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Profesorado de Educación

Secundaria en Matemática

INGRESO 2014

Coordinadora: Prof. Adriana Mabel Lescano

1

La propuesta de ejercicios fue realizada por los siguientes Estudiantes

del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática:

Aguirre Marcelo

Blasco Roberto

Córdoba Cecilia

Fuenzalida Irene

García Betsabé

Herrera Adriana

Lusi Yemina

Madrid Melisa

Pérez Analía

Saavedra Ivana

Se desea agradecer la lectura atenta y sugerencias de los Profesores: Boiteux

Yanina, Celina Corrías, Martínez Julián, Zárate Érika y Zárate Lucía.

2

Estimados Ingresantes:

Este cuadernillo contiene cinco grandes temas: Conjuntos numéricos, Polinomios, Función polinómica - racional,

Función exponencial - logarítmica y Función trigonométrica. Si bien los conceptos matemáticos que abordamos

ya han sido vistos en la escuela secundaria, el tipo de tratamiento que se propone no es tan habitual en esa

instancia de la escolaridad. Nuestro principal objetivo es, no sólo que ingresen a nuestra Institución, sino además

que permanezcan en el Profesorado. Es desde aquí que asumimos este compromiso, pues el abordaje de

estos temas es fundamental para comenzar con un cursado exitoso.

Para ello te proponemos que te comprometas en participar activamente en las actividades de manera que

puedas construir tu propio proyecto como futuro alumno y futuro profesional de la educación. Profundizando de

manera reflexiva cada una de las actividades para re-pensar la elección que has realizado y plantearte así, tus

propios propósitos para tu futuro desempeño profesional.

Es importante solicitarte que resuelvas por anticipado los ejercicios para poder consultar las dificultades que

pudieran presentarse, en los encuentros de consulta durante el mes de febrero

Este trabajo ha sido elaborado por estudiantes avanzados del profesorado, dirigidos por quien se desempeña en

este momento como Coordinadora de la carrera. Se contó con la lectura atenta y las sugerencias de los

Profesores: Zárate Érika, Zárate Lucía, Corrías Celina, Yanina Boiteux y Julián Martínez Cinca.

Deseo agradecer la colaboración de las Licenciadas Cintia Fredes y Miriam Fernández.

Esperamos así, que al final del camino propuesto, puedan reafirmar su elección.

Nuestro pensamiento:

“El Éxito no es producto de la casualidad sino del esfuerzo".

Profesora Adriana Mabel Lescano

Coordinadora del Profesorado de Matemática

3

DATOS IMPORTANTES:

Cursado:

Desde el lunes 10/02/2014 al viernes 14/02/2014 inclusive y desde el lunes 24/02/2014 al viernes 28/02/2014

Horario: 18:30 a 22:30

Modalidad: presencial

Asistencia: no obligatoria

Consulta: 5 y 6 de marzo del 2014

Horario: 16:30 a 18:30

Examen obligatorio: 12/03/2014

Horario: 18:30 (traer documento de identidad)

Publicación de resultados: 25 y 26/03/2014

Publicación de exámenes con consulta: 26 y 27/03/2014.

Horario: 16:00 a 18:30.

Título que se otorga:

PROFESOR / A DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA

Duración de la carrera:

4 (cuatro) AÑOS

4

TRABAJO PRÁCTICO N° 1

1. Completa los siguientes enunciados de modo que resulten verdaderos

a) Si a, b , a + b ………….….

b) Si a , a + ……………...

c) ……….….…

d) π ………….…

e) Entre dos números reales diferentes existen …………...…… números reales.

f) Un número irracional expresado en forma decimal presenta ………………….

g) La suma de dos números racionales es ................………………………………

2. Marca con una X la respuesta correcta

a) a, b , (a / b) cuando:

a = b b = a < b a > b

b) Si a = , b c

b<c<a c>a>b c<a<b

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

c) Un comerciante vende tres tipos de café: brasileño, colombiano y cubano. El peso total es de 885 kg. Si el

peso del café brasileño corresponde a del total y el del colombiano a los que quedan:

Las cantidades de café brasileño y colombiano son las mismas.

Hay más café brasileño que colombiano.

Hay más café colombiano que brasileño.

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

d) Se reparte un premio entre tres apostadores, A, B y C. Si A recibió el 25%, B el 45% y C $ 8.250, entonces:

Falta mayor información El apostador que más ganó obtuvo $ 8.250

A ganó lo mismo que C El premio era de $ 20.000

e) Al pagar con tarjeta de crédito, el comercio le aplica un recargo del 35% al 50% del valor del producto. Si lo abonado fue $ 411,25:

El recargo es de $ 61,25 El producto costaba $ 350,00

Todas las respuestas anteriores son correctas

Ninguna de las respuestas anteriores es correcta f) Si a - 3 = b, entonces podemos afirmar que:

b – a = - 3 b + a = - 3 a + b = 3 a – b = - 3

5

g) Un huerto tiene forma rectangular de lados 80m y 150m. Se quiere ampliar añadiendo la misma longitud

a cada lado, de forma que el nuevo perímetro mida 660 m. ¿Cuál será la dimensión del largo del nuevo terreno?

190 m 200 m 235 m 220 m

3. Resuelve:

a) 0, - =

b) - =

c) : - 0, - =

4. Expresa como intervalo los siguientes conjuntos de y grafica de en la recta:

a) A = ^ - 2 x

b) B = ^ - 2x

c) C = ^ |- 2x| 8}

d) D = ^ |5 - 2x| < 4}

e) E = ^ (5 - 2x) < 4}

f) F = ^ |3 - x| > }

g) G = ^ |4 - 3x| > 5}

5. Resuelve analítica y gráficamente las siguientes operaciones, a partir de los siguientes conjuntos.

A = ^ - 4 - x , B = [- 5; 5], C = ^ - 2x > 3}

a) A C b) B C c) (A B) C

6. Con respecto a los resultados de los ítems a), b) y c) del ejercicio anterior, indica si es verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones:

a) Si x A entonces x C ……………….

b) Si x B, x A ………………..

c) x A si x C ………………

7. Según las afirmaciones dadas, indica la/s respuesta/s correcta/s con una X a) Si a, b y n, m , con respecto a la potenciación se cumple:

es conmutativa, =

es ( =

es distributiva respecto de la adición, = +

6

b) Si a, b y n, m , m > 3 ^ n > 3 con respecto a la radicación se cumple:

=

=

d) (- + 2 ) . (2 ) =

d) =

e) Al simplificar la expresión obtenemos:

f) El valor de la expresión obtenemos:

g) es:

8. Se ha llegado a la mínima expresión de:

Analiza y completa en cada paso con la definición, propiedad o propiedades que se aplicaron:

=

=

=

=

=

9. Nombra las propiedades de las operaciones que se realizan en los siguientes ejercicios:

a) =

b) : = c) 4 x y + 2 z = 2 z+ 4 x y

d) . =

e) =

7

f) =

10. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza resultados, cuando sea necesario

a) ( . . ; con x e y ≠ 0

b) ( =

c) =

d) =

11. Dados , resuelve las siguientes operaciones entre números complejos:

a) b) c)

12- Aplicaciones

a) Volumen del mar: El promedio de la profundidad del mar es de 3.7 X , y la superficie del mar

es de 3.6 X ¿Cuál es el volumen total del mar en litros? (Un metro cúbico contiene 1000

litros).

b) Número de moléculas: Un cuarto aislado de hospital mide 5m de ancho, 10m de largo y 3m de alto, se

llena de oxígeno puro. Un metro cúbico contiene 1000 litros y 22.4 litros de cualquier gas contiene 6.02 X

moléculas (número de Avogadro) ¿Cuántas moléculas de oxígeno hay en el cuarto?

c) Herencia: Un señor decide realizar el reparto de sus bienes a sus tres hijos, antes de morir. Al primero

le otorga la cuarta parte del total, al segundo la mitad del resto. Si al tercero le tocó 300.000$ ¿Dé cuánto

era la herencia?

d) Halla

a) 50% de 1890…………………………………………………………………

b) 15% de 4010…………………………………………………………………..

c) 125% de 1000…………………………………………………………………

d) 157% de 6300…………………………………………………………………

e) 0.5% de 2500…………………………………………………………………

8

e) Cada porcentaje tienes su número decimal, completa

50% 23% 150% 238% 340%

0.50 0.05 2.38 5.62

f) Completa la tabla como en el ejemplo:

TOTAL 300 5020 700 987 540

% 60% 38.8% 55.5%

PARTE 50 1757 414,54

g) En el centro de compras se anuncian las siguientes ofertas. Calcula cuánto gastaré si decido

comprar todas éstas prendas.

13. Halla el valor de z:

a)

b)

234

$

95$ 33,5

$

98,5$

110$

PRECIOS REBAJADOS EL 18 %

9

14. Resuelve las siguientes expresiones utilizando las propiedades correspondientes y racionaliza resultados, cuando sea necesario:

a) ( +

b) ( : ; con a y b

c) ( .

d)

15. Para cada uno de los siguientes enunciados, sólo una de las respuestas es correcta. Marca con una X la respuesta correcta.

a) El desarrollo de ( +

25 + 4.a 5 + 2

5 + 4 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.

b) Si 3i + 2 = entonces z es igual a :

Ninguna Respuesta Anterior es Correcta.

c) - ( es igual a:

-2 i + 1 2 i + 1 2i -1 Ninguna Respuesta Anterior es Correcta. 16. Simplifica la expresión y elimina todos los exponentes negativos.

a)

b) (

c) (2 . (

10

17. Escriba, si es posible, como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de números reales:

a) A = { x / 5 < x < 9}

b) C = { x / x < -2 v x > 2}

c) B = { x / -1 ≤ x ≤ 3}

d) D = { x / -4 < x < 2 x ≠ -1}

18. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

a) 804520

b) 23-4· 223

c) 183285

d) ba

bacba

3 33

19. Extrae factores del radical

3 43250 yx

4 8532 cba

4 62 727

20. Expresa en forma polar los siguientes complejos:

a) 5 + (− 81 i)

b) 3 – ( −100 i)

c) 2 + ( − 7 i)

Elaborado por García Betsabé y Herrera Adriana Revisión: Prof. Zárate Lucía

11

TRABAJO PRÁCTICO N° 2:

1. Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas sabiendo que:

a)

b)

2. Indica mediante una cruz, qué expresiones son polinomios, en caso de serlo enuncia el grado de

cada uno de los mismos.

a)

b)

c)

d) 4

e)

3. Dado los siguientes polinomios: Calcula: P(0), P(-3), P(a), Q(1), Q(-2), S(-1), S(1/2) y R(2).

a) P(x)=

b) Q(x)=

c) R(x)=

d) S(x)=

4. Con los polinomios del ejercicio 3 calcula:

a) [P(x) + Q(x)] –[R(x) +S(x)] =

b) P(x) – [Q(x) – R(x)] + S(x) =

5. Resuelve las siguientes operaciones con polinomios:

a) ( ) ( =

b) ( )( )=

c) ( =

d) =

6. Resuelve las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:

a)

b)

12

c)

7. Calcula el resto correspondiente a cada una de las siguientes divisiones:

a)

b)

8. Hallar el valor de k tal que al dividir el polinomio por se obtenga resto cero.

9. Escribe un polinomio de grado 4, cuyo con coeficiente principal sea igual a 2, que tenga dos raíces reales iguales x1 = x2 =2 y x3 = x4 =-1.

10. Escribe un polinomio mónico de grado igual a 5, cuyas raíces sean: x1 = x2 = -1, x3=0, x4=2, x5=5.

11. Factoriza los siguientes polinomios indicando el caso de factoreo utilizado. Hallar las raíces reales de los mismos.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

12. Factoriza:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

13

h)

i)

j)

k)

13. Factoriza, combinando los distintos casos de factoreo:

a)

b)

c)

d)

14. Calcula el MCD y mcm de:

a)

b)

c)

d)

15. Para cada uno de los siguientes enunciados, sólo una de las respuestas es la correcta. Enciérrala con un círculo.

a) Si entonces, 2P(x) – Q(x) es: A.

B.

C. D. NRAC

b) Al dividir por , el resto es: A. 69

B. 57 C. 55

14

D. NRAC

c) es equivalente a:

A.

B.

C.

D. NRAC

d) El polinomio que dividido por , da como cociente y resto es:

A. B.

C. C. NRAC

16. Dadas las siguientes funciones polinómicas, determina los conjunto dominio e imagen, los intervalos de crecimiento, decrecimiento, positividad y negatividad (estos también son intervalos del dominio), la ordenada al origen y los ceros correspondientes a cada una de las mismas. (Recordemos que: si hablamos de funciones hacemos mención a los ceros de la función si hablamos de polinomios hablamos de raíces.). Realiza el gráfico aproximado.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

17. Una con flecha cada fórmula con el gráfico de la función polinómica correspondiente

15

Elaborado por: Aguirre Marcelo y Pérez Analía Revisado por: Prof. Yanina Boiteux

16


1. Dadas las siguientes funciones, complete el cuadro, colocando la función correspondiente a cada

gráfica.

Gráfica 1 Gráfica 2

Gráfica 3 Gráfica 4

17

2. Complete el Siguiente Cuadro y Grafique.

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio Imagen Imagen Raíz Raíz Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

FUNCIONES t(x)= 1/(1- ) f(x)=4/(x-2) g(x)= 1/x h(x)=( x-3)/ -9) Grafico n° Dominio Imagen Asíntotas Horizontales Asíntotas Verticales Ceros o Raíz Intervalo de Positividad Intervalo de Negatividad Intervalo de Crecimiento Intervalo de Decrecimiento

f(x) =

f(x) =

Dominio Dominio

Imagen Imagen

Raíz Raíz

Asíntotas Verticales Asíntotas Verticales

Asíntotas Horizontales Asíntotas Horizontales

Conjuntos de Positividad Conjuntos de Positividad

Conjuntos de Negatividad Conjuntos de Negatividad

Intervalos de Crecimiento Intervalos de Crecimiento

Intervalos de Decrecimiento Intervalos de Decrecimiento

18

f(x) =

f(x) =


f(x) =

f(x) =


f(x) =

f(x) =


19

3. Dadas las siguientes funciones marque con una cruz en el casillero la opción correcta.

f(x) =

f(x) =

f(x) =

A. Vertical en y=+4, y= -4 A.Vertical en x=+3,x= -3 A.Horizontal en y=+3,y=0 A. Horizontal en x=+ 4, x= -4 A.Horizontal en y=+3,y=-3 A.Vertical en x=+9, x=-9 A.Vertical en x=+4 A.Horizontal en y=+3 A.Vertical en x=3 A.Vertical en x=-4 A.Vertical en x=-3 A.Vertical en x=+3,x=-3

f(x) =

f(x) =

f(x) =

I de Crecimiento ( I de Crecimiento ( I de Crecimiento

(

I de Decrecimiento (-4, I de Decrecimiento (-3, I de Decrecimiento (-3,3)

I de Decrecimiento ( I de Crecimiento

( I de Decrecimiento (3,

I de Crecimiento (4, I de Decrecimiento

( I de Crecimiento (3,

f(x) =

f(x) =

f(x) =

Cero en y= 4 cero x= ceros x= cero en x= 2 cero x= 3 ceros: no posee cero en x=0 ceros: no posee Cero en x=9 Cero en x= -2 ceros x= Cero en x = -9

y =

y =

A Vertical en x=-1, x=1 Dominio: (0, f(0) = 1

A vertical en x=0, x=2 Dominio: IR f(0) = 0

A vertical en x= 1, x=0 Dominio: IR –{1} f(0) = 1/6

A Vertical en x=1, x=2 Dominio: IR- {0,1} f(0) = 6

f(x) =

f(x) =


20

4. Decir si las siguientes expresiones son equivalentes. Justifica tu respuesta.

; ;

5. ¿Es una expresión algebraica racional? Justifica

6. Con las expresiones P(x) = y Q(x) = calcular:

i) P(x).Q(x)

ii) P(x):Q(x)

iii) P(x)+Q(x)

7. Unir con flechas

i) a.

ii) b.

iii) c.

iv) d.

e. NRA

Elaborado por: Fuenzalida Irene y Lusi Yemina Revisión: Prof. Corrías Celina

21


1. Complete el siguiente cuadro:

Ángulo Medida en el sistema sexagesimal

Medida en el sistema radial

Nulo 0º 0 radianes

Recto 90º

Llano radianes

Giro completo 360º 2 radianes

Α 360

2

2

360

2. Responda, indicando los cálculos necesarios para justificar. ¿Cuántos grados mide aproximadamente

un radián?

3. Convierta a grados la medida de los siguientes ángulos que en el sistema radial miden:

a) 7

6 radianes

b) 2

radianes

c) 6

4 radianes

d) 3

2 radianes

e) 1,84 radianes

f) 4,6 radianes

4. Convierte a radianes los ángulos que en el sistema sexagesimal miden:

a) 0º

b) 20º

c) 120º

d) 340º

e) 82º

f) 270º

22

5. En una circunferencia de radio r = 1 marque un ángulo α = 45º e indique gráficamente cuál es el sen ,

cos y la tg

6. Dibuje dos circunferencias de radio r =1 y otra de r = 2. En ambas dibuje un ángulo de 60º y calcule el

60sen y el cos60 . Saque conclusiones observando las dos gráficas y comparando los resultados obtenidos.

7. Sabiendo que 0,86sen calcule, sin utilizar calculadora, las demás razones trigonométricas

directas e indirectas ( cos , tg , cosec , sec y ctg ).

8. Sabiendo que 1

3tg y que pertenece al segundo cuadrante, halle las demás razones

trigonométricas.

9. Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β 50 cm 30 cm 40 cm 10. Halle las razones trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 135º

b) 560º

c) 360º

d) 135º

e) 45º 11. Compruebe las siguientes identidades trigonométricas:

a) sec costg ctg ec

b) 2 2 4

2

1cos cos

secsen

c) 22 2cos c cosctg tg

d) sec cosctg ec

e) 2 2 2

2

1sec cos cosec

sen

23

f) 2 3

cos2 3sec

sen

tg

12. Calcule la altura de un árbol que a una distancia de 10m se ve bajo un ángulo de 30º

13. Calcule x e y para los siguiente casos.

24

14. Calcule el valor de y (las longitudes están expresadas en m)

15. Calcula el valor de los lados x e y.

16. Juan y Pedro ven desde las puertas de sus casas una torre bajo ángulos de 45° y 60°. La distancia entre sus casas es de 126 m y la torre está situada entre sus casas. Halle la altura de la torre.

25

17. Calcule las relaciones trigonométricas ( sen , cos , tg ) de los ángulos que se mencionan, sin

usar calculadora y apoyándose en el Teorema de Pitágoras. A modo de ejemplo se calculan dos relaciones. Complete la tabla. En caso de ser necesario, racionalice

Ejemplo:

Se toma un triángulo isósceles y se traza la altura “y”, con lo que quedan determinados dos triángulos

rectángulos. Aplicando el Teorema de Pitágoras se calcula el cos60 :

1cos60

2 2

r (cateto adyacente sobre hipotenusa)

160

2 2

rsen (cateto opuesto sobre hipotenusa)

cos30 y

2 2

2 33

4 4 2

r r ry r

3

cos302

r

26

Ángulo sen cos tg

30º

1

2 3

2

45º

60º

1

2

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

Elaborado por: Blasco Roberto y Saavedra Ivana Revisión: Prof. Julián Martínez Cinca

27

TRABAJO PRÁCTICO N° 5

Función exponencial: y = k. k: coeficiente de la función. Es un número IR no nulo

a: base de la función. Es un número positivo distinto de 1. 1. Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justifica. En todos los casos, a es un número real positivo.

a.an = a n+1

an.an =

= ( )p

n : a = a n-1

–n =

2. Observa los siguientes gráficos a) b) c) y d) y completa: Dominio, imagen, ceros, intervalos de negatividad y positividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento. .

Gráfico a)

28

Gráfico b)

Gráfico c)

Gráfico d)

29

3. Resolver encontrando la función que modelice la situación y graficarla:

a) En el banco “Mendoza” se obtiene una tasa de interés del 1,5% mensual por la colocación de dinero a plazo fijo. Un ahorrista deposita $1500. ¿Cuál será el monto de su cuenta después de tres meses? ¿Y después de un año?

b) Una sustancia radiactiva pierde el 3% de su masa cada día. Diez días después de comenzada la observación, se tiene 150g de masa. ¿Cuántos gramos de sustancia había al comienzo de la observación? ¿Cuál es el porcentaje de decrecimiento por hora? ¿Y por semana?¿Después de cuánto tiempo se reduce la masa de la sustancia a la mitad?

4. Une la función con su asíntota:

y = y = 1/2

y = y = 5

y = + 1/8 y = -3

y = +5 y = 1/8

5. Hallar la fórmula de la función exponencial que pasa por los puntos:

a. (0,5) y (-1,5/2) b. (0,2) y (-3,1/4) c. (1,-8) y (-2,-1) d. (-2,8) y (1,1)

6. Dadas las funciones f(x) = y g(x)= . Indicar para que valores de x resulta: a) f(x) > g(x) b) f(x) = g(x) c) f(x) < g(x)

7. Hallen los valores de x que satisfacen cada una de las siguientes igualdades.

=

2 – x.6 = 32x :7

2 – 3x. 2x+1 = 8 x.

8. Resolver las siguientes ecuaciones:

7

30

7

9. Completar de modo tal que las siguientes proposiciones, corresponden a las propiedades de logaritmos, sean verdaderas.

a. =………….., cualquiera sea su base.

b. Para toda …...……...., = 1. c. El logaritmo de un producto :

………………+………………..., para todo x >0, y>0. d. El logaritmo de un cociente:

= …………….-……………….. , para todo x>o, y є IR

10. Completar con el valor de verdad de las siguientes proposiciones: No existe el logaritmo de un número con base negativa. ………… Existe el logaritmo de cero. …….. El logaritmo de 1 es cero. ……… Los números negativos tienen logaritmo. …….. El logaritmo en base “a” es igual al exponente. …… 11. Calcular el valor de y, aplicando la definición de logaritmo

a) = y b) y

c) = y

d) = y

12. Resolver aplicando las propiedades

31

a) )=

b) =

c) + =

12. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a) = 2

b) = 0

c) =

d) 2. =

e) 3 =

f) =

13. Observa las siguientes funciones y determina

32

Función

f(x)= log(x- 2) g(x)= ln(x - 2) h(x)=

Dominio

Imagen

Asíntota

14. Indicar la fórmula apropiada para la función logarítmica del tipo: que pasa por los puntos: o (4,1) y p (10,2)

y =

y =

y =

y =

15. Resolver y señalar con una cruz la respuesta correcta En 1906 un terremoto en Chile tuvo una magnitud de 8.2 en la escala de Ritcher. En 2001 hubo otro que fue 19,95 veces más potente que el de 1906.Hallen el grado en la escala de Ritcher correspondiente al terremoto de 2001.

Aprox. 6,3 grados

Aprox. 12 grados

Aprox. 9,5 grados

Aprox.8,9 grados

Ninguna respuesta anterior

16. Plantear y resolver: a) La población de cierta ciudad es de 80.000 habitantes. Si aumenta 5% cada año, estimar cual será la población al cabo de 10 años. b) Un automóvil comprado en $ 35.000 disminuye su valor en un 12 % cada año. Calcular su valor al cabo de 6 años.

Elaborado por: Córdoba Cecilia y Madrid Melisa Revisado por: Prof. Zárate Érika

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BIBLIOGRAFÍA SUGERIDA PARA CONSULTA:

James Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson (2009) Precálculo. Quinta Edición. Editorial: Cengage Learning

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