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CAMPOS ELECTROMAGNETICOSCondensador de Placas Paralelas

Departamento de Ingenieria Electrıca, Electronica y ComputacionUniversidad Nacional de Colombia - Sede Manizales

Estudiante: Juan David Torres Rodrıguez 213080Estudiante: Juan David Torres Rodrıguez 213080Estudiante: Juan David Torres Rodrıguez 213080Estudiante: Juan David Torres Rodrıguez 213080

Docente: Luisa Fernanda Velasquez01-Junio-2015

Resumen—En el siguiente documento, se realizara unanalisis matematico del funcionamiento de un condensadora partir de dos placas cuadradas y paralelas, empleando elsoftware de programacion y simulacion MATLAB R©, quebrindara altas prestaciones para sus calculos numericos ysu visualizacion.

Palabras Claves Capacitor, dielectrico, permitividad, meto-dos numericos, diferencias finitas, Matlab, Guide.

I. INTRODUCCION

Un condensador de placas paralelas es un dispositivo quealmacena energıa en forma de campo electrico, compuesto pordos placas metalicas enfrentadas y separadas por una cortadistancia, y entre ellas un dielectrico, que es un material noconductor de la electricidad (aire, mica, aceite, papel, vidrio,ceramica, entre otros) y que tiene una permitividad electricaque afecta al campo generado entre las placas. Existen muchasaplicaciones reales y cotidianas para los condensadores, estanpresentes en dispositivos de audio (disminuyen ruidos), flashde las camaras (pulsos de voltaje), en computadoras (dismi-nuyen interferencia entre pulsos electronicos), se usan princi-palmente para almacenar y liberar electricidad en cantidadescontroladas.Se desarrollara un analisis y estudio de los condensadores ysus propiedades, a traves de la simulacion de un condensa-dor en Matlab R©, que contara con una interfaz grafica, quetendra datos de entrada y arrojara datos de salida, generandograficas de campo electrostatico, de la densidad del campoelectrostatico y de la distribucion del potencial.

II. OBJETIVOS

Realizar la simulacion de un condensador de placasparalelas, empleando el metodo de las diferenicas finitas,con el fin estudiar el espacio existente entre las placasconductoras y el dielectrico entre ellas.Realizar una interfaz grafica en Guide de MATLAB R©,a traves del cual un usuario pueda ingresar de datos, yelegir el tipo de grafico deseado.

III. MODELADO MATEMATICO

Capacitancia.

La capacitancia de un condensador, se mide en Faradios yesta dada por:

C =εokA

d=εoεrA

d=εA

d(1)

Figura 1. Modelo del capacitor a estudiar.

donde:

d: Distancia entre las placasA: Area de la placaεo: Permitividad del vacıoεr = k: Permitividad relativa del dielectrico o constantedielectrica.ε: Permitividad Absoluta del dielectrico

Diferencias Finitas. Se empleara el Metodo de las DiferenciasFinitas (MDF), que es una tecnica numerica que ayuda aresolver ecuaciones diferenciales parciales, se aplica asistemas complejos; En el sistema electrostatico estudiado, seusara para calcular la diferencia de potencial en diferentespuntos dentro de la region limitada por las condiciones de

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frontera, para esto realizara un gran numero de iteracionescon el fin de resolver n ecuaciones lineales con n incognitas,la solucion de estas porporcionara el potencial electrico encada punto.

Se usara la Ecuacion de Poisson , la cual se deduce con laEcuacion de Gauss para un sistema electrostatico.

∇ ·D = ∇ · (εE) = ∇ · (ε∇V ) = −ρvε

∇2V = ∂2V∂x2 + ∂2V

∂y2 + ∂2V∂z2 = −ρv

ε (2)

Se aplica el metodo de las diferencias finitas para obtenerel potencial electrico en nuestra region, que sera una regionbidimensional del dielectrico entre las dos placas.

Nuestra region de solucion, la dividiremos en m mallasrectangulares, que tendran puntos de cuadricula o nodos, queson fijos o libres; (los fijos tienen un potencial especificado ylos libres tienen un potencial desconocido).

El numero de puntos libres, de ecuaciones e incognitas, secalculan asi: (Para cada punto se debe generar una ecuacionlineal).

# = (m− 1)2

La region se asimilara a la Figura.2.

Figura 2. Division de la solucion en puntos de cuadrıcula

En la ecuacion (2), tenemos una densidad de carga volumetricaρv , pero como nuestra region es bidimensional, se reemplazapor una densidad de carga superficial ρs, y no habra compo-nente en z.

∂2V

∂x2+∂2V

∂y2= −ρs

ε(3)

Hallamos cada segunda derivada parcial de V (x, y) por sepa-rado y en el punto (xo, yo).

V ′ =∂V

∂x=∂V

∂x

∣∣∣∣x=xo

=V (xo + ∆x, yo)− V (xo −∆x, yo)

2∆x

=Vi+1,j − Vi−1,j

2∆x

Calculando la segunda derivada.

V ′′ =∂2V

∂x2

∣∣∣∣x=xo

=V ′(xo + ∆x

2 , yo)− V ′

(xo −∆x

2 , yo)

∆x

=V ′ (xo + ∆x, yo)− 2V (xo, yo) + V ′ (xo −∆x, yo)

(∆x)2

=Vi+1,j − 2Vi,j + Vi−1,j

(∆x)2

(4)

Se hace lo mismo para la segunda derivada parcial del poten-cial en la componente y.

V ′′ =∂2V

∂y2

∣∣∣∣x=xo

=V (xo, yo + ∆y)− 2V (xo, yo) + V (xo, yo −∆y)

(∆y)2

=Vi,j+1 − 2Vi,j + Vi,j−1

(∆y)2

(5)

Como las ecuaciones (4) y (5) son aproximaciones de di-ferencias finitas, las asociamos con un error, que son ∆x y∆y respectivamente, y que son incrementos suficientementereducidos a lo largo de x e y. Reemplazando (4) y (5) en laecuacion (3), se obtiene.

Vi+1,j − 2Vi,j + Vi−1,j

(∆x)2 +

Vi,j+1 − 2Vi,j + Vi,j−1

(∆y)2 = −ρs

ε(6)

Denotaremos h a la distancia entre cada punto y sera el tamanode la malla.

h = ∆x = ∆y (7)

Figura 3. Molecula de cinco nodos de diferencias finitas.

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Como nos interesa deducir la ecuacion para hallar el potencialen cada punto dentro de nuestra region, despejamos Vi,jde (6), y se reemplaza (7) en la misma. Y obtenemos laaproximacion de diferencias finitas de la Ecuacion de Poisson.

Vi,j = 14

(Vi+1,j + Vi−1,j + Vi,j+1 + Vi,j−1 + h2ρs

ε

)(8)

Pero como en un principio nuestra region de solucionesta libre de carga, la densidad superficial sera cero.

Entonces, la ecuacion de Poisson se convierte en la Ecuacionde Laplace, al reemplazar ρs = 0.

∂2V

∂x2+∂2V

∂y2= 0

y ası con la aproximacion de la ecuacion de laplace adiferencias finitas se obtiene,

Vi,j =14(Vi+1,j + Vi−1,j + Vi,j+1 + Vi,j−1) (9)

Con la ecuacion (9), obtendremos la ecuacion lineal delpotencial relacionada a cada punto, la cual dependera delpotencial en los cuatro puntos que estan a una distancia hdel punto. Si observamos la Figura.3 podemos generar laecuacion para el nodo Vi,j que tambien lo llamamos Vo, endonde al analizar la ecuacion obtenida, el potencial en elpunto central de la molecula de cinco nodos es el promediodel potencial en los 4 puntos vecinos.

Vo =14 (V1 + V2 + V3 + V4) (10)

Se obtendran (m − 1)2 ecuaciones, que dependeran de losvalores de frontera, que son el potencial asignado a cada unade las placas; Pero necesitamos algun metodo matematicopara resolver el sistema lineal de ecuaciones que se generara.

Se emplea un Metodo de Iteracion, que consiste en teneruna matriz cuadrada, de tamano (m − 1) × (m − 1), cuyospuntos libres tendran un valor inicial de potencial cero, y lospuntos fijos tendran un valor de potencial ya asignado; Conel software de programacion y simulacion MATLAB R©, seaplica la ecuacion (9) a cada uno de los puntos libres; coniteraciones se ira calculando el potencial en cada punto, yen la medida en que se vaya iterando, los ceros en la matrizpasan a tener un valor de potencial, el programa dejara deiterar cuando la matriz se haya completado, es decir cuandose haya calculado el potencial en cada uno de los puntos.

0 0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ... 00 0 0 0 0 ... 0...

......

......

......

0 0 0 0 0 0 0

Matriz Inicial de ceros.

Estas iteraciones se hacen para cada placa, es decir, una paraun potencial positivo asignado y otro para la misma magnituddel potencial pero negativo.

Al tener las dos matrices, se puede graficar el potencial entrelas placas.

SE CAAAAALCULOOOOO ASIIIIII Y SE GRAFICO ASI.(HAY Q DECIR COMO)!FAAAALTAAAAAAA TENERLO CLAROPara graficar el potencial electrico:

VC = −∫E ∂l

∂VC = −E ∂l

E = −∂VC∂l

usando ∂l = ∂x+ ∂y + ∂z

E = −∂VC∂x− ∂VC

∂y− ∂VC

∂z

Que es equivalente a la divergencia del potencial.

E = -∇V (11)

REFERENCIAS

[1] ELEMENTOS DE ELECTROMAGNETISMO, 3ra edicion -Matthew N. O. Sadiku.

[2] TEORIA ELECTROMAGNETICA, 7ma edicion William H.hayt, Jr y John A. Buck