procesos de conducción en semiconductores

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LIC. EN FÍSICA ELECTRÓNICA Curso 03-04 Tema 1

F. MUGARRA, DEP. D’ENGINYERIA ELECTRÓNICAFACULTAT DE FÍSICA Universitat de València

1

TEMA 1. PROCESOS DE CONDUCCIÓN EN SEMICONDUCTORES.

El desarrollo de la Electrónica actual se fundamenta en el uso de diferentes dispositivosbasados la mayoría de ellos en materiales semiconductores, por ello es inevitable

comenzar un curso de Electrónica básica explicando los aspectos más importantes de laconducción eléctrica en los materiales semiconductores, ya que estas propiedades sonlas que han dado lugar a su uso masivo en la elaboración de dispositivos y sistemas

electrónicos.

1.1. Teoría de bandas de energía de los cristales.

Lo primero que se tratará de comprender es cómo es posible que diferentes materiales,constituidos cada uno de ellos por un tipo de átomos de igual estructura electrónica de la

última capa, tengan propiedades de conducción eléctrica tan distintas. Dado el interés

por los materiales semiconductores se estudiará la conductividad de materialesformados por átomos de elementos químicos que tienen en su última capa electrónica

cuatro electrones. Los cinco primeros elementos del Sistema Periódico con cuatroelectrones en su última capa son:

Elem. Nº e- ESTRUCTURA POR CAPAS

C 6 1s2 2s2p2

Si 14 1s2 2s2p6 3s2p2

Ge 32 1s2 2s2p6 3s2p6d10 4s2p2

Sn 50 1s2 2s2p6 3s2p6d10 4s2p6d10 5s2p2

Pb 82 1s2 2s2p6 3s2p6d10 4s2p6d10f 14 5s2p6d10 6s2 p2

Fig. 1.1

El carbono en su forma cristalina como diamante es un aislante, las formas cristalinasdel Si o del Ge son semiconductoras, es decir con una conductividad eléctricaintermedia entre los aislantes y los conductores, y los materiales de Sn o de Pb son

buenos conductores. Incluso para acabar de complicar la cuestión otra forma cristalinadel carbono, distinta del diamante, como es el grafito es conductor. Para comprender el

diferente comportamiento, desde el aspecto de la conductividad eléctrica de estosmateriales, se utiliza la teoría de bandas de energía de los cristales.

Si se supone un átomo aislado de Si, la resolución de la ecuación de Schrödinger parael sistema, da la distribución de sus 14 electrones en los diferentes orbitales, con sus

niveles energéticos, y sus cuatro números cuánticos (n, l, ml y ms). El principio de



ELECTRÓNICA LIC. EN FÍSICA Tema 1 Curso 03-04


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exclusión de Pauli dice que en este sistema electrónico no habrá dos electrones con loscuatro números cuánticos iguales.

Si se toma ahora una red cristalina de Si en la que hay N átomos, y suponiendo que se

puede aumentar y disminuir la distancia entre los átomos de la red a voluntad. Si se

alejan suficientemente, unos átomos de otros, los electrones de cada átomo no notarán lainteracción de los otros átomos y en particular los niveles energéticos de los cuatro

electrones de la última capa, 3s2 3p2, no habrán variado, los electrones de las capas máscercanas al núcleo con más razón tampoco habrán variado sus estados energéticos. Por

tanto teniendo en cuenta que hay N átomos, habrá N veces repetida la distribución deniveles energéticos de un átomo de Si aislado.

Reduciendo paulatinamente la distancia entre los átomos llegará un momento en que lainteracción sobre los electrones de la capa exterior de cada átomo debida a los otros N-1

átomos no será despreciable. Esto provoca un corrimiento en los niveles energéticos deestos estados, de forma que ahora no habrá N veces repetida la estructura de estados de

un átomo individual si no que p.e. los 2N electrones de la subcapa 3s2 estarán en unabanda de 2N estados diferentes, y los 2N electrones de la subcapa 3p2 estarán en otrabanda de 6N estados diferentes. Véase que en el átomo individual, la subcapa 3p tiene 6

estados, aunque sólo tenga ocupados, en el caso del Si, dos de estos estados.

Lo que ha ocurrido es que de N átomos individuales se ha pasado a un sistema

electrónico global. En esta situación el principio de exclusión de Pauli se aplica alsistema global.

Fig. 1.2





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Si se sigue reduciendo la distancia entre los átomos en la red cristalina, la interacciónaumenta y el desdoblamiento también. Cálculos teóricos para una estructura cristalinacomo la del diamante, la del Si y el Ge es similar, dan como resultado la gráfica de la

figura 1.2.

En dicha gráfica, en el eje X se representa la distancia entre átomos en la red, y en el ejeY la energía relativa de los electrones. Las estructuras cristalinas del diamante(carbono), Si y Ge son tales que las distancias entre átomos dan lugar a la situación de

que los 2Ns estados y los 6Np estados, que estaban en la tercera capa de estos Nátomos, se han separado en dos bandas energéticas. Una banda con 4N estados y 4N

electrones, que llamaremos banda de valencia, y otra banda con 4N estados y 0N electrones, banda de conducción, y entre ambas bandas con estados permitidos existeuna zona de energías en la que no hay estados permitidos, es la banda prohibida.

Las diferencias en la conductividad del diamante, Si y Ge, como se verá posteriormente,

provienen del diferente valor que toma EG para cada uno de ellos (EG anchura de la

banda prohibida medida en eV). En el caso del diamante EG es del orden de 6 eV,mientras que para el Si es de 1,1 eV y para el Ge de 0,72 eV, a temperatura ambiente.

En el caso del Sn y del Pb las distancias interatómicas en la red son mayores y no haybanda prohibida, la banda energética en que se ha desdoblado la última capa electrónica

de los N átomos tendrá por tanto 8N estados y 4N electrones, que se podrán movertranquilamente por los estados próximos desocupados, la conclusión es obvia: ambosmateriales serán buenos conductores. Por eso se dice a veces que un conductor tiene la

banda de conducción parcialmente llena y que esto es lo que le confiere la propiedad deser buen conductor.

Pero veamos con más detalle el caso del diamante (C), Si y Ge. Para el primero labanda prohibida es muy grande y a temperatura ambiente no hay prácticamente ningún

electrón que haya saltado de la banda de valencia a la banda de conducción, como en labanda de valencia no hay estados libres para moverse, no habrá conducción eléctricaapreciable aunque le apliquemos un campo eléctrico de gran magnitud.

En el caso del silicio y a temperatura ambiente, ya hay una cierta cantidad de electrones,

aunque pequeña, con energía térmica suficiente para saltar de la banda de valencia a labanda de conducción por ser la anchura de la banda prohibida del orden de 1 eV, y másaún en el caso del Ge ya que la anchura de su banda prohibida EG es menor que la del

silicio.

En los semiconductores Si y Ge cada electrón que salta de la banda de valencia a labanda de conducción da lugar a dos portadores de carga: un electrón en la banda deconducción y un hueco, ausencia de electrón, en la banda de valencia. Si se aplica un

campo eléctrico al semiconductor, los huecos se moverán en la dirección y sentido delvector intensidad del campo eléctrico y los electrones en sentido contrario. Se ha de ver

un hueco como una carga positiva, y por tanto la corriente eléctrica que circulará será lasuma de ambas corrientes: la de huecos y la de electrones. En la figura 1.3 se puede verel esquema de bandas de energía de aislantes, semiconductores y conductores.





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Fig. 1.3

La paradoja del grafito, es de suponer que después de lo anteriormente expuesto habrádejado de ser tal paradoja, ya que la explicación es obvia.

1.2. Semiconductores: intrínsecos y extrínsecos.

Cuando se estableció en el apartado anterior la diferencia entre aislante y

semiconductor, ésta residía en que la anchura de la banda prohibida en unsemiconductor era mucho menor que en un aislante. Esto da lugar que a temperatura

ambiente en un aislante el número de electrones que han podido pasar a la banda deconducción es despreciable mientras que en un semiconductor no es despreciable.

Pero decir que en un semiconductor a temperatura ambiente el número de electronesque han saltado a la banda de conducción no es despreciable hay que matizarlo y

analizarlo cuantitativamente, centrándose para ello, en una muestra de Si puro.

El Si tiene una densidad de 2,33 g/cm3 y un peso atómico de 28,1. Utilizando elnúmero de Avogadro NA nos lleva a que el número de átomos Si por cm3, nSi , será:

322ASi cm / átomos105

1,28

N33,2n == (1-1)

El número de pares electrón-hueco que se han formado por cm3 ni, electrones que han

saltado a la banda de conducción, es función de la temperatura y a partir de laestadística de Fermi-Dirac se obtiene la expresión:

kT

E

302i

0G

eTAn

−

= (1-2)

BANDADE

CONDUCCIÓN

BANDADE

VALENCIA

Eg = 6 eV 1 eV 0 eV

AISLANTE SEMICONDUCTOR CONDUCTOR





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En donde A0 es una constante, k es la constante Boltzman y EG0 es la anchura de labanda prohibida a 0º K La anchura de la banda prohibida es función de la temperatura ypara el Si la expresión que relaciona ambas es:

EGT = 1,21 - 3,6 10-4

T eV (1-3)

En el Si a 300º K ni = 1,5 1010 átomos/cm3, es decir que aproximadamente cada 3 1012 átomos de la red de Si, se ha producido un par electrón-hueco. Por tanto la

concentración de portadores de carga disponibles para conducir la corriente eléctricaserá 2 ni, ya que ni = n = p, donde n y p son las concentraciones de electrones por cm3 en la banda de conducción y huecos por cm3 en la banda de valencia respectivamente.

Estas concentraciones de portadores de carga libres, para conducir la corriente eléctrica,

son muy pequeñas y la resistividad del material es alta: ρSi = 2,3 105 Ω cm. En un

apartado posterior se verá como obtener la resistividad del Si.

Para hacerse una idea más concreta de sus posibilidades como conductor de la corrienteeléctrica, se propone el cálculo de la resistencia de un hilo de Si de 1cm de longitud y

sección de 1mm2:

Ω==ρ= −6

25 1023

10

1103,2

s

lR (1-4)

El resultado obtenido muestra claramente que el Si puro no es buen conductor. Si serepite el proceso con otros materiales semiconductores puros se obtendrían resultadosparecidos.

Ante esta situación cabe preguntarse cómo es posible que estos materiales sean útiles en

procesos de conducción de la corriente eléctrica, salvo que se quiera hacer resistenciasde valor elevado. La respuesta está en que los semiconductores no se utilizan en estadopuro si no dopados (contaminados) con átomos de ciertos elementos, átomos de

elementos trivalentes como el B, Ga o In o átomos de elementos pentavalentes como elSb, P o As.

Cuando se usa un material de un semiconductor puro se dice que el semiconductor esintrínseco y cuando se usa un semiconductor dopado con impurezas trivalentes o

pentavalentes se dice que el semiconductor es extrínseco.

Se plantea a continuación qué ocurre cuando se dopa el Si con átomos trivalentes,átomos que tienen en su última capa electrónica tres electrones. Cada uno de estosátomos de impurezas tiene tres electrones para compartir en los enlaces con los átomos

próximos de una red de átomos Si que comparte cuatro electrones cada uno de ellos.Evidentemente en la posición del átomo de la impureza trivalente falta un electrón

respecto a la estructura que había cuando no había impurezas en la red. Esa ausencia de

un electrón va a ser rápidamente cubierta por otro electrón de la red que va a saltar adicha posición, en la red se ha creado un hueco sin que aparezca un electrón en la





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banda de conducción. Un semiconductor extrínseco de este tipo se denominasemiconductor de tipo P, y a este tipo de impurezas se las denomina impurezasaceptoras.

Desde el punto de vista de la teoría de bandas de energía, la adicción de impurezas

trivalentes al semiconductor puro va a significar la aparición de unos estadosenergéticos nuevos en la banda prohibida, no ocupados, muy próximos a la banda de

valencia. A temperatura ambiente todos estos estados se habrán cubierto por electronesque han saltado de la banda de valencia, creando tantos huecos por cm3 como impurezas

haya por cm3. En la figura 1.4 se puede observar el diagrama de bandas de energía deun semiconductor extrínseco de tipo P.

Fig. 1.4

Si ahora el dopado del semiconductor de Si se realiza con átomos de impurezaspentavalentes, el átomo de impureza en la red de Si tiene cinco electrones paracompartir en los enlaces, cuando se comparten cuatro por cada átomo. El quinto

electrón sobra y saltará fácilmente del átomo convirtiéndose en un electrón libre. Se haobtenido un electrón en la banda de conducción sin generar un hueco en la banda

de valencia. Un semiconductor extrínseco de este tipo se denomina semiconductor detipo N, y a este tipo de impurezas se las denomina impurezas dadoras.

Desde el punto de vista de la teoría de bandas de energía, la adicción de impurezaspentavalentes al semiconductor puro de Si va a significar la aparición de unos estados

energéticos nuevos en la banda prohibida, y todos ocupados a 0º K, muy próximos a labanda de conducción. A temperatura ambiente los electrones de estos estados nuevoshabrán saltado a la banda de conducción, apareciendo tantos electrones libres por cm3

como impurezas haya por cm3. En la figura 1.5 se puede observar el diagrama debandas de energía de un semiconductor extrínseco de tipo N.

BANDA CONDUCCIÓN

ESTADOS ENERGÉTICOSNUEVOS, CREADOS PORLAS IMPUREZAS ACEPTORAS

SEMICONDUCTOR EXTR NSECO TIPO P

BANDA VALENCIA





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Fig. 1.5

El nivel de dopado de los semiconductores extrínsecos suele estar entre 108 y 106

átomos de semiconductor por cada átomo de impureza. A pesar de que la proporción deimpurezas es pequeña, se verá que la resistividad del material cambia fuertemente.

Tomando el nivel más bajo de dopado, 1 átomo de impurezas dadoras cada 108 átomosde silicio, y calculando nuevamente la resistencia de un hilo de 1 cm de longitud y 1mm2 de sección, de este material de tipo N.

La resistividad del material es ahora de 9,62 Ω cm, luego la resistencia del hilo será:

Ω==ρ= − 96210

162,9

s

lR 2 (1-5)

Evidentemente las cosas han cambiado radicalmente. La razón de que la resistividad

haya bajado tanto es que a temperatura ambiente la concentración de electrones en labanda de conducción es ahora prácticamente igual a la de impurezas, por tanto:

3148

22

cmelectrones10510

105n −== (1-6)

Mientras que el Si puro a temperatura ambiente tiene tan solo 1,45 1010 electrones cm-3 en la banda de conducción.

En la construcción de los dispositivos electrónicos se usarán semiconductoresextrínsecos, tanto de tipo P como de tipo N.

SEMICONDUCTOR EXTR NSECO TIPO N

BANDA VALENCIA

BANDA CONDUCCIÓNESTADOS ENERGÉTICOSNUEVOS, CREADOS PORLAS IMPUREZAS DADORAS





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1.3. Ley de acción de masas.

En un semiconductor intrínseco la concentración de ambos tipos de portadores libres,electrones y huecos, es la misma:

n = p = ni (1-7)

donde ni es función de la temperatura. Por tanto:

ni2 = n p (1-8)

La ley de acción de masas dice que esta expresión se cumple también para un

semiconductor extrínseco. Dicha ley se demostrará posteriormente, al final del tema.

Es importante analizar que implicaciones tiene esta ley en un semiconductor extrínseco.

Denominando NA a la concentración de impurezas aceptoras en el semiconductor, y ND a la concentración de impurezas dadoras en el mismo. La conservación de la cargaeléctrica lleva a que en cada elemento de volumen del semiconductor se ha de cumplir

la expresión:

ND + p = NA + n (1-9)

En un semiconductor tipo N solo hay impurezas dadoras, NA = 0, por tanto:

ND + p = n (1-10)

A temperatura ambiente, supuestas todas las impurezas dadoras ionizadas, y para losvalores habituales de dopado de un semiconductor extrínseco se cumple:

ND >> p (1-11)

por tanto:

ND = n y n >> p (1-12)

En un semiconductor extrínseco de tipo N se cumple que la concentración de

electrones en la banda de conducción es mucho mayor que la de huecos en la banda devalencia. En este semiconductor se dice que los electrones son los portadores





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mayoritarios y los huecos los portadores minoritarios, y a las concentraciones se lespone el subíndice del tipo de semiconductor: nn y pn.

De la ley de acción de masas se deduce que en un semiconductor tipo N:

D

2i

n

2i

n N

n

n

np == (1-13)

En un semiconductor extrínseco de tipo P pasa algo similar pero cambiando el tipo deimpurezas, por tanto ahora los portadores mayoritarios serán los huecos, su

concentración será igual a la de impurezas aceptoras NA, y los portadores minoritariosserán los electrones.

NA = p y p >> n (1-14)

Para indicar el tipo de semiconductor a las concentraciones de portadores se les pone elsubíndice del tipo, en este caso p. Igualmente de la ley de acción de masas se deduceque la concentración de portadores minoritarios es:

A

2i

p

2i

p

N

n

p

nn == (1-15)

1.4. Semiconductor extrínseco, movilidad de los portadores de carga:conductividad.

Si se aplica un campo eléctrico en el seno de un material semiconductor, los portadoreslibres de carga, electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia,sufrirán una aceleración debida a la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre ellos

ganando velocidad hasta que chocan con la red y son frenados, pero nuevamente sonacelerados hasta el siguiente choque. Este proceso da como resultado que los portadores

se mueven con una velocidad promedio, vn los electrones y vp los huecos tal que secumple:

vn = µn E y vp = µp E (1-16)

donde µn es la movilidad de los electrones y µp es la movilidad de los huecos. Supuestoque las concentraciones de portadores libres de carga en el material semiconductor son

n electrones por cm3 y p huecos por cm3, la densidad de corriente será:

J = q n vn + q p vp = q (nµn + pµp) E = σ E (1-17)





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Donde q es la carga de un electrón y σ es la conductividad del material, σ es la inversa

de la resistividad ρ (σ = 1/ ρ).

La movilidad es independiente del campo eléctrico para valores de éste menores de 103 V cm-1, varía con E-1/2 para 103 V cm-1 < E < 104 V cm-1, y para valores de E superiores

empieza a variar inversamente con el campo eléctrico alcanzando los electrones unavelocidad máxima de saturación del orden de 107 cm s-1.

La movilidad lógicamente disminuye con la temperatura, a mayor temperatura mayorvibración en la red y mayor probabilidad de choques, variando en proporción a T-m donde para el Si m vale 2,5 para los electrones y 2,7 para los huecos.

A temperatura ambiente, 300º K, en el Si µn = 1300 cm2 V-1 s-1 y µp = 500 cm2 V-1 s-1.

La conductividad en un material semiconductor intrínseco aumenta con la temperatura

ya que el aumento de ni es mayor que la disminución de las movilidades. Para unsemiconductor extrínseco, en un entorno amplio de la temperatura ambiente, como laconcentración de portadores mayoritarios no varía apreciablemente la conductividad

disminuye con la movilidad.

Dado que la resistividad es el inverso de la conductividad:

)pn(q

1

pn µ+µ=ρ (1-18)

Se propone utilizar la expresión previa para confirmar los valores de la resistividad delSi, a temperatura ambiente, que se ha utilizado en el apartado 1.2 del tema, en los casos:

Si puro y Si dopado con impurezas dadoras en la proporción 1 átomo de impurezas cada108 de Si.

1.5 Creación y recombinación de pares.

A partir de la estadística de Fermi-Dirac y de la densidad de estados permitidos en lasbandas de valencia y conducción, se obtiene que el cuadrado de la concentración de

pares electrón-hueco que se han generado por la temperatura en un semiconductorextrínseco es:

kTE

30

2i

0GeTAn

−= (1-19)

Pero esta concentración de portadores es fruto de un proceso dinámico constante degeneración de pares y de su recombinación.

Si se toma una barra de un semiconductor extrínseco de tipo N, en el equilibrio

térmico las concentraciones de portadores libres de carga serán nn0 y pn0 , y cumplirán larelación:





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ni

2 = nn0 pn0 (1-20)

Si ahora se ilumina la barra semiconductora con una luz tal que su longitud de onda sea

capaz de generar pares electrón-hueco, las concentraciones nn0 y pn0 pasarán a ser nn ypn, donde:

nn - nn0 = pn - pn0 (1-21)

Admitiendo la suposición de que la intensidad de la luz es de una magnitud que sólo

desequilibra apreciablemente la concentración que existía de portadores minoritariospn0 , lo cual es bastante lógico ya que inicialmente nn0 >> pn0. Una vez que cese la

excitación luminosa la vuelta al estado de equilibrio de la concentración de huecos

estará regulada por la velocidad de recombinación de éstos que será proporcional a suconcentración y a un parámetro que se denomina vida media τp:

Velocidad de decrecimiento de la concentración de huecos = pn / τp

Pero a la vez nuevos pares de electrón-hueco se están generando por efecto de la

temperatura. Llamando g a dicha velocidad de generación de pares, la ecuación que rigela vuelta a la concentración de equilibrio será:

pnn pgdtdp τ−= (1-22)

Cuando se haya alcanzado el equilibrio:

p

0nn pg0

dt

dp

τ=⇒= (1-23)

Por tanto:

( ) ( ) ( )( ) ppt

0nn

t

nn

p

n

p

n0nn

ep0pe0'pt'p

'ppp

dt

dp

τ−

τ−

−==

τ−=

τ−

=

(1-24)

donde p'n(t) es el exceso de la concentración de huecos respecto a la concentración enel equilibrio en el instante t.





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1.6. Difusión de portadores en un semiconductor graduado.

Supuesto un semiconductor extrínseco de tipo P con una concentración de impurezasNA graduada según el eje X de modo que de lugar a un gradiente de la concentración de

huecos dp/dx. Por agitación térmica se producirá una difusión de huecos en el sentido

opuesto a dp/dx, dando lugar a una densidad de corriente de huecos:

dx

dpqDJ pp −= (1-25)

donde Dp es la constante de difusión de los huecos.

Tanto la movilidad como la constante de difusión son constantes de un mismo

fenómeno estadístico y no serán independientes cumpliendo la relación:

V11600

T

q

kTV

DDT

n

n

p

p ===µ

=µ

(1-26)

La expresión 1-26 se denomina relación de Einstein. A 300º K VT vale 25,86 mV. Estaconstante será muy usada en los temas posteriores y se suele redondear su valor por 25o 26 mV para temperatura ambiente.

Por tanto en un semiconductor extrínseco pueden coexistir corrientes de difusión, siexiste gradiente en la concentración de portadores, y corrientes de desplazamiento si

existe gradiente de potencial. La densidad de corriente total de huecos y electronestomará en general la expresión:

dxdnqDnEqJ

dx

dpqDpEqJ

nnn

ppp

+µ=

−µ=

(1-27)

1.7. La ecuación de continuidad.

Supuesto un material semiconductor en el que se ha alterado el equilibrio de la

concentración de portadores en la dirección del eje X, y tomando un elemento devolumen de sección A y espesor dx en el que la concentración media de huecos es p enel instante t, tal que la corriente de huecos que penetra por la sección A izquierda es Ip y

la corriente de huecos que lo abandona por la sección derecha A es Ip+dIp,, figura 1.6.





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Fig. 1.6

El número de huecos que abandonan el volumen por segundo será:

q

dI p (1-28)

y la disminución de huecos por unidad de tiempo y unidad de volumen:

dx

dJ

q

1dI

qAdx

1 pp = (1-29)

Pero en el elemento de volumen se están recombinando huecos con una velocidad p/ τp y

generando con una velocidad p0 / τp, por unidad de volumen. De la conservación de lacarga se deduce la expresión:

x

J

q

1pp

t

p p

p

0

∂

∂−

τ−

=∂∂

(1-30)

La expresión obtenida es lo que se denomina ecuación de continuidad.

1.8. Inyección de portadores minoritarios en un semiconductor extrínseco.

Sea una barra fina y homogénea de un semiconductor extrínseco de tipo N que seilumina permanentemente un extremo con un haz de luz de longitud de onda tal que sus

fotones generan en dicho extremo pares electrón-hueco. Imponiendo la condición deque la velocidad de generación de dichos pares adicionales cumple que la concentraciónde portadores minoritarios pn siguen siendo despreciable frente a la concentración de

portadores mayoritarios nn

x x+dx

Ip Ip+dIp

A





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pn = pn' + pn0 << nn (1-31)

Como se ha creado un gradiente de concentración de portadores, aparecerán corrientesde difusión y desplazamiento, siendo la corriente de desplazamiento de los portadores

minoritarios, huecos, no así la de los mayoritarios, electrones, despreciable frente a lacorriente de difusión de éstos, como se justificará posteriormente.

Una vez alcanzado el equilibrio, y de la ecuación de continuidad:

x

J

q

1pp0

t

p p

p

n0nn

∂

∂−

τ−

==∂

∂(1-32)

puesto que la corriente de desplazamiento de huecos se ha supuesto despreciable frentea la de difusión, la densidad de corriente de huecos será:

dx

dpqDJ n

pp −= (1-33)

Sustituyendo en la ecuación de continuidad:

pp

0nn

pp

n0n2n

2

D

pp

D

pp

dx

pd

τ−

=τ−

−= (1-34)

introduciendo la constante, se obtiene:

2p

n2n

2

L'p

dx'pd = (1-35)

La solución de la ecuación 1-35 es del tipo:

( ) pp Lx

2L

x

1n eKeKx'p +=−

(1-36)





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Por condiciones de contorno K2 es cero, ya que si no en un extremo suficientementealejado el exceso de la concentración de huecos tendería a infinito. Por tanto:

( ) ( )pL

x

nn e0'px'p

−

= (1-37)

Luego el exceso de la concentración de portadores minoritarios pn' decrece a lo largo dela barra exponencialmente. Si la sección de la barra es A la intensidad de la corriente de

huecos será:

( ) ( )( )

dx

xdpAqDxJAxI n

ppp −== (1-38)

Admitiendo la hipótesis de neutralidad eléctrica en cada elemento de volumen del

material:

dx

dp

dx

dn

ppnn

'p'n

nn

0nn0nn

nn

=

−=−

=

(1-39)

Luego la corriente de difusión de los electrones:

)x(ID

D

)x(I

dx

)x(dpAqD

dx

)x(dnAqD)x(I

pp

n

n

nn

nnn

−=

==

(1-40)

Dado que el circuito está abierto la corriente total debe ser cero, y por otra parte

Dn /Dp≅3. Por tanto debe existir una corriente de desplazamiento de electrones Ind(x), talque:

0(x)I(x)I(x)I ndnp =++ (1-41)





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Despejando en la expresión 1-41 Ind(x) :

)x(I1

D

D)x(I p

p

nnd

−= (1-42)

Lógicamente la corriente de desplazamiento la ha generado un campo eléctrico que se

ha creado en la barra:

)x(I1D

D

)x(nqA

1)x(J)x(E p

p

n

nnn

nd

−

µ=

σ= (1-43)

Para acabar este apartado se probará que la hipótesis inicial (x)I(x)I ppd << es cierta:

n p npd p p

n n p

A q p (x) DI (x) A E(x) 1 I (x)

A q n (x) D

µ= σ = − µ

(1-44)

Como pn(x) << nn(x) se cumple que Ipd(x) << Ip(x). Luego la corriente de portadores

minoritarios, en estas condiciones, es esencialmente una corriente de difusión. Esdecir si en un semiconductor extrínseco se inyectan portadores adicionales lacorriente de portadores minoritarios será mayoritariamente por difusión. Este

resultado, como se verá en temas posteriores es de gran importancia.

1.9. Variación de potencial en un semiconductor graduado.

Sea una barra de un semiconductor de tipo P, cuya concentración de impurezasaceptoras está graduada según el eje longitudinal x.

En el equilibrio y sin excitación externa, en todos los puntos de la barra semiconductorala corriente de cada tipo de portadores debe ser nula. Existirá por tanto una corriente de

desplazamiento igual y de sentido contrario a la de difusión y por tanto un campoeléctrico en la barra. La corriente total de ambos tipos de portadores ha de ser nula:

0dx

)x(dnDq)x(E)x(nq)x(J

0dx

)x(dpDq)x(E)x(pq)x(J

0pn0pnn

0pp0ppp

=+µ=

=−µ=

(1-45)





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Despejando E(x) de la primera ecuación se obtiene:

dx

)x(dp

)x(p

V

dx

)x(dp

)x(p

D)x(E 0p

0p

T0p

0pp

p =µ

= (1-46)

Como en la barra se supone simetría axial sobre el eje longitudinal X:

)x(p

)x(dpV)x(dV

)x(Edx

)x(dV

0p

0pT−=

=−

(1-47)

Por tanto la diferencia de potencial entre dos puntos a y b de la barra será:

)b(p

)a(plnVV

0p

0pTba = (1-48)

La relación de la concentración de huecos entre ambos puntos de la barra será:

Tba

VV

0p0p e)b(p)a(p = (1-49)

La diferencia de potencial entre dos puntos de la barra en función de la concentración deportadores minoritarios, electrones, a partir de la corriente total de éstos da comoresultado la expresión:

)b(n

)a(nlnVV

0p

0pTba −= (1-50)

La concentración de electrones entre ambos puntos de la barra cumple la relación:

Tba

VV

0p0p e)b(n)a(n

−

= (1-51)





18

Si se multiplica la igualdad que relaciona la concentración de huecos entre dos puntosde la barra por la correspondiente de huecos, se obtiene:

np0(a) pp0(a) = np0(b) pp0(b) = ni2 (1-52)

Lo que se ha obtenido es la demostración de la ley de acción de masas, ya que secumplirá para cualquier nivel y tipo de dopado en la barra. En general esta ley se

expresa como que en cada punto de una barra semiconductora en equilibrio se cumple:

n p = ni2 (1-53)





19

PROBLEMAS

1. Una barra de silicio intrínseco tiene 10 mm de longitud y una sección cuadradade 40x40 micras. Determinar la intensidad del campo eléctrico en la barra y la

diferencia de potencial entre sus extremos cuando circula por ella una corrientede 2 µA y la temperatura es de 300º K.(A 300ºK en el silicio: ni = 1,45 1010 cm-3, µn = 1300 cm2 /Vs, µp = 500 cm2 /Vs)Resultados: E = 29.933 V/cm V = 29.933 V

Puesto que:

J = σ E y V = l E

Para obtener E y posteriormente V, se calcula la conductividad y la densidad decorriente en la barra:

σ = q (µn n + µp p) = q ni (µn + µp) = 1,6 10-19 1,45 1010 (1300 + 500) Ω-1 cm-1 =

= 4,176 10-6 Ω-1 cm-1

228

6

cmA8

1

cm101600

A102

S

IJ −

−

−

===

V933.29ElV

cmV933.29cm10176,4

cmA125,0JE 1

116

2

==

=Ω

=σ

= −−−−

−

2. Dado un semiconductor extrínseco, obtener la expresión que relaciona lasconcentraciones de electrones (n) y huecos (p) con la concentración deimpurezas dadoras ND e impurezas aceptoras NA, y las concentraciones deelectrones y huecos (ni) que tendría el semiconductor si fueran nulas lasconcentraciones de impurezas.

La ley de acción de masas, da la relación:

2inpn =

n = concentración de electrones en la banda de conducción en un semiconductorextrínseco

p = concentración de huecos en la banda de valencia en un semiconductor extrínseconi = concentración de electrones en la banda de conducción o de huecos en la banda de

valencia en un semiconductor intrínseco.





20

La neutralidad eléctrica en cualquier elemento de volumen de un semiconductorextrínseco implica que se cumpla la expresión:

DA NpNn +=+

NA = concentración de impurezas aceptoras

ND = concentración de impurezas dadoras

Despejando p en la última expresión y sustituyéndola en la expresión de la ley de acción

de masas se obtiene:

( )( ) 2iDA nNNnn =−+

( ) 0nNNnn 2iDA

2 =−−+

La ecuación de segundo grado previa tiene como soluciones:

2i

2ADAD n

2

NN

2

NNn +

−±

−=

de las cuales solo es físicamente posible la solución:

2i

2ADAD n

2

NN

2

NNn +

−+

−=

Este último paso se deja como ejercicio al alumno.

De igual forma se obtiene para la concentración de huecos la expresión:

2i

2DADA n

2

NN

2

NNp +

−+

−=





21

Para un semiconductor extrínseco de tipo N (ND ≠ 0 y NA = 0):

2i

2DD

n2i

2DD

n n

2

N

2

Npn

2

N

2

Nn +

+

−=+

+

=

Para un semiconductor extrínseco de tipo P (NA ≠ 0 y ND = 0):

2i

2AA

p2i

2AA

p n2

N

2

Nnn

2

N

2

Np +

+

−=+

+

=

3. Si la concentración de átomos en la muestra de silicio es de 5 1022 cm-3. Repetirel problema 1º si ahora se dopa el semiconductor con impurezas donadoras enla proporción de un átomo de impureza por cada 108 átomos de silicio.Resultados: E = 1,25 V/cm V = 1,25 V

Ahora la conductividad vendrá dada por los conductores mayoritarios n, ya que pn <<nn, y esta última se puede aproximar por la concentración de impurezas ya que:

10i

148

22

D 1045,1n10510

105N =>>==

Por tanto:

σ = q (µn nn + µp pn) = q nnµn = 1,6 10-19 5 1014 1300 Ω-1 cm-1 = 0,1 Ω-1 cm-1

y la densidad de corriente será la misma:

228

6

cmA8

1

cm101600

A102

S

IJ −

−

−

===

Sustituyendo J y σ :

V25,1ElV

cmV25,1cm1,0

cmA125,0JE 1

11

2

==

=Ω

=σ

= −−−

−





22

4. En el gráfico de la figura anexa se da lavariación de ni con la temperatura (T), de tressemiconductores (Ge, Si y GaAs). Utiliza dichagráfica y las expresiones de nn y pn obtenidasen el problema 2º para obtener las

concentraciones electrones y huecos a 400 ºKen el semiconductor del problema anterior.Resultados: nn = 5 1014 cm-3 pn = 8 109 cm-3

De la gráfica se obtiene que a 400 ºK:

ni ≈ 2 1012 cm-3

La concentración de impurezas dadoras del

problema anterior era 5 1014 cm-3. Sustituyendo enlas expresiones de nn y pn del problema 2º, resulta:

( )

D

3141414

242814

21221414

n

N

cm1051050008,2105,2

1041025,6105,2

1022

105

2

105n

==+=

++=

+

+

=

−

( ) 391414212

21414

n cm1081050008,2105,21022

105

2

105p −=+−=+

+

−=

La concentración de portadores minoritarios, pn, se podía haber obtenido directamente

de la expresión de la ley de acción de masas:

( ) 3914

24

14

212

n

2i

n

2inn

cm108105

104

105

102n

np

npn

−====

=





23

5. Determinar el nivel de dopado de un semiconductor tipo P de Si, si una barra de10 cm de longitud y sección 1 mm2 a temperatura ambiente tiene una resistenciade 100 Ω .

Resultado: 4 105 átomos de Si por cada átomo de impurezas

Se calcula en primer lugar la conductividad de la barra:

1122 cm10

cm10100

cm10

sR

l1 −−− Ω=

Ω==

ρ=σ

Como la barra semiconductora es de tipo P se cumple:

σ = q (µn np + µp pp) = q pp µp

Por tanto despejando pp:

31711219

11

pp cmcoshue1025,1

sVcm500C106,1

cm10

qp −

−−−

−−

=Ω

=µσ

=

La concentración de huecos obtenida será la concentración existente de impurezasaceptoras NA. Puesto que la concentración de átomos de Si es 5 1022 átomos por cm3, elnivel de dopado será de:

5 1022 / 1,25 1017 = 4 105 átomos de Si por cada átomo de impurezas

procesos de conducción en semiconductores

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