prof. david becerra rojas 1 variables aleatorias unidimensionales definición 1:sea e un...

Prof. David Becerra Rojas

1

Variables Aleatorias Unidimensionales

Definición 1: Sea E un experimento, y sea S un espacio muestral asociado a E. Entonces una función X, que a cada elemento del espacio muestral, le asocia un número real, recibe el nombre de variable aleatoria.

X : S R

si X(si)= xi


2


Definición 2: Sea X una v.a. Entonces llamaremos recorridode la v.a. X, y lo denotaremos por Rx, al conjunto de todos losvalores que toma la v.a. X. Rx = {xi R / X(si) = xi , si S }

S R

Xs1

s2

:si

: :

Rx x1

x2

:X(si)=xi

: :


3


Definición 3: Sea X una v.a. Entonces si el recorridode la v.a. X, ( Rx), es un conjunto finito o infinito numerable,entonces diremos que X, es una v.a. Discreta.

Definición 4: Sea X una v.a.discreta. Entonces a cada valor que toma la variable (xi Rx), le asociaremos un número p(xi) = P(X=xi), y que cumple con las siguientes condiciones:

1

,....2,1

1)(.)

)(.)

ii

i

xpii

ioxpi


4

Definición 5:

Sea E un experimento, sea S un espacio muestral asociado a E, sea Rx, el recorrido de la variable aleatoria X y sea B Rx. EntoncesSi definimos A = { s S / X(s) = x B }, entonces, diremos que A y B son equivalentes, A B y P(A) = P(B)

s1

s2

s3

si

x1

x2

xi

S Rx

A B


5

Ejemplo:Sea el experimento E: se lanza una moneda dos veces y se registrael signo que aparece en la cara superior. Luego el espacio muestralS = {cc, cs, sc, ss }. Sea la v.a. X : número de sellos que aparecen.

En este caso el recorrido de la v.a. Será Rx = {0, 1, 2}

cccsscss

X(cc) = x1=0X(cs) = X(sc) = X(ss) = x3=2

S Rx

} x2=1

X


6

Luego:

p(x1) = P(X = x1) = p(0) = P(X=0) = P(cc) = 1/4

p(x2)= P(X = x2) = p(1) = P(X=1) = P(cs,sc) = P(cs) + P(sc) = 1/2

p(x3) = P(X = x3) = p(2) = P(X=2) = P(ss) = 1/4

Por lo tanto:

p(xi) = p(0) + p(1) + p(2) = 1/4 + 1/2 +1/4 = 1

De la definición 5 tenemos:

Si A={cc, cs, sc} y si B={0, 1} P(A) = P(B) = ¾


7

Ejercicio

De un curso de 15 personas (5 hombres y 10 mujeres) se Seleccionan al azar dos, una después de otra, y se clasificansegún el sexo. Determine:

a.- el espacio muestralb.- la probabilidad de que ambas sean mujeres

c.- la prob. que el número de mujeres seleccionadas sea 2d.- la prob. que el número de mujeres sea al menos una

Para las preguntas c) y d) determine previamente:la variable aleatoria X, yel recorrido de X (Rx)


8

Ejercicio:

Sea la variable aleatoria X: mes en que un computador tiene problemas.

, k = 1,2,3,4,5,6

Determine:1.- el valor de C2.- p( 5 ) = P( X = 5 )3.- P( X 2 ) =

7

)4()()(

kCkXPkp

1

,....2,1

1)(.

)(.

ii

i

xpii

ioxpiRecordar:


9

Luego

Esto quiere decir que:

2112*7

4)()(

kkkXPkp

17

24201612841)(

6

1

CCCCCCkp

ii

1.- De la condición ii.- tenemos :

12

1

84

71

7

84 C

C


10

b.- 21

5

21)5()5(

kXPp

c.- )6()5()4()3()2()2( pppppXP

21

20


11

Proposición:

i.- La Función P, se denomina Función de Probabilidad

ii.- El par ( xi , p(xi) ): se denomina Distribución de Probabilidad

En realidad, la Distribución de Probabilidad, es la gráfica de la Función de Probabilidad.

p(xi)

xi


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Ejercicio:

Supongamos que la probabilidad de que un camión de trasportellegue a destino sin problemas es de 0.57 ( es decir en el 57% delos casos). Supongamos además que es posible enviar una grancantidad de camiones. El envío continua hasta que llega el primercamión a destino sin problemas.

Determine la probabilidad de que el número de envíos necesariopara que llegue el primer camión sin problemas, sea k (k = 1,2,3...)

Previo Determine:a.- Espacio muestral

b.- La variable aleatoria X

c.- Recorrido de la v.a. X.

S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}

Rx = {1, 2, 3, 4, ......}

Sea A : El camión llega a destino sin problemas _ y sea B : El camión no llega a destino sin problemas . B = A Luego el espacio muestral S, será:

X : Nº de envíos necesarias para que llegue el primer camión a destino sin problemas.


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Recordando;

A

B

A

B

A

B

A

B

0.57

0.57

0.57

0.570.43

0.43

0.43

0.43..............................Luego;

p(1) = P(X=1) = P(A) = (0.57)p(2) = P(X=2) = P(BA) = (0.43)(0.57)p(3) = P(X=3) = P(BBA) = (0.43)2 (0.57)p(4) = P(X=4) = P(BBBA) = (0.43)3(0.57)Por consiguiente tenemos que:

p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......

S = { A, BA, BBA, BBBA,.....}

Rx = { 1 , 2 , 3 , 4 , .........} Según el diagrama del árbol tenemos:


14

Debemos demostrar que :

p(k) = P(X=k) = (0.43)k-1(0.57) ; k = 1,2,3......

es efectivamente una función de probabilidad, es decir,que debe cumplir con:

1

,....2,1

1)(.

)(.

k

k

kpii

okpi

01

1

0

43.043.01

1

11

i

i

k

k

i

i

rr

Como

0

1)57.0(*43.01

1)57.0(*43.0i

i


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EjercicioRespecto al ejemplo anterior, supongamos que se

envían 3 camiones, independientemente. Determine:

a.- Espacio muestral

b.- la probabilidad de que el número de camiones

que llegue a destino sin problemas se k .

Previo: Determine el espacio muestral, la Variable

Aleatoria X, y el recorrido Rx.


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Distribución BinomialDef.: Sea E un experimento y sea A un suceso asociadoa E. Supongamos que P(A) = p, luego P(A) = 1 – p.Consideremos n repeticiones independientes del experimento E.Por lo tanto el espacio muestral del experimento total, estaráDado por todas las sucesiones posibles tal que ocurra A o A .

Si la v.a. X se define como: Número de veces que ocurre el sucesoA, diremos que X tiene una distribución binomial con parámetrosn y p, y la denotaremos:

X ~ b(n , p )


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Distribución Binomial

y su función de probabilidad está dada por:

knknk ppkXPkP )1()()(

Con k = 0,1,2,3,……….n


18

Distribución de Bernoulli

Si el experimento se realiza una sola vez, la

variable X tomará los valores 0 y 1, y se dice que

tiene una distribución de Bernoulli con parámetros

1 y p.

kk ppkXPkP 1)1()()(Con k = 0,1

X ~ B(1 , p )


19

Distribución de Poissón

Sea X una v.a.d., si su función de probabilidad está dada por:

,,,,,,,,3,2,1,0*

)()(

kconk

ekXPkP

k

Entonces diremos que X tiene una distribución de Poissón

con parámetro . Se anota: ( media y varianza )

X ~ P()

!


20

Variables Aleatorias Continuas (vac)

Supongamos que X es una v.a. cuyo recorrido Rx, son todos los números reales.

RRf :Si definimos una función

y si cumple con las siguientes condiciones:

1)()(.

0)(.

xdxfii

Rxxfi x

Entonces diremos que X es una v.a.c. con función de densidad de

Probabilidad (f.d.p.) f


21

1.- f(x) no es una probabilidad, como en el caso discreto, donde p(x) = P(X = x ).

2.- Las siguientes probabilidades, son equivalentes:

P(a x b) = P(a < x b) = P(a x < b)

= P(a < x < b)

Esto implica que P(X = k ) = 0

Observaciones


22

Observaciones

b

a

xdxfbxaP )()()(.3

a b


23

EjemploSea X una variable aleatoria continua (vac), con función

de densidad de probabilidad “f”(fdp). Talque:

casosotrosen

xkx

0

10 {f(x) =

1.- Determine el valor de k2.- Grafique la función f

3.- Calcule P( x 1/2 / 1/3 x 2/3)


24

Función de Distribución Acumulativa

Def. : Sea X una variable aleatoria se define función

de distribución acumulativa o función de distribución como:

x

x

k

xdxf

kp

)()(

)( Si X v.a.d.

Si X v.a.c.

F(x) = P( X ≤ x ) ={


25

Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Valor esperado o Esperanza de X como:

)()(

)(1

xdxxf

xpxi

iiSi X v.a.d.

Si X v.a.c.

E ( x ) = {


26

Varianza de una Variable Aleatoria

Def. : Sea X una variable aleatoria. Se define Varianza de X como:

V(x) = E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2

Donde : Si X v.a.d.

Si X v.a.c.

)()(

)(

2

1

2

xdxfx

xpxi

ii

E ( x2 ) ={


27

Tarea Nº ___

• Propiedades de la Esperanza• Propiedades de la Varianza• Si X ~ b(n,p), determine la E(X) y V(X)• Si X ~ P(), determine la E(X) y V(X)• Demostrar que : E( x - E(x) )2 = E ( x2 ) – ( E (x) )2


28

Ejemplo:

1.- Sea X v.a.d. con función de probabilidad dada por:

xi 1 2 3 4 5 Total

p(xi) 0.2 0.25 0.32 0.08 0.15 1.00

xip(xi)

x2ip(xi)

F(xi)

Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa b.- Esperanza de X ( E(X) ) c.- Varianza de X ( V(X) ) d.- Grafique F(X)

0.2 0.45 0.77 0.85 1.00 ////0.2 0.50 0.96 0.32 0.75

0.2 1.00 2.88 1.28 3.75

2.73

9.11

= E ( x2 ) – ( E (x) )2 =

E(X)

E(X2)

9.11 – (2.73)2 = 1.6571= 2.73


29

Gráfica de F(x)

1 2 3 4 5 x

F(x)

1.000.800.600.400.20

500.1

5485.0

4377.0

3245.0

2120.0

10

x

x

x

x

x

x

{F(x) =


30

2.- Sea X v.a.c. con función de densidad de probabilidaddada por .

casosotrosen

xxxf

0

102)(

Determine : a.- Función de Distribución Acumulativa F(x)b.- Esperanza de X E(x)c.- Varianza de X V(x)


31

La función f(x) y F(x), están dadas por:

11

10

00

)( 2

x

xx

x

xF

0 1

f(x)

2

0 1

F(x)

1

casosotrosen

xxxf

0

102)(


32

Distribución Normal

Sea X una v.a.c. si su fdp está dada por:

xexf

x2

2

2

)(

2*

2

1)(

Entonces, diremos que X tiene una distribuciónNormal con media y varianza 2. Se denota:

X ~ N( , 2 )


33

Características

• Tiene forma de campana ( por su descubridor es también llamada campana de GAUSS)

• Es simétrica con respecto a su media ()

• Es asintótica al eje horizontal.

• A +/- tres desv. típicas de la media, se encuentra prácticamente el 99.8% de su área ( +/- 3 )

- 3 + 3


34

Teorema Central del Limite

• Sea X ~ N( , 2 ) entonces, ~ N(0 , 1 ) )(

X

Z

0

)( X

X

Z


35

Ejercicio

Supongamos que en un estadio lleno, el 40% de los asistentes son mujeres. Una empresa comercial, realiza para promocionar un nuevo producto, toma una muestra de tamaño 20. Determine la probabilidad quer

la muestra contenga:

1.- exactamente 11 mujeres.2.- a lo más 8 mujeres.3.- al menos 5 mujeres.4.- exactamente 9 hombres.


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Previo: Determine

• el experimento E• el espacio muestral s:• el suceso de interés A• la probabilidad de A• el espacio muestral S:• la variable aleatorio X:• el recorrido Rx :

Se elije al azar una persona

= { A , B }

la persona es mujer

p = P(A) = 0.40

={A...A,.A..B,…..,B…B}

Nº de mujeres seleccionadas

= {0,1,2,….,20}

Luego: 1.- P(X = 11) = P(X 11) – P(X 10) por tabla2.- P(X 8) = 0.596 directo por tabla3.- P(X 8) = 1 – P(X 7) = 1 – 0.416 = 0.584

prof. david becerra rojas 1 variables aleatorias unidimensionales definición 1:sea e un...

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