productos notables

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NUCLEO TEMTICO II.

2 Productos notables2.1 Binomio al cuadrado

2.2 Binomios con trmino comn

2.3 Binomios conjugadosORGANIZADOR ANTICIPADO

En este ncleo temtico, vamos a abordar el estudio de algunos productos notables (binomio al cuadrado, binomios con trmino comn y binomios conjugados), estos productos son multiplicaciones que se presentan con frecuencia en matemticas, son multiplicaciones que se rigen por reglas fijas, por lo que su resultado acorde al producto de que se trate, puede calcularse mentalmente o por simple inspeccin. Por lo que debes retomar las competencias que adquiriste sobre las leyes de los signos en las operaciones aritmticas de suma y multiplicacin de polinomios y las leyes de los exponentes en la multiplicacin de polinomios, por ejemplo:En la terraza del departamento del profesor Marcial hay una planta, en la cual se construye una casa para un ave con las medidas que se muestran en la figura. Cul es el volumen que el ave tiene como casa?.

Escribamos primero un enunciado que represente la solucin del clculo del volumen de la casa.

Volumen de la casa = volumen del cubo ms volumen del prisma triangular

Recuerda que el volumen de un cubo se calcula como (lado)(lado)( lado) y que el volumen del prisma triangular se calcula como (1/2) (largo)(ancho)(altura)Sustituyendo en nuestro enunciado los datos de la casa tenemos que:Vcasa = (2a)(2a)(2a) + (1/2)(2a)(2a)(2a + 2)

= 8a3 + (1/2)(8a3 + 8a2 ) = 8a3 + 4a3 + 4a2 = 12a3 + 4a2

2.2.1 Binomio al cuadrado

Cmo calculamos el rea de la cocina?

Resolvamos ahora la pregunta del rea de la cocina, retomando los datos que obtuviste del plano del departamento del Profesor Marcial.

Con las respuestas 1 y 2 del croquis del departamento calculemos el rea de la cocina.

A = lado (lado)Entonces

A= (x + 6)(x + 6)

= lado2

Sustituyendo

= (x + 6)2

Resolviendo

= x2 + 12x + 36

El resultado obtenido x2 + 12x + 36 es la expresin algebraica del rea de la cocina que es la respuesta a la segunda preguntaCmo resolvemos un binomio al cuadrado?

Observa los pasos para elevar un binomio al cuadrado en el siguiente diagrama:

(x + 6)2 = x2 + 12x + 36ANIMACION 4 BLOQUE 2 (presentacin en Power Point binomio al cuadrado)

Aplica la regla para elevar un binomio al cuadrado y realiza la siguiente actividad

Existen otro tipo de productos notables, algunos de ellos son, el producto de binomios con trmino comn y producto de binomios conjugados.2.2.2 Binomios con trmino comnPara calcular el resultado de este tipo de binomios veamos los siguientes diagramas(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + abEjemplos:

1. (x + 15) (x + 6) = x2 + 21x + 90

2. (x - 23) (x + 9) = x2 -14x - 207

3. (x - 27) (x - 6) = x2 - 33x + 162

Los diagramas te muestran la forma en que se calculan los resultados de la multiplicacin de binomios con trmino comn x y los casos de signos diferentes para los trminos no comunes, Ahora realiza la siguiente actividad.

2.2.3 Binomios conjugadosPara obtener el resultado del producto de dos binomios conjugados se representa en el diagrama siguiente:

(x + y) (x y) = x2 - y2Ejemplos:

1. (x + 14) (x 14) = x2 - 196

2.

QUIERES SABER MS? Sobre productos notables, consulta la siguiente pgina y realiza los ejercicios que se proponen.

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htmAutoevaluacin del aprendizaje.

El objetivo de esta autoevaluacin, es que valores si has adquirido las competencias matemticas, para resolver de manera acertada los productos notables planteados como actividades de aprendizaje, por lo que te solicitamos que cheques los procedimientos de solucin y las respuestas, es importante que revises esta autoevaluacin despus de haber dado respuesta a todas las actividades, si tienes duda en alguna de las respuestas proporcionadas, consulta con tu asesor.

Soluciones:

Resumen

El esquema te presenta los temas revisadas en el ncleo 2

Con el estudio de los productos notables binomio al cuadrado, binomios con trmino comn y binomios conjugados, vas adquiriendo otras competencias matemticas que te preparan para dar solucin a diversas situaciones de la vida cotidiana, en las que se involucren entre otras, problemas relacionados con reas y volmenes. Cuando te propones resolver una situacin problemtica en la que debas usar herramientas matemticas, es necesario que apliques tus capacidades y competencias que has asimilado, de manera tal que logres interactuar con el medio que te rodea, por lo que se te invita a que contines preparndote, con el estudio del bloque temtico III con la finalidad de que amples tus conocimientos , capacidades y aptitudes, para que puedas desempearte de manera solvente en la resolucin de problemas de diversas reas del conocimiento.FUENTES CONSULTADASBarnett R. lgebra. Sexta edicin. Mc Graw Hill. Mxico. 1999.Randall C. MIDDLE SCHOOL MATH. Scott Foresman Addison Wesley. USA. 1999.Dugopolski M. Intermediate Algebra. fifth edition. Mc Graw Hill. USA. 2006.Colera J. Bachillerato 1. Matemticas I. Grupo ANAYA. Madrid Espaa. 2009.

PAGINAS WEB CONSULTADASQUIERES SABER MS? Sobre productos notableshttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesdiegogaitan/departamentos/departamentos/departamento_de_matemat/recursos/algebraconpapas/recurso/tests/identidadesnotables/productos/productos01.htm

x + 6

Cocina

2 Dos veces el primer trmino por el segundo x por seis

1 Cuadrado del primer trmino x

3 Cuadrado del segundo trmino 6

x + 6

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

Instruccin: Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

(x + 7)2 =

(x - 6)2 =

(2x + 3)2 =

(4x - y)2 =

(6xy - 9)2 =

1 El trmino comn x se eleva al cuadrado

2 Se suman los trminos no comunes (a + b) y el resultado se multiplica por el trmino comn x

3 Se multiplican los trminos no comunes a( b)

3 Se multiplican los trminos no comunes 15(6)

2 Se suman los trminos no comunes (15 +6) y el resultado se multiplica por el trmino comn x

1 El trmino comn x se eleva al cuadrado

3 Se multiplican los trminos no comunes -23(9)

2 Se suman los trminos no comunes (-23+9) y el resultado se multiplica por el trmino comn x

1 El trmino comn x se eleva al cuadrado

3 Se multiplican los trminos no comunes -27(-6)

2 Se suman los trminos no comunes (-27-6) y el resultado se multiplica por el trmino comn x

1 El trmino comn x se eleva al cuadrado

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

Analiza el diagrama anterior en el que se te mostr en tres pasos, el desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las lneas una regla que te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.

_______________________________________________________

_______________________________________________________

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3

Instruccin: Calcula el resultado de la multiplicacin de binomios con trmino comn, para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

(x + 9)(x + 15) =

(x - 21)(x + 17) =

(x - 8)(x 13) =

(3x - 3)(3x + 6) =

(7x + 14)(7x 11) =

1 El primer trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

2 Siempre se escribe el signo menos

3 El segundo trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

1 El primer trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

2 Siempre se escribe el signo menos

3 El segundo trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

1 El primer trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

2 Siempre se escribe el signo menos

3 El segundo trmino de cada binomio se eleva al cuadrado

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4

Instruccin: Realiza las multiplicaciones de binomios conjugados, escribe los resultados de manera directa, en caso de dudas consulta con tu asesor.

(x + 7)(x - 7) =

(x - 8)(x + 8) =

(5x - 6)(5x + 6) =

(9 + 11x)(9 11x) =

(3x + 2y)(3x 2y) =

(2x - 9) (2x + 9) = 4x2 - 81

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1

Analiza el diagrama anterior en el que se te mostr en tres pasos, el desarrollo de un binomio al cuadrado y escribe sobre las lneas una regla que te permita elevar cualquier binomio al cuadrado.

El resultado de elevar un binomio al cuadrado es: el cuadrado del primer trmino ms dos veces el primer trmino por el segundo trmino, ms el cuadrado del segundo trmino.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2

Instruccin: Resuelve en tu cuaderno los binomios al cuadrado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

(x + 7)2 = x2 + 2(7)(x) + (7)2

= x2 + 14x + 49

(x - 6)2 = x2 + 2(-6)(x) + (-6)2

= x2 - 12x + 36

(2x + 3)2 = (2x)2 + 2(3)(2x) + (3)2

= 4x2 + 12x + 9

(4x - y)2 = (4x)2 + 2(-y)(4x) + (-y)2

= 16x2 8xy + y2

(6xy - 9)2 = (6xy)2 + 2(-9)(6xy) + (-9)2

= 36x2 y2 108xy + 81

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3

Instruccin: Calcula el resultado de la multiplicacin de binomios con trmino comn, para cada ejercicio escribe de manera directa el resultado, en caso de dudas consulta con tu asesor.

(x + 9)(x + 15) =