producto cartesiano

Universidad Católica del Norte

Departamento de Matemática

Cecilia Alejandra Cabello Bugueño

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1. PRODUCTO CARTESIANO El producto cartesiano tiene como eje central el trabajo de conjuntos, ya sea de números o de

otras entidades. Para esto debemos tener claro además, cuales son los conjuntos de los números y

sus propiedades. (Figura 1.1.)

Figura 1.1. Conjuntos Numéricos

Un conjunto es una lista, colección o agrupación de objetos bien definidos, los que se llaman

elementos, y se escriben entre llaves separados por comas. Un conjunto puede ser descrito de dos

formas:

i) Por Extensión: Cuando se indican todos los elementos que lo forman.

ii) Por Comprensión: Cuando se indican sus elementos por medio de una propiedad precisa, que

permita identificarlos a todos ellos y sólo a ellos.

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos

que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no

necesariamente matemática) Por ejemplo:




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Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma)

Podemos definir la relación como La correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS

elementos del primer conjunto con UNO o MÁS elementos del segundo conjunto.”

Cuando hablamos de relaciones en las matemáticas no es un concepto tan lejano a lo que se

conoce como una relación entre otros entes (personas, objetos, etc.); hablamos de la relación que

existe entre Chile y Argentina, una relación que los une, es “estar dentro del mismo continente”;

o tal vez hablar de la relación que existe entre un colegio y un grupo de adolescentes que

pertenecen al establecimiento, la relación es “ser estudiante del Colegio”. Ahora bien, en

matemática, el concepto no es tan lejano a lo que se ha comentado. Una relación matemática

debe tener presente el Plano Cartesiano, (Figura 1.2). Que está compuesto por el eje 𝒳 (eje de las

abscisas) y el eje 𝒴 (eje de las ordenadas). Cuando se trabaja con el plano cartesiano, se está

trabajando con pares ordenados,(𝒳, 𝒴), donde 𝒳 es la primera componente e 𝒴 es la segunda

componente. En el plano cartesiano se ubican puntos mediante pares ordenados (𝒳, 𝒴),

representa un punto donde 𝒳 es la posición del eje de las abscisas e 𝒴, es la posición del eje de las

ordenas, estas se grafican como se muestran en la (Figura 1.3). El par ordenado (𝒳, 𝒴), representa

un único punto en el plano cartesiano, y un punto está representado por un par ordenado.

Figura 1.2. Plano Cartesiano Figura 1.3. Ubicación de Puntos en el Plano

Cartesiano.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

Y

I CuadranteII Cuadrante

III Cuadrante IV Cuadrante

“El plano cartesiano, es un sistema de

referencia respecto a dos ejes (un plano) que

se cortan en un punto llamado origen de

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

(3,5)

(-2,-3)

Puntos localizados en el plano cartesiano.




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coordenadas. En el plano, las coordenadas

cartesianas (o rectangulares) 𝓧 e 𝓨 se

denominan abscisa y ordenada,

respectivamente.”

Para poder entender las funciones, debemos comprender el “Producto Cartesiano”, su definición,

sus propiedades y la importancia de ésta en la ciencia de las matemáticas.

Definición Nº1: Producto Cartesiano

Dado dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵, se llama Producto Cartesiano de 𝐴 𝑦 𝐵, simbolizado por 𝐴 𝑥 𝐵, al

conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto 𝐴 y

las segundas componentes pertenecen al conjunto 𝐵.

Por comprensión:

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) 𝑎⁄ ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 }

𝐵 × 𝐴 = {(𝑏, 𝑎) 𝑏⁄ ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴}

Observación:

𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴

Ejemplo Nº1:

Si 𝐴 = {0,1,2} 𝑦 𝐵 = {−1, 0}

Por extensión: 𝐴 × 𝐵 = {(0, −1), (0, 0), (1, −1), (1, 0), (2, −1), (2, 0)}

Por compresión: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) 𝑎⁄ ∈ {0, 1, 2} 𝑦 𝑏 ∈ {−1, 0} }

(Figura 3.)




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Se representa gráficamente como lo muestra la figura 1.4.

Figura 1.4. Representación Gráfica del

Producto Cartesiano 𝐴 × 𝐵

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

X

Y

(0,-1)

(0,0)

(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)

Si el conjunto 𝐴 tiene 𝑚 elementos y el conjunto 𝐵 tiene 𝑛 elementos, entonces la cantidad de

pares ordenados que existe en el producto cartesiano (𝐴 × 𝐵) es (𝑚 · 𝑛). Es decir, si ⋕ 𝐴 es la

cardinalidad (cantidad de elementos) de 𝐴 y ⋕ 𝐵 la de 𝐵 tenemos que si ⋕ 𝐴 = 𝑚 y ⋕ 𝐵 =

𝑛, entonces

⋕ (𝐴 × 𝐵) = 𝑚 ∙ 𝑛

Del ejemplo anterior, notemos que:

⋕ 𝐴 = 3 𝑦 ⋕ 𝐵 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ⋕ (𝐴 × 𝐵) = 3 · 2 = 6

Observación: Si 𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 × 𝐵 = ∅

Ejemplo Nº2:

Si 𝑆 = {2𝑛/𝑛 ∈ ℕ} (números naturales múltiplos de 2) y 𝑇 = {1, 3, 5, 6}

Entonces, 𝑆 × 𝑇 = ¿ ?

Por comprensión: 𝑆 × 𝑇 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∧ 𝑏 ∈ {1, 3, 5, 6}}

Por extensión: 𝑆 × 𝑇 = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (4, 6), … }




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Notemos que:

⋕ 𝑆 = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 ∧ ⋕ 𝑇 = 4 .

Luego, ⋕ (𝑆 × 𝑇) = 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜

1.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO

La representación grafica del producto cartesiano puede darse de dos maneras, a través del plano

cartesiano o a través de la representación del diagrama sagital.

Al graficar en el plano cartesiano, debemos considerar los conjuntos e n los cuales estamos

trabajando. Más aún, pueden ser puntos; segmentos; rectas; rayos o áreas

Ejemplo Nº3:

𝑆𝑒𝑎 𝐴 = {−1, 0, 1, } 𝑦 𝐵 = {0, 1, 2}. 𝑁𝑜𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 ⋕ (𝐴 × 𝐵) = 9

𝐴 × 𝐵 = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 2), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}.

Figura 1.5. Representación Gráfica 𝐴 × 𝐵

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(-1,0)

(-1,1)

(-1,2)

(0,0)

(0,1)

(0,2)

(1,0)

(1,1)

(1,2)




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Ejemplo Nº4:

Si 𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ/−1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 𝑦 𝑁 = {𝑦 ∈ ℝ/0 ≤ 𝑦 ≤ 2}

Representemos en el plano la región 𝑀 × 𝑁 (Figura 1.6):

Figura 1.6: Representación Gráfica de 𝑀 × 𝑁

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

La representación sagital figura1.7.

Sea 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {−1, 0 1}. Luego el producto cartesiano

𝐴 × 𝐵 = {(1, −1), (1, 0), (1, 1), (2, −1), (2,0), (2, 1), (3, −1), (3, 0), (3, 1)}

Su representación sagital viene dada por la figura 1.7.




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Producto Cartesiano de 𝑨 × 𝑨

El producto cartesiano definido sobre 𝐴, significa tomar como primera componente un elemento

del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto A. Esto es:

𝐴 × 𝐴 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴}

Ejemplo Nº5:

El producto cartesiano definido en el conjunto 𝐴 = {2, 3, 4} viene dado por

Escrito por Comprensión: 𝐴 × 𝐴 = {(𝑥 𝑦)/ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 }

Escrito por Extensión:

𝐴 × 𝐴 = {(2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,2), (4,3), (4,4)}

1.2 PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO

Sean 𝐴 ≠ ∅ , 𝐵 ≠ ∅ 𝑦 𝐶 ≠ ∅ , conjuntos no vacios, se cumple que:

(a) 𝐴 × 𝐵 = ∅ ⟺ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅ )

El producto cartesiano de dos conjuntos (𝐴 𝑦 𝐵), es vacio si, y sólo si uno de los conjuntos

es vacio.

(b) 𝐴 × 𝐵 = 𝐵 × 𝐴 ⟺ (𝐴 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) ∨ (𝐴 = 𝐵)

El producto cartesiano de dos conjuntos (𝐴 𝑦 𝐵) es conmutativo si, y sólo si uno de los conjuntos

es vacío o bien, ambos conjuntos contienen los mismo componentes.

(c) Distributividad del producto cartesiano respecto a:

i. 𝐴 × (𝐵 ⋃ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶) (𝐿𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛)

ii. 𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶) (𝐿𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛)

iii. 𝐴 × (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) − (𝐴 × 𝐶) (𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎)




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