prof. rosario martínez verdú
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Prof. Rosario Martínez Verdú. TEMA 3: ESTIMACIÓN. 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones. Propiedades de los estimadores. 2. Métodos de obtención de estimadores. 3. Estimación por intervalos. 4. Determinación del tamaño muestral. Bibliografía específica Tema 3: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Introducción a la Inferencia Estadística
TEMA 3: ESTIMACIÓN
Prof. Rosario Martínez Verdú
TEMA 3: ESTIMACIÓN• 1. Estimación puntual: estimadores y estimaciones.
Propiedades de los estimadores.• 2. Métodos de obtención de estimadores.• 3. Estimación por intervalos.• 4. Determinación del tamaño muestral.
Bibliografía específica Tema 3:
- NEWBOLD, P. (1997). Estadística para los Negocios y la Economía. Madrid: Prentice Hall. 4ª Edición. Capítulos 7 y 8.
- NEWBOLD, P. y otros (2008). Estadística para Administración y Economía. Madrid: Pearson-Prentice Hall. 6ª Edición. Capítulos 8 y 9.
- ESTEBAN GARCÍA, J. y otros: Curso Básico de Inferencia Estadística. Reproexpres Ediciones, Valencia, 2008. Tema 4 (sin anexos) y Tema 5.
- LIND D.A y otros. Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. Ed. McGraw Hill, México, (13ª Edición). Capítulo 9.
- MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch. Capítulo 7.
• Consiste en la obtención de valores aproximados para las características desconocidas
(parámetros) de la distribución de la población.
• Tipos de estimación:- Puntual: un valor. Apartado 1- Por intervalos: un intervalo con garantías de contener al parámetro. Apartado 3
TEMA 3: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Estadísticos
Estimadores de
• Estrategias de búsqueda de estimadores de un parámetro :
- Proponer estimadores con buenas propiedades (Apartado 1).
- Aplicar un método de construcción de estimadores: Estimadores Máximo-Verosímiles (EMV) (Apartado 2).
1) ESTIMACIÓN PUNTUAL• Estimadores y Estimaciones:
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA TODO TIPO DE MUESTRAS:
ESTIMADOR INSESGADO significa que su media o valor esperado coincide con el parámetro , esto es:
ˆ ˆE θ = θ y por lo tanto, su sesgo=E θ - θ = 0
ˆ ˆ ˆConsecuencia: Si θ es insesgado, entonces ECM θ Var θ
ESTIMADOR EFICIENTE: si para estimar un mismo parámetro, disponemos de varios estimadores insesgados, el estimador eficiente será el de menor varianza.
1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆθ y θ insesgados. Si Var θ Var θ entonces, θ es más eficiente que θ
Para elegir entre diferentes estimadores para estimar un mismo parámetro nos basaremos en una medida, el ERROR CUADRÁTICO MEDIO (ECM):
22
ˆ ˆ ˆECM θ Var θ + E θ - θ
sesgo
El criterio: elegir el estimador que tenga el menor ECM.
,7
,6
,5
,4
,3
,2
,1
0,0
E[A]=
f(A)f(B)
A estimador insesgado E[A]=B estimador sesgado E[B] Var[A] = Var[B] ECM[A] < ECM[B]A mejor estimador que B
E[B]
1,4
1,2
1,0
,8
,6
,4
,2
0,0
f(A)
f(B)
A y B insesgados E[A]=E[B]=
Var[A] > Var[B]ECM[A] > ECM[B]B mejor estimador que A
Caso 1: A y B misma varianza
Distribuciones de probabilidad de dos estimadores A y B de un parámetro poblacional
Caso 2: A y B estimadores insesgados
PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES PARA
MUESTRAS GRANDES: ESTIMADOR ASINTÓTICAMENTE INSESGADO significa que al aumentar el tamaño de la muestra, su media tiende a coincidir con el parámetro , y por lo tanto, su sesgo tiende a cero. Esto es,
n
ˆlim E θ =θ
ESTIMADOR CONSISTENTE significa que a medida que crece el tamaño de la muestra las estimaciones que nos proporciona el estimador se aproximan cada vez más al valor del parámetro . Si el estimador es insesgado o asintóticamente insesgado, para que sea consistente es suficiente que, cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (es decir, se hace muy grande), la varianza del estimador se aproxime a cero. Esto es,
n
ˆlim Var θ =0
1,4
1,2
1,0
,8
,6
,4
,2
0,0
)ˆ100n θf(
)ˆ1000n θf(
Ejemplo de estimador consistente
Al crecer el tamaño de la muestra, las estimaciones de se aproximan cada vez más al verdadero valor del parámetro.
θ̂
CUADRO RESUMEN ESTIMADORES PUNTUALES
Distribución Población
Parám-etro a
estimar
Estima-
dor
Propiedades estimador
Otras propie-dades
Poisson
XPo() insesgado, eficiente,
consistente EMV
Bernoulli XBe(p) p
insesgado, eficiente, consistente EMV
Normal X
insesgado, eficiente, consistente EMV
Normal X
2 S2 asint. insesgado, menor ECM que cuasi-var
EMV
Exponencial:
X Exp(1/ ) insesgado, eficiente,
consistente EMV
Sin especificar
insesgado, consistente
Sin especificar
2 S2 asint. insesgado
insesgado
),N( 2
),N( 2
X
X
X
x=p̂
2S
EMV= Estimador máximo-verosímil
2S
X
EJEMPLO DE ESTIMACIÓN MÁXIMO-VEROSÍMIL
•La Agencia Valenciana de Turismo va a realizar un estudio sobre las preferencias de los habitantes de la ciudad de Valencia respecto al lugar de vacaciones elegido. Únicamente se quiere distinguir entre montaña y playa. Realizada una encuesta a 100 personas elegidas al azar se ha obtenido que 30 de ellas prefieren la montaña y las 70 restantes han mostrado preferencia por la playa.
• Con la información de la encuesta, ¿cuál de los siguientes posibles valores para la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña tiene una mayor verosimilitud o es más compatible con los datos obtenidos de la encuesta: 25%, 30% o 35%?
Fuente: MURGUI, J.S. y otros (2002). Ejercicios de Estadística. Economía y Ciencias Sociales. Valencia: Tirant lo Blanch, p.265.
•2. Métodos de obtención de estimadores.
l(p) =p30 (1-p)70
0
5E-28
1E-27
1.5E-27
2E-27
2.5E-27
3E-27
3.5E-27
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
p 1-p l(p)0 1 0
0.05 0.95 2.56893E-410.1 0.9 6.26579E-340.15 0.85 2.19818E-300.2 0.8 1.76685E-280.25 0.75 1.55772E-270.3 0.7 2.95461E-270.35 0.65 1.68258E-270.4 0.6 3.40712E-280.45 0.55 2.64097E-290.5 0.5 7.88861E-310.55 0.45 8.62495E-330.6 0.4 3.08132E-350.65 0.35 2.96595E-380.7 0.3 5.64195E-420.8 0.2 1.4615E-520.9 0.1 4.23912E-721 0 0
p
l(p)
3. Estimación por intervaloso Intervalos de confianza
Objetivos de este Apartado:• Concepto de Intervalo de Estimación• Concepto de nivel de confianza 1-• Precisión de una estimación por intervalo,
depende de:– Nivel de confianza 1-– Amplitud del intervalo (error de estimación)
• Construcción de intervalos de estimación para los principales parámetros poblacionales.
Intervalos para la estimación de la media de una población
Caso 1 a) Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2 2X N( , ) con conocida
Estadístico N(0,1)
X -Z =
/ n
Se fija nivel de confianza 1-0,99
= 0,95
0,9
/2 /2P -z z =1-
X -Z =
/ n
Se sustituye por el valor obtenido para la muestra, , y se obtiene el intervalo:X x
/ 2 / 2x x = x error de estimación
- z , + zn n
/2 /2P z z =1-
X - X+n n
Se despeja :
EJEMPLO INTERVALOS DE ESTIMACIÓNSea Población X: peso de los paquetes de cereal, en gramos.X~N( , 2=100)Muestra: (x1, x2,...., xn) m.a.s. n=16
Intervalos de confianza para :
x 503,75 s 11,3
503,75x
Intervalo de confianza del 90%
498,85
507,86
Error =4,11 gr
503,75x
499,64
508,65
Intervalo de confianza del 95% Error =4,90 gr
Intervalo de confianza del 99%
503,75x 497,32 510,18
Error =6,43 gr
Intervalos para la estimación de la media de una población
Caso 2: Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2 2X N( , ) con desconocida
n-1Estadístico T t
X -
=S/ n -1
Se fija nivel de confianza 1-:
n-1, /2 n-1, /2P -t T t =1-
X -=
S/ n -1
Se sustituyen por los valores obtenidos para la muestra y se obtiene el intervalo:
X y S
n-1, / 2 n-1, / 2
s sx t x t
- , +n -1 n -1
n-1, /2 n-1, /2
S SP t t =1-
X - X+n-1 n-1
Se despeja :
= x error de estimación
Intervalo para la estimación de la varianza 2 de una población Normal
Caso 6: Población
muestra: (x1, x2, …,xn) m.a.s. tamaño n cualquiera.
2X N( , ) con desconocida
n-1
2 22
nEstadístico Y= S
σ
Se fija nivel de confianza 1-:
2 2 2n-1,1- /2 n-1, /22
nP Y= S =1-
σ
Se sustituye S2 por el valor obtenido para la muestra y se obtiene el intervalo:
Se despeja 2:2 2
22 2n-1, /2 n-1,1- /2
n S n SP σ =1-
2 22
2 2n-1, /2 n-1,1- /2
n s n sσ , con una confianza de 1-