Producción y ganancia máxima

Sea la función g(x)= -2x2+80x+300, modela la ganancia (en miles de pesos) que obtiene una empresa de juguetes al producir muñecas de porcelana decorativas (en miles). Arriba de cierta cantidad los costos de producción hacen que las ganancias disminuyan.

¿para que producción se obtendrá la ganancia máxima y cual será esta?

= (-2x2+80x)+300= -2(x2-40x)+300= -2(x2-40x+400)+300+800= -2(x-20)2+1100X= 20(1000)=20000Y= 1100(1000)=1100000

Funciones de grado 3 y 4

Las funciones polinomiales desde el 0 y 4to grado siguen un comportamiento similar a la de 1ro y 2do grado.

Grado 1 y 3: si suben a la derecha, bajan a la izquierda (son continuas)

1º 3º

Grado 2 y 4: si suben a la derecha, suben a la izquierda (también son continuas)

2º 4º

EjercicioTransformar graficas de funcionesBosquejar grafica de las funciones siguientes.

a) y= -x4

b) y= x3+2

c) y= (x-3)4+4

Dibuja la grafica de y= -x3+4x

X -3 -2 -1 0 1 2 3Y 15 0 -3 0 3 0 -15

Y= -(-3)3+4(-3)= 15

Y= -(-2)3+4(-2)= 0

Y= -(-1)3+4(-1)= -3

Y= -(0)3+4(0)= 0

Y= -(1)3+4(1)= 3

Y= -(2)3+4(2)= 0

Y= -(3)3+4(3)= -15

Representar el comportamiento de las graficas según las funciones siguientes

Y= x3-5x2 Y= x4-10x2+9

0 y= (0)3-5(0)2= 0 0 y=(0)4-10(0)2+9= 9

1 y= (1)3-5(1)2= -4 1 y=(1)4-10(1)2+9= 0

2 y= (2)3-5(2)2= -12 2 y=(2)4-10(2)2+9= -15

3 y= (3)3-5(3)2= -18 3 y=(3)4-10(3)2+9= 0

-1 y= (-1)3-5(-1)2= -6 -1 y=(-1)4-10(-1)2+9= 0

-2 y= (-2)3-5(-2)2= -28 -2 y=(-2)4-10(-2)2+9= -15

-3 y= (-3)3-5(-3)2= -72 -3 y=(-3)4-10(-3)2+9= 0

**Los envases cilíndricos de refresco generalmente miden el doble de alto que de ancho. La grafica mostrada modela el volumen de un envase con tales características.

Si el radio de su base mide x cm.

a) obtener la función correspondienteb) usar la grafica o representar en la grafica para estimar el tamaño del radio de un envase con capacidad de 340 ml de refresco y confirmar los resultados usando la función

Hallar las dimensiones del envase respectivo.

V= ¶r2h V= volumen para hallar el radioh= alturaSustituimos r por x y h por 4x

a)

V= 3.1416x2 (4x)V= ¶r2 (4x) c)V=12.5664x3

Y= 12.57x3 2(x) 2(3)= 6 diámetrob) 340=12.57x3 4(3)=12 alturax3= 340/12.57x=27x=3 radio

Solución de ecuaciones factorizables

las graficas de funciones polinomiales pueden tener 3 tipos de puntos

1.- puntos de intersección con los ejes

2.- puntos de cambios

3.- puntos ordinarios

En los puntos de cambio se presentan los valores máximos o mínimos

Las intersecciones y los puntos ordinarios brindan información acerca de los valores específicos de la función.

Por lo regular sus absisas se obtienen resolviendo una ecuación polinomial. Por ejemplo el problema anterior

Los valores de x donde la función que se obtuvo y= 12.57x3 es igual a 340, se obtiene resolviendo la ecuación

ProblemasObtención de ecuaciones y soluciones

Determinar los valores de x donde la función toma el valor que se indica. ¿Cuál de estos valores son los 0 de la función?

Propiedad del producto 0

El producto ab=0 si y solo si a=0 o bien b=0

a) y=x4-9x2

reemplazamos y=0x4-9x2=0x2(x2-9)=0x2=0x2=-9x2=9x= ±3

b) y=x3-2x2-xx3-2x2-x=0x3-x2-x=-2x3-2x2-x+2=0x2(x-2)-(x-1)=0(x-2)(x2-1)=0agrupando y, extrayendoFactor común x2

x-2=0x=2 o bien x=±1-x-2=0X2-1=0

Y= x4-9x2

X Y-3 -42-2 -14-1 -20 01 -22 -23 64 285 70

Dibujar la grafica y= x3-x2-4x+4, utilizando ceros

Y= x3-x2-4x+4 valor independiente

X2(x-1)-4(x-1)

(x-1) (x2-4)No raíz Raíz

X=1

X=±2

División sintética y Factores

Cuando una función no es posible dividirla en factores, se hace el arreglo por medio de una división sintética

F(x)= x2-x-6 entre (x-3)

X Y-3 0-2 -20-1 -80 01 -82 -203 0

3 1-1-6 x2-x-6=(x-3)8x+2) 3 6 1 2 0

F(x)= x3-2x2-x-2 entre (x-1)

1 1-2-1-2 x3-2x2-x-2 = (x-1) (x2-x+2)1-1-2 Dividendo Divisor Cociente

1-1-2-4

F(x)= x4-5x2+4 entre (x+3)

-3 1-0 -5+0 +4 -3+9-12+36

1-3+4-12+40

Cociente (x3-3x2+4x-12)

Residuo 40

X4-5x2+4=(x+3)(x3-3x2+4x+28)

Ejercicio

La función P= 6x2+36 es una función de oferta de una empresa textil e indica la relación entre la cantidad x de playeras (en millones) que puede ofrecer al precio p (en pesos).

Esta función permite calcular la ganancia de la empresa cuando vende x playeras con un costo monetario de producción de 21 pesos

Para una producción de ½ millón de playeras (x=0.5) la campaña calcula ganar 8.25 es decir 8 millones 250 mil pesos

La empresa esta interesada en saber si con una producción menor de playeras podrá obtener la misma ganancia y de ser así conocer al precio que se deberían vender las playeras ¿Cómo determinar este desarrollo?

Ganancia=ingreso-costo

G(x) x(6x2+36)-21xX(6x2+36)-21x=8.256x3+36x-21x-8.256x3+15x-8.25=0

X=0.25

(x-0.5)

.5 6 0 15 -8.25 3 1.5 8.25

6 +3 +16.5 +0

(6x3+15x-8.25) = (6x2+3x+16.5) (x-5)

Para menos de ½ millón debe ser 16.5+21=37.5

Ceros reales de funciones polinomiales

Los numeros que son ceros reales de una función polinomeal, son racionales o irracionales

Los numeros racionales se pueden expresar como la razón de un numero (cociente) de dos enteros, en tanto que los irracionales no.

Racionales Irracionales

4=4/1, -1/2, 7/3 -¶, - /1/3, /2

a) la cola decimal de numeros decimales es infinita periódica (es decir con una cifra o grupo que se repite cíclicamente) y la de los irracionales es infinita (no es periódica).

Racionales Irracionales

1/6= 0.1666666 ó /2= 1.414213562 0.16

2/5= 0.4000 ó 0.40

Regla

Prueba de cero racionalTodos los ceros racionales de f(x0=anxn+…+a0) son de la forma

Factor de a0

Factor de an

Los factores de esta lista se prueban sucesivamente con división sintética; si el residuo es 0, se tendrá la certeza de que el número es 0 de la función.

En caso de existir muchos factores, las pruebas pueden disminuirse con ayuda de la grafica

Ejemplo

Hallar los 0 racionales de la función f(x)= x4+x3-4x2-2x+4

Solución

El término constante es 4El coeficiente principal es 1

Factor de 4 ± 4 ± 2 ± 1

Factor de 1 ± 1

Cualquiera de los posibles 0 racionales tiene la forma anterior1 1 1 -4 -2 4