productos notables

CAPÍTULO 3 PRODUCTOS NOTABLES

El trinomio cuadrado perfecto

A sí se denomina al resultado de (a + b)2, que se obtiene mediante un cuadrado de lado (a + b); al que conforman dos cuadrados de área “a2” y “b2”, así como dos rectángulos de área “ab”, por

tanto, el desarrollo de la expresión (a + b)2 es:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a b

a

b

a + b

a + b

El cubo perfecto

Es la denominación del resultado de (a + b)3; para su desarrollo se propone un cubo de arista (a + b) cuyo volumen será la expresión (a + b)3. A este cubo perfecto lo conforman dos cubos de volumen “a3” y “b3” respectiva-mente, tres paralelepípedos con volumen “a2b” y otros tres con volumen “ab2”, lo que da el desarrollo de la expresión:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a

a + b

a

a

bb

b

a + b

3 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

294

Ejem

plos

EJEMPLOS

Defi nición

Los productos notables se obtienen con un simple desarrollo, sin necesidad de efectuar el producto.

Cuadrado de un binomio

El desarrollo de la suma de dos cantidades al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo; esta regla general se expresa con la fórmula:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

A la expresión resultante se le conoce como trinomio cuadrado perfecto.

DemostraciónLa expresión (a + b)2 es equivalente a (a + b)(a + b), entonces al realizar el producto de los binomios, se obtiene:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

1 Desarrolla (x + 7)2.

Solución

Al aplicar la regla general:

– El cuadrado del primer término: (x)2 = x2

– El doble producto del primer término por el segundo: 2(x)(7) = 14x– El cuadrado del segundo término: (7)2 = 49

Se suman los términos resultantes y se obtiene:

(x + 7)2 = x2 + 14x + 49

2 ¿Cuál es el resultado de desarrollar (3m + 5n)2?

Solución

Se aplica la fórmula con 3m como primer término y 5n como segundo término

(3m + 5n)2 = (3m)2 + 2(3m)(5n) + (5n)2

= 9m2 + 30mn + 25n2

Por tanto, el resultado es: 9m2 + 30mn + 25n2

3 Desarrolla

1

23

2

a +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Solución

Se sustituyen los términos en la fórmula y se efectúan las operaciones, para obtener:

1

23

1

22

1

23 3

2 22

a a a+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟( ) + ( ) = 11

4

6

29

1

43 92 2a a a a+ + = + +

4 Desarrolla (5m2x − 3 + n4x)2.

Solución

En este ejemplo los exponentes de las bases son expresiones algebraicas, entonces, al aplicar la fórmula, se obtiene:

(5m2x − 3 + n4x)2 = (5m2x − 3)2 + 2(5m2x − 3)(n4x) +(n4x)2 = 25m4x − 6 + 10m2x − 3 n4x + n8x

CAPÍTULO 3 ÁLGEBRA • Productos notables

295

Ejem

plos

EJEMPLOS

5 Desarrolla (− 2x − 3y)2.

Solución

El binomio se expresa de la siguiente manera: (− 2x − 3y)2 = −( ) + −( )( )2 32

x y , se aplica la fórmula:

(− 2x − 3y)2 = −( ) + −( )( )2 32

x y = (− 2x)2 + 2(− 2x)(− 3y) + (− 3y)2

= 4x2 + 12xy + 9y2

Por tanto: (− 2x − 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2

El desarrollo del cuadrado de una diferencia de dos cantidades, es igual a:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

En este desarrollo los términos se sustituyen con signo positivo, como lo ilustran los siguientes ejemplos:

1 ¿Cuál es el resultado de desarrollar (4x4 − 9y3)2?

Solución

Se aplica la fórmula anterior y se obtiene:

(4x4 − 9y3)2 = (4x4)2 − 2(4x4)(9y3) + (9y3)2

= 16x8 − 72x4y3 + 81y6

2 Desarrolla (3x3y − 2x5z)2.

Solución

Se aplica la fórmula de la misma manera que en el ejemplo anterior y se obtiene:

(3x3y − 2x5z)2 = (3x3y)2 − 2(3x3y) (2x5z) + (2x5z)2 = 9x6y2 − 12x8yz + 4x10z2

Finalmente, el resultado de la operación es: 9x6y2 − 12x8yz + 4x10z2

Cuadrado de un trinomio

El desarrollo de la expresión: (a + b + c)2 es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos, más los dobles productos de las combinaciones entre ellos:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

DemostraciónLa expresión (a + b + c)2 es equivalente al producto (a + b + c) (a + b + c), entonces:

(a + b + c)2 = (a + b + c)(a + b + c) = a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac + bc + c2

Al simplifi car los términos semejantes:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc


296

Ejem

plos

EJEMPLOS

1 Desarrolla (x + 2y + 3z)2.

Solución

Se aplica la fórmula y se obtiene como resultado:

(x + 2y + 3z)2 = (x)2 + (2y)2 + (3z)2 + 2(x) (2y) + 2(x) (3z) + 2(2y) (3z) = x2 + 4y2 + 9z2 + 4xy + 6xz + 12yz

2 Obtén el resultado de (4m − 7n − 5)2.

Solución

El trinomio se expresa de la siguiente manera: (4m − 7n − 5)2 = (4m + (− 7n) + (− 5))2 y se aplica la fórmula para obtener como resultado:

(4m − 7n − 5)2 = (4m)2 + (− 7n)2 + (−5)2 + 2(4m)(− 7n) + 2(4m)(− 5) + 2(− 7n)(− 5) = 16m2 + 49n2 + 25 − 56mn − 40m + 70n

3 Desarrolla

1

221 1

2

x x xm m m+ −+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Solución

Al aplicar la fórmula se obtiene:

= 1

21

2

xm+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 22

xm( ) + xm−( )1 2 + 2

1

221x xm m+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟( ) + 2

1

21 1x xm m+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟( ) + 2 2 1x xm m( )( )−

= 1

42 2x m+ + 4 2x m + x m2 2− + 2 2 1x m+ + 2x m + 4 2 1x m−

Se reducen los términos semejantes y se acomodan de forma decreciente, respecto a los exponentes:

= 1

42 2x m+ + 2 2 1x m+ + 5 2x m + 4 2 1x m− + x m2 2−

EJERCICIO 34Desarrolla las siguientes expresiones:

1. (x + 8)2 10. (4 − m)2 19. (2x + 3y)2

2. (m − 10)2 11. ( y + 9)2 20. (x + 0.2)2

3. (a − 3)2 12. (x − 12)2 21. (4x3 + 5y)2

4. ( y + 1)2 13. ( p + 15)2 22. (9a3 − a2b)2

5. ( y + 5)2 14. (2a − 1)2 23. (6mn4 + 3m5p)2

6. ( p − 6)2 15. 5

4

1

3

2

x −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

24. (a5 − b5)2

7. (1 − b)2 16. (3ax − 1)2 25. 13

4

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

xy

8. (x − 5)2 17. (mn + 8a)2 26. 1

42 3

2

x y−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9. (2 + n)2 18. (7a − 3b)2 27. 2

3

1

4

2

x y−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟


297

Ejem

plos

EJEMPLOS

28. (3x2 + 4xy7)2 38. (6x3m − 2 + 5y4mz3)2 48. (x2 − 2x + 1)2

29. (5ab − 3xy5)2 39. 0 3 0 82 1 2. .x ya b−( )− 49. (x + y − 2)2

30. (m9 + 12 y4)2 40. 5

3

6

53 2 1 3

2

x ya a− −+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

50. (2a − 3b + 1)2

31. (3x2 − 9y6)2 41. x

yy

x8

8

2

23

−−+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ 51. (4m + 5n + p)2

32. (ax − by)2 42. x b ya x a4 4 1 2

5 4+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

52. (3x2 + 2y2 − 1)2

33. (3x4a − 5 + 2y2a + 1)2 43. x y z+ +( )2 32

53. 1

2

1

3

2

a b c+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34. (m3a + 6 − 4n3b)2 44. 3 2 12

x y− +( ) 54. 1

6

1

4

2

x y− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

35. 31

23 4

2

a a bx x y+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

45. a b c+ −( )6 52

55. 2 3 1

2

x y z+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

36. 4

5

3

22 1

2

a bm− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

46. (a2 + 5a + 4)2 56. (ax − by +cz)2

37. (0.6m2x − 0.5n4)2 47. (a2 + 3a − 2)2 57. (ax + 1− 2ax − ax − 1)2

⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Binomios conjugados

Son de la forma (a + b)(a − b) y su resultado es la diferencia de los cuadrados de ambas cantidades, como se ilustra en la fórmula:

(a + b)(a – b) = a2 – b2

DemostraciónSe realiza el producto y se obtiene:

(a + b)(a − b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2

1 Desarrolla (x + 6) (x − 6).

Solución

Ambos términos se elevan al cuadrado:

– El cuadrado del término que no cambia de signo: (x)2 = x2

– El cuadrado del término que cambia de signo: (6)2 = 36

Finalmente, se realiza la diferencia y el resultado es: x2 − 36


298

Ejem

plos

EJEMPLOS

2 Desarrolla (m − 4) (m + 4).

Solución


(m − 4)(m + 4) = (m)2 − (4)2 = m2 − 16

3 Resuelve (− 2x3 + 7) (− 2x3 − 7).

Solución

Los binomios se expresan de la siguiente manera para aplicar la fórmula:

(− 2x3 + 7)(− 2x3 − 7) = [(− 2x3) + 7] [(− 2x3) − 7] = (− 2x3)2 − (7)2 = 4x6 − 49

4 Desarrolla

10

3

3

2

3

2

10

3

4 4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m m.

Solución

Se ordenan los términos y se aplica la fórmula para obtener:

10

3

3

2

3

2

10

3

4 4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m m =

10

3

3

2

10

3

3

2

4 4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m m =

10

3

3

2

2 4 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m =

100

9

9

4

8

− m

5 Resuelve (5x2a − 3 + y4m) (5x2a − 3 − y4m).

Solución


(5x2a − 3 + y4m)(5x2a − 3 − y4m) = (5x2a − 3)2 − ( y4m)2 = 25x4a − 6 − y8m

Productos donde se aplican binomios conjugados

1 El resultado de (m + n − p) (m + n + p) es:

Solución

Los elementos de ambos factores se agrupan de la siguiente manera:

(m + n − p)(m + n + p) = [(m + n) − p] [(m + n) + p]

Se aplica la fórmula para los binomios conjugados:

= (m + n)2 − p2

Se desarrolla el binomio y, fi nalmente, el resultado es:

= m2 + 2mn + n2 − p2

2 Desarrolla (x + y − 3) (x − y + 3).

Solución

El producto se expresa de la siguiente manera y se procede a aplicar el producto de binomios conjugados:

(x + y − 3)(x − y + 3) = [x + ( y − 3)][x − ( y − 3)] = (x)2 − ( y − 3)2

= x2 − y2 + 6y − 9

Por tanto, el resultado es: x2 − y2 + 6y − 9


299

3 ¿Cuál es el resultado de (2x − 3y − z + 5) (2x − 3y + z − 5)?

Solución

Se agrupan los términos y se aplica la fórmula para binomios conjugados:

(2x − 3y − z + 5) (2x − 3y + z − 5) = [(2x − 3y) − (z − 5)] [(2x − 3y) + (z − 5)] = (2x − 3y)2 − (z − 5)2

Se desarrollan los binomios, se eliminan los paréntesis y se ordenan los términos:

= (4x2 − 12xy + 9y2) − (z2 − 10z + 25) = 4x2 − 12xy + 9y2 − z2 + 10z − 25 = 4x2 + 9y2 − z2 − 12xy + 10z − 25

Finalmente, el resultado es: 4x2 + 9y2 − z2 − 12xy + 10z − 25

EJERCICIO 35Desarrolla los siguientes productos:

1. (x + 3)(x − 3) 17.3

5

1

2

3

5

1

2m m+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2. (a − 1)(a + 1) 18.7

6

3

2

7

6

3

23 3x x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

3. (b + 2)(b − 2) 19.1

3

1

36 6xy z xy z−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

4. (k − 8)(k + 8) 20. 31

103

1

102 2x x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

5. (5 − y)(5 + y) 21. (3ax−4 + b3x)(3ax−4 − b3x)

6. (9 − a)(9 + a) 22. (8y2a−3 − 4x4a)(4x4a + 8y 2a−3)

7. (m − n)(m + n) 23. (a + b − c)(a + b + c)

8. (xy − z)(xy + z) 24. (a − b + c)(a + b − c)

9. (3x + 5y)(3x − 5y) 25. (m + n + p)(m − n − p)

10. (4m − 9n)(4m + 9n) 26. (x + y − 3)(x + y +3)

11. (2b − 3c)(3c + 2b) 27. (4x + 3y − z)(4x − 3y + z)

12. (6x5 + 1)(6x5 − 1) 28. (x2 − xy + y2)(x2 +y2 + xy)

13. (3m3 − 8)(3m3 + 8) 29. (m4 − m2 − m)(m4 + m2 + m)

14. (5x4y + 4z)( − 4z + 5x4y) 30. (2x + 5y − 3z) (2x + 5y + 3z)

15. (9ab4 − c7)(9ab4 + c7) 31. (x + 2y − 1) (x + 2y + 1)

16. (7a4b3 − cd 5)(7a4b3 + cd 5) 32.1

2

2

3

1

4m n− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

2

2

3

1

4m n+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟


300

Ejem

plos

EJEMPLOS

33.2

5

1

3

2

72 2x xy y+ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

5

1

3

2

72 2x xy y− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

37. (m − 2n + 3p − 5) (m + 2n − 3p − 5)

34.1

3

1

6

1

21 1x x xm m m+ −− +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1

3

1

6

1

21 1x x xm m m+ −+ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

38. (x − y + z − 4) (x − y − z + 4)

35. (a + b + c + d )(a + b − c − d ) 39. (2x + 3y + 4z − 7) (2x + 3y − 4z + 7)

36. (x + y + z − 1) (x − y + z + 1) 40. (x − y − 3z − 5) (x − y + 3z + 5)


Binomios con término común

Son de la forma (x + a) (x + b), su resultado es un trinomio cuyo desarrollo es el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los no comunes.

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

DemostraciónSe realiza el producto de los binomios:

(x + a) (x + b) = x2+ ax + bx + ab

Se agrupan los términos semejantes y se obtiene la fórmula:

(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

1 Desarrolla (x − 6) (x + 4).

Solución

Se desarrolla el procedimiento descrito:

– El cuadrado del término común: (x)2 = x2

– La suma de los términos no comunes, multiplicada por el término común: (− 6 + 4)(x) = − 2x– El producto de los términos no comunes: (− 6)(4) = − 24

Se suman los términos anteriores y se obtiene como resultado:

(x − 6)(x + 4) = x2 − 2x − 24

2 Efectúa (m − 3) (m − 5).

Solución

Al aplicar la fórmula, se obtiene:

(m − 3)(m − 5) = m2 + (− 3 − 5) m + (− 3) (− 5) = m2 − 8m + 15

3 Resuelve (5x − 4) (5x −2).

Solución

(5x − 4)(5x −2) = (5x)2 + (− 4 −2) (5x) + (− 4) (−2) = 25x2 + (− 6) (5x) + 8 = 25x2 − 30x + 8


301

4 Efectúa la siguiente operación: 7 7 3−( ) +( )x x .

Solución

El término común es 7, con la aplicación de la fórmula se obtiene:

7 7 3−( ) +( )x x = 7 3 7 32( ) + − +( )( ) + −( )( )x x x x = 49 14 3 2+ −x x

5 ¿Cuál es el resultado de (n4 + 10) (n4 − 8)?

Solución


(n4 + 10)(n4 − 8) = n n4 2 410 8 10 8( ) + −( ) + ( ) −( ) = n8 + 2n4 − 80

6 Efectúa

2

3

1

2

2

3

1

4x x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ .

Solución

Se aplica la fórmula y se obtiene:

2

3

1

2

2

3

1

4x x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

2

3

1

2

1

4

2

3

1

2

12

x x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 44

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

4

9

1

6

1

82x x− −

7 Desarrolla (x + y − 3) (x + y + 7).

Solución

Se agrupan los términos en común:

(x + y − 3) (x + y + 7) = [(x + y) − 3] [(x + y) + 7]

Se aplica el desarrollo para el producto de binomios con término común:

(x + y − 3) (x + y + 7) = [(x + y) − 3] [(x + y) + 7] = (x + y)2 + (− 3 + 7) (x + y) + (− 3) (7) = (x + y)2 + (4) (x + y) + (− 21) = x2 + 2xy + y2 + 4x + 4y − 21

8 Desarrolla (2m + 3n − 4) (2m − 5n + 2).

Solución

Se expresa el producto de la siguiente manera:

(2m + 3n − 4) (2m − 5n + 2) = [(2m) + (3n − 4)] [(2m) + (− 5n + 2)]

Al desarrollar el producto de binomios con término común, se obtiene:

= (2m)2 + (3n − 4 − 5n + 2) (2m) + (3n − 4) (− 5n + 2) = 4m2 + (− 2n − 2) (2m) + (− 15n2 + 6n + 20n − 8) = 4m2 + (− 4mn − 4m) + (− 15n2 + 26n − 8) = 4m2 − 4mn − 4m − 15n2 + 26n − 8 = 4m2 − 15n2 − 4mn − 4m + 26n − 8


302

EJERCICIO 36Resuelve los siguientes productos:

1. (x − 8)(x + 5) 21. (x4 + 6)(x4 − 12)

2. (m + 7)(m − 4) 22. (x5 − 1)(x5 + 2)

3. (x − 10)(x −2) 23. (a3 − 5)(a3 − 2)

4. (x − 6)(x − 5) 24. (x2m−1 + 7)(x2m−1 − 5)

5. (x + 4)(x + 6) 25. (a2x3 + b4)(a2x3 + 2b4)

6. (n − 3)(n + 4) 26. (3xm + 4yn)(3xm − 7yn)

7. (x − 1)(x − 8) 27. x x−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2

3

1

6

8. (a + 3)(a − 9) 28.1

3

2

5

1

3

1

2m m+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

9. (x − 5)(x + 2) 29.3

4

1

6

3

4

5

8y y+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

10. (m − 3)(m + 8) 30. − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟xy xy

5

8

3

4

11. (2x − 6)(2x + 4) 31.1

2

3

7

3

7

4

5x y y x+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12. (3m + 6)(3m − 4) 32.6

5

1

4

6

5

1

32 2 2 2x y x y−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

13. (6x − 4)(6x + 3) 33. (a + b + 3)(a + b + 4)

14. (4x − 5)(4x − 2) 34. (a − 2b + 1)(a − 2b + 5)

15. (1 − 3x)(2 − 3x) 35. (x − y + 3z)(x − y − 7z)

16. (4 + 5x)(6 + 5x) 36. (2x + y + 2)(2x + y − 1)

17. (2 − 7x)(2 + 6x) 37. (m2 + n2 − 5)(m2 + n2 + 9)

18. (5 + 2x)(5 − 9x) 38. (a + b − c)(a − b − 3c)

19. (x2 − 10)(x2 + 6) 39. (x + 3y − 4z)(x − 2y + z)

20. (m3 − 4)(m3 − 8) 40. (a + 5b + c)(a − 5b + c)



303

Ejem

plos

EJEMPLOS

Cubo de un binomio

Es de la forma (a + b)3, su desarrollo es un polinomio de cuatro términos al que se llama cubo perfecto y su desarrollo es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3

DemostraciónLa expresión (a + b)3 es equivalente al producto (a + b)2(a + b), entonces:

(a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

1 Desarrolla (m + 5)3.

Solución

Se obtiene cada uno de los términos que conforman al cubo perfecto:

– El cubo del primer término: (m)3 = m3

– El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(m)2(5) = 15m2

– El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(m)(5)2 = 3(m)(25) = 75m– El cubo del segundo: (5)3 = 125

Estos resultados se suman y se obtiene:

(m + 5)3 = m3 +15m2 + 75m + 125

2 Desarrolla el siguiente binomio (x − 4)3:

Solución

El binomio se expresa de la siguiente manera: (x − 4)3 = (x + (− 4))3, se obtiene cada uno de los términos del cubo perfecto:

– El cubo del primer término: (x)3 = x3

– El triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(x)2(− 4) = − 12x2

– El triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(−4)2 = 3(x)(16) = 48x– El cubo del segundo término: (− 4)3 = − 64

Finalmente, el desarrollo es:

(x − 4)3 = x3 − 12x2 + 48x − 64

3 Desarrolla (− 2m − 3n)3.

Solución

El binomio se representa como: (− 2m − 3n)3 = [(− 2m) + (− 3n)]3, se aplica la regla general:

(− 2m − 3n)3 = (− 2m)3 + 3(− 2m)2(−3n) + 3(− 2m)( − 3n)2 + (− 3n)3

= (− 8m3) + 3(4m2)(− 3n) + 3(− 2m)(9n2) + (− 27n3) = − 8m3 − 36m2n − 54mn2 − 27n3

(continúa)


304

(continuación)

El desarrollo del cubo de la diferencia de dos cantidades se obtiene con la fórmula:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Al utilizar la fórmula los términos se sustituyen con signo positivo.

4 ¿Cuál es el resultado de (3x4 − 2y3)3?

Solución

Se aplica la fórmula y se determina que:

(3x4 − 2y3)3 = (3x4)3 − 3(3x4)2(2y3) +3(3x4)(2y3)2 − (2y3)3

= 27x12 − 3(9x8)(2y3) + 3(3x4)(4y6) − 8y9

= 27x12 − 54x8y3 + 36x4y6 − 8y9

EJERCICIO 37Desarrolla los siguientes binomios al cubo:

1. (x − 1)3 9. (2x + 1)3 17. (3m4 − 4m3n)3

2. (m + 6)3 10. (3a − 4)3 18. x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3

3

3. (x − 2)3 11. (2x + 3)3 19. x −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2

3

4. (a + 10)3 12. (1 − 4m)3 20. 2

3

1

4

3

x −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5. (n − 7)3 13. (3x − 4y)3 21. 3

5

4

3

3

x y+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6. (x + 3)3 14. (5m2 + 2n5)3 22. 1

2

3

4

3

a b−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7. (1 − x)3 15. (3x3y − 2z4)3 23. 1

34

3

x y+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8. (10 − m)3 16. (4x2 + 2xy)3 24. 2 32 3 4 1 3x ya a− +−( )


Multiplicaciones que se resuelven con la aplicación de productos notables

Se utiliza para resolver una multiplicación de polinomios, siempre que las características de los factores permitan aplicar las reglas de los productos notables. Se agrupan las expresiones y se desarrolla el producto notable que corres-ponda a las características de los mismos; con los factores resultantes se aplica el mismo procedimiento hasta obtener el resultado.


305

Ejem

plos

EJEMPLOS

1 Desarrolla el siguiente producto: (x + 2)(x − 2)(x2 + 3).

Solución

Se eligen los factores (x + 2)(x − 2), los que se resuelven como un producto de binomios conjugados:

(x + 2)(x − 2) = x2 − 4

Entonces el producto inicial se representa como:

(x + 2)(x − 2)(x2 + 3) = (x2 − 4)(x2 + 3)

Por último, se aplica el producto de binomios con término común:

(x2 − 4)(x2 + 3) = (x2)2 + (− 4 + 3)(x2) + (− 4)(3) = x4 − x2 − 12

Por tanto: (x + 2)(x − 2)(x2 + 3) = x4 − x2 − 12

2 Desarrolla el siguiente producto: (x + 1) (x + 2) (x − 1) (x − 2).

Solución

De acuerdo con la elección de los factores es como se procede a aplicar el producto notable, en este caso reagruparemos los factores de la siguiente manera:

(x + 1) (x − 1) (x + 2) (x − 2)

Al desarrollar mediante binomios conjugados, se obtiene:

(x + 1) (x − 1) = x2 − 1 (x + 2) (x − 2) = x2 − 4

La expresión se transforma en:

(x + 1) (x − 1) (x + 2) (x − 2) = (x2 − 1) (x2 − 4)

Por último se aplican binomios con término común:

= (x2)2 + (− 1 − 4)x2 + (− 1)(− 4) = x4 − 5x2 + 4

Por tanto: (x + 1) (x + 2) (x − 1) (x − 2) = x4 − 5x2 + 4

3 Resuelve el siguiente producto: (x + 3)2(x − 3)2.

Solución

Se desarrollan los cuadrados de los binomios:

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9 ; (x − 3)2 = x2 − 6x + 9

Luego:

(x + 3)2(x − 3)2 = (x2 + 6x + 9)(x2 − 6x + 9) = (x2 + 9 + 6x) (x2 + 9 − 6x)

Al aplicar binomios conjugados se determina que:

(x2 + 9 + 6x)(x2 + 9 − 6x) = [(x2 + 9)2 − (6x)2] = (x2)2 + 2(x2) (9) + (9)2 − 36x2

= x4 + 18x2 + 81 − 36x2

= x4 − 18x2 + 81

Por tanto, el resultado es: x4 − 18x2 + 81


306

EJERCICIO 38 Realiza las siguientes multiplicaciones aplicando productos notables:

1. (x − 1)(x + 1)(x2 + 2)

2. (m + 8)(m − 8)(m + 1) (m − 1)

3. (3x − 5)(3x + 2)(9x2 − 9x − 10)

4. (5x − 6)2 (5x + 6)2

5. (m + 2)3 (m − 2)3

6. (− x − 6)2 (x2 − 12x + 36)

7. (n2 − 1)(n2 + 7)(n4− 6n2 + 7)

8. (x2 + y)2 (x2 − y)2 (x4 + y2)2

9. (2m + 6)(2m − 8)(4m2 + 3m + 1)

10. (9 − 6x3)(6x3 + 9)(81 + 36x6)

11. (x − 4)(x + 5)(x + 4)(x − 5)

12. 2

3

1

5

2

3

1

54 5

24 5

2

x y x y−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13. [(2x − y)(2x + y)(4x2 + y2)]2

14. (m2 − m − 1)(m2 + m + 1)

15. (x − y) (x2 + y2) (x + y)

16. (m − 2)(m2 − 4)2 (m + 2)

17. (x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 − y4)

18. (x + 1)(x − 3)(x − 1)(x + 3)

19. (m4 + 5)(m − 2)(m2 + 4)(m + 2)

20. [(n + 2)(n − 2)(n2 + 4)]3


productos notables

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