ≥ dj

No exceder capacidades: Para toda planta i = 1, 2, 3,∑4

j=1 xi,j ≤ si · yiNaturales: Para toda i = 1, 2, 3, yi es binaria.

Naturales: Para toda i = 1, 2, 3 y para toda j = 1, 2, 3, 4, xi,j es entera.


Ejemplo 4


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Restricciones del tipo O BIEN

Restricciones del tipo O BIEN

Para codificar una restriccion del tipo

f (x1, x2, . . . , xn) ≤ 0

o bieng(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0

el truco consiste en introducir una variable binaria (0 o 1) y que indica cualrestriccion se cumple, y lo anterior se codifica como

f (x1, x2, . . . , xn) ≤ M yg(x1, x2, . . . , xn) ≤ M (1− y)

donde M es un numero positivo muy grande.


Ejemplo 5

Ejemplo 5

Dorian Auto considera la fabricacion de 3 tipos de autos: Compacto, mediano, ygrande. En la siguiente tabla se muestran los recursos requeridos y las gananciaspor cada tipo de auto. En la actualidad se cuenta con 600 toneladas de acero y60,000 horas de trabajo. Para que la produccion de un tipo de auto sea factible,hay que fabricar al menos 100 automoviles. Formule un modelo PLE paramaximizar la ganancia de Dorian Auto.

COMPACTO MEDIANO GRANDE

Acero requerido 1.5 ton 3 ton 5 tonTrabajo requerido 30 horas 25 horas 40 horasGancia obtenida 2,000 dolares 3,000 dolares 4,000 dolares


Ejemplo 5Variables de Decision

xi= Num de autos i a producir (i = 1 Compacto, i = 2 mediano, i = 3grande)

Objetivo

Max z =3∑

i=1

gi · xi

Restricciones

Recursos:

Acero: 1.5 x1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 600Trabajo: 30 x1 + 25 x2 + 40 x2 ≤ 60, 000

Produccion: 400 ≤ xi o xi = 0

Restricciones naturales xi ≥ 0

Truco:

400 ≤ xi o xi = 0 → f = 400− xi ≤ 0 o g = xi ≤ 0→ (400− xi ) ≤ M yi y xi ≤ M (1− yi )


Ejemplo 5


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Funciones Linealmente Seccionadas


Suponga una funcion linealmente seccionada en la variable var , f (var); cuyospuntos de ruptura son var = b1, var = b2, . . . var = bn. Para algun k(k = 1, 2, . . . , n − 1) se tiene que

var = zk bk + (1− zk) bk+1

y asıf (var) = zk f (bk) + (1− zk) f (bk+1)

f (bk )

f (var)

f (bk+1)

bk var bk+1



Estrategia de modelacion con variables enteras:

Reemplace:f (var) = z1 f (b1) + z2 f (b2) + · · ·+ znf (bn)

Adicione al modelo las restricciones:

z1 ≤ y1

z2 ≤ y1 + y2

z3 ≤ y2 + y3

...zn−1 ≤ yn−2 + yn−1

zn ≤ yn−1

y1 + y2 + · · ·+ yn−1 = 1z1 + z2 + · · ·+ zn = 1

var = z1 b1 + · · ·+ zn bn

yi = 0 o 1 para i = 1, 2, . . . n − 1, zi ≥ 0 para i = 1, 2, . . . , n


Ejemplo 6

Ejemplo 6

La companıa MyCo produce dos tipos de productos que vende a granel, digamos

A y B. Estos productos se basan en una misma materia prima y diferentes

cantidades de mano de obra. El precio de venta de cada kilogramo de A es de 200

pesos y cada kilogramo de B se vende en 250 pesos. Cada kilogramo de A

requiere 4 horas de mano de obra y dos kilogramos de materia prima (1 kilogramo

de materia prima se pierde en el proceso). Cada kilogramo de B requiere 6 horas

de mano de obra y dos kilogramos y medio de materia prima (Un y medio

kilogramos se pierden en el proceso). La companıa dispone de 400 horas de mano

de obra a la semana y la materia prima la compra por semana a un proveedor a

un precio de 50 pesos cada kilogramo, pero por cada kilogramo despues de

comprar 100 recibe un descuento de 5 pesos. El proveedor no puede proporcionar

mas de 200 kilogramos por semana. Suponga que la materia prima no puede ser

almancenada por la companıa. Modele y resuelva mediante PLE la situacion de

MyCo para maximizar sus ganancias semanales.


Ejemplo 6MODELO

VD

x= total de kg de A a producir

y= total de kg de B a producir

z= total de kg de materia prima a comprar

Objetivo

Maxw = Costo(plan) = ventas − costos = (200 x + 250 y)− C (z)

f (b3) = 9500

f (b2) = 5000

f (b1) = 0b3 = 200b2 = 100b1 = 0

C (z)


Ejemplo 6

Las restricciones quedan:

Referente a la materia prima:

Usada = 2 x + 2.5 y ≤ Disponible = z (en kg)

Referente a las horas de mano de obra:

Usada = 4 x + 6 y ≤ Disponible = 400 (en hrs)

La capacidad del proveedor de surtir materia prima

z ≤ 200 (en kg)

Naturales x , y , z ≥ 0

Ahora tenemos el pendiente de la funcion C (z) que no es lineal.


Ejemplo 6

En este caso, la funcion linealmente seccionada C (z) tiene 3 puntos deruptura: (b1 = 0,C (0) = 0), (b2 = 100,C (100) = 5000) y(b3 = 200,C (200) = 9500). Por tanto, requerimos solo 3− 1 = 2 variablesbinarias yi (y1 y y2) y 3 variables auxiliares zi (z1, z2 y z3). Cambiaremos

C (z) = z1 · f (b1) + z2 · f (b2) + z3 · f (b3)= z1 · 0 + z2 · 5000 + z3 · 9500= 5000 z2 + 9500 z3

y anadiremos al modelo las restricciones:

z1 ≤ y1, z2 ≤ y1 + y2, z3 ≤ y2,y1 + y2 = 1,z1 + z2 + z3 = 1,z = z1 · b1 + z2 · b2 + z3 · b3 = 100 z2 + 200 z3


Ejemplo 6


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Ejemplo 7

Ejemplo 7

Euing Gas produce dos tipos de gasolina (G1 y G2) a partir de dos tipos de

petroleo (P1 y P2). Cada galon de G1 debe contener al menos 50 % de P1, y

cada galon de G2 debe contener al menos 60 % de P1. Cada galon de G1 se

vende 12 centavos de G2 a 14 centavos. Actualmente se disponen 500 galones de

P1 y 1,000 galones de P2. Se pueden comprar 1,500 galones extra de P1 a los

siguientes precios: los primeros 500 a 25 centavos el galon, los siguientes 500 a 20

centavos el galon, y los ultimos 500 a 15 centavos el galon. Modele y resuelva

mediante PLE la situacion de Euing Gas para maximizar sus ganancias.


Ejemplo 7

Variables de Decision

xij = Num de galones del petroleo i destinados a gasolina j .

Xi = Num de galones del petroleo i usados en total.

Objetivo

Max z = 0.12 (x11 + x21) + 0.14 (x12 + x22)− Costo(X1)

Restricciones

Produccion: X1 = x11 + x12

Produccion: X2 = x21 + x22

Recursos petroleo 2: X2 ≤ 1, 000

Recursos petroleo 1: X1 ≤ 2, 000

Calidad: x11 ≥ 0.5 (x11 + x21)

Calidad: x12 ≥ 0.6 (x12 + x22)

Restricciones naturales xi ≥ 0


Ejemplo 7Problema: Costo(X1) es una funcion seccionada

Costo(x) = 0 para 0 ≤ x ≤ 500 (Los primeros 500 ya se tienen)

Costo(x) = 0 + 0.25(x − 500) para 500 ≤ x ≤ 1, 000

Costo(x) = 125 + 0.20(x − 1, 000) para 1, 000 ≤ x ≤ 1, 500

Costo(x) = 125 + 100 + 0.15(x − 1, 500) para 1, 500 ≤ x ≤ 2, 000

Los extremos de la grafica de la funcion costo son: P1(b1 = 0, f (b1) = 0),P2(b2 = 500, f (b2) = 0), P3(b3 = 1000, f (b3) = 125),P4(b4 = 1500, f (b4) = 225), y P5(b5 = 2000, f (b5) = 300): Reemplazaremos:

Costo(X1) por z1 · 0 + z2 · 0 + z3 · 125 + z4 225 + z5 · 300

Adicionaremos al modelo:

z1 ≤ y1, z2 ≤ y1 + y2, z3 ≤ y2 + y3, z4 ≤ y3 + y4, z5 ≤ y4

y1 + y2 + y3 + y4 = 1z1 + z1 + z3 + z4 + z5 = 1

X1 = z1 · 0 + z2 · 500 + z3 · 1, 000 + z4 · 1, 500 + z5 · 2, 000yi binaria para i = 1, 2, 3, 4y zi ≥ 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5


Ejemplo 7


MAX 0.12X11+0.12X21+0.14X12+0.14X22-CX1

ST

X1 -X11 - X12=0

X2 -X21 + X22=0

X2 <= 1000

X1 <= 2000

0.5X11 + 0.5X21 - X11 <=0

0.6X12 + 0.6X22 - X12 <= 0

125Z3 + 225Z4 + 300Z5 - CX1=0

Z1 - Y1 <= 0

Z2 - Y2 - Y1 <=0

Z3 - Y3 - Y2 <=0

Z4 - Y4 - Y3 <=0

Z5 - Y4 <= 0

Y1 + Y2 + Y3 + Y4 = 1

Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 1

1000Z3 + 1500Z4 + 2000Z5 - X1 <=0

END

INTE Y1

INTE Y2

INTE Y3

INTE Y4



X11 1400.000000 0.000000X21 1400.000000 0.000000X12 600.000000 0.000000X22 400.000000 0.000000CX1 0.000000 0.000000X1 2000.000000 0.000000X2 1000.000000 0.000000Z3 0.000000 125.000000Z4 0.000000 225.000000Z5 0.000000 300.000000Z1 0.000000 0.000000Z2 1.000000 0.000000


10) 0.000000 0.00000011) 0.000000 0.00000012) 0.000000 0.00000013) 0.000000 0.00000014) 0.000000 0.00000015) 0.000000 0.00000016) 2000.000000 0.000000


Restricciones del tipo SI , ENTONCES

Restricciones del tipo SI , ENTONCES

Para codificar una restriccion del tipoSi

f (x1, x2, . . . , xn) > 0

entoncesg(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0

el truco consiste en introducir una variable binaria (0 o 1) y que indica cualrestriccion se cumple, y lo anterior se codifica como

−g(x1, x2, . . . , xn) ≤ M yf (x1, x2, . . . , xn) ≤ M (1− y)

donde M es un numero positivo muy grande.


Ejemplo 8

Ejemplo 8

Hay que realizar cuatro trabajos en una misma maquina. En la tabla siguiente seindica el tiempo requerido por trabajo y la fecha lımite para entregarlo. El retrasode un trabajo es el numero de dıas, despues de la fecha lımite, hasta la laterminacion del trabajo. Si se termina el trabajo a tiempo o antes el retraso escero. Formule y resuelva un modelo PLE para minimizar el retraso total de loscuatro trabajos.

TIEMPO REQUERIDO

PARA TERMINAR (dıas)(ti ) FECHA LIMITE (di )

Trabajo 1 6 Final del dıa 8Trabajo 2 4 Final del dıa 4Trabajo 3 5 Final del dıa 12Trabajo 4 8 Final del dıa 16


Ejemplo 8

Variables de decision

yi = dıas de retraso en el trabajo i .

xi = el dıa en el cual el trabajo i se inicia.

Funcion Objetivo Minimizar Z =∑4

i=1 yiRestricciones

Dos trabajos no se pueden empalmar: Para todo i 6= j :

xi + ti ≤ xj o xj + tj ≤ xi → xi + ti − xj ≤ 0 o xj + tj − xi ≤ 0→ xi + ti − xj ≤ M zij y

xj + tj − xi ≤ M (1− zij)

con zij binario.

Contabilizacion del retraso: Si xi + ti > di , entonces yi = xi + ti − di : Deotra manera Si xi + ti − di > 0, entonces yi − xi − ti + di ≥ 0.

xi + ti − di − yi ≤ M wi y xi + ti − di ≤ M(1− wi )

con wi binario.


programación lineal: modelos...

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