6. Producto de Inercia para un área.

En general el momento de inercia para un área es diferente para cada eje con respecto al cual

se calcula. En algunas aplicaciones de diseño estructural es necesario conocer la orientación

de aquellos ejes que se dan, respectivamente, los momentos de inercia y mínimo para el

área.

Para usar un método en el cual se pueda determinar lo dio anteriormente, es necesario calcular primero el producto de inercia para el área así como sus momentos de inercia para los ejes dados X y Y .

El producto de inercia para un elemento de área localizado en el punto (x, y), como se indica

en la Fig. 6.1, se define como dIxy= ∫ xy dA .Así para toda el área, el producto de inercia es:

IXY=∫ XY dA

Si se escoge el elemento del área con un tamaño diferencial en dos direcciones, como se

indica en la Fig. 6.1. Debe efectuarse una integral doble para calcular Ixy. Sin embargo, muy a

menudo es más fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial en una

dirección solamente, en cuyo caso el cálculo requiere de solo una integral simple.

Como el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitudes elevadas a

la cuarta potencia; por ejemplo, m4 ,mm4, pie4, plg4. Sin embargo como x o y pueden ser

cantidades negativas, mientras que el elemento de área siempre es positivo, el producto de

inercia puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la localización y orientación de

los ejes coordenados. Por ejemplo, el producto de inerciaIxy para un área será cero si

cualquiera de los dos ejes x o y es un eje de simetría para el área. Para demostrar esto,

consideramos el área sombrada en la Fig. 6.2., donde para cada elemento dA localizado en el

punto (x, y) hay un elemento correspondiente dA localizado en (x, -y). Como los productos de

inercia para estos elementos son, respectivamente, xy dA y – xy dA la suma algebraica o

integración de los productos de inercia para todos los elementos del área que se escogen de

esta manera se cancelaran unos con otros. Consecuentemente, el producto de inercia para el

área total se vuelve cero. De la definición de Ixy también se deduce que el “signo” de esta

cantidad depende del cuadrante donde está localizada el área, Fig. 6.3.

Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes paralelos similar al

establecido en la Fig. 6.4., para momentos de inercia. Considere un área A y un sistema de

coordenadas rectangulares x y y,(Fig. 6.5.). A través del centroide C del área, cuyas

coordenadas son x y y se dibuja dos ejes centroidales x’ y y’ que son paralelos,

respectivamente, a los ejes x yy. Representando con x y y las coordenadas de un elemento de

área dA con respecto a los ejes originales, y con x’ y y’ las coordenadas del mismo elemento

respecto a los ejes centroidales, se escribe X=X '+X y Y=Y '+Y . Al sustituir las relaciones

anteriores se obtiene la siguiente expresión para el producto de inercia Ixy.

I xy=∫ xydA=∫ ( x'+x ) ( y '+ y )dA

¿∫ x ' y ' dA+ y∫ x ' dA+x∫ y 'dA+x y∫dA

La primera integral representa el producto de inerciaI x ' y 'del área A con respecto a los ejes

centroidales x’ y y’. Las dos integrales siguientes representan los primeros momentos del área

con respecto a los ejes centroidales; dichas integrales se reducen a cero puesto que el

centroide C está localizado sobre los ejes. La última integral es igual al área total A. Por lo

tanto, se tiene que:

I xy=I x ' y '+x y A

Problema Propuesto:

Determinar el producto de Inercia IXY del triángulo indicado en la Fig. 6. a.

SOLUCION I:

Consideremos el elemento diferencial que tiene un espesor dx y un área dA = y dx, Fig. 6.b. El producto de inercia del elemento con respecto a los ejes x y y se determinan usando el teorema de ejes paralelos.

d IXY=d I~X~Y+dA~X

~Y

Donde ( ~x ,~y) localizan el centroide del elemento. Como d I~X~Y=0, debido a la simetría, y ~X=X

, ~Y=Y

2, entonces:

d IXY=0+ ( ydX )X (Y2 )=( hb X dX )X ( h2bX)

¿( h2

2b2)X3

Integrando con respecto a X desde X = 0 , hasta X =b, da por resultado :

I xy=h2

2b2∫0

b

x3dX=b2h2

8rpta.

SOLUCION II:

Consideramos un elemento diferencial que tiene un espesor dY y un área dA = (b-x), como se

indica en la Fig. 6. c. El centroide se localiza en el punto ~x=x+(b−x )2

, ~y= y,de modo que el

producto de inercia del elemento se vuelve:

d IXY=d I~X~Y+dA~X

~Y

¿0+(b−x )dY ( b+X2 )Y

¿(b−bh y)dY ( b+ bh y2 )Y=12Y (b2−b

2

h2y2)dY

Integrando con respecto a y desde y = 0 hasta y = h da por resultado:

I xy=12∫0

h

y (b2−b2

h2¿ y2)dY=b

2h2

8rpta.¿

ANEXOS