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PRODUCTOS NOTABLES II

LGEBRALOGO4) Desarrollo de un trinomio al cuadrado(a + b + c)2 =a2 + b2 + c2+ 2(ab + ac + bc)Dondeab + ac + bc:Suma de productos binarios.Si a + b + c = -5y a2 + b2 + c2 = 13 Halle ab + ac + bc2 B) 6 C) 4 D) 5 E) 8Resolucin Si a + b + c = -5( )2a2 + b2 + c2 + 2(ab+ac+bc) = 25 13 + 2(ab+ac+bc) = 25 ab+ac+bc) = 6 EJERCICIO

a + b + c = ab + ac + bc 6 = 8Resolucin Del dato se tiene que a + b + c = 8 ab + ac + bc = 14Se sabe que (a + b + c)2 =a2 + b2 + c2+ 2(ab + ac + bc)(8)2 = a2 + b2 + c2 + 2(14) 64 = a2 + b2 + c2 + 28Piden

636 = a2 + b2 + c22 B) 6 C) 4 D) 5 E) 8EJERCICIO 5) Desarrollo de un binomio al cubo(a + b)3=a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3=a3 - 3a2b + 3ab2 - b3Ejemplos:1. (x + 2)3 =x3+3x2.2 +3x.22+23 = x3+6x2+12x +8 2. (y - 5)3 =y3-3y2.5 +3y.52-53 = y3-15y2+75y -125 3. (x + 1)3 =x3 + 3x2 + 3x + 14. (x - 1)3 =x3 - 3x2 + 3x - 1

Resolucin A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 (x + 1)3 =x3 + 3x2 + 3x + 1RecordarPor dato

( )3( )3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 5(+6)x3 + 3x2 + 3x + 7 =11EJERCICIO Forma semidesarrollada de un binomio al cubo o identidades de Cauchy(a + b)3=a3 + b3+3ab(a + b)(a - b)3=a3 - b3-3ab(a - b)Si a + b = 4 y ab=2.Calcule a3+b3A) 40 B) 45 C) 8 D) 100 E) 20 Resolucin Como a + b = 4( )3 ( )3a3 + b3+3ab(a + b) = 64a3 + b3+3(2)(4) = 6424a3 + b3 = 40EJERCICIO EJERCICIO Si a - b = 5 y a3-b3 = 150.Calcule abA) 3 B) 5 C) 5/3 D) -3 E) -2 Resolucin Por dato a - b = 5( )3( )3a3-b3-3ab(a - b) = 1251505150-3ab(5) = 125-15ab = -2515ab = 25ab = 5/3 7

Resolucin

( )3

5

A) 100 B) 125 C) 140 D) 0 E) 120 (a - b)3=a3 - b3-3ab(a-b)RecordarEJERCICIO

Resolucin

( )3

EJERCICIO

6) Suma y diferencia de cubos(a + b)(a2 - ab + b2) =a3 + b3(a - b)(a2 + ab + b2) =a3 - b3Ejemplos:1. (x + 2)(x2 2x + 4) =x3 + 232. (y 4)(y2 + 4y + 16) =y3 43= x3 + 8= y3 643. (x + 1)(x2 x + 1) =x3 + 14. (x 1)(x2 + x + 1) =x3 1(x + 5)(x2 5x + 25)5. x3 + 125 =x3 + 53=Reduzca

A) -54 B) -27 C) 27 D) 54 E) 9 Resolucin Recordar(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3(a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3En M

EJERCICIO Si x3=1 y x1Calcule 3x2+3x+5A) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 0 Resolucin Por dato x3=1x3-1 = 0Recordar(x1)(x2+x+1) =x31En el problemax3-1 = 0(x1)(x2+x+1) = 0(x1)(x2+x+1) = 00Pero x10x2+x+1 = 0x2+x =-1Piden 3x2+3x+53(x2+x)+5=3(-1)+5=2EJERCICIO 7) Igualdades condicionalesSi a + b + c = 0se cumple las siguientes igualdades:a2 + b2 + c2 = -2(ab + ac + bc)a3 + b3 + c3 = 3abc(ab + ac + bc)2 = (ab)2 + (ac)2 + (bc)2Calcule

AdemsResolucin a + b + c = 0

EJERCICIO

=a3+b3+c3J[]a2+b2+c2ab+ac+bc[]abcJ[=3abc-2(ab+ac+bc)]ab+ac+bc[]abcJ=Sabemos queTeoremasSean x, y Si x2 + y2 = 0 x=0 y=0Si (m+4)2 + (n-5)2 = 0.Calcule m.nResolucin m+4=0 n-5=0m =-4 n = 5Piden m.n = -20A) -4 B) 5 C) 10 D) 15 E) -20 EJERCICIO Sabemos que(m+4)2 + (n-5)2 = 0Si a2 + 6a + b2 = 2b -10.Calcule 5a+2bResolucin a2 + 6a + b2 = 2b - 10 a2 + 6a(a+3)2 a+3 = 0 b-1 = 0a =-3 b = 1Piden 5a+2b5(-3)+2(1)-15 + 2-13A) 2 B) 1 C) 0 D) -10 E) -13 a2 + 6a + b2 - 2b + 10 = 0T.C.P+ 9 + b2 -2b= 0+ 1 T.C.P+ (b-1)2 = 0EJERCICIO Si x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz x = y = zSi x2 + y2 + z2 = xy + xz + yzCalcule

Resolucin x2+y2+z2 =xy+xz+yz x = y = z

1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5EJERCICIO Por datoReemplazando en F

Si (x + y + z)2 = 3(xy + xz + yz)Calcule

Resolucin (x+y+z)2 = 3(xy+xz+yz)x2+y2+z2+2(xy+xz+yz) =3(xy+xz+yz)x2+y2+z2 =xy+xz+yz x = y = zReemplazando en M

1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5EJERCICIO GRACIAS