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PROCESO DE OBJETIVACIÓN DE LA DERIVADA EN
ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS
JORGE EDWIN MORENO CABEZA
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
BOGOTÁ D.C., AGOSTO DE 2015
PROCESO DE OBJETIVACIÓN DE LA DERIVADA EN
ESTUDIANTES PARA PROFESOR DE MATEMÁTICAS
JORGE EDWIN MORENO CABEZA
Trabajo de grado como requisito parcial para obtener el título de Magíster
en Educación
Asesor: Dr. Rodolfo Vergel Causado
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
BOGOTÁ D.C., AGOSTO DE 2015
Dedicatoria.
A mi madre, que está guiándonos y disfrutando en todo momento.
A mi padre, por su acompañamiento en todo ese camino de crecer.
A mis hermanas, por todas sus concordias y discordias.
A Tigis, por todo el estoicismo, aliento y colaboración que ha tenido conmigo.
Agradecimientos.
Al Dr. Rodolfo Vergel por su paciencia, disposición y labor conjunta.
A todos aquellos presentes y ausentes que de una u otra forma permitieron y participaron
en el logro de este objetivo.
Gracias a todos, son parte constitutiva de mi vida…
CONTENIDO
página
Introducción 1
Capítulo 1. Aspectos preliminares 4
1.1 Justificación 4
1.2 Pregunta de investigación 7
1.3 Objetivos 8
Capítulo 2. Marco teórico 10
2.1 Teoría cultural de la objetivación 10
2.1.1 La interacción social y los medios semióticos de objetivación
como fuentes de elaboración de significados 12
2.1.2 Procesos de generalización en matemáticas 14
2.1.3 El aula de clase 15
2.2 Respecto a la noción de derivada 15
2.2.1 Derivada desde lo histórico 15
2.2.2 Derivada desde lo epistemológico histórico 16
2.2.3 Estructura didáctica de la derivada 17
2.2.4 Estructura de las tareas 18
Capítulo 3. Metodología 20
3.1 Diseño de la investigación 22
3.2 Caracterización de los sujetos participantes en la investigación 27
3.3 Las tareas 29
3.3.1 Tarea 1 30
3.3.2 Tarea 2 34
3.3.3 Tarea 3 37
3.4 La recolección de la información 39
Capítulo 4. Análisis de datos 42
4.1 Categorías de análisis 42
4.2 Configuración de los datos 43
4.3 Análisis de los datos 44
4.3.1 La actividad de Jefferson, Jhon y César 45
4.3.2 La Actividad de David, Paola y Lina 60
Capítulo 5. Conclusiones 75
5.1 Introducción 75
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación 75
5.3 Observaciones 79
5.4 Reflexiones y apuntes 81
Referencias bibliográficas 83
Anexos 90
Índice de figuras, diagramas y tablas
página
Figura A. Tarea 1 piloteada 31
Figura B. Tarea 2 piloteada 35
Figura C. Punto 2 prueba piloto tarea 2 36
Figura D. Punto 3 prueba piloto tarea 2 36
Figura E. Punto 3 prueba piloto tarea 2 36
Figura F. Tarea 3 piloteada 37
Figura G. Punto 1 prueba piloto tarea 38
Figura H. Punto 2 prueba piloto tarea 3 38
Figura 1. Paola corriendo como representante del grupo 44
Figura 2. Gráfico obtenido por Paola 44
Figura 3. Gráfica de referencia 45
Figura 4. Señalamiento del eje y como distancia 47
Figura 5. Señalamiento del intervalo de tiempo 47
Figura 6. Indicación del punto gráfico inicial 49
Figura 7. Paso a indicar la posición inicial 49
Figura 8. Indicación del primer pico gráfico 49
Figura 9. Correspondencia con de la posición más 49
Figura 10. Indicación decrecimiento de la aceleración 49
Figura 11. Explicación de espacio para velocidad 54
Figura 12. Explicación del movimiento que se realiza 54
Figura 13. Jhon realiza un gesto para acotar el espacio 54
Figura 14. Gestualización de los picos para representar el movimiento
en el recorrido 56
Figura 15. Indicación de un eje para el recorrido 57
Figura 16. Indicación de la magnitud de recorrido 57
Figura 17. Indicación de una magnitud relevante de entre varias en un intervalo 58
Figura 18. Gesto ubicado indicando que se toma el mayor pico 58
Figura 19. Expresión escrita de la conciencia de velocidad promedio
en el problema 59
Figura 20a. Inicio de un recorrido 61
Figura 20a. Punto de vuelta 61
Figura 21. Primer segmento creciente 61
Figura 22. Curva como segmentos de recta 64
Figura 23. Índice y pulgar en forma de “C” 65
Figura 24. Índices apuntándose y alternándose 65
Figura 25. Índice y pulgar en forma de “C” 65
Figura 26. Palmas mirándose 65
Figura 27. Conclusión de la interacción intergrupal 67
Figura 28. Tabulación de intervalos 69
Figura 29. Respuesta a las preguntas 2, 3 y 4, guía 2 70
Figura 30. Elección de preguntas a contestar 71
Figura 31. Respuesta preguntas 2 y 3, guía 3 72
Figura 32. Solución dada a la pregunta 1, guía 3 73
Diagrama 1. Comparación de la metodología propuesta para la investigación,
respecto a la de investigación longitudinal. 22
Diagrama 2. Análisis de voz de Jhon en el programa Praat 48
Diagrama 3. Evolución del nodo semiótico “calificación de la cantidad
de movimiento” 60
Diagrama 4. Evolución del nodo semiótico acotamiento del espacio
referencial de relación 74
Tabla A. Descripción de elementos encontrados en el pilotaje de la tarea 1. 33
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRAIA EN EDUCACIÓN
RESUMEN ANALÍTICO EN EDUCACIÓN
RAE
ASPECTOS FORMALES
TIPO DE DOCUMENTO Trabajo de Grado
TIPO DE IMPRESIÓN Imprenta
ACCESO AL DOCUMENTO Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Centro de Documentación. Sede Posgrados
Número Topográfico
TITULO Proceso de objetivación de la derivada en estudiantes para profesor
de matemáticas
AUTOR Jorge Edwin Moreno Cabeza
DIRECTOR Rodolfo Vergel Causado
ASPECTOS DE INVESTIGACIÓN
PALABRAS
CLAVES
Objetivación, nodo semiótico, contracción semiótica, multisemiótico, derivada.
DESCRIPCIÓN
Desde la perspectiva de la teoría cultural de la objetivación, y bajo un enfoque
microgenético, se realiza un análisis multimodal del proceso de pensamiento
ocurrido durante la implementación de un conjunto de tres tareas que propenden por
el desarrollo del objeto matemático derivada desde un punto de vista variacional y
geométrico.
Mediante el análisis se encontró la emergencia de diversos medios semióticos
(gestuales, verbales, kinestésicos, escritos, alfanuméricos) que se coordinaron y
complementaron durante segmentos de la actividad, conformando los nodos
semióticos calificación de la cantidad de movimiento y acotamiento del espacio
referencial.
Los recursos semióticos se refinaron hacia formas gestuales y alfanuméricas,
generando una contracción semiótica de los mismos, evidenciando un proceso de
objetivación respecto al objeto matemático derivada.
FUENTES
PRINCIPALES
Se usaron en total 50 fuentes, de las cuales las más importantes son:
Dolores, C. & García, M. (2011). Derivada: una propuesta para su comprensión. Centro de Investigación en Matemática Educativa, Universidad Autónoma de Guerrero, México.
Miranda, I., Radford, L. & Guzmán, J. (2007). Interpretación de gráficas cartesianas sobre el movimiento desde el punto de vista de la teoría de la objetivación. Educación Matemática, 19(3), 5-30.
Pino-Fan, L., Godino, J. & Font, V. (2013). Diseño y aplicación de un instrumento para explorar la faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático de futuros profesores sobre la derivada (Parte 1). REVEMAT, 8(2), 1-49. Recuperado de: http://dx.doi.org/10.5007/1981-1322.2013v8n2p1
Radford, L. (2006a). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, número especial sobre semiótica, cultura y pensamiento matemático. 103-129.
Radford, L. (2008b). Iconicity and contraction: a semiotic investigation of forms of algebraic generalizations of patterns in different contexts. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 40, 83-96. Recuperado de: http://www.luisradford.ca/pub/45_zdm_radford.pdf
Radford, L. (2010a). Layers of generality and types of generalization in pattern
activities. PNA, 4(2), 37-62.
Radford, L. (2010b). Sings, gestures, meanings: Algebraic thinking from a cultural semiotic perspective. Research in Mathematics Education 12(1), 1-19.
Radford, L. (2014). De la teoría de la objetivación. Revista Latinoamericana de Etnomatemática, 7(2), 132-150.
Radford, L. (2015a). Introduction: the phenomenological,Epistemological, and semiotic Components of generalization. PNA, 9(3), 129-141
Radford, L. (2015b). The Epistemological Foundations of the Theory of Objectification. Isonomia. Recuperado de:
http://www.luisradford.ca/pub/Epistemological%20foundations%20of%20th
e%20TO_31.1.15.pdf
Radford, L., Demers S., Guzmán, J. & Cerulli M. (2003). Calculators, graphs and gestures and the production of meaning”. En N. Pateman, B. Dougherty & J. Zilliox (eds.), Proceedings of the 27 Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pme27 –pmena25), University of Hawaii, vol. 4, pp.55-62.
Radford, L., Demers, S., Cerulli, M, & Guzmán, J. (2004). The sensual and the conceptual: Artefact-mediated kinesthetic actions and semiotic activity. En M. J. Høines and A. B. Fuglestad (eds.), Proceedings of the 28 Conference of the international group for the psychology of mathematics education (PME 28), 4, Norway: Bergen University College. 73-80
Ramírez, E. (2009). Historia y epistemología de la función derivada. TED No. Extraordinario, 2009. Recuperado de: http://revistas.pedagogica.edu.co/index.php/TED/article/viewFile/261/252
Sánchez, G., García, M. & Llinares, S. (2008). La comprensión de la derivada como objeto de investigación en didáctica de las matemáticas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática educativa, 11(2), 267 – 296.
Vergel, R. (2015a). Generalización de patrones y formas de pensamiento algebraico temprano. PNA, 9(3), 193-215.
Vergel, R. (2015b). ¿Cómo emerge el pensamiento algebraico? El caso del pensamiento algebraico factual. UNO Revista de Didáctica de las Matemáticas, 68, 9-17.Wertsch, J. (1988). Vygotsky y la formación social de la mente. Barcelona: Paidós.
CONTENIDOS
Capítulo 1, Aspectos preliminares. Se realiza una justificación de la investigación y de
los enfoques teóricos que sustentan la investigación, se formula la pregunta de
investigación y los correspondientes objetivos
Capítulo 2, Marco teórico. Explicita los elementos teóricos correspondientes a la
teoría cultural de la objetivación, la idea de derivada que se trabaja y los elementos
didácticos que se toman en cuenta para su presentación en las tareas propuestas.
Capítulo 3, Metodología. Presenta el diseño metodológico, caracterización de los
sujetos que participan en la investigación, las tareas propuestas y los métodos de
recolección de la información.
Capítulo 4. Análisis de datos. Evidencia la manera en que se conformación dos nodos
semióticos y la manera en que estos evolucionan constituyendo un proceso de
objetivación de la derivada.
Capítulo 5. Conclusiones. Muestra la respuesta a la pregunta de investigación, la
síntesis de los análisis realizados, y algunas observaciones y reflexiones respecto a la
investigación.
En un apartado final se explicitan las referencias bibliográficas y los anexos que se
usaron en este trabajo.
METODOLOGÍA
Investigación descriptiva, cualitativa e interpretativa (Coffey & Atkinson, 2003),
desde una perspectiva microgenética (Vergel, 2014; Wertsch, 1988, Martínez 1999)
del proceso de objetivación de la derivada.
La metodología corresponde a un ciclo de cuatro etapas que inicia con el diseño de
las tareas a desarrollar, enfocadas en la derivada desde un punto de vista geométrico
y variacional, las cuales son piloteadas; la implementación de las mismas, momento
en que se recoge la información, durante dos sesiones de clase de dos horas cada
una; la conformación y análisis de datos, realizado bajo un análisis multisemiótico
(Radford, Edwards & Arzarello, 2009); y finalmente la comparación con los referentes
teóricos y las conclusiones a que haya lugar.
La población de trabajo fue un grupo de 20 estudiantes para profesor de
matemáticas de la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Metemáticas de la
Universidad Distrital, Bogotá.
CONCLUSIONES Se evidencia la emergencia de diversos medios semióticos (gestuales, verbales,
escritos) que se posicionan como constituyentes del objeto matemático derivada.
Estos recursos se complementan y coordinan en segmentos de la actividad de los
estudiantes, conformando dos nodos semióticos llamados calificación de la cantidad
de movimiento y acotamiento del espacio referencial.
Del primero se muestran tres episodios que muestran su evolución desde un espacio
de calificación de la cantidad de movimiento desde lo pragmático, pasando a una
significación desde lo kinestésico gestual, y desembocando en una contextual desde
lo gestual – gráfico.
Del segundo se presentan cuatro episodios que revelan el desarrollo desde una etapa
factual hacia un estrato de generalidad simbólico, logrando instanciar el saber
cultural referente a la derivada.
Los episodios de la actividad de los estudiantes reconocen que los anteriores nodos
evolucionan mediante un refinamiento de los recursos semióticos utilizados a medida
que el significado se concentra, evidenciado en el uso de gestos más precisos,
expresiones más articuladas, y formas alfanuméricas, reconociendo así un proceso
de contracción semiótica. Esto implica la presencia de un proceso de objetivación de
la actividad matemática relacionada con el objeto matemático derivada, en su
contexto gráfico y variacional.
1
Introducción
Investigaciones desde diversas perspectivas teóricas en la educación matemática resaltan
la importancia de estudiar los procesos que se llevan a cabo para dotar de significado el
concepto derivada. Por ejemplo Sánchez, García & Llinares (2008) sugieren, desde un
punto de vista constructivista, un espacio de investigación enfocado a los sistemas de
representación como herramienta para pensar sobre las derivadas. Al respecto,
especifican la importancia de las representaciones pues “se asume que el significado de
los conceptos es construido a partir de los signos” (Sánchez et al., 2008, p. 276), y
citando a Font (2000), reconocen que una prueba de la comprensión de un concepto es la
coordinación de diferentes sistemas de representación.
Por otro lado Pino, Godino y Font (2013) desde la línea pragmática antropológica del
Enfoque Ontosemiótico, teorizan la conformación de un objeto matemático a partir de
“sistemas de prácticas” que conllevan elementos discursivos y operatorios como
elemento principal para su significación (cabe decir que además se forma en un conjunto
de funciones semióticas)1. Esto es utilizado por los autores con el fin de determinar
diferentes significados parciales de la derivada reconstruyendo así uno holístico, a partir
de un análisis histórico epistemológico de la misma.
Así, las teorías mencionadas rescatan (entre otras) dos cosas importantes: por un lado el
uso de los signos, y por el otro los sistemas de prácticas, como elementos fundamentales
para dar significado y comprensión a los objetos de conocimiento. Sin embargo, desde la
perspectiva constructivista los sistemas semióticos y los signos son utilizados como una
herramienta, una extensión que ayuda al pensamiento (entendido como algo interno al
sujeto) en el proceso de construcción del concepto; y en el Enfoque Ontosemiótico los
elementos discursivos de los sistemas de prácticas se están generando en un juego del
lenguaje (en el sentido de Wittgenstein 1953, citado por Santi, 2011), en el que la
negociación de significados juega un papel importante. Desde una perspectiva histórica
cultural, la Teoría Cultural de la Objetivación (TCO) permite dar a la idea de signo,
1 Para mayor información de los elementos del Enfoque Ontosemiótico ver, por ejemplo, Godino, J.,
Batanero, C., & Font, C. (2009)
2
sistemas semióticos y la de sistemas de prácticas una conformación diferente a las
descritas anteriormente.
Para ello, es importante reconocer que en la TCO el pensamiento no se considera algo
interno al sujeto, algo mental, sino que es un proceso de actividad humana. Esto conlleva
a que los sistemas semióticos (en los que se encuentran inmersos los signos) y los
procesos sociales (en donde la interacción, más que negociación de significados, media
la relación sujeto-objeto) se conviertan en elementos constitutivos del pensamiento. Por
tanto el aprendizaje (como una actividad de aquel) corresponde a una labor social, un
proceso de elaboración activa de significados, llamado objetivación. En este se toma
conciencia progresivamente de algo que se encuentra en nuestra cultura, mientras lo
dotamos de sentido (Radford, 2006a).
Así, signos y recursos semióticos tales como los gestos, lo kinestésico, lo escrito y lo
hablado, ocurridos en el marco de una actividad matemática conjunta, se imbrican al
tiempo que reflejan un proceso de elaboración de significado, mientras evolucionan a
formas de comunicación más refinadas. Es en este marco, para responder a lo propuesto
por Sánchez et al. (2008), que se desarrolla la presente investigación.
Partiendo de un estudio cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo, se pretende
analizar los medios semióticos que emergen en la actividad matemática de estudiantes
para profesor, y cómo evolucionan, cuando se enfrentan a una tarea sobre la derivada
que propende por su interpretación desde una perspectiva variacional y geométrica,
analizado a la luz de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006a,
2014).
Para lo anterior, se presenta inicialmente la justificación de la selección del objeto de
investigación y el objeto matemático, la pregunta de investigación que se aborda y los
objetivos que se generan. El segundo capítulo presenta una contextualización de los
elementos teóricos con los que se fundamenta la propuesta, desarrollo y análisis de la
investigación. Primero se focaliza en los elementos de la teoría cultural de la
objetivación y la perspectiva multimodal del pensamiento, en la que diferentes recursos
semióticos son analizados como una unidad estructural. Posteriormente darle tratamiento
3
al concepto de derivada desde el punto de vista didáctico, presentando estudios que se
enfocan en analizar las prácticas y dificultades que muestran los estudiantes cuando se
enfrentan a problemas que involucran este concepto, y algunas propuestas para
modificarlas; también se brinda una breve reseña de un estudio histórico epistemológico
acerca del desarrollo de la derivada y las prácticas que le dieron origen, como elementos
para sustentar las tarea a proponer.
La manera en que se afronta la investigación, su diseño, los sujetos que son partícipes,
las tareas que se proponen, y la recolección de la información se hacen explícitos en el
tercer capítulo. La configuración de los datos a partir de lo anterior, y el análisis de los
mismos, se desarrolla en el cuarto capítulo.
Finalmente, en el capítulo cinco se presentan las conclusiones y algunas consideraciones
frente al trabajo realizado, que permiten orientar futuras investigaciones que se puedan
desprender de la presente. Se concluye con las referencias bibliográficas y los anexos
que refieren al trabajo desarrollado por los estudiantes durante la implementación de la
investigación.
4
Capítulo 1
Aspectos preliminares
1.1 Justificación
La propuesta tiene como eje dos componentes: la teoría cultural de la objetivación y la
didáctica del objeto matemático derivada, correspondiente al pensamiento variacional.
La teoría cultural de la objetivación como sustento teórico ha sido utilizada
especialmente en el espacio del pensamiento algebraico temprano (early algebra). En
Colombia se encuentran varios trabajos al respecto, como el de Villanueva (2012) quien
analiza los medios semióticos de objetivación que aparecen en la actividad semiótica de
niños de primero de primaria, resaltando los procesos de contracción semiótica y
orquestación icónica que se presentan.
Lasprilla (2012) aborda una tarea de secuencias figurales con niños de grado tercero, e
identifica los medios semióticos movilizados. Como resultado se reconoció la presencia
de diferentes recursos semióticos para dar solución a la tarea planteada; en especial se
reconoce que aunque los niños utilizaron medios semióticos semejantes, la manera en
que se expresaban respecto a ellos resultaba diferente.
Vergel (2014, 2015a, 2015b) identifica y analiza las formas de pensamiento algebraico
temprano en niños de 9 a 10 años en tareas de generalización de secuencias puramente
figurales, figurales con apoyo tabular, secuencias puramente numéricas y numéricas con
apoyo tabular, en su tesis doctoral. De las diferentes conclusiones generadas, se resalta
la importancia que le da a las fórmulas corpóreas y su evolución, asociado al proceso de
contracción semiótica. También es importante el peso que le otorga a la conformación
de nodos semióticos como una característica de la actividad reflexiva en los niños.
Ya en el ámbito de educación secundaria, Gómez (2013) analiza los medios semióticos
de objetivación en tareas de generalización de secuencias numéricas y figurales en
estudiantes de grado décimo, poniendo en evidencia la presencia de los procesos de
contracción semiótica e iconicidad durante el proceso de objetivación.
5
Cadavid, L. Cadavid, S. & Jaramillo (2011) aportan los resultados de una investigación
alrededor de la objetivación de la parábola y de la función, resaltando la importancia de
las actividades generadas en orden de producir la objetivación de los objetos
matemáticos puestos en juego. Igualmente Quintero (2015) reporta el desarrollo de una
investigación (que se encuentra en la fase de interpretación y análisis de información)
acerca del pensamiento teórico que se origina alrededor de la objetivación del límite de
una función en estudiantes de grado once.
Sin embargo, no se encontraron referencias de trabajos que relacionen la derivada en el
campo de la teoría cultural de la objetivación.
En el ámbito internacional se encuentran investigaciones como las realizadas por
Miranda (2009) en su trabajo doctoral, analizando desde la teoría de la objetivación una
situación de pensamiento variacional. La tarea propone que los estudiantes indaguen
acerca del movimiento lineal representado con gráficas cartesianas generadas a partir de
un experimento con un CBR (detector de movimiento), que ellos mismos desarrollan. El
autor evidenció la importancia que tuvo la posición espacial de los sujetos que se
movieron durante el experimento en la manera en que los estudiantes le dieron
significación al origen de coordenadas de la gráfica producida. Igualmente Miranda,
Radford & Guzmán (2007) presentan un trabajo sobre interpretación de gráficas de
movimiento representadas en el plano cartesiano, obteniendo entre sus conclusiones, que
la forma de interpretar estuvo caracterizada por diferentes niveles de toma de conciencia
frente a los medios semióticos manejados.
Finalmente, Santi (2011) realiza un paralelo entre la idea de objetivación, sostenida en la
aproximación semiótico cultural de Radford, y la idea de función semiótica, establecida
en la aproximación ontosemiótica de Godino, en torno al trabajo realizado por
estudiantes de secundaria respecto al concepto de tangente de una función. En este
concluye que estas son teorías complementarias para estudiar lo correspondiente a la
significación de conceptos matemáticos. Además reconoce la presencia del estrato de
generalidad contextual y el estrato de generalidad simbólico, constructos teóricos
propuestos originalmente por Radford pero en el ámbito del pensamiento algebraico.
6
Es de resaltar la invitación que brindan las propuestas mencionadas para continuar el
desarrollo de elementos teóricos en el campo de la teoría cultural de la objetivación,
dados su perspectiva de análisis y potencial para describir los procesos de enseñanza-
aprendizaje al interior del salón de clases.
También cabe reconocer que los últimos dos trabajos son más cercanos a los fines de la
presente investigación al analizar desde la teoría de la objetivación algunos elementos
relacionados con el pensamiento variacional, y con la tangente de una función (cuya
pendiente corresponde al valor de la derivada de una función en un punto). En particular,
la búsqueda de información realizada no reveló propuestas en las cuales se analice la
emergencia del objeto matemático derivada desde esta perspectiva, con lo que se decide
desarrollar la investigación indagando por el proceso de enseñanza –aprendizaje de este.
Por otro lado, el Ministerio de Educación reconoce al docente como “un profesional de
la interacción de las significaciones compartidas” (Ministerio de Educación Nacional,
2013, p. 13), lo que permite entender un sentido social en su labor. Además, el
conocimiento disciplinar hace parte inherente de su quehacer, con lo que se espera que
sea capaz de, por ejemplo, describir fenómenos de cambio y dependencia; la derivada es
un concepto que permite capturar y describir tales fenómenos.
Investigar la manera en que los estudiantes para profesor de matemática comprenden el
concepto de derivada es importante ya que “el desarrollo del pensamiento y
competencias matemáticas de los estudiantes dependen esencialmente de los
conocimientos, competencias, habilidades, de sus profesores.” (Pino et al., 2013, p. 2).
Desde esta necesidad, pensar al docente como sujeto que hace parte de una labor
conjunta, implica reconocer en él el significado cultural que del objeto matemático se ha
elaborado.
Esta investigación pretende dar cuenta, entonces, de los medios semióticos que emergen
en la actividad matemática de estudiantes para profesor de matemáticas cuando se
enfrentan a tareas asociadas a la derivada. Se enfoca principalmente en los recursos
semióticos que se movilizan, y la manera en que estos evolucionan, configurando el
desarrollo de una contracción semiótica dentro del proceso de objetivación, elementos
7
estos propios de la Teoría Cultural de la Objetivación. Con esto se espera contribuir al
desarrollo de esta teoría, en especial en el campo del pensamiento variacional.
1.2 Pregunta de investigación
La investigación se enmarca en la didáctica de la variación tomando como referencia de
análisis la teoría cultural de la objetivación (Radford, 2006a), específicamente se centra
en los nodos semióticos que emergen en el desarrollo de un problema que involucra el
concepto de derivada. Como lo afirman Sánchez et al. (2008), la derivada es un concepto
de difícil comprensión tanto a nivel de educación media como superior; en diversas
investigaciones (y desde la práctica cotidiana en el aula de clase) se ha observado que la
mayoría de los estudiantes “solo logra un dominio razonable de los algoritmos
algebraicos para calcular límites y derivadas” (Dolores & García, 2011, p. 385). Esta
situación ha sido analizada desde perspectivas teóricas especialmente cognitivistas y
más recientemente, socioepistemológicas.
En estos ámbitos, Dolores & García (2011) señala que la enseñanza de la derivada se da
principalmente desde dos aspectos: la organización del contenido clásico, que conlleva a
los enfoques algebraico, numérico, formal y de aproximación afín local; y la
organización que se genera mediante la necesidad de resolver problemas, que concibe el
enfoque geométrico y el variacional.
Autores como Azcárate & Camacho (2003), Cantoral (1995), Salazar, Díaz, & Bautista
(2009), Carabús (2002) han revelado, entre otras conclusiones, el deficiente manejo que
tienen los estudiantes frente al concepto de derivada respecto a su representación gráfica
(enfoque gráfico) y su influencia en problemas planteados en este contexto. Así,
Sánchez et al. (2008) resalta la importancia de estudiar los procesos que se llevan a cabo
para dotar de significado y dar comprensión a la derivada, junto a lo cual sugieren, entre
otras, un espacio de investigación enfocado a los sistemas de representación como
herramienta para pensar sobre las derivadas.
Siguiendo esta idea, pero desde una perspectiva sociocultural, para Radford (2006b) las
representaciones son un espacio de acción de los signos, los cuales junto con la manera
8
en que son usados (manera que está impregnada por los sistemas culturales en que se
desarrollan) son constitutivos del objeto conceptual. Es decir, actúan como medios
semióticos de objetivación del saber: “éstos [los signos y su forma de uso, como medios
semióticos] objetivan2 al objeto”. Cuando en un momento de la situación problema
varios medios semióticos se movilizan de manera simultánea, permitiendo tomar
conciencia de elementos que aportan claridad al desarrollo del mismo, se tiene lo que en
la teoría se conoce como nodo semiótico (Radford, 2003).
Durante el proceso de toma de conciencia sobre el objeto, los signos utilizados para
objetivarlo se van volviéndolos cada vez más sofisticados. Esto obliga a que el
significado se concentre. Es decir, a partir de un nodo semiótico se realiza un proceso de
reducción de recursos semióticos, lo que implica un refinamiento en las formas de
pensamiento. A este proceso, que constituye un proceso de objetivación, se le denomina
contracción semiótica (Radford, 2008b).
Así, de acuerdo con lo anterior, y como respuesta al perfil de trabajo propuesto por
Sánchez et al. (2008), se busca indagar por los nodos semióticos que emergen en el
proceso de objetivación del objeto matemático derivada en estudiantes para profesor en
la asignatura “matemática del movimiento II” del proyecto Curricular de Licenciatura en
Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital, a partir de dar
respuesta a la pregunta ¿Qué medios semióticos de objetivación movilizan estudiantes
para profesor de matemáticas, y cómo evolucionan, cuando resuelven tareas asociadas
a los enfoques variacional y geométrico de la derivada?
1.3 Objetivos
Objetivo general
Describir y analizar los medios semióticos de objetivación que movilizan estudiantes
para profesor de matemáticas cuando se enfrentan a tareas sobre los enfoques
variacional y geométrico de la derivada.
2 Cursiva en el original. Esto significa que los medios semióticos dan al sujeto conciencia acerca del
objeto.
9
Objetivos específicos
1. Diseñar un conjunto de tareas desde los enfoques variacional y geométrico de la
derivada e implementarlas bajo los principios de la teoría cultural de la
objetivación en un grupo de estudiantes para profesor de matemáticas.
2. Identificar y describir los medios semióticos de objetivación que emergen en la
actividad matemática de los estudiantes para profesor cuando se enfrentan a las
tareas propuestas.
3. Analizar la evolución de los medios semióticos de objetivación que emergen en
la actividad matemática de los estudiantes cuando se enfrentan a tareas asociadas
a la derivada.
10
Capítulo 2
Marco teórico
La investigación tiene como base conceptual, en primer lugar, a la teoría cultural de la
objetivación propuesta por Radford (2006a, 2013), en especial lo correspondiente a la
noción de nodos semióticos y su evolución, generando la idea de contracción semiótica
(Radford, 2008b).
En segundo lugar, se reconocen los elementos históricos epistemológicos orientados por
Ramírez (2009) y Pino-Fan, Godino & Font (2011); y los didácticos del objeto
matemático derivada a partir de las categorías propuestas por Dolores (2011) respecto a
la derivada.
2.1 Teoría cultural de la objetivación
La teoría cultural de la objetivación corresponde a una perspectiva semiótica cultural
que permite dar explicación a los procesos de enseñanza y aprendizaje que ocurren en el
aula de clase, considerando a los sujetos como individuos culturales3 e históricamente
situados mientras se desarrolla una labor conjunta.
Los anteriores elementos parten de cuatro principio: 1) Epistemológico, reconoce que
conocer es una instanciación del saber, 2) Ontológico, en el cual se reconoce una
diferencia entre lo potencial y lo actual, el saber es una posibilidad mientras que el
conocimiento es la actualización del saber, 3) Educativo, en el que el aprendizaje es un
proceso cultural de objetivación, 4) Ético, en el que se considera al sujeto como un
conjunto de relaciones sociales (Radford, 2015a).
Así, la principal categoría ontológica corresponde a la categoría de Labor o Actividad
desarrollada por Hegel, Marx, Leontiev y la escuela del materialismo dialéctico
(Radford, 2013). Aquí, la actividad es un proceso social en el que los sujetos se
3 La idea de cultura será entendida como un conjunto de “conocimientos, conceptos, técnicas, actividades,
creencias y valores, expresados en símbolos y prácticas, que caracterizan a cualquier grupo humano, y que
suele transmitirse -aunque no mecánicamente- en el tiempo (de una generación a otra) y en el espacio (de
un lugar a otro)” (Vergel, 2014, p. 37).
11
comprometen a conseguir un objeto, el cual está enmarcado dentro de la cultura en la
que se encuentran. En particular, la labor de enseñanza y aprendizaje es entonces un
proceso social, como lo es la actividad cognitiva que en ella se desarrolla.
El pensamiento, como expresión de la actividad cognitiva, deja de ser entonces un
concepto mental. Radford (2006a) lo define como “una reflexión mediatizada del
mundo, de acuerdo con la forma o modo de la actividad de los individuos” (p. 107). Al
ser una práctica social, el pensamiento es encarnado en recursos semióticos presentes en
el sistema cultural que los subyace. Es decir, el pensamiento es mediatizado4 por los
recursos semióticos que emergen en el transcurso de la actividad y que, al estar inmersos
en una cultura, vienen cargados de los significados propios de ella. Esto implica que el
pensamiento es subsumido por la cultura al mismo tiempo que la produce.
La actividad reflexiva del pensamiento es la que sintetiza los objetos matemáticos, pues
estos se entienden como “patrones fijos de actividad reflexiva incrustada en el mundo en
cambio constante de la práctica social mediatizada por los artefactos” (Radford, 2006a,
p. 111). Estos últimos se reconocen entonces como parte constitutiva del objeto en la
actividad reflexiva, y esta nos lleva a una toma de conciencia5 progresiva de algo que
con su presencia nos ob-jeta. Esto es lo que se denomina “proceso de objetivación”, una
elaboración6 activa de significados.
Sin embargo, no es solamente objetos de saber lo que se produce en la actividad de
enseñanza y aprendizaje. Entendiendo que estos no son dos procesos separados, ellos
desarrollan una labor conjunta, en la cual se produce un sujeto que está en permanente
constitución, en una relación dialéctica en la que al tiempo que está conociendo
(knowing) también se está transformando continuamente (becoming) (Radford, 2013).
Por lo tanto es un sujeto producto de interacciones sociales, es él a través de los otros, un
ser que se subjetiva al tomar posición y acción frente a las prácticas culturales que lo
constituyen.
4 La mediación semiótica será entendida en el sentido de Vigotsky en la cual el signo, más allá de
representar un objeto, posibilita la actividad reflexiva (Vergel, 2014). 5 Conciencia se entiende, de acuerdo con Vigotsky, como “un caso particular de la experiencia social”
(Radford, 2014, p. 142). 6 Elaboración tiene la connotación de producción en Hegel, que significa “hacer aparecer” (comunicación
personal con Rodolfo Vergel, Julio16 de 2015).
12
Para finalizar, es importante resaltar que el proceso de objetivación se establece a partir
de dos fuentes de elaboración de significados: la interacción social y la interacción con
los artefactos (objetos, instrumentos o sistemas de signos). La primera conlleva a que el
sujeto se esté formando discursivamente7 (Vergel, 2014), con lo que mi discurso se
constituye a través del discurso del otro. Los segundos forman lo que en la teoría se
conoce como recursos semióticos (Radford, 2010a), que poseen una inteligencia
histórica y cultural depositada en ellos y, al mediatizar la actividad, se convierten en
medios semióticos de objetivación. Las anteriores características permiten entender que
“el aprendizaje es esencialmente un proceso social de objetivación mediado por una
actividad semiótica multi-sistémica”8 (Radford, 2006b).
2.1.1 La interacción social y los medios semióticos de objetivación como fuentes de
elaboración de significado. Como se comentó anteriormente, el proceso de aprendizaje
se constituye a partir de la interacción social del sujeto y de los recursos semióticos que
medien en el desarrollo de la actividad.
La interacción social permite ver dos elementos clave, conocidos en la teoría como
Togethering, y el espacio de interacción conjunta. El primero hace referencia al esfuerzo
conjunto que realizan los sujetos para lograr el objetivo de la actividad, representado en
la tarea común que se desea resolver. El segundo implica el lugar (corpóreo y no
corpóreo) en el que se tiene una interrelación de pensamiento de los participantes
“haciendo el pensamiento un fenómeno colectivo” (Radford & Roth, 2010, p. 6).
En este punto puede ser necesario diferenciar entre “actividad” como se explicó con
anterioridad, y “tarea”. Esta corresponde al problema que el estudiante intenta resolver,
este es el objetivo de la actividad; ejemplo de esto sería para esta investigación
“determinar la velocidad instantánea en un punto”. La tarea (o un conjunto de tareas)
constituye una parte de la actividad, y tiene como rol ser el elemento que precipita la
discusión, la materia a partir de la cual toma forma la práctica reflexiva de la actividad.
También es en esta donde se refleja la intención pedagógica que el profesor busca poner
7 El discurso debe entenderse en el sentido dialógico del acto, un dialogo reflexivo con otro. (Radford,
2000; Vergel, 2014). 8 Traducido por el autor.
13
en juego, que corresponde al objeto de la actividad. Para este caso, el objeto corresponde
a que los estudiantes para profesor lleguen a pensar variacional y geométricamente el
objeto matemático derivada.
Por otro lado, los medios semióticos de objetivación (objetos, gestos, sistemas de signos)
son instrumentos que poseen una carga histórica y cultural en el proceso de objetivación,
y que permiten “una forma estable de conciencia” para hacer aparecer la intencionalidad
de la labor y organizar las acciones que desarrollan para lograr el objetivo de la misma
(Radford, 2010b). Esto resalta el hecho de que el pensamiento tiene un carácter
multisemiótico, es decir, se reconoce que diferentes recursos como lo escrito, lo hablado,
lo gestuado, y lo kinestésico se convierten en partes constitutivas del proceso cognitivo y
por tanto del pensamiento (Radford, 2009).
El gesto como medio semiótico. Entre los medios semióticos enunciados, es relevante el
papel que juega el gesto. Este permite poner de presente la intencionalidad del sujeto,
hacerla visible, especialmente cuando estos se encuentra ligados con el discurso,
evidenciándose como gesticulaciones (Kendon, citado por Vergel, 2015b).
Además da la posibilidad de expresar una conciencia acerca de un objeto cultural, o una
relación entre objetos, cuando otro sistema semiótico no es suficiente o satisfactorio para
comunicarla (Radford, citado por Vergel, 2014). Esta virtud los ubica como mediadores
de una conciencia frente a algo, es decir, como medios semióticos de objetivación. Al
respecto se dice:
“Ellos [los gestos] son elementos indispensables en el proceso de objetivación
del saber de los estudiantes. Los gestos ayudan a los estudiantes a hacer visibles
sus intenciones, a notar las relaciones matemáticas y a tomar conciencia de los
aspectos conceptuales de los objetos matemáticos” (Radford, citado por Vergel,
2014, p. 74).
Procesos de objetivación. Es de especial interés la relación que emerge de manera
sincrónica entre diversos medios semióticos, conocida como nodo semiótico. Estos, de
acuerdo con Radford (2003), corresponden a segmentos de la actividad semiótica en la
14
que diferentes medios semióticos interactúan, se coordinan y complementan buscando
objetivar el saber.
La objetivación del saber se logra cuando los nodos semióticos evolucionan. Una forma
en que esto ocurre es cuando se toman elementos de labores anteriores que permiten
clarificar la labor actual, o si se toman gestos o intenciones de otros sujetos para
convertirlos en propios. Este proceso se conoce en la teoría como iconicidad.
Otra forma de evolución de los nodos semióticos (y por tanto de objetivación)
corresponde a una disminución en el número de recursos semióticos utilizados a medida
que se vuelven más sofisticados, implicando una concentración del significado. Este
proceso se conoce como contracción semiótica (Radford, 2008b). Se puede distinguir
este proceso cuando el sujeto se exprese con un discurso más corto y mejor hilado,
acompañado con gestos más precisos, o produciendo fórmulas simbólicas en el que los
gestos ahora están expresados en un sistema alfanumérico (Radford, 2008b); ambas
reconocen que en el sujeto se está produciendo una reorganización psíquica que “lleva al
sujeto a una toma de conciencia del objeto cultural” (Vergel, 2014, p. 76).
2.1.2 Procesos de generalización y pensamiento variacional. Los procesos de
generalización no son un proceso exclusivo de un objeto matemático particular. Según
Radford (2015a), hacen parte del mundo de la educación en que estamos inmersos, pues
se usan de forma tácita. En especial, una búsqueda de variables lleva a poner atención a
aquellas características que son relevantes en un proceso, o de un objeto, y la educación
se vale de ello: “… [las corrientes epistemológicas reconocen] las ideas de
generalización que implícita o explícitamente, adoptamos y convenimos en nuestras
prácticas educativas” (Radford, 2015a, p. 130). Aceptado esto, toda práctica educativa
implica un proceso de generalización. Desde la teoría cultural de la objetivación, un
proceso de generalización (en el conocimiento) involucra tres factores: uno
fenomenológico, uno epistemológico-ontológico y otro semiótico.
El primero hace referencia a cómo a partir de la intención, la intuición y la atención se
eligen determinaciones sensibles (características) que constituyen la base de la
generalización. El segundo es el que permite a un conocedor extrapolar una
15
característica de un grupo de objetos de tal manera que se pueda decir algo respecto de
otro grupo de objetos. El tercero implica los medios semióticos con los que puede ser
expresado o referido lo generalizado (Radford, 2015a). Estos elementos están presentes
en todo acto de conocimiento, por tanto serán susceptibles de ser analizados dentro de un
estudio que trate de explicar el acto de conocer.
2.1.3 El aula de clase. El principio fundamental en el salón de matemáticas es ser con
otros (Radford, 2006a), situación en la que más que autonomía, lo que se espera es que
el sujeto haga parte de una comunidad. Se proponen tres fases como estructura para que
se desarrolle la clase, las cuales son:
1. Trabajo en pequeños grupos, se sugiere de tres o cuatro estudiantes (Radford,
2004), mientras el profesor circula por los grupos y discute con los estudiantes.
2. Intercambio entre pequeños grupos, lo que implica que las reflexiones realizadas
en pequeños grupos sean confrontadas y mejoradas a partir de las reflexiones de
los otros.
3. Discusiones generales. Es otro momento de intercambio de ideas; el profesor lo
aprovecha para profundizar en el objetivo de la actividad.
Cabe resaltar que al ser un espacio en el que se trabajan objetos matemáticos, y estos son
elaborados en actividades mediadas por diversos medios semióticos, el salón de clase se
convierte entonces en un aula multisemiótica (Radford, 2010a).
2.2 Respecto a la noción de derivada
2.2.1 Derivada desde lo epistemológico histórico. Pino-Fan, Godino & Font9 (2011)
exponen que los problemas que se trabajaron históricamente, y dieron origen al estudio
de la derivada, se enmarcan en tres aspectos. Estos son: trazado de tangentes, calcular la
velocidad de un cuerpo, máximos y mínimos de una curva.
9 Esta elaboración es desarrollada en el marco de una investigación para analizar la faceta ce conocimiento
didáctica-matemática de profesores en torno a la derivada, desde la perspectiva del Enfoque
Ontosemiótico. Aquí, cada una de las concepciones epistemológicas aparece por la identificación de un
sistema de prácticas generadas en la historia.
16
Un método de solución al primer problema, se puede ver en el libro de los Elementos de
Euclides, proposición XVII, libro III; en esta se pide trazar la recta tangente a un círculo
en un punto dado, y su trabajo es netamente geométrico deductivo. Posteriormente se
puede encontrar el método algebraico, desarrollado en el siglo XVII por matemáticos
como Descartes y utilizando el trabajo con geometría analítica como base. En esta época
también se resalta el trabajo de Barrow y Fermat, que conlleva un método vía
infinitesimales con la tangente como posición “límite” de las secantes, entendiendo el
límite de una manera intuitiva.
Respecto a la problemática variacional, aunque hay una discusión desde las paradojas
formuladas por Zenón de Elea sobre la ilusión del movimiento, el problema de cálculo
de velocidades se inicia con el aporte que realizó Oresme en el siglo XIV configurando
de manera gráfica diferentes tipos de movimiento. Uno de sus aportes importantes es la
relación de la magnitud de una variable representada con la longitud de un segmento.
Posteriormente aparece el trazado de tangentes desde una concepción cinemática, en lo
que personajes como Torricelli proponen una solución tomando como principio que una
curva es lo que describe un punto en movimiento, configurando: a) concepto intuitivo de
movimiento instantáneo; b) “Una curva es la trayectoria de un punto móvil”; c) “…su
tocante en cualquier punto es la línea de dirección del movimiento que tiene en ese
mismo punto el móvil que la describe (tangente de Roberval)”; d) “…una tangente…
resulta de la composición de dos movimientos de un punto móvil que traza la curva
(concepción de tangente de Sluse)”. Pino-Fan, Godino & Font (2011, p. 159).
Respecto al tercer tipo de problemática que conlleva la idea de derivada, el cálculo de
máximos y mínimos, tiene a Fermat como referente. El método de solución plantea de
manera implícita el uso de cantidades infinitesimales y el paso al límite. Finalmente
aparecen el método de fluxiones y el método de cociente de diferenciales de Newton y
Leibnitz respectivamente, quienes dejaron ya establecidas las bases para el cálculo
diferencial. La obra matemática posterior ha conllevado a dar fundamentación rigurosa a
estos enfoques, constituyendo a la derivada como un límite.
2.2.2 Derivada desde las matemáticas. Ramírez (2009), describe que se presentan tres
concepciones epistemológicas respecto al concepto de derivada a lo largo de la historia.
17
El primero corresponde a Lagrange (1736-1813), desde un análisis estándar enfocado en
el manejo de series; el de Cauchy (1789-1857), que es el que tradicionalmente se
imparte en la educación y cuya característica principal es entrar a la derivación mediante
el proceso de límite, elemento que lo hace complejo para estudiantes de matemáticas
básicas y de primeros semestres de universidad; y el de Robinson (1918-1974) con el
análisis no estándar, más intuitiva que la anterior al permitir manejar un proceso de
acercamiento, con los hiperreales como una extensión de los números reales. Respecto a
estas epistemologías, cabe decir que el lenguaje que cada una utiliza para describir la
idea de derivada cambia dependiendo desde cuál de ellas se está tratando.
2.2.3 Estructura didáctica de la derivada. Desde diferentes posturas epistemológicas se
han realizado propuestas didácticas sobre la derivada, aunque muchas de ellas
concuerdan en varios aspectos. Por ejemplo Dolores (2011) relaciona dos líneas desde
las que se presenta tradicionalmente la derivada en el aula.
La primera desde el análisis matemático, que recoge un enfoque algebraico (trabajo con
algoritmos), numérico (sucesiones numéricas al usar el límite de funciones), formal
(definición por límites épsilon-delta), y de aproximación afín local (pendiente de la
recta, pendiente de la secante, tangente como límite de secantes). La segunda a partir de
la necesidad de resolver problemas prácticos, que reúne a un enfoque geométrico
(tangente a la curva en un punto), y el variacional (tasa de cambio a la que está
cambiando f(x) comparada con respecto a x). El autor también agrega lo que llama un
enfoque computacional, que se desprende del trabajo con programas de computadora y
métodos numéricos.
En retrospectiva, la mayoría de los elementos por los que se encuentran conformados
cada uno de estos enfoques tienen relación con los expresados en la perspectiva
epistemológica histórica que se dispuso en la sección 2.2.1. En la presente investigación
se aborda el enfoque problémico, con lo que se aborda a la derivada desde la perspectiva
variacional a partir del movimiento de un cuerpo y su representación gráfica para llegar
a determinar la velocidad, la cual introduce la segunda concepción que corresponde al
cálculo de la pendiente de la recta tangente a la curva.
18
Dado que se desarrolla un trabajo con gráficas, es importante reconocer resultados que
Miranda et al. (2007), desde la postura de la Teoría Cultural de la Objetivación, han
elaborado acerca de la interpretación de gráficas de movimiento en el plano cartesiano.
Una de ellas corresponde a que las interpretaciones que se realizan se mueven en dos
planos diferentes: un espacio fenomenológico de evocación del movimiento, en el que
los estudiantes elaboran su discurso manteniendo como referencia el movimiento
realizado; y el llamado espacio geométrico de representación en el que las expresiones
se realizan en torno a elementos geométricos, como segmentos de recta y otros que
conforman el plano cartesiano. Además, reconoció el uso de una diversidad de medios
semióticos para llegar a significar el movimiento representado en el plano cartesiano.
También desde la teoría de la objetivación se ha hecho un acercamiento a la idea de
derivada, desde el trabajo realizado por Santi (2011). El autor analiza el concepto de
tangente a una curva por parte de estudiantes de educación secundaria. De los resultados
obtenidos, se resalta la postulación de unos niveles de generalidad de la derivada, que se
corresponden con los elementos históricos antes expuestos, ya que los sintetiza también
desde una idea de sistemas de prácticas:
(i) Generalidad corpórea: se usan medios semióticos de objetivación figurales,
manteniendo la noción en un nivel estrictamente de experiencia corporal y
perceptiva, comprendiendo la derivada como la recta que “toca un punto”.
(ii) Generalidad simbólica: se manejan medios semióticos simbólicos, y comprende
la tangente como solución de un sistema de ecuaciones bajo la condición de una
recta que toca a la curva en un solo punto.
(iii)Generalidad analítica: proceso dinámico en el que una recta pasó de “cortar” a
“tocar” a una curva, en un complemento geométrico y simbólico, tomando en
cuenta métodos infinitesimales, que llevan la idea de “tocar” a una forma
generalizada para cualquier curva derivable.
Estos niveles de generalidad pueden aparecer en el desarrollo de las tareas de la presente
investigación. Sin embargo no son objeto de análisis pues no son el objetivo de la
misma.
19
2.2.4. Estructura de las tareas. Las tareas son propuestas bajo los principios de la
Teoría Cultural de la Objetivación expuestos en el apartado 2.1., por tanto estas deben
propiciar espacios de interacción social, donde los sujetos se involucren en la solución
de las tareas propuestas, se reconozcan en transformación continua y conlleve el uso de
medios semióticos de objetivación. Además, deben reflejar la intención pedagógica del
docente (en este caso del investigador), que para la presente es llevar a los estudiantes a
pensar variacional y geométricamente en torno a la derivada.
Como un conjunto de elementos que deben verificar las tareas, se pueden dar:
1. Emergencia de medios semióticos: esto se verifica en el pilotaje de las tareas.
2. Que sea un problema que objete al estudiante y que le oponga resistencia: dadas
las evidencias conocidas en la búsqueda de información realizada, y por el
objetivo de las tareas, se propone un problema variacional en contexto gráfico.
3. Generación de interacción y discusión: esto se verifica en el pilotaje de las tareas;
además la estructura de la clase potencializa esta característica.
4. Emergencia de objetos matemáticos: Se puede verificar en el pilotaje. Sin
embargo el evento de la actividad puede llevar a que no emerja el objeto
matemático.
5. Objetivación: Las situaciones propuestas deben propender por una actividad
reflexiva continua.
6. Organización didáctica: De acuerdo con lo expresado por Dolores (2000) se
estructura una actividad que ponga en discusión la idea de velocidad media en la
primera tarea, la idea de velocidad instantánea en la segunda tarea, y en la tarea
se propone un acercamiento al objeto matemático derivada establecido como
saber cultural.
7. Objetivo de la actividad: Determinar la velocidad media, la velocidad
instantánea, y la caracterización de la derivada a partir de aproximaciones.
Las tareas serán presentadas en el capítulo 3, correspondiente a la metodología de la
investigación.
20
Capítulo 3
Metodología
La investigación desarrollada es de tipo cualitativo, descriptivo e interpretativo
entendidos en el sentido de Wollcot10
(citado por Coffey & Atkinson, 2003), de un
estudio microgenético (Vergel, 2014; Wertsch, citado por Martínez, 1999) del proceso
de objetivación de la derivada. La microgénesis se entiende como “el estudio minucioso
de los procesos de aprendizaje y desarrollo en períodos muy cortos de tiempo […], se
refiere al proceso de formación de una función psicológica en un contexto espacio
temporal concreto y limitado.” (Martínez, 1999, p. 22). Como parte de su metodología,
el análisis microgenético implica realizar una profunda descripción de los fenómenos
(actividad gestual, corporal, perceptual, discursiva) y su evolución durante el desarrollo
de tareas propuestas en torno a la variación del movimiento generado en una experiencia
grupal y representada en un contexto gráfico. Estas tareas, acerca de la derivada en sus
enfoques variacional y geométrico, se proponen:
1. porque de lo expuesto por varios autores, entre ellos Dolores & García (2011), el
concepto de derivada es de difícil comprensión para estudiantes tanto a nivel de
colegio como de educación superior, y se sugiere abordarlo (contrario al
tratamiento tradicional) desde un enfoque variacional y geométrico (Caballero &
Cantoral, 2013; Dolores y García, 2011; MEN, 2006). Se pretende así contribuir
al conocimiento de este objeto. En tanto objeto conceptual, la derivada puede
aparecer para los estudiantes como pura posibilidad o virtualidad, lo cual
armoniza con el principio ontológico esbozado anteriormente.
2. para brindar un nuevo enfoque en el estudio del proceso de enseñanza y
aprendizaje de la derivada. El aprendizaje es una toma continua de conciencia, es
un proceso de objetivación, que está dado de manera social y mediado por
recursos semióticos, con lo que el aula de clase es un espacio multisemiótico. Por
10
Para Wollcot, la descripción implica que los datos deben hablar por sí mismos, de la manera más
descriptiva posible; el análisis permite la extensión de los datos más allá de la narración descriptiva,
determinando relaciones esenciales lo más sistemáticamente posible; la interpretación precisa lo que se
puede llegar a hacer con los datos.
21
tanto su emergencia se analiza desde una perspectiva multimodal de la
cognición (Radford, Edwards & Arzarello, 2009; Arzarello 2006).
La idea de multimodalidad del pensamiento permite reconocer la naturaleza
multisemiótica del acto cognitivo. Lo gestuado, lo hablado, lo escrito, son analizados en
conjunto, es decir, no tiene sentido analizar cada uno de estos medios semióticos de
manera independiente porque ellos constituyen nuestros procesos cognitivos (Vergel,
2015a, 2015b).
La búsqueda de información para la investigación es guiada por los elementos teóricos
de la Teoría Cultural de la Objetivación y la concepción de la multimodalidad del
pensamiento, especialmente lo correspondiente a la emergencia de medios semióticos de
objetivación y la aparición de nodos semióticos y su evolución; por la población de
trabajo, correspondiente a estudiantes para profesor de matemáticas; por el objeto
matemático de estudio, correspondiente a una concepción variacional y geométrica de la
derivada; y en conjunción con las anteriores, la propuesta y modificación de las tareas de
acuerdo al pilotaje realizado de las mismas.
La recolección de la información es guiada por la manera en que se desarrolla el evento,
haciéndose operativa a partir de la emergencia sincrónica de medios semióticos de
objetivación. Así mismo, se asegura que la información y la investigación son confiables
y válidas dado que a partir de una fuente de información primaria, y dentro de las
estrategias11
propuestas por Le Compte & Goetz (citado por Martínez, 2006) utilizadas
para el desarrollo del trabajo, se propone como categoría de análisis los nodos
semióticos (segmentos de la actividad en la que sistemas semióticos aparecen de forma
simultánea) y su evolución (contracción semiótica). Estos se hacen explícitos a partir de
la unidad de análisis correspondientes a medios semióticos de objetivación, y se reflejan
en los episodios (segmentos de la actividad) los cuales son abstraídos de
videograbaciones de las sesiones de trabajo, con apoyo de las hojas de trabajo de los
estudiantes. Lo anterior permite realizar una descripción suficiente y detallada de los
elementos involucrados, así como del análisis realizado.
11
Esto hace referencia a elementos a tener en cuenta para mejorar la confiabilidad de la investigación.
22
A continuación se realiza una ampliación de los elementos descritos anteriormente.
3.1. Diseño de la investigación
Dado que la investigación se encuentra enmarcada dentro de la perspectiva de la Teoría
Cultural de la Objetivación (Radford, 2006a), se utiliza como base la metodología
propuesta por Radford (2010a). Esta consta de un ciclo de cuatro fases correspondientes,
primero al diseño de las actividades a desarrollar, segundo, a la implementación de las
actividades, tercero, al análisis de la información e interpretación de datos, y cuarto, la
generación de teoría, de lo cual se pasa nuevamente al diseño de las actividades (tareas).
En esta investigación se asume la estructura metodológica desarrollada por Moreno
(2014), en la cual, por un lado, se habla en términos de tareas y no de actividades, y, por
otro lado, en la cuarta fase no se realiza una generación de teoría propiamente dicha,
sino que se plantean comparaciones teóricas y se generan conclusiones. A continuación
se presentan las dos estructuras metodológicas, la de Radford (2010a), y la de Moreno
(2014).
Metodología investigación longitudinal Metodología de la investigación
(Radford, 2010a) (Moreno, 2014)
Diagrama 1. Comparación de la metodología propuesta para la investigación, respecto a la de
investigación longitudinal.
A continuación se describe, para esta investigación, cada una de las fases de la estructura
metodológica basadas en la adaptación propuesta por Moreno (2014):
1. Diseño de tareas.
a. Planteamiento de las tareas, bajo la perspectiva de la teoría cultural de la
objetivación. Estas se propusieron con la intención pedagógica de propiciar la
23
producción del objeto matemático derivada en una situación variacional y
con representación gráfica.
b. Pilotaje de las tareas: Se realizó con una pareja de profesoras de matemáticas,
con la finalidad de determinar posibles inconsistencias en las tareas
propuestas y observar la aparición de medios semióticos durante su
desarrollo. El tiempo del que dispusieron para la resolución fue libre, a pesar
de que cada una de las tres tareas estaba pensada para un tiempo de dos
horas. Sin embargo necesitaron menos tiempo del que se tenía pensado, lo
cual se reflejó en la implementación pues el tiempo del que finalmente se
dispuso para la aplicación fue de 4 horas para las tres tareas dadas.
c. Modificación de la tarea: de acuerdo a los resultados del pilotaje, se hizo
necesario realizar algunos cambios en la forma en que se presentaban los
ítems, especialmente en términos del lenguaje y redacción utilizados. Por
otro lado, cada una de las profesoras utilizó una diversidad de medios
semióticos para el desarrollo de las tareas propuestas, principalmente
deícticos espaciales y representaciones alfanuméricas.
Cabe decir que la recolección de información respecto al pilotaje se realizó
mediante videograbaciones, las hojas de trabajo de los profesores, y la
observación del investigador.
2. Implementación de las tareas.
a. Selección del grupo focal: las tareas rediseñadas se desarrollaron en el grupo
de la asignatura Matemática del movimiento II perteneciente a la línea de
Matemáticas escolares y pensamiento matemático avanzado del proyecto
curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas
de la Universidad Distrital, Bogotá, Colombia.
La asignatura gira principalmente alrededor de análisis de situaciones de
movimiento y del concepto de derivada, y está sugerida para el séptimo
semestre académico dentro del plan de estudios. El grupo contó con la
24
participación de 20 estudiantes, de los cuales 2 asisten voluntariamente a
clase, y 3 están repitiendo la asignatura.
b. Desarrollo de las tareas: Estas se trabajaron en el transcurso de dos sesiones.
En la primera, correspondiente a un espacio de dos horas, se desarrolló la
tarea 1. Para la segunda, de las dos horas disponibles se hicieron efectivas
solamente una hora y 40 minutos aproximadamente; en esta se desarrolló la
tarea número 2 y algunos grupos completaron la tarea 3.
c. Una de las ventajas que tiene la organización con que la profesora titular
realiza sus clases es el manejo de grupos de trabajo. En este caso, se tuvo una
organización de seis grupos de tres estudiantes cada uno, y un grupo de dos
estudiantes. Esta característica organizativa potenció el proceso de enseñanza
y aprendizaje desde la teoría de la objetivación, pues se evidenciaron
elementos como el Toghetering y el espacio de acción conjunta (Radford &
Roth, citado por Vergel, 2014).
La información se recolectó según lo recomendado por Miranda, Radford &
Guzmán (2007). Este modelo comprende:
(i) Grabar tanto los momentos de clase general como a los integrantes del
grupo para capturar las representaciones que realizaron. Para ello se
dispusieron dos cámaras de video, por lo que se requirió la ayuda de
colaboradores en una de las cámaras. Para cada sesión se contó con un
colaborador diferente, sin embargo con ambos se socializaron los
principios de la teoría, y cuáles eran los elementos a tener en cuenta al
momento de realizar las grabaciones.
(ii) Se recogieron las hojas de trabajo de los estudiantes, donde se encuentran
evidencias de registros semióticos gráficos, alfanuméricos y algebraicos.
(iii)Se realiza la transcripción de los videos grabados durante las sesiones de
desarrollo de las tareas.
25
(iv) Finalmente, se hace un análisis de los videos (con sus transcripciones) y
las hojas de trabajo de los estudiantes, buscando la evidencia de
emergencia de medios semióticos.
3. Interpretación de la información y generación de datos.
a. Generación de hipótesis y categorías iniciales. La unidad de análisis
corresponde a los medios semióticos que movilizan los estudiantes para
profesor. Las categorías son:
(i) Nodos semióticos: correspondiente a segmentos de la actividad de
los estudiantes en las que se presenta coordinación de recursos
semióticos.
(ii) Contracción semiótica: implica la evolución de los nodos
semióticos (Radford, 2003), produciendo el procesos de Objetivación
(Radford, 2008b)
b. Configuración y sistematización de datos. Teniendo en cuenta las categorías
de investigación propuestas correspondientes al nodo semiótico y la
contracción semiótica, se configuran los datos de investigación a partir del
análisis desde la perspectiva multimodal del pensamiento. Esto significa que
el interés se centra en seleccionar de las hojas de trabajo de los estudiantes,
de los videos y de las entrevistas los aspectos asociados a la movilización de
recursos semióticos, así como a la relación entre ellos. En otras palabras, se
seleccionan episodios y fragmentos correspondientes a segmentos de la
actividad matemática que reflejen el uso de medios semióticos (gestuales,
kinestésicos, hablados, simbólicos, etc.) así como su interacción y evolución.
En este sentido, el enfoque microgenético es útil para analizar la formación a
corto plazo de algún proceso sicológico determinado (Wertsch, 1988). Como
lo expresa Vergel (2014):
“Debemos reconocer que las formulaciones que expresan las
generalizaciones de los alumnos pueden componerse de acciones, tales
como gestos, ritmos, miradas, palabras, esto es, de formulaciones que se
26
expresan y se despliegan en el espacio y el tiempo. Éstas han pasado
desapercibidas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Consideramos que son elementos importantes en la constitución y
manifestación del pensamiento matemático, por lo que se hace necesario
detectarlas…” (p. 2)
Cabe resaltar también que, aunque solo se trabajaron dos sesiones, la
finalidad del trabajo está dirigida a identificar la emergencia de medios
semióticos, así como analizar la manera en que evolucionan, es decir, poner
de relevancia un proceso de contracción semiótica. En palabras de Radford &
Sabena (2015):
“[los] nodos semióticos son una herramienta metodológica para estudiar
el aprendizaje. A través del uso de varios recursos semióticos del
estudiante y del docente, nosotros podemos tener, metodológicamente
hablando, una idea de la actividad de aprendizaje reflexivo [objetivación]
del estudiante y el tipo de interpretaciones y significados que el estudiante
produce” (p. 167)
Es decir, en el nodo semiótico, al tenerse una actividad reflexiva
eminentemente mediada, se está evidenciando un aprendizaje. La
contracción semiótica permite determinar la manera en que el aprendizaje
está ocurriendo “La evolución de nodos semióticos nos provee con una
visión más general de la manera en la cual el cambio está ocurriendo. Para
investigar la evolución del nodo semiótico, hemos introducido el concepto
de contracción semiótica” (Radford & Sabena, 2015, p. 167).
Por tanto, al analizar la presencia de nodos semióticos y su evolución, se
está dando cuenta de la manera en que aprende el grupo que participa en la
investigación, es decir, se está describiendo un proceso de objetivación
particular. El espacio de tiempo en el cual emergen y evolucionan los medios
semióticos de objetivación podría ser corto. En este sentido, se desea
27
documentar un fenómeno (objetivación de la derivada) que tiene
características del enfoque microgenético vygotskiano (Wertsch, 1988).
c. Se realiza una transcripción de los segmentos que enfocan el uso y evolución
de los nodos semióticos, que servirán como datos de investigación.
4. Conclusiones y comparaciones teóricas:
a. Triangulación de la información. Con las tres fuentes de datos (transcripción
de videos, hojas de trabajo de los estudiantes y entrevistas) se establecen
relaciones para profundizar la mirada del fenómeno, en este caso la
emergencia y evolución de medios semióticos de objetivación y
consecuentemente la objetivación de la derivada. Aquí es donde este proceso
de objetivación, particular de los participantes en la investigación, se puede
extender hacia aspectos más generalizables a partir de la comparación con
resultados de investigación avalados, por esto permanentemente se hacen
contrastes con la teoría, en particular, resultados de investigación reportados
en la literatura nacional e internacional.
b. Generación de conclusiones.
3.2. Caracterización de los sujetos participantes en la investigación
El trabajo de campo se desarrolló con el grupo de estudiantes para profesor de la
Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad
Distrital, integrantes del curso de Matemática del Movimiento II situado en el séptimo
semestre académico del proyecto curricular.
Dada la dinámica de resolución de problemas propuesta en el proyecto curricular12
y en
la misma asignatura, así como por las condiciones del aula de clase, los estudiantes para
12
La perspectiva corresponde a Charnay para quien problema es “una terna: situación/alumno/entorno.
Solo hay problema si el alumno percibe una dificultad: una determinada situación que “hace problema”
para un determinado alumno, puede ser inmediatamente resuelta por otro (y entonces no será percibido por
este último como un problema). Hay, entonces, una idea de obstáculo a superar. Por fin, el entorno es un
elemento del problema, en particular las condiciones didácticas de la resolución (organización de la clase,
intercambios, expectativas explícitas o implícitas del docente)” (Bustos & Moreno, 2008, p.2)
28
profesor de matemáticas mostraron buena disposición, compromiso e interés para llevar
a cabo un trabajo grupal en el desarrollo de la propuesta, y un ambiente ameno para
discutir e intercambiar ideas con compañeros de su mismo o de otros grupos, generando
debate, exponiendo y defendiendo las ideas surgidas en el desarrollo de las tareas, y
reflexionando frente a las ajenas respecto al camino de solución de las mismas.
Fiel a los principios teóricos propuestos por Radford, Demers, Cerulli, & Guzmán
(2004) para la estructura de la clase, y bajo la misma tendencia de Vergel (2014), se
buscó que los estudiantes interactuaran e intercambiaran ideas al tiempo que se produce
discusión entre ellos con el fin de que se constituya un discurso propio a través del
discurso del otro, permitiendo el contraste y las congruencias del objeto del saber puesto
en juego. Con esta finalidad el investigador entraba en contacto con cada uno de los
grupos de trabajo de tal manera que verificaba o provocaba la presencia de las anteriores
características.
Entre las tácticas usadas por el docente investigador, se solicitó a los estudiantes en cada
grupo que explicaran las estrategias propuestas para dar solución al problema, y realizó
preguntas respecto al trabajo que proponían de tal suerte que requirieran la verbalización
o uso de alguna forma de comunicación de la experiencia matemática. Esto propició un
momento de reflexión y generó retroalimentaciones frente a la manera en que él (el
estudiante) estaba dando solución a la tarea, así como respecto a la forma en que podían
expresarse acerca de esta.
Los espacios de interacción intergrupal permitieron a los participantes de los grupos
reconocer nuevas estrategias de los otros (o reafirmar las propias). Esto conllevó a que
tuvieran que reflexionar respecto al conocimiento expresado por los otros.
Finalmente, los espacios de socialización general dieron la posibilidad a cada uno de los
grupos de defender los diferentes puntos de vista que se generaron al respecto, tanto de
la tarea propuesta como de lo que emergió como objeto matemático de la situación. En
este último espacio, el docente investigador propendía mediante preguntas por el
contraste de las diferentes estrategias y conceptos generados en la discusión.
29
Para el desarrollo de las tareas, el primer día se contó con la participación de 20
estudiantes y en el segundo intervinieron 18, los otros dos no asistieron a clase. El curso
se dividió en 7 grupos, 6 de tres personas y uno de dos, conformados de forma libre. En
la primera clase se contó con la presencia de la profesora titular durante los primeros
minutos con el fin de realizar la presentación del investigador (quien dirigiría el proceso
de las sesiones) y explicar a los estudiantes la finalidad del trabajo a desarrollar.
La selección de los grupos susceptibles de análisis se realizó por la presencia abundante
de medios semióticos (deícticos, gestuales, verbales y escritos), relacionados con los
elementos de interés para la investigación. Así, se escogió el grupo número 2 integrado
por Paola, David y Lina, quienes además de un uso constante de recursos semióticos,
evidenciaron un continuo análisis y reflexión de sus intervenciones propias y de sus
compañeros, con lo que la presencia del otro se convirtió en parte fundamental de la
actividad, como lo sugiere la idea de “ser con otro” (Radford, 2006a, p. 116). También
cabe resaltar que este grupo resume, en términos de elaboración, lo realizado por la
mayoría de los otros grupos.
El otro grupo elegido fue el 7, integrado por Jefferson, Jhon y César, quienes
presentaron igualmente un manejo constante de recursos semióticos. Este presentó un
espacio de resolución que fue abarcado también por los demás grupos, pero este se dio la
libertad de tomar más tiempo y generar un mayor espacio de discusión entre ellos frente
a la primera parte del trabajo; los otros grupos pasaron por esta etapa.
3.3 Las tareas
Pino-Fan et al. (2011) señala que han sido tres los problemas que históricamente dieron
vida a la derivada: el de la determinación de la velocidad, el trazado de rectas tangentes,
y el de máximos y mínimos. En esta investigación se decide abordar el objeto derivada
desde la problemática de la velocidad, lo cual nos lleva a tratar la derivada en términos
de un pensamiento variacional desde un punto de vista problémico. Para esto se adapta
una parte de la estructura didáctica13
propuesta por Dolores (2000) partiendo de la idea
de velocidad media, para determinar posteriormente la velocidad instantánea, y de allí
13
Se toma la estructura de presentación de contenido, pero no se adoptan las tareas que plantea.
30
configurar la idea de tangente de una gráfica y derivada como la pendiente de la recta
tangente a un punto límite por secantes.
Las tareas se pilotearon con la finalidad de determinar la potencialidad como situaciones
que promueven la emergencia de medios semióticos, interacción social, y procesos de
objetivación, características importantes que deben tener al estar formulada bajo los
parámetros de la teoría, como se mostró en el apartado 2.2.3. Además permite
retroalimentar la pertinencia respecto al objeto matemático que surge, así como la
existencia de posibles dificultades de comprensión de la tarea por la redacción de la
misma. A continuación se muestra cada una de las tareas propuestas con los
correspondientes resultados del pilotaje.
3.3.1 Tarea 1. La tarea propuesta se muestra en la Figura A. Esta está expresada en
términos tales que los sujetos se sientan implicados en la misma al reconocerse como
parte de esa comunidad académica. El objetivo de la tarea es determinar la velocidad
media. Se espera que esto ocurra por dos motivos:
a. porque el producto del movimiento es una gráfica, y como se comentó en
apartados anteriores, los estudiantes tratan de aplicar el proceso de derivación
cuando se les presenta una función.
b. porque no se explicita que tienen que hallar la velocidad instantánea, sino la
mayor velocidad. Igualmente, se expresa bajo la sospecha de que no se presenta
una relación directa de “mayor velocidad” con un proceso de optimización.
Por las mismas razones anteriores, se espera que el problema objete a los sujetos, al
enfrentarlos al dilema de calcular el valor de velocidad sin tener una función para
determinarla. La generación de interacción y discusión se propone a partir de la
sugerencia realizada en el cuarto punto de la tarea. Para este momento ya debe haberse
realizado una primera actividad reflexiva que permita poner en discusión elementos de
la situación, y así poder constituir discurso y continuar en un proceso de toma de
conciencia a partir de lo que los otros compañeros conversen con él.
31
Respecto al problema, se solicitó a los participantes que determinaran la velocidad de su
representante. Para ello tenían que reconocer cuál es la información que les presenta la
gráfica producida en la calculadora (correspondiente a posición vs. tiempo) y que
reconozcan que la velocidad corresponde a la distancia recorrida en un cierto intervalo
de tiempo. Cabe decir que en la aplicación cada grupo obtendrá una gráfica diferente,
característica del participante que realizó el recorrido.
En las olimpiadas internas del proyecto curricular LEBEM, se premiará al grupo que
tenga el participante más veloz, para lo cual se realizará la siguiente competencia:
El representante del grupo, ubicado en el punto inicial de la carrera (colocado a 0,5
metros de un sensor de movimiento CBR) se alejará hasta otro punto demarcado
(que se encuentra a una distancia de cuatro metros del CBR), y volverá al punto
inicial. Esto se repetirá tres veces, lo más rápido posible.
Al terminar el recorrido, la ‘tecnología deportiva’ nos permitirá obtener una
gráfica. A partir de esta, el grupo debe determinar cuál fue la velocidad de su
representante. Ganará el grupo cuyo representante tenga la mayor velocidad
durante su recorrido.
1. Discuta con sus compañeros de grupo, posibles caminos para poder dar
respuesta al problema. Escríbalos a continuación.
2. Mencione los elementos clave para dar solución al problema.
3. Describa el proceso que utilizaron para determinar la velocidad.
4. Compare su proceso con el de los otros grupos. Discuta sobre las ventajas o
desventajas de su proceso, así como el de los otros.
5. ¿Se sigue manteniendo en su proceso? ¿Por qué?
6. ¿Qué grupo ganó?
Figura A. Tarea 1 piloteada
32
En el siguiente cuadro se resumen los elementos hallados en el pilotaje de la tarea 1:
Punto
de
la tarea
Actividad corporal Expresión verbal Descripción
1
…esto lo que está
representándome es
distancia tiempo,
distancia tiempo…
Señala con el lápiz la
parte creciente de la
primera sección de la
gráfica, al tiempo que
pronuncia la frase.
… el espacio que
se tenía que
recorrer de donde
estaba el cosifly [se
refiere al CBR]
hasta llegar a la
meta es el mismo
Representa la
situación de
movimiento con el
dibujo de una recta.
Genera discusión
acerca de la forma del
movimiento
2
… Espacio
recorrido, tiempo
recorrido,…
Expresa verbalmente
lo que está escribiendo
3
…[después de leer
el enunciado del
problema] saldrán
tres, tres veces,
ya…
Traza un nuevo plano
cartesiano y dibuja
tres montañas
mientras expresa que
salen tres veces.
… digamos que mi
compañero se
demoró en ir y
venir, ir y venir, ir
y venir, tres veces
Primero hace un gesto
indicando con la mano
derecha el ir y venir,
para entrar a
determinar el tiempo
total y entrar a
determinar la
33
velocidad
4
…Desde el punto
de partida, al lado
del CBR… [luego
de leer bien el
problema] … ah,
ya, a 0,5 metros del
sensor…
Al preguntarle,
¿Dónde empieza él [el
compañero] a hacer el
recorrido? Contesta de
forma verbal y
deíctica sobre la
representación gráfica
5
… pues sí porque
estoy llevando…
Extiende su mano
hacia arriba para
indicar las operaciones
realizadas.
6
… entonces acá no
es desde el
CBR…tiempo
recorrido desde el
punto de partida…
Al repasar la
estrategia, luego de la
interacción con el
investigador en el
punto 4, vuelve para
borrar una indicación
equivocada
Tabla A. Descripción de elementos encontrados en el pilotaje de la tarea 1.
En la tabla se evidencia que se generó una multiplicidad de recursos semióticos. Por
ejemplo se tienen gestos deícticos (puntos 1, 4, 5) para hacer referencia a una ubicación
espacial (puntos 4, 5) o a un movimiento (punto 1), al tiempo que realizaba
intervenciones verbales que se complementan con el gesto. En los puntos 2 y 3 se
evidencia el uso de recursos gráficos como complemento a su discurso, evidenciado en
los gráficos que trazó. Además en el punto 3 se evidencia el uso de expresiones
alfanuméricas, como la expresión para determinar velocidad. Lo ocurrido en el punto 6,
correspondiente a borrar, es un producto de una reflexión que realizó después de
interactuar directamente con el investigador respecto a la manera en que había tomado
los datos para resolver la pregunta 3. Los espacios entre preguntas en la guía estaban
34
dados para que registraran las respuestas, sin embargo hubo uso de la parte posterior de
la hoja para reproducir la gráfica de movimiento obtenida, así como para realizar otros
procedimientos que se encontrarán necesarios.
Por otra parte, se observa que el objeto matemático que evocó correspondió al de
velocidad media, lo que constata la hipótesis acerca del tipo de trabajo que se aborda.
Así, se evidencia que la tarea promueve el surgimiento de recursos semióticos, y una
interacción entre ellos, así como una toma de conciencia de los elementos que componen
la tarea en un espacio de interacción con el investigador.
Sin embargo fue necesario realizar un pequeño cambio en la redacción para que se
entendiera mejor la situación. En la hoja de pilotaje, al final de la explicación de la
actividad con el CBR, dice “Esto se repetirá tres veces, lo más rápido posible”. Esto se
cambió en la tarea 1 implementada, por la frase “Este ir y venir se repetirá tres veces, lo
más rápido posible” pues no se comprendió fácilmente la instrucción. Además, fue
necesario especificar la frase “la ‘tecnología deportiva’ nos permitirá obtener una
gráfica.”, complementándola para relacionar de quien era la gráfica, con lo que
finalmente quedó “la ‘tecnología deportiva’ nos permitirá tener una gráfica del
movimiento de nuestro representante.”
Finalmente decir que, aunque existía un temor porque la situación y las preguntas fueran
demasiado abiertas, en realidad esto permitió más libertad para la solución de las
mismas.
3.3.2 Tarea 2. La siguiente tarea giró en torno a la idea de velocidad instantánea. Para
ello se trabajó a partir de la situación presente en la tarea 2 (Figura B).
Con la primera pregunta se propende reconocer que hay una diferencia entre tener una
mayor velocidad media, respecto de una mayor velocidad instantánea. Con ello se
esperaba que se reconociera que hay velocidades diferentes en momentos distintos. Con
la segunda pregunta, se buscó que se aborden elementos como determinar velocidad
35
media entre dos puntos distintos al inicial y el final del recorrido, el que el intervalo a
trabajar corresponde a cambios en la magnitud de cada una de las variables, y que los
extremos de esos intervalos se corresponden con los extremos de un segmento de recta.
A partir de esto se espera que inicien procesos de aproximación mediante secantes a la
curva.
1. En las competencias atléticas de fondo se encuentran contrastes. ¿Ocurre que el
que corre más rápido es el que gana?
2. La competencia se trata de premiar al grupo con el representante más veloz, es
decir, que alcance una mayor velocidad durante el recorrido. Por tanto determinen
la mayor velocidad que alcanzó el representante de su grupo.
3 ¿Cómo garantizan que la velocidad que ustedes hallan es la mayor de todas las
que tuvo su compañero?
4. ¿Qué característica de la gráfica insinúa una mayor o menor velocidad?
5. Compare su proceso con el de los otros grupos. Discuta sobre las ventajas o
desventajas de su proceso, así como el de los otros. ¿Se sigue manteniendo en su
proceso? ¿Por qué?
6. Entonces, ¿quién gano?
Figura B. Tarea 2 piloteada
36
Esta tarea movilizó los mismos medios semióticos (deícticos, gestuales, verbales,
gráficos, alfanuméricos). Sin embargo cabe resaltar que en el punto 1 se mantuvo la
misma idea de velocidad, y que en el punto 2 la mayor velocidad en la gráfica se obtuvo
como aquella en la que “la mayor velocidad va a ser ese intervalo de espacio en el cual
la gráfica estuvo más cerrada”
Figura C. Punto 2 prueba piloto tarea 2.
Lo cual se ratifica al contestar la tercera pregunta, pero reflexionando (a partir de una
discusión que plantea el investigador) respecto a que esa oscilación más cerrada es
adecuada si se tiene en cuenta que “la distancia fue la misma”.
Figura D. Punto 3 prueba piloto tarea 2
También cabe resaltar, que luego de la discusión planteada en el punto 5, el discurso fue
reelaborado, y se pasó a trabajar el recurso de determinación de secantes para hallar una
velocidad.
Figura E. Punto 6 prueba piloto tarea 2
Se tiene entonces que, además de recursos semióticos que se movilizan, la interacción
social provoca toma de conciencia, con lo que el discurso es reelaborado.
37
Nuevamente las preguntas proyectan lo deseado, con lo cual la tarea es aceptada. Sin
embargo, es necesario complementar una parte del enunciado inicial, pues no se
comprendió lo que es una carrera atlética de fondo, con lo cual se optó por agregarle la
frase “de largo aliento”.
3.3.3Tarea 3. Esta propone una descripción del proceso global, tratando de ubicarlo en
términos alfanuméricos propios del álgebra para sopesarlo con la idea cultural moderna
de derivada.
1. La velocidad que se halló para determinar el ganador, se denomina velocidad
instantánea. Hallen la velocidad instantánea para el primer segundo, el tercer
segundo y el quinto segundo.
2. En la gráfica, ¿a qué equivale el proceso para determinar una velocidad
instantánea en un punto?
3. Realice una descripción matemática del procedimiento. Socialícelo con el curso.
4. Busque en la literatura matemática, a que corresponde este procedimiento.
Figura F. Tarea 3 piloteada.
En el pilotaje de esta tarea se reconoce una mayor presencia de representaciones
alfanuméricas, procurado por el tipo de pregunta que se realizó. Se evidencia la idea de
derivada como el límite de una función, orientado por el hecho de ser una velocidad
instantánea (recurso alfanumérico), como se muestra en la Figura G.
38
Figura G. Punto 1 prueba piloto tarea 3
Sin embargo el resultado obtenido supuso la necesidad de una actividad reflexiva, que
fue apoyada por la solicitud del punto 2 (recurso gráfico)
Figura H. Punto 2 prueba piloto tarea 3
En este punto se pudo hacer aparente que la gráfica permite pensar acerca de la
expresión analítica que se pretende formular, es decir, se evidencia una reorganización
psíquica eminente, lo que implica una contracción semiótica.
El último punto de la guía 3 pretendía, si aún no había sido expresado, poder acercar lo
hecho a la denominación la denominación cultural matemática del objeto “derivada”.
39
Aunque en el pilotaje este elemento no fue necesario, se toma la decisión metodológica
de utilizarlo en la implementación, pues se espera que en el espacio académico en el que
se realiza se encuentren personas que no conozcan sobre la derivada.
En la socialización se busca caracterizar a la derivada como el valor de la pendiente de
la recta tangente a la curva, y reconocer que en la situación hay diferentes velocidades
instantáneas, lo que permite describir la cantidad de variación que hay entre las dos
variables. A esta última tarea no se le realizaron modificaciones.
En cuanto al tiempo, las tareas están propuestas para un espacio de desarrollo de seis
horas. Sin embargo en el pilotaje se usó un poco menos de tres horas, lo cual fue
adecuado porque el tiempo con el que finalmente se contó para la implementación de las
tareas fue de cuatro horas.
Dado lo anterior, las tareas han sido aceptadas con las precisiones de interpretación ya
comentadas. La presentación final se puede ver en la sección de anexos.
3.4 Recolección de la información
La información se tomó a lo largo de dos sesiones de trabajo con una duración nominal
de 2 horas cada una, el día lunes y martes de la primera semana del mes de septiembre
de 2014. El espacio físico utilizado fue el mismo asignado para el desarrollo de la
asignatura por parte de la universidad, correspondiente en la primera sesión al aula de
didáctica, y en la segunda sesión al aula de informática. Cabe decir que previamente las
tareas aplicadas fueron socializadas con la docente titular de la asignatura para
establecer la pertinencia de las mismas dentro de la línea de trabajo que ella realizaba
con el grupo.
Las sesiones se desarrollaron bajo los preceptos estructurales de los momentos de clase
que se sugiere desde la teoría cultural de la objetivación (Radford, 2006a). En cada una
se dio inicio realizando una lectura dirigida de la guía en la que se encontraba propuesta
la tarea y se daba explicación a la misma, respondiendo a las preguntas que surgían. A
continuación se dio un trabajo en pequeños grupos (cada uno con su respectiva guía)
40
conformados seis de ellos por tres personas y uno por dos personas; posteriormente se
dio un espacio para la retroalimentación de las discusiones intergrupales, y finalmente se
realizaba una socialización general de lo desarrollado y compartido por los grupos de
trabajo.
Respecto al tiempo de las sesiones, aunque se disponía de dos horas en cada una, el
tiempo efectivo de trabajo fue de una hora con 45 minutos, de los cuales en la primera
los 20 minutos iniciales se dieron para el trabajo de cada uno de los grupos con el sensor
de movimiento CBR obteniendo su gráfica correspondiente, y el resto del tiempo para el
desarrollo de los espacios de interacción nombrados anteriormente.
Para la segunda sesión el tiempo se repartió en aproximadamente una hora y 25 minutos
para la guía número dos, y el resto (20 minutos) para la guía correspondiente a la tercera
tarea. Cabe decir que la tercera guía no tuvo el espacio de discusión intergrupal ni
general, debido a la falta de tiempo, pero se usaron los equipos de cómputo para la
búsqueda de información acerca del proceso que estaban llevando a cabo. La idea de
este apartado de la tarea era ubicar a los medios de información disponibles (en este caso
los computadores) como artefactos semióticos que poseen una inteligencia histórica y
cultural depositada en ellos, sin embargo esta intención no fue cristalizada en el
desarrollo de la actividad.
Las hojas de trabajo de los estudiantes fueron recolectadas al final tanto de la primera
como de la segunda sesión, dado que se constituyen en un instrumento de recolección de
información.
Durante las clases se tuvo a disposición dos cámaras de video, una dirigida por el
docente investigador, y la otra manejada por una ayudante, a quien se le dio una
orientación acerca de los aspectos importantes que debían ser registrados durante la
grabación. Anticipadamente se les había comunicado a los estudiantes para profesor
acerca de la necesidad de realizar las grabaciones como instrumento de recolección de
información, con lo que estuvieron de acuerdo.
Posteriormente se realizó un análisis de los videos obtenidos desde la categoría de
aparición de medios semióticos, para identificar los episodios más relevantes que
41
conformarían los datos, teniendo como perspectiva la saturación y sensibilidad teórica
que posee el investigador (Glaser, citado por Vergel, 2014). La saturación teórica
implica que no se ha encontrado información que permita desarrollar más la categoría.
Uno de los criterios para reconocer saturación teórica es la sensibilidad teórica del
analista (Murillo, S.F.). Esta última corresponde a la habilidad que tiene el investigador
para abordar teóricamente los datos.
Lo anterior implica que las grabaciones y las hojas de trabajo fueron inspeccionadas
determinando los episodios que permitieran dar cuenta de una actividad semiótica más
rica en cuanto a presencia de recursos semióticos, y de la evolución de los mismos. Los
episodios seleccionados son transcritos para, finalmente, realizar el análisis multimodal
de los datos obtenidos.
42
Capítulo 4
Análisis de datos
4.1. Categoría de análisis
En concordancia con la pregunta de investigación y los consecuentes objetivos
propuestos, al pretender dar cuenta de los medios semióticos que movilizan los
estudiantes de profesor de matemáticas cuando resuelven tareas asociadas al enfoque
geométrico y variacional de la derivada, la unidad de análisis a utilizar corresponde a los
recursos semióticos que emergen en el desarrollo de la actividad. En este sentido, para la
presente investigación se muestran una serie de episodios en los cuales se refleja la
presencia de elementos gestuales, kinestésicos, verbales, o escritos, organizados de
acuerdo a la secuencia de tareas propuesta: tarea 1: idea de velocidad media; tarea 2:
idea de velocidad instantánea; tarea 3: matematización de la situación (noción de
derivada), y que al mismo tiempo permiten considerar la manera en que estos medios
semióticos evolucionan (Radford, 2003).
La evolución de los nodos semióticos se materializa en los procesos de objetivación
definidos teóricamente como la contracción semiótica (Radford, 2008a) y la iconicidad
(Radford, 2010b). De estos últimos, se toma la decisión metodológica de hacer un
registro y análisis profundo del proceso de refinamiento y reducción de los recursos
semióticos a medida que se genera una concentración del significado en los mismos, lo
que corresponde a la contracción semiótica. Tal registro se hace desde la perspectiva
multimodal del pensamiento, con lo que diversos recursos semióticos son analizados
como unidades estructurales (Miranda et al., 2007).
Junto a lo anterior, el proceso denominado contracción semiótica será analizado desde el
objeto de la actividad (que los estudiantes para profesor lleguen a pensar variacional y
geométricamente entorno a la derivada) y las tareas diseñadas (con la intencionalidad de
poner en juego la derivada desde el enfoque variacional y geométrico).
43
Así, los criterios para la selección de la información y conformación de los episodios
que configura los datos parte de las directrices teóricas correspondientes a los
constructos nodo semiótico y contracción semiótica, en una emergencia sincrónica de
medios semióticos de objetivación. Los episodios seleccionados pasan también por la
sensibilidad teórica (Glaser, citado por Vergel, 2014) que el investigador ha ganado con
el estudio y manejo de la teoría.
4.2 Configuración de los datos
El primer dato que se presenta inicia con el segundo momento de interacción del grupo 7
con la tarea propuesta en la guía número 1, y después que el compañero ha realizado el
recorrido. Aquí, los integrantes buscan dotar de sentido la gráfica que aparece,
generando una discusión. Posteriormente, y después de decidir un significado para los
elementos de la gráfica, se genera un momento para dotar de sentido la forma de la
gráfica e implicando objetos matemáticos, momento en el que los recursos semióticos
cobran especial importancia para el grupo. Finalmente, y desarrollando la guía número 2
en la segunda sesión de trabajo, se constituye una idea de velocidad media caracterizada
por los elementos kinestésicos del movimiento.
El segundo dato se constituye alrededor de la actividad desarrollada por el grupo 2,
iniciando con la interpretación y dotación de sentido para la gráfica que se genera,
ocurrido durante la solución de la guía número 1 en la primera sesión. Posteriormente se
configura el segundo episodio que presenta el recurso de intervalos como elemento
fundamental para la solución de la tarea propuesta.
El tercer episodio ocurre durante la solución de la guía número dos, momento en que se
ponen en juego una multiplicidad de recursos semióticos no solo verbales o indexicales,
sino también escritos, generando un refinamiento frente a la forma de referenciar y
comprender los elementos del proceso de solución de la tarea. Esto se complementa con
el cuarto y último episodio, ocurrido durante la segunda sesión mientras se desarrolla la
guía número tres, y que dirige a una relación alfanumérica (expresión algebraica) de la
razón de cambio, la pendiente de una recta tangente, y la derivada.
44
Todo lo anterior está configurado de tal manera que en ambos datos se reconozca no
solo la presencia de medios semióticos, sino también la conformación de nodos
semióticos y la manera en que estos evolucionan.
Para realizar la descripción se opta por codificar la transcripción bajo los siguientes
criterios:
a) Se numera cada una de las frases expresadas en orden de verbalización durante
un episodio, usando el numeral seguido de un paréntesis: 1), 2), 3),…
b) Se reinicia la numeración cuando se cambia de episodio.
c) Se utilizan puntos suspensivos (…) para expresar silencios por parte de los
interlocutores.
d) Los corchetes con letra cursiva ([cursiva]) indican que se está realizando una
descripción de un recurso no verbal utilizado por quien está hablando.
e) (Figura #) indica el número de la Figura con la que se relaciona la expresión.
4.3 Análisis de los datos
Acorde con la T.C.O., en la secuencia de tareas propuestas se propendía por la
emergencia de medios semióticos que evolucionaban a través del desarrollo de las
mismas. Desde el principio, estas estaban impregnadas por la presencia de medios
semióticos, debido a la naturaleza kinestésica y gráfica de la actividad. A continuación
se reflejan estos dos hechos:
Figura 1. Paola corriendo como representante del grupo Figura 2. Gráfico obtenido por Paola.
A continuación se presentan los datos sujetos a análisis.
45
4.3.1 La actividad de Jefferson, Jhon y César
Episodio 1. Esta situación ocurre durante la primera sesión de trabajo, cuando se estaba
dando solución a la guía número 1, en el momento que el grupo conformado por
Jefferson, Jhon y César está tratando de darle sentido a la gráfica. Para comprender lo
que indica el estudiante cuando realiza un gesto indicando una posición sobre la pantalla
del celular, se tiene en cuenta la gráfica reproducida por ellos sobre el papel (Figura 3)
ya que debido al brillo de la pantalla no se observa con nitidez en la imagen la parte que
están indicando:
Figura 3. Gráfica de referencia
1) Jhon: pues es que nosotros tenemos acá una… una conjetura
2) Profesor: aja…
3) Jhon: y es que lo que pasa en el eje y no es que estamos midiendo la
distancia [señala con el dedo pulgar de la mano derecha sobre el eje y de la
gráfica en la hoja], porque si midiéramos la distancia [señala con el dedo
medio derecho la parte superior del eje y con el dedo medio izquierdo la parte
inferior del eje, al mismo tiempo (Figura 4)] entonces acá en la gráfica
supondría que él en este lapso de segundos, en este pequeño segundo recorrió 3
metros [señalando con los pulgares juntos el intervalo del último movimiento a
la derecha que está representado en la gráfica (Figura 5)], y eso no, no se
puede. Entonces nosotros estamos diciendo es lo que pasa es que él arranca
[indica el punto de inicio en la gráfica (Figura 6)]… digamos, allá en [indica el
46
sitio de inicio de desplazamiento de su compañero en el salón (Figura
7)]…cuando iba en la mitad…
4) Jefferson: no arranca en cero
5) Jhon: no arranca en cero, él arrancó y cuando iba en la mitad [señala la parte
superior izquierda de la pantalla, que se correspondería con el primer máximo
de la gráfica (Figura 8)] sabía que tenía que frenar porque iba a llegar a este
punto [mueve la mano para señalar el punto de finalización del desplazamiento
de su compañero en el salón (Figura 9)], es cuando acá disminuye su, su,
disminuye su [indicando nuevamente la parte superior izquierda de la pantalla,
correspondiente al primer pico]…
6) Jefferson: aceleración
7) Jhon: [desplazando el dedo índice desde arriba hacia abajo sobre lo que
correspondería a la parte decreciente de la primera cresta de la gráfica
(Figura 10)] disminuye su aceleración. Entonces decimos que esta gráfica
[deslizando el dedo índice sobre lo que correspondería al locus completo de la
gráfica] representa la aceleración de Cesar, y la magnitud que iría en el eje y
[indicando el eje desplazando el índice hacia arriba y hacia abajo] sería la
velocidad.
8) Jefferson: no la distancia
9) Jhon: no la distancia, la velocidad
10) Profesor: okey, esa es su conjetura
11) Jhon: esa es la conjetura
12) Profesor: listo, entonces muestren si sí o si no es esa conjetura, ¿cómo la
muestran? Piénsenlo
En este episodio se observa como Jhon en la intervención 3) intenta articular el
movimiento real realizado por su compañero con la representación gráfica que se obtuvo
en la calculadora, tratando de dar sentido a lo que se expresa en ella.
47
Figura 4. Señalamiento del eje y como distancia Figura 5. Señalamiento del intervalo de tiempo
El gesto de Jhon en la Figura 4, cuando señala con sus dedos los extremos del eje y en
la gráfica, acompañado de la intencionalidad de dotar de sentido la misma (reconocido
en la expresión “y es que lo que pasa en el eje y no es que estamos midiendo la
distancia”), reconoce la correspondencia de una magnitud física y un segmento de recta,
es decir, el segmento le permite expresar una cantidad correspondiente a una
característica susceptible de ser medida (el segmento constituye el sentido de magnitud).
Posteriormente Jhon expresa que “él en este lapso de segundos, en este pequeño segundo
recorrió 3 metros”. Aquí, a partir de la asignación de cantidad que le da a cada
segmento, realizó un comparativo de la distancia recorrida para un espacio de tiempo.
Para ello utiliza sus dedos pulgares (Figura 5) como indicadores de extremos de un
segmento del eje x que le permiten expresar una magnitud de tiempo que él califica
como “pequeño segundo”, para pasar a hacer una correspondencia y acentuar
verbalmente que su compañero recorrió “3 metros”, lo cual toma como argumento del
discurso para indicar que “y eso no, no se puede”. Esto se refleja en el siguiente análisis
de voz realizado mediante el programa Praat, utilizado en investigación por Radford,
Bardini & Sabena (2006b):
48
Diagrama 2. Análisis de voz de Jhon en el programa Praat
La frase que esta aquí analizada es “No estamos midiendo la distancia porque si
midiéramos la distancia entonces acá en la gráfica supondría que él en este lapso de
segundos, en este pequeño segundo recorrió 3 metros, y eso no, no se puede”. El pico de
mayor intensidad de voz ocurre cuando expresa el argumento de “3 metros” que
concluye con su intervención de “y eso no se puede”.
A continuación de la acción y análisis realizados por Jhon, él mantiene la dinámica de
relacionar gráfica y movimiento efectuado por su compañero, especificando aún más el
sentido que tiene cada elemento. Así comienza a expresar verbal y gestualmente cómo
los puntos de la curva se corresponden con un acontecimiento real, como lo mostrado en
la misma intervención 3) cuando enseguida de realizar un gesto de indicación al señalar
el punto de inicio de la gráfica (Figura 6) mientras dice que “lo que pasa es que él
arranca”, lo hace concordar con la posición de inicio del movimiento del compañero en
el salón mediante un deíctico espacial acompañado de las expresión “digamos, allá en”
(Figura 7).
Posteriormente en las intervenciones 5) a 7) continúa caracterizando la relación gráfica-
movimiento al expresar que en “en la mitad” del primer movimiento, mientras realiza un
gesto para indicar en la gráfica el punto correspondiente al primer máximo (Figura 8),
entonces su compañero “sabía que tenía que frenar porque iba a llegar a este punto”
49
Figura 6. Indicación del punto gráfico inicial Figura 7. Paso a indicar la posición inicial
mientras levanta el índice para hacer un deíctico espacial al señalar la posición más
lejana del recorrido en el salón (Figura 9), por lo que “disminuye su aceleración”
mientras realiza un movimiento gestual indicativo de decrecimiento al desplazar su dedo
índice sobre la gráfica hacia abajo (Figura 10).
Figura 8. Indicación del primer pico gráfico Figura 9. Correspondencia con de la posición más
lejana
Figura 10. Indicación decrecimiento de la aceleración
50
Con lo anterior, se evidencia la manera en que el movimiento que realizó el compañero
se convierte en recurso de referencia y validez para dar sentido a la situación gráfica,
con lo que el elemento kinestésico de la tarea se vuelve parte constitutivo para dotar de
sentido la misma, lo cual coincide con los planteamientos de Vergel (2015a) y Radford
(2015b) para quienes el signo es constitutivo del pensamiento y de la actividad
matemática. Esta es una característica a la que Miranda (2007) llama espacio
fenomenológico de la evocación del movimiento, es decir, la acción realizada (el
movimiento del compañero) es el eje para la interpretación. Por otro lado está el espacio
geométrico de representación en el cual una magnitud se representa mediante un
segmento, como se mostró en el análisis de la Figura 4, y que se consolida con las
restantes intervenciones de Jhon.
Se puede observar entonces, teniendo en cuenta las descripciones hechas, la presencia de
diversos medios semióticos. Pero hay que resaltar en particular que el enfoque de trabajo
que el grupo realizó a partir de cuantificar las magnitudes para realizar una comparación
entre ellas y poder concluir acerca de la intensidad del movimiento (idea que se mantuvo
a lo largo de su desarrollo de las tareas propuestas), provocó en los estudiantes el uso de
un cierto tipo de medios semióticos como recursos gráficos (la gráfica de movimiento
obtenida), gestos indicativos (dedos indicando extremos de los segmentos de acuerdo a
una magnitud), y recursos verbales (frase que hace visible la comparación y resalta su
conclusión. De acuerdo con Kendon (citado por Vergel, 2015b), estos últimos están
ocurriendo en medio de un discurso que se hace visible a través de los gestos,
configurándolos como una gesticulación. Así, el gesto se posiciona como un medio
semiótico de objetivación.
En la intervención 3), estos recursos aparecen de forma casi simultánea
complementándose entre sí, para significar el hecho de una cierta velocidad. Recordando
que si ocurren segmentos de la actividad semiótica del estudiante en la que diferentes
medios semióticos interactúan, se coordinan y complementan, en esta caso buscando
objetivar el saber cultural que corresponde a la velocidad como el cociente
51
(comparativo) de dos magnitudes, se establece entonces un nodo semiótico. Al presente
se le llamará calificación de la cantidad de movimiento.
De resaltar el hecho de que aunque los recursos semióticos parecen presentarse por parte
de un estudiante solamente, en realidad estos son el resultado de una interacción social.
Esto se refleja, por ejemplo, en la manera en que se conforma el discurso de Jhon, ya
que a medida que él está hablando, cuando realiza pausas (por ejemplo al final de la
intervención 3 o la 5) Jefferson interviene para complementar el discurso. Esto significa
que en la actividad se ha generado un espacio de interacción conjunta en el que aparece
de forma colectiva una actividad reflexiva (Miranda et al., 2007).
Se puede evidenciar que el proceso por el que el grupo está pasando refleja el objeto
matemático que en la cultura se conoce como velocidad media, correspondiente a
realizar la razón entre la magnitud distancia y la magnitud tiempo. Esto significa que los
estudiantes están instanciando el saber cultural “velocidad media”, a partir del proceso
de objetivación que están realizando.
Episodio 2. El profesor vuelve al grupo para indagar respecto a si lo que representa la
gráfica es aceleración, iniciando la siguiente conversación:
1) Profesor: todavía están convencidos que es…
2) Jhon: rapidez
3) Profesor: rapidez…
4) Jhon: rapidez porque estamos es… o sea, [coloca los brazos frente a él
haciendo que las palmas de sus manos se miren, y mueve la mano derecha
hacia la izquierda (Figura 11)] en el desplazamiento, o sea cuando una está con
la velocidad uno lo que hace es medir el desplazamiento, ¿sí? [Realiza
nuevamente el movimiento de la mano derecha hacia la izquierda], pero es que
estamos volviendo al mismo punto [mueve la mano derecha alejándola y
acercándola nuevamente a la mano izquierda, y lo finaliza señalando el sitio de
inicio del movimiento (Figura 12)], entonces estamos como acotando un espacio
52
[ubica las palmas de las manos frente a frente para representar el acotamiento
del espacio (Figura 13)], que sería la distancia que hay entre la mesa
[señalando la posición de esta] y la silla [señalando también su ubicación]
[esta referencia corresponde a las delimitaciones de las posiciones de inicio y
límite del recorrido realizado], y pues el tiempo que se demore [mueve la mano
izquierda hacia la izquierda y hacia la derecha varias veces]… se demore
devolviendo y volviendo. Entonces el que sea más rápido, el que hubiera sido
más rápido es el que tenga más picos [manteniendo la mano izquierda
totalmente abierta, la mueve hacia arriba y hacia abajo al mismo tiempo que la
desplaza de izquierda a derecha], que fue el que hizo más [mueve la mano
derecha indicando un movimiento hacia arriba y abajo alternadamente (Figura
14 izquierda), a medida que la desplaza de izquierda a derecha en el aire
(Figura 14 derecha), lo cual representa los picos sobre la gráfica, y en seguida
de terminar este movimiento indica con la izquierda un movimiento hacia la
izquierda y hacia la derecha, lo cual representa el movimiento realizado]
5) Profesor: okey, okey.
6) Jefferson: porque hay se hace como la distancia recorrida [señalando el piso]
en el tiempo que utilizó para esa distancia [mueve la mano hacia adelante y
hacia atrás para expresar la secuencia de recorridos]
7) Profesor: okey. Sería igual que eso, o sea más picos equivalen a eso
8) Jhon: más rapidez
9) Cesar: más picos equivale a más, a más,..
10) Profesor: a más veces eso
11) César: más veces que ha hecho la [Jhon mueve su mano indicando
movimiento de izquierda a derecha repetidamente]… que ha hecho el mismo
desplazamiento.
12) Profesor: okey, okey, okey. Bien, bien, bien, bien. Listo. ¿Y eso es
rapidez?
13) Jhon: eso es rapidez
14) Profesor: y qué diferencia hay, ¿qué es la velocidad entonces, otra vez?
53
15) Jhon: la velocidad es el desplazamiento, es decir, o sea no acota la distancia
[mueve la mano derecha hacia la izquierda que está quieta, para representar la
limitación del movimiento]
16) César: no la acota, es como si fuera un rayo, mientras éste [indicando el
espacio donde se realizó el movimiento] es como si fuese un segmento.
En este episodio se observa que la indexación que se realizaba directamente sobre la
gráfica, o que hacían referencia a los elementos kinestésicos del recorrido del
compañero, se han convertido en elementos gestuales que permite expresar y sintetizar
lo anteriores en una capa menos concreta (aunque se siguen expresando en términos de
la situación, ya no señalan los espacios del recorrido de su compañero sino que realizan
gestos representativos de la situación de movimiento), lo que explicita una apropiación
del movimiento realizado, así como una especialización de los recursos semióticos
utilizados.
Ejemplo de esto se observa en la intervención 4) cuando Jhon explica la diferencia que
el grupo percibe entre velocidad y rapidez. Cuando él habla del desplazamiento, utiliza
un gesto con sus manos consistente en distanciar su mano derecha de la izquierda para
luego acercarla (Figura 11), para equipararlo con el movimiento realizado por el
compañero. En seguida, explica “pero es que estamos volviendo al mismo punto”,
realizando el movimiento de sus manos y lo termina indicando el punto de inicio del
movimiento en el salón (Figura 12) como punto referencial.
54
Figura 11. Explicación de espacio para velocidad Figura 12. Explicación del movimiento que se realiza
Posteriormente, Jhon explicita que se genera un espacio de recorrido que está acotado14
y nuevamente lo contextualiza con los límites del movimiento realizado (mesa y silla),
cuyo acotamiento se expresa gestualmente en la Figura 13. La dirección temporal y la
secuencia de expresiones utilizadas en esta intervención permiten reconocer que se está
desarrollando una reflexión que ya no pasa por el hecho (el movimiento realizado) sino
por un contexto (gestualización del movimiento realizado). Esto implica una “toma de
conciencia de una propiedad común se nota a partir de un trabajo en el terreno
fenomenológico de observación sobre ciertos términos particulares” (Vergel, 2015b), lo
que corresponde a la base de un proceso de generalización (Radford, 2015a)
Figura 13. Jhon realiza un gesto para acotar el espacio
14
Esta idea genera un nodo semiótico, que será estudiado en el dato 2.
55
Finalmente, al volver a realizar un gesto como el de la Figura 13, y mencionar que “el
que hubiera sido más rápido es el que tenga más picos”, implica que la comparación de
las magnitudes y su correspondiente conclusión está contenida en la idea de “picos”. La
expresión verbal con la que es complementado el gesto implica una comparación entre
posibles situaciones, más picos implica ir más rápido.
Luego, al realizar el gesto de diagonal creciente y decreciente mientras desplaza la
mano, como se indica en la Figura 14, se reconoce que estos se están especializando,
pues ya no están representando el recorrido realizado por el compañero sino la relación
entre las variables (entendidos como picos), es decir, tenemos una evolución del nodo
semiótico en el que la idea de “más picos” concentra características del movimiento.
Aquí, los gestos se vuelven parte importante del proceso desarrollado por Jhon, pues le
permiten hacer visibles sus intenciones (Vergel, 2015a) en especial cuando en los
movimientos de la Figura 14 (parte final de la intervención 4)), no pronuncia discurso.
Los gestos están expresando “intenciones de comunicación de algún aspecto de los
objetos culturales” (Radford, citado en Vergel, 2015a), para este caso la calificación del
movimiento a partir de los picos.
Aquí se observa cómo la presencia de picos en la gráfica indica una mayor velocidad en
el recorrido, como es expresado en las intervenciones 9) a 11), es decir que la cantidad
de picos representan una intensidad de recorrido mayor. Así, la calificación de la
cantidad de movimiento está sostenida por la comparación del número de picos que se
da en una de las gráficas. El discurso está mejor hilado (argumenta sus gestos de manera
externa al movimiento realizado por su compañero) y sus gestos son más precisos (se ha
generado la idea de picos), por tanto se genera la contracción semiótica del nodo
presentado.
56
Figura 14. Gestualización de los picos para representar el movimiento en el recorrido
Para finalizar, es de resaltar cómo en la intervención 16) César hace un trabajo de
contextualización al relacionar la diferencia que ellos plantean entre velocidad y rapidez
nuevamente con un elemento gestual indicativo del espacio donde se realizó el
movimiento, explicitando otra vez la idea de acotamiento en la rapidez.
Episodio3. En este se reflejan las implicaciones que tuvo el considerar los picos como
indicadores de intensidad del movimiento. Este ocurre durante la segunda sesión de
trabajo en el desarrollo de la guía número 2, después de realizar discusión con otro
grupo de trabajo. Aquí el profesor indagó por cuál había sido finalmente la mayor
velocidad durante el recorrido, con lo que se presentó la siguiente intervención:
1) Jefferson: […] el de hoy nos dio dos coma treinta met… dos coma treinta
metros por segundo, que fue el mayor… en el primer…en el primer recorrido
que hicimos, eh… miramos cómo en, en qué tiempo lo había registrado [ubica
la mano izquierda para asemejar un sistema de coordenadas, y señala con el
índice derecho hacia arriba y hacia abajo (Figura 15)] y cuál había sido el
recorrido que había hecho [sube ambos brazos hasta cierta altura tratando de
indicar esa magnitud de recorrido (Figura 16)] que sí podía ser el mismo. Pero
el tiempo que duró haciendo, el tiempo que duró [nuevamente ubica su
izquierda apuntando con el índice hacia arriba, mientras que con su índice
derecho golpea la parte baja de la mano izquierda] en el primer recorrido
[deja de golpear la mano y realiza una indicación con su índice derecho hacia
57
arriba, hasta la parte superior de su índice izquierdo (Figura 17 izquierda)] fue
menor al de los otros intervalos [coloca sus palmas una frente a la otra para
delimitar un espacio, y las mueve como partiendo el espacio a medida que las
desplaza de izquierda a derecha (Figura 17 derecha)], y por eso nosotros
dijimos que 2,30 que fue lo que mayor alcanzó [mueve su brazo izquierdo hacia
arriba posicionando su mano en una parte alta (Figura 18)], el mayor pico que
alcanzó en el [hace énfasis en esta frase], en el mismo segundo iba a ser el… la
mayor velocidad que alcanzó haciendo el recorrido.
En este apartado se observa cómo los gestos que realiza Jefferson se han alejado de la
situación concreta para pasar a referirse a la representación gráfica que se produjo.
Ahora la idea de pico implica una posición en el plano cartesiano, mostrar mediante un
gesto al eje “y” (Figura 15), así como evidenciar un valor específico mientras dice “cuál
había sido el recorrido que había hecho” al tiempo que da una posición vertical para
expresar altura con gesto con sus brazos (Figura 16).
Figura 15. Indicación de un eje para el recorrido Figura 16. Indicación de la magnitud de recorrido
Así, la calificación de cantidad de movimiento en la idea de “pico” no solo expresa una
intensidad cuando están en conjunto, sino que cada uno tiene la posibilidad de indicar
cantidad de magnitud (cantidad de recorrido, en este caso), lo cual sugiere más
concentración de significados en este nodo semiótico.
La idea anterior se demuestra en el momento en que él está expresándose respecto al
tiempo de recorrido mientras golpea el puño de su mano izquierda con el índice derecho
y, luego pasa a decir “en el primer recorrido” momento en el que busca indicar una
58
magnitud particular (Figura 17, izquierda) de entre todas las presentes al expresar “al
de los otros intervalos” (Figura 17, derecha).
Figura 17. Indicación de una magnitud relevante de entre varias en un intervalo
Finalmente, el nodo semiótico calificación de la cantidad de movimiento lo pone
nuevamente en relevancia al expresar que “y por eso nosotros dijimos que 2,30 que fue
lo que mayor alcanzó el mayor pico que alcanzó en, en el mismo segundo iba a ser el…
la mayor velocidad que alcanzó haciendo el recorrido”, mientras ubica su mano
izquierda como se indica en la Figura 18, con lo que expresa los atributos individuales
que se enmarcan en la idea de “pico”.
Figura 18. Gesto ubicado indicando que se toma el mayor pico
Cabe decir que el grupo se mantuvo en la idea que la mayor velocidad durante el
recorrido (que era lo que se les solicitaba determinar) correspondía a la velocidad media
más alta, como se resalta dentro del óvalo superior en la respuesta que dan a la primera
pregunta de la segunda guía (Figura 19), y este sentido de velocidad es representado por
59
la idea del “pico” más alto, expresado en la solución del segundo punto (indicado el
rectángulo), entendiéndolo como la mayor distancia en el menor tiempo de recorrido.
Figura 19. Expresión escrita de la conciencia de velocidad promedio en el problema
En síntesis, se observa que se conformó el nodo semiótico calificación de la cantidad de
movimiento a partir de la complementación de la actividad perceptiva, gestual y
simbólica, los cuales se fueron especializando de tal manera que los estudiantes
elaboraron un discurso en el que los recursos semióticos de las situaciones anteriores se
ven subsumidos en los de la actual; esto implica que el nodo se transformó y evolucionó
desde un espacio de práctica (partiendo de lo kinestésico y los deícticos espaciales,
como en el episodio uno) hacia un espacio contextual (correspondiente a los recursos
gestuales, gráficos y verbales, como en el episodio tres), llegando a una idea de
velocidad media desde la idea variacional de las tareas planteadas.
De acuerdo a lo anterior, para Jhon, Jefferson y César la forma prototípica de pensar
respecto a la velocidad implica una significación desde lo kinestésico, expresado en el
manejo de deícticos espaciales y recursos gestuales otorgando calificación de cantidad al
movimiento que tienen tanto características grupales (ya que más picos implican mayor
velocidad), así como elementos individuales pues el mayor pico implica la misma
cantidad de recorrido en menor tiempo (o más recorrido en el mismo tiempo) al ser
comparado con los demás, y esta práctica corresponde con la idea de velocidad media, lo
cual implica una toma de conciencia de los elementos kinestésicos característicos del
movimiento como tal.
60
espacio de práctica kinestésico - deíctico. Calificación desde lo pragmático.
espacio contextual desde lo kinestésico - gestual. Calificación desde lo grupal.
espacio contextual desde lo gestual - gráfico. Calificación desde lo individual.
Cal
ific
ació
n d
e la
can
tid
ad d
e
mo
vim
ien
to
A continuación se presenta un gráfico para visualizar el proceso desarrollado por el nodo
semiótico calificación de la cantidad de movimiento:
Diagrama 3. Evolución del nodo semiótico “calificación de la cantidad de movimiento”
4.3.2 La Actividad de David, Paola y Lina
Episodio 1. Esta situación ocurre durante el desarrollo de la primera tarea propuesta
durante la sesión de trabajo 1, en el grupo número 2. En este se muestra la presencia de
diversos elementos tanto de recursos semióticos como variacionales:
1) David: pere, pere, pere, el problema es quien es el más veloz, o sea, más
distancia en menos tiempo.
2) Paola: sí
3) David: pero es velocidad ¿en punto? o es velocidad media?
4) Paola: velocidad media, lo que se demora en llegar
5) David: entonces necesitaríamos saber cuánto se demoró en llegar… pero y
además no todos hicieron la misma vuelta
6) Paola: espérate, miremos como calculamos esto, porque aquí es cuando estoy
acelerando, o sea, aquí arranco en cero y obviamente va aumentando [señala el
recorrido sobre la gráfica] (Figura 20a y 20b) y aquí doy la vuelta
61
7) David: pero es que ojo porque en velocidad media sería punto inicial y punto
final y llegaste al fin o sea no te desplazaste, si quieres velocidad media no hay
desplazamiento (…hay una broma…), nos tocaría mirar velocidad de acá a acá
[señala, sobre el locus de la gráfica, el primer segmento creciente] (Figura 21)
8) Paola: por tramos
9) David: por tramos. Nooo, vámonos con el computador y derivamos
10) Paola: pues hagámosle
11) David: pues hagámosle. Pensemos…
Figura 20a. Inicio de un recorrido Figura 20b. Punto de vuelta
Figura 21. Primer segmento creciente
En este episodio se resaltan dos conceptos variacionales que serán claves como
embriones del proceso de derivación: la idea de velocidad media y la de velocidad en un
punto, lo cual surge por el hecho de que como se explicita en 7) “llegaste al fin, o sea no
te desplazaste” lo cual conllevaría, según su análisis, a que no habría velocidad media.
Esto genera la necesidad de tomar “por tramos” (en los numerales 8 y 9).
62
Por otro lado, es de resaltar cómo el recurso gráfico se complementa con un deíctico
espacial que permite pensar tanto en la manera en que Paola realizó el movimiento para
obtener la gráfica (numeral 6), como pensar respecto al uso de velocidad media o
velocidad en un punto concluyendo en la idea de tomar un “tramo” (numerales 7, 8 y 9)
de la gráfica, delimitado por un punto inicial (indicado mediante el dedo índice
izquierdo) y un punto final (indicado con la punta de un bolígrafo en la mano derecha)
en el proceso de dotar de sentido el hecho de que exista una velocidad. Así, la gráfica se
convierte en un recurso semiótico valioso para ellos.
Sin embargo, este recurso semiótico no es referido de manera simple o individual; este
es sustancia para las diferentes expresiones verbales e indexaciones que se realizan en
especial mediante las manos, los dedos o un bolígrafo (como se ejemplificó). Esto da pie
para el siguiente episodio.
Episodio 2. En este se evidencia interacción y complemento entre recursos semióticos;
ocurre cuando una estudiante del grupo solicita la presencia del profesor, levantando la
mano:
1) Profesor: señora
2) David: dijimos ya… estamos hablando de las velocidades medias y de las
velocidades instantáneas. Dijimos que si queríamos velocidad media pues esto se
volvía más una rec/ (Figura 22) [señalando con su dedo índice todo el locus de la
representación gráfica del movimiento, y moviéndolo sobre esta de izquierda a
derecha]…
3) David:…más pues rectas.
4) Paola: rectas.
5) David: y esa sabríamos que es más o menos un metro por segundo por lo que
hicimos acá de la prueba, aun cuando este pedazo sea…parece ser más rápido
que los otros [señalando una de las secciones crecientes del locus la gráfica,
deslizando su dedo índice en vaivén desde el punto mínimo hasta el punto
máximo]. Para la otra necesitamos ver exactamente los datos... [señala a la
gráfica con el dedo índice sin realizar desplazamiento del mismo], o sea como…
por segundo (Figura 23) [enfatiza la pronunciación, mientras genera una forma
63
de C entre los dedos índice y pulgar en cada mano, moviéndolas
alternativamente hacia adelante y hacia atrás al mismo tiempo] para poder ver
diferencias de distancias (Figura 24) [cambia la posición de los dedos,
apuntando con los índices el uno hacia el otro y moviendo las manos
alternativamente hacia adelante y hacia atrás] en cierto intervalo (Figura 25)
[vuelve a formar la c con los dedos índice y pulgar en cada mano, pero esta vez
mueve una mano colocándola delante de la otra, en forma de dar pasos] y mirar
cuál es el intervalo más veloz (Figura26) [ubica sus manos abiertas una frente a
otra, y las mueve imitando un desplazamiento por secciones de izquierda a
derecha]. Pero eso no lo podemos hacer si no tenemos… o sea algebraica,
analíticamente no lo podemos hacer sin la función que está describiendo ahí, y
entonces…
6) Profesor: hay que buscar la manera
7) Paola: ay, al menos la tablita
8) David: eso, no podemos sacar tabla de datos para, nada…
9) Profesor: ustedes…
10) Lina: sí, como quieran
11) Profesor: …deciden. Por eso ustedes proponen la estrategia para hacerlo.
11) Profesor: entonces, ¿sin función, graves?
12) David: ¿sin función graves? [reiterándole la pregunta a Paola, mientras dirige
la mirada hacia ella]
13) Paola: pues para derivarla ¿cómo derivamos sin función?
14) David: gráficamente se puede, se mira la que tiene más pendiente
Como elemento inicial, hay que resaltar la manera en que la idea original de “tramo” en
la gráfica (presentado en el episodio anterior) se ha sofisticado hacia una idea
matemática de “intervalo” para la variable tiempo, y su correspondiente repercusión en
las “diferencias de distancias” para la variable posición (como se expresa, por ejemplo,
en el numeral 5). Sin embargo, esta sofisticación mantuvo (y reforzó) la idea de
delimitación del recorrido a analizar como deíctico espacial.
64
Se puede observar que, de acuerdo con 2), David tiene un manejo del lenguaje
relacionado con el contexto del problema explicitando de forma verbal su idea de
velocidad media en la gráfica, al tiempo que realiza el gesto indexical asemejando a la
curva en segmentos de rectas según el intervalo (correspondiente a las flechas azules):
Figura 22. Curva como segmentos de recta
Es de resaltar que David, al expresar que “este pedazo parece ser más rápido que los
otros” refiriéndose al segmento de gráfica correspondiente a la flecha inferior de la
Figura 22, está poniendo en juego un proceso comparativo entre partes de la
representación, es decir que le está asignando un ‘valor’ no determinado pero sin
embargo mayor que el ‘valor’ específico para cada uno de los otros segmentos. Esto le
permite concluir que cualitativamente es mayor a los demás, aunque la cualidad no haya
sido explícita en este momento. Sin embargo, en la entrevista realizada posteriormente a
David, él expresa que “la idea de buscar la mayor pendiente en últimas, como estamos
analizando particiones era… o sea se podía resumir en buscar donde era más
pronunciada la curva, digamos que esa era la idea geométrica en general…”; esto es un
ejemplo de lo que corresponde a un análisis de cantidad de cambio desde una
perspectiva cualitativa.
Posteriormente, en 5), el estudiante realiza una serie de gestos con sus manos,
coordinando con lo que verbalmente está expresando:
65
Figura 23. Índice y pulgar en forma de “C” Figura 24. Índices apuntándose y alternándose
Figura 25. Índice y pulgar en forma de “C” Figura 26. Palmas mirándose
En esta intervención David está intentando explicar la manera de trabajar con “la otra”
velocidad, es decir, con la instantánea. Esta secuencia de movimientos la realiza para
acompañar distintas ideas, pero todas están relacionadas con la idea de acotar un
espacio, es decir, de determinar un intervalo, con lo que se refuerza el hecho de que en
realidad se está trabajando con velocidad promedio pues se intentan, de acuerdo con
Clement (1989), expresar segmentos. En una entrevista realizada posteriormente, se tuvo
la siguiente conversación:
Profesor: …cuándo usted se estaba haciendo referencia ahí a “como por
segundos”, que estaban sacando los intervalos como por segundos, que trataban
de buscar diciendo eso, cuál era la idea de ese “como por segundos”?
David: la idea ahí, lo que pasa es que empezamos grande no, empezamos a
analizar el movimiento en general, no, y por eso sacábamos como las medias
entre picos, pico – valle, y entonces pues veíamos que era un intervalo muy
grande, pero que en realidad no era el momento más veloz, entonces lo que
queríamos era como cada vez ir acortando más digamos los intervalos de estudio
para mirar cuál era el más veloz, y pues en ese momento la, digamos, la unidad
66
de medida de tiempo más corta y más manejable para nosotros era el segundo,
entonces por eso empezamos a manejar segundo a segundo la cosa.
Como conclusión, la idea de utilizar intervalos “como por segundos”, implica que la
manera en que podían garantizar la mayor velocidad es con espacios más pequeños de
tiempo.
Posteriormente se le indagó por la intencionalidad del movimiento de manos que realiza
(mostrado en las Figuras 23 a 26), a lo cual responde:
David:... pues que fuéramos, que lo que hacíamos era mirar cómo se comporta en
cada pedazo, y los íbamos a comparar y contrastar, entonces la idea no solo era
particionar, sino de alguna manera mirar cómo se reflejaba digamos en la
función, que estamos intentando buscar la fórmula analítica o el estudio analítico
de la función…
Los apartados anteriores permiten notar el que cuando David pronunciaba ciertas frases,
estaban acompañadas con elementos gestuales (un movimiento de manos, formas de
figuras con los dedos, indicaciones sobre o referentes a la gráfica y a la situación) en una
manera sincrónica, para sustanciar su actividad reflexiva, manteniendo de fondo la idea
de dependencia entre las magnitudes relacionadas gráficamente. Así, se presenta
interacción y complementación de diferentes recursos en la actividad semiótica lo cual,
de acuerdo con Radford, Bardini & Sabena (2006a) indica la consecución de un nodo
semiótico, al cual llamaré acotamiento del espacio referencial de relación.
Cabe decir que este nodo semiótico ya se encontraba presente en el episodio 1, y que de
ese a este ya ha sufrido una evolución, pues la tecnificación de la que se comentó al
principio del análisis de este episodio (el paso de “tramo” con sus elementos de
indexación y kinestésicos, a la formulación de “intervalo” con sus respectivas
correspondencias de variable) implica una economía y precisión en el uso de recursos
para expresar la conciencia a la que se hace referencia, pues en la idea de tramo requiere
67
la especificación de un espacio puntual (señalando los extremos de un tramo específico)
mientras que el intervalo toma un tono genérico (espacio acotado entre un par cualquiera
de puntos).
Sin embargo, esta evolución no termina allí. El nodo permite poner en juego otras
representaciones para dar pie a lo que, intuitivamente, corresponde a una idea de
derivada como pendiente de la recta tangente, como se mostrará en el siguiente episodio.
Finalmente es de destacar los siguientes elementos:
a) en 14) David pone en juego la idea de la derivada desde el punto de vista gráfico,
pues al verse imposibilitado de tener la tabla de datos como se observa en 7), 8),
y al interactuar con el docente y en busca de resolver su requerimiento de “¿sin
función graves?” (la interjección expresada significa, ¿entonces no se puede
obtener la velocidad instantánea sin la función?), responde a la pregunta de Paola
en 13) mediante el hecho de que se puede hallar con la pendiente de la recta
tangente. Así, la intervención del profesor y la interacción con sus compañeros
de grupo lo llevan a buscar nuevas estrategias para dar solución a la pregunta
generada por la tarea.
b) Los puntos 4 y 5 de la guía de trabajo que se estaba realizando propendían por
una interacción social intergrupos. El grupo de David, Paola y Lina, al regresar
de su conversación con sus compañeros, comento que debían ajustarse a las
aproximaciones del otro grupo, refiriéndose a adecuar el tamaño de los intervalos
utilizados (Figura 27):
Figura 27. Conclusión de la interacción intergrupal
Esta interacción implica también que el objeto matemático elaborado se
modifique, pues además del atributo de espacio se le agrega el atributo de
tamaño como elemento a analizar. Esto refuerza el hecho de que la interacción
68
social se convierte en parte consustancial de la toma de conciencia, es decir, del
proceso de objetivación.
Episodio 3. Este corresponde a un momento de desarrollo de la guía 2 durante la
segunda sesión de trabajo. En este el grupo pone en juego la idea de los intervalos,
apareciendo una representación de tabla de valores.
1) David: el problema es que deberíamos poder segmentar. Pues ahí está,
tenemos por unidades ¿no? Al menos podemos analizar por unidades. Hagámosle
por unidades. [Paola se dispone a hacer una tabla de valores] Eso, ahí, ahí,
hagamos matachitos ahí y lo hacemos por unidad cuanto espacio…
2) Paola: tiempo por unidad [mientras está diseñando la tabla de valores] cuanto
mide …
3) David: exacto, exacto. Por cada unidad más o menos cuál es el desplazamiento
que hay.
4) Paola: acá…
5) David: uno y uno, ahí dijimos que era uno… toca mirar intervalo de tiempo y
diferencia de distancias, y luego si sacamos velocidad
6) Paola: Intervalo… de tiempo versus qué?
7) David: …diferencia de distancias
Al describir el proceso de expresar intervalos mediante una tabla de valores
alfanuméricos, se ha pasado a una forma más sofisticada de pensar, que permite
relacionar, actuar y comparar de otra manera sobre los intervalos. Durante la elaboración
del primer dato de la tabla de valores, a partir de la ubicación de valores de tiempo y su
correspondiente distancia, se presentó la siguiente intervención por parte de David:
8) David: algo que dijo Lina, no ayer, algo ella dijo, sin importar…sin importar
que… o sea en un intervalo de tiempo encontramos la mayor diferencia, y luego
subdivide ese intervalo [ubica las palmas de sus manos una frente a la otra, y la
mueve indicando particiones e intervalos] y miramos dentro de ese intervalo más
chiquitos haber dónde están, y luego más chiquitos y más chiquitos [mantiene el
69
movimiento con las manos, pero identificando un corte de adentro hacia afuera
para expresar la idea de adentrarse] antes de que nos metamos a un único punto.
Y entonces era por aproximación, mire…
A continuación el grupo comienza a realizar el cuadro, que se presenta en la Figura 28:
Figura 28. Tabulación de intervalos
Poniendo en práctica lo expresado por David, toman el intervalo generado entre 10 y 11
(segundos) donde la diferencia de distancia que obtuvieron fue de 2,3 (metros), y lo
dividen en intervalos más pequeños, proceso que está expresado en la tabla de valores
resaltado dentro del óvalo, y que materializa la idea de los gestos realizados en 8) para
expresar una secuencia de intervalos cada vez “más chiquitos y más chiquitos”. Las
conclusiones al respecto quedan plasmadas en la respuesta que da el grupo a las
preguntas 2, 3 y 4 de la guía, como se muestra en la Figura 29.
Se resalta lo siguiente:
a) Para el punto 2 explicitan dos maneras de determinar la mayor velocidad
(resaltados con las flechas azules): rectas secantes determinando la pendiente,
que se evidencia dentro del segmento en lo expresado por David en 5); y mayor
diferencia de distancia en intervalos de tiempo iguales, evidenciado por lo
mencionado en 8).
70
Figura 29. Respuesta a las preguntas 2, 3 y 4, guía 2
b) En el punto 4 ya se relacionan los dos elementos, y se complementan dos
recursos diferentes: los intervalos y la pendiente de la recta secante.
Esto comienza a generar una nueva evolución del nodo semiótico acotamiento del
espacio referencial de relación debido a que la idea de pendiente de la recta secante va a
involucrar la relación entre intervalos correspondiente de las variables. Esto se refleja
en el siguiente apartado, tomado de la entrevista realizada a David para indagar acerca
de las intenciones en las respuestas presentadas, mientras respondía a una inquietud
realizada por el profesor, comparando lo contestado en la segunda y el cuarta pregunta:
Profesor: … esas dos estrategias son equivalentes?
David: pero en diferentes representaciones
Profesor: si en diferentes representaciones, pero son equivalentes
David: si, estamos buscando las…son equivalentes, porque en últimas estamos
relacionando distancias tiempo [hace una indicación, con los dedos índices de
ambas manos, de posición en el aire abajo - arriba], en lo que hacíamos las
particiones [hace con las manos un movimiento para indicar intervalo de
partición], y pues la pendiente lo que hace es mirar componente en y sobre
71
componente en x [hace, en el aire con el dedo índice izquierdo, una posición de y
arriba sobre x abajo en indicación a una razón entre magnitudes] que es la
distancia tiempo…
Episodio 4. Este último episodio permite ver el manejo del nodo semiótico acotamiento
del espacio referencial de relación, así como una nueva evolución llevada a un
acercamiento a la expresión matematizada de la idea de derivada. Ocurre durante la
última sesión de trabajo, en la resolución de la guía número 3.
Las preguntas que se les solicitaba trabajar a los estudiantes son las siguientes:
1. La velocidad que se halló para determinar el ganador, se denomina velocidad
instantánea. Hallen la velocidad instantánea para el primer segundo, el tercer segundo
y el quinto segundo.
2. En la gráfica, ¿a qué equivale el proceso para determinar una velocidad instantánea
en un punto?
3. Realice una descripción matemática del procedimiento. Socialícelo con el curso.
4. Busque en la literatura matemática, a que corresponde este procedimiento.
Sin embargo optaron por desarrollar primero las preguntas dos y tres (como se observa
encerrado en el ovalo), dejando para el final la pregunta 1 (cuyo espacio de solución en
blanco es indicado por la flecha), como se observa en la Figura 30
Figura 30. Elección de preguntas a contestar
Las respuestas dadas a las preguntas 2 y 3, se muestran en la Figura 31.
72
Figura 31. Respuesta preguntas 2 y 3, guía 3
Se puede observar cómo se ha llevado la conciencia acerca del proceso usado para
determinar la velocidad en un punto a un nivel tal que, en especial en lo correspondiente
al paso cuarto que se enumera en el segundo punto del desarrollo de la guía, se reconoce
a la pendiente de la recta tangente como la velocidad instantánea requerida.
Posteriormente en el punto 3, encerrado dentro del óvalo se observa la nomenclatura de
límite de incrementos aceptada dentro del saber matemático para el concepto de
derivada, terminando su referencia como equivalente a la velocidad instantánea. Aunque
en esta nomenclatura no se hace referencia directa a una nomenclatura trabajada para los
intervalos de la situación propuesta, el que haya sido declarada equivalente a la
velocidad instantánea representa una interpretación analítica del trabajo gráfico y tabular
realizado, con lo cual esta idea de velocidad expresa los diferentes procesos y recursos
utilizados durante la resolución de la situación.
Este sentido de objetivación de la derivada como el proceso de la velocidad instantánea,
se termina de reforzar cuando el grupo pasa a resolver el punto 1 de la guía (que habían
dejado sin resolver), en donde se presenta el siguiente diálogo (téngase presente que se
está indagando específicamente por la velocidad instantánea en el segundo 1, en el
segundo tres y en el segundo cinco):
1) David: ahora sí calculemos esto… Pero ¿en qué intervalos vamos a sacar?
2) Paola: ahí dice
73
3) David: no. Ahí dice que en uno, en tres y en cinco, pero no dice que
intervalos vamos a sacar, porque, o sea entonces tenemos que mirar, de cero a
uno, de cero cinco a uno y luego de cero setenta y cinco a uno, y mirar hacia
donde tiende… hagámoslo para uno…
4) Paola: [escribiendo] para uno
5) David: listo, entonces de cero a uno [mientras recorre con el dedo índice
izquierdo el locus de la gráfica que representa el movimiento, en este intervalo]
6) Paola: [escribiendo] uno.
7) David: cómo vamos a poner eso… la velocidad para el intervalo cero uno…
o sea, vamos a hacer esto mismo [señalando con el dedo índice la
representación tabular mostrada en la Figura 28 en el episodio 3]
8) Paola: si [pronunciado de forma acentuada y prolongada]
La Figura 32 muestra el proceso y solución dada a la pregunta:
Figura 32. Solución dada a la pregunta 1, guía 3
Es decir que determinar la velocidad instantánea ya no pasa por un proceso gestual de
particiones y cuantificación de cualidades, sino que se expresa en la relación de
intervalos sucesivos expresados en una tabla de valores. Así, el nodo semiótico
acotamiento del espacio referencial de relación ha evolucionado desde un contexto
indexical, kinestésico y referencial hacia un contexto alfanumérico, hasta corresponderse
con un proceso pragmático para determinar velocidad instantánea. Además, como se
mostró por la solución de los puntos 2 y 3 de la guía, se hace un acercamiento a la
correspondiente idea de derivada de una función en un punto entendiendo el paso de
74
secantes a tangentes como el límite cuando la diferencia h tiende a cero (o en términos
pragmáticos, muy pequeña).
Con esto para David, Paola y Lina, la forma prototípica de pensar la velocidad
instantánea a partir de una gráfica evoca una práctica de determinar intervalos para
expresar tramos de curva, los cuales son sistemáticamente acotados para ofrecer una
razón entre magnitudes lo más pequeñas posible, y dicha práctica se corresponde con la
idea matemática de derivada en un punto. A continuación se realiza un recuento del
proceso de evolución del nodo semiótico acotamiento del espacio referencial de
relación:
Diagrama 4. Evolución del nodo semiótico acotamiento del espacio referencial de relación
Idea de los tramos y focalización del recorrido
Se indica un recorrido sobre el locus de la gráfica especificando un tramo de la misma, indicando puntos inicial y final del recorrido.
Manejo de intervalos y comparación de distancias para tiempos iguales
Las manos y los dedos se utilizan para que los tramos se reflejen como intervalos (diferencias) de tiempo y los correspondientes intervalos (diferencias) de posición.
Representación y relación de intervalos mediante pendientes
Los intervalos en la tabla de valores reflejan de manera alfanumérica las acotaciones realizadas con los gestos. La pendiente relaciona los intervalos y proporciona la velocidad instantanea.
La Velocidad instantanea : evoca y moviliza el proceso
Como la velocidad instantánea corresponde a la pendiente de la tangente a la curva, esto equivale a la derivada
75
Capítulo 5
Conclusiones
5.1 Introducción
En este apartado se desarrolla la respuesta a la pregunta de investigación a partir de los
objetivos propuestos, enmarcada dentro de los recursos semióticos hallados, sus
interacciones y evolución. Posteriormente se presenta un conjunto de observaciones
desde un punto de vista reflexivo frente al proceso del trabajo llevado a cabo tanto
desde lo teórico como de lo metodológico. Finalmente se presenta una serie de
observaciones personales respecto a algunos elementos para tener en cuenta frente a
futuras investigaciones basadas en la presente.
5.2 Respuesta a la pregunta de investigación
La pregunta de investigación planteada es:
¿Qué medios semióticos de objetivación movilizan estudiantes para profesor de
matemáticas, y cómo evolucionan, cuando resuelven tareas asociadas a los enfoques
variacional y geométrico de la derivada?
Para dar respuesta a esta pregunta se planteó entonces como objetivo “Describir y
analizar los medios semióticos de objetivación que movilizan estudiantes para profesor
de matemáticas cuando se enfrentan a tareas sobre los enfoques variacional y geométrico
de la derivada”.
La consecución de este objetivo nos llevó, en primer lugar, a diseñar una serie de tareas
asociadas al enfoque geométrico y variacional de la derivada, y basadas en la
perspectiva de la teoría cultural de la objetivación de manera tal que nos propiciara la
emergencia de medios semióticos de objetivación en un espacio de interacción social.
Las tareas propuestas, y las razones de elección, fueron expuestas en el apartado “Diseño
de las tareas” en el presente informe.
Aunque las tareas fueron piloteadas y modificadas respecto a las observaciones
realizadas por quienes participaron en el mismo, ajustándolas a los elementos teóricos,
76
uno de los aspectos que surgió en el desarrollo de las tareas fue el que los estudiantes
trataron de diferenciar el término ‘velocidad’ que era el utilizado en las guías de trabajo,
del término ‘rapidez’; esto llevó a que las secciones decrecientes de las gráficas
generadas fueran poco consideradas al momento de realizar el análisis. Sin embargo esto
no influyó en la finalidad primaria de las tareas propuestas, correspondiente a la
emergencia de medios semióticos en torno a la idea de derivada desde lo variacional y lo
geométrico.
Las tareas se desarrollaron en el curso de Matemáticas del movimiento II por estudiantes
para profesor de matemáticas de la Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en
Matemáticas, trabajando en grupos de tres o dos personas elegidas por ellos mismos,
como se describió en el apartado ‘Recolección de la información’.
El espacio donde se implementaron fue adecuado para tal fin, ya que el salón de la
primera sesión está organizado en mesas para seis estudiantes, lo que facilitaba no solo
el desarrollo grupal, sino el espacio de interacción intergrupal, es decir, cuando se
reunían dos grupos para comparar el trabajo.
Dadas las condiciones de los dos párrafos anteriores, se satisficieron premisas básicas de
la teoría cultural de la objetivación como lo es el espacio de interacción social que
permiten la reflexión conjunta que da pie a la concientización que constituye al proceso
de objetivación, y pone de manifiesto en los sujetos su trasfondo histórico y cultural,
evidenciado por ejemplo en el uso de los sistemas de representación, la incorporación de
conceptos y términos matemáticos de cierta profundidad, la forma de discurso elaborado
en forma deductiva, entre otros.
La segunda sesión se llevó a cabo en la sala de sistemas, cuya organización son filas de
seis puestos contiguos cada una. Esto permitió el trabajo grupal, y al ser una sala de
cómputo, facilitó el acceso a información para la solución de la tercera guía de trabajo,
correspondiente a la comparación del proceso realizado por los estudiantes con el
conocimiento matemático desarrollado histórica y culturalmente, es decir, el saber
matemático.
77
Sin embargo, es de mencionar que el tiempo fue una dificultad que llevó a que algunos
de los grupos no pudieran terminar de desarrollar satisfactoriamente la guía número 3.
Afortunadamente esto no ocurrió con los grupos que conforman los datos analizados en
este trabajo.
También es de resaltar que la posibilidad de realizar entrevistas semiestructuradas a
estudiantes de los grupos objetos de análisis permite esclarecer supuestos generados
durante los mismos.
Por otro lado, se hizo visible la conformación de dos nodos semióticos, los que son la
evidencia de que ocurrió una emergencia de medios semióticos durante la actividad
matemática de los estudiantes para profesor. Por ejemplo, para el nodo semiótico
calificación de la cantidad de movimiento son preponderantes los recursos gestuales,
evidenciados tanto en deícticos espaciales que indican el inicio y el final del espacio de
recorrido o el movimiento realizado por el representante del grupo, como por gestos que
representan un recorrido en general, indican límites o magnitudes de recorrido, ejes
cartesianos o formas de las gráficas representativas del movimiento (correspondientes en
general a los picos).
No obstante, los recursos gestuales no se dan de manera aislada sino que son
acompañados de recursos kinestésicos en la forma de evocación permanente del
movimiento realizado por el compañero durante el recorrido; recursos verbales
utilizados como el énfasis que se hace al pronunciar algunas palabras, por ejemplo en la
parte final del segmento 3 que enfatiza “el mayor pico que alcanzó” para resaltar la
importancia de ‘mayor pico’ como la mayor distancia respecto del tiempo utilizado; y
los recursos gráficos como en el episodio 1, en el que el movimiento kinestésico era
relacionado a lo que se presentaba en la gráfica producida por la calculadora.
El proceso de evolución de este nodo semiótico se planteó en tres episodios
correspondientes los dos primeros a la sesión de trabajo número 1, y el segundo a la
sesión de trabajo número 2. En esta secuencia se planteó cómo cambió la idea de
cuantificar el movimiento desde lo kinestésico en el movimiento realizado por el
compañero durante el recorrido y que sirve como validador de la interpretación en el
78
recurso gráfico, hasta la cuantificación de movimiento encerrada en la idea literal de
‘pico’ y expresada en gestos que reproducen el movimiento y la gráfica encontrada.
De acuerdo a lo anterior, y como se puede observar en el diagrama 2, se reconoce un
refinamiento y sofisticación en el uso de los recursos semióticos, en especial los
gestuales y verbales que trascendieron del contexto fáctico del problema a un contexto
más general, y evolucionaron de ser indicadores del movimiento a ser indicadores de las
interpretaciones de las características del movimiento, concentrados en la idea gestual y
verbal de “pico” como calificación de una magnitud y que representa la velocidad media
para los integrantes de este grupo. Así, se puede concluir que se ha producido un proceso
una contracción semiótica.
Respecto al nodo semiótico acotamiento del espacio referencial, este conjuga recursos
semióticos gestuales, verbales, gráficos y alfanuméricos. Nuevamente son
preponderantes los recursos semióticos gestuales, evidenciados muchas veces por la idea
de acotar un espacio ya sea indicando los extremos de uno de los segmentos inclinados
en el locus que representa el movimiento en la gráfica; ya sea formando intervalos, para
lo cual se realizan gestos como formar una ‘C’ con los dedos, o colocar una mano
paralela a la otra y con las palmas mirándose mientras las mueve coordinadamente hacia
un lado para expresar la idea de particiones.
El recurso anterior se complementa con el recurso alfanumérico, pues mediante la
escritura en una tabla de valores expresan la idea de partir en intervalos, al mismo
tiempo que tecnifican el uso de los valores al establecer una razón de cambio entre las
variables para un determinado intervalo. Posteriormente emplean el recurso
alfanumérico para expresar matemáticamente el proceso de partición de intervalos y
pendientes que traían, para representar el proceso en una definición matemática de
derivada cuando las particiones son muy pequeñas.
También en el recurso verbal se reconocen momentos como los presentados por David,
cuando enfatiza algunas expresiones como ocurrió en el episodio dos refiriéndose a
“como por segundos”.
79
La evolución de este nodo se esbozó mediante la presentación de cuatro episodios. Los
dos primeros corresponden al desarrollo de la guía número 1 en la primera sesión de
clase. El tercero corresponde al desarrollo de la guía número 2, y el cuarto episodio
corresponde al desarrollo de la guía número 3. En esta secuencia se evidenció como el
recurso semiótico utilizado para expresar intervalos pasó de ser un deíctico que indicaba
tramos sobre el locus de la gráfica para luego convertirse en un gesto que indica
intervalos sobre los ejes coordenados, y dichos intervalos se vuelve más sofisticado al
pasar a ser representados por intervalos numéricos en una tabla de valores y como
particiones sobre la gráfica, además de relacionar los datos correspondientes como la
pendiente de la recta que pasa por estos puntos, y tomar intervalos cada vez más
pequeños para acercarse a que la recta que pasa por dichos puntos sea una tangente a la
gráfica. Finalmente se explicita como un proceso semejante al de determinar la derivada
al reconocer la equivalencia entre el proceso que utilizaron y tratarlo como equivalente a
la definición matemática de derivada en un punto. Esta evolución se puede visualizar en
el diagrama 3.
Como se puede comprender de la explicación anterior, los recursos gestuales y
alfanuméricos se refinan y sofistican progresivamente, por lo cual se evidencia la
presencia del proceso de contracción semiótica del nodo “acotamiento del espacio
referencial”, en el cuál los diversos elementos se han concentrado hasta la idea de
velocidad instantánea.
Así, y apuntando al objetivo y pregunta de investigación, se identificaron medios
semióticos que emergieron en la actividad matemática de los estudiantes entorno a la
derivada desde el punto de vista variacional y geométrico (en el que el CBR no es neutro
epistemológicamente), y que conformaron en su evolución los dos nodos semióticos ya
descritos. Por tanto se da por cumplido el objetivo, y una abanico de ejemplos que
responden a la pregunta de investigación.
5.3 Observaciones
A continuación propongo algunos elementos que pueden reformar la presente
investigación, o que permiten que esta sea punto de partida para futuras investigaciones.
80
1. Es importante tener presente que la población con la que se desarrolló la investigación
son estudiantes para profesor de matemáticas, por lo que se facilitaba el manejo de
recursos semióticos. Sería pertinente determinar si las tareas y los resultados son
replicables en poblaciones de estudiantes para profesor distintos a los de matemáticas, e
incluso diferentes a los de las ciencias básicas (física, química y matemáticas), bajo la
idea de que sean poblaciones que no tengan el manejo de los recursos semióticos usados
en aquellas áreas. También resultaría interesante determinar la pertinencia en una
población de estudiantes de educación básica (grados décimo u once).
2. Es de notar la importancia que tuvo lo kinestésico en el desarrollo de la actividad. Se
sugiere reproducir la experiencia, pero haciendo ausencia de lo kinestésico (aunque
manteniendo la idea de lo variacional). Por ejemplo, brindar directamente la gráfica
junto a un enunciado que explique la situación.
3. Es de notar que aunque aquí de presentaron los datos correspondientes a dos grupos,
la mayoría de los participantes mostraron el mismo desarrollo que realizó el grupo 7
(dato uno), incluso el grupo del dato dos lo hizo. Sin embargo, la mayoría avanzó muy
rápidamente frente a la idea de los picos expuesta por el grupo del dato uno. Queda
entonces como interrogante si esta etapa se puede considerar como una génesis de la
idea de derivada en una clase enmarcada en la Teoría Cultural de la Objetivación.
4. Como lo anterior, también ocurrió que la mayoría de grupos utilizó la idea de
acotamiento de intervalos empleada por el grupo del dato dos. Igualmente,
correspondería a otra investigación determinar si está idea hace parte del desarrollo de la
idea de derivada desde la perspectiva multimodal del pensamiento.
5. Para esta observación, requiero explicitar lo siguiente:
a) En el dato uno se aborda el hecho de que los integrantes permanecen bastante en
una situación pragmática, es decir, están apegados a lo kinestésico del
movimiento desarrollado por el compañero. Sin embargo, hacia el final del dato
han sofisticado la conciencia que tienen del movimiento, haciendo uso de
recursos gestuales y gráficos en un aspecto más contextual.
81
b) El grupo del dato dos realizó (como se había dicho antes) el proceso anterior,
pero en este informe se reconoce que lograron llegar a contextualizar el
problema alejándose por completo de lo kinestésico (evidenciado en el manejo
de las tablas de datos y la determinación de pendientes) y posteriormente
llegaron a una comparación de la expresión alfanumérica del concepto de
derivada y su proceso.
Así, el proceso realizado por el grupo 7 (dato uno) se podría interpretar desde lo que
Luis Radford, refiriéndose al pensamiento algebraico, entiende como el paso de un
estrato de generalidad factual a un estrato de generalizad contextual (pues pasan de lo
práctico, lo factico, a un intento de contextualización); mientras el grupo 2 (del dato dos)
pasaría de un estrato de generalidad contextual a un estrato de generalidad simbólico
(pues pasan de los recursos gestuales a los gráficos, y de allí a los alfanuméricos).
Queda entonces la pregunta, ¿se pueden trasladar los estratos de generalidad del
pensamiento algebraico al pensamiento variacional?
6. ¿Qué caracteriza al pensamiento variacional mirado desde de la Teoría Cultural de la
Objetivación?
7. Aunque en la presente investigación se caracterizaron procesos de contracción
semiótica como proceso de objetivación, ¿con la misma información se puede asegurar
la existencia de procesos de iconicidad?
5.4 Reflexiones y apuntes
En lo siguiente estableceré, a modo de reflexión, algunas de las dificultades y
comentarios más importantes que se presentaron en el desarrollo de la investigación.
Primero, dada la naturaleza tecnológica de los instrumentos de recolección de
información, resulta importante equiparse con buenos equipos, que permitan realizar las
tomas y, posteriormente, rodar los videos tomados para hacer el análisis de la
información. En mi caso mi computador me jugaba malas pasadas. Como
recomendación, utilizar micrófono conectado a la cámara para capturar un mejor audio.
82
Segundo, la idea de saturación teórica como parte del proceso de análisis de datos es
vital a la hora de realizar la selección de episodios y la conformación de los datos.
Aunque la cantidad de horas en video para la presente investigación no fue alta debido al
bajo número de sesiones, el tiempo empleado para el análisis de cada video es
significativo, y si además no se tiene en cuenta el recurso del foco teórico, los tiempos
de transcripción pueden llegar a ser demasiado extensos.
Varios de los elementos conceptuales de la teoría cultural de la objetivación están aún en
desarrollo, dado su reciente aparición en el campo de la educación matemática. Por lo
tanto es importante tratar de mantenerse informado, al mismo tiempo que se delimita
muy bien el problema que se pretende tratar tomando a esta teoría como base. En mi
caso, llegó un momento en que me desbordé en el número de categorías de análisis que
trataba de tener en cuenta, y eso hizo que me demorara en el proceso de selección de
información.
Es de resaltar el hecho que, en la teoría cultural de la objetivación (como creo que en
toda teoría), el vocabulario es importantísimo. Personalmente tengo dificultades para
llamar un concepto por su nombre específico. Sin embargo muchos de los elementos
conceptuales de la teoría son bastante precisos a la hora de ser puestos en juego.
El desarrollo de una investigación debe regirse por ciertos parámetros de vocabulario.
Una falta que cometí fue utilizar expresiones de jerga popular durante el desarrollo de
las tareas con los estudiantes. Esto conllevó a que, a pesar de que la jerga expresó
exactamente lo que quería en el momento, cuando fui a transcribirlo a un lenguaje
coloquial me fue difícil tratar de hacer entender que estaba intentando expresar.
Finalmente, es importante que si se tienen ayudantes para realizar la recolección de la
información, estos estén debidamente instruidos en los preceptos básicos de la teoría de
la objetivación. Esto debido a que en ocasiones los ayudantes, por capturar imágenes de
otros grupos, pierde el hilo de la actividad que un grupo está desarrollando.
83
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90
Anexo 1. Tareas propuestas a los estudiantes
Matemática del movimiento, guía 1
Integrantes: Grupo:___________
En las olimpiadas internas del proyecto curricular LEBEM, se premiará al grupo que
tenga el participante más veloz, para lo cual se realizará la siguiente competencia:
El representante del grupo, ubicado en el punto inicial de la carrera (colocado a 0,5
metros de un sensor de movimiento CBR) se alejará hasta otro punto demarcado (que se
encuentra a una distancia de cuatro metros del CBR), y volverá al punto inicial. Este ir y
venir se repetirá tres veces, lo más rápido posible.
Al terminar el recorrido, la ‘tecnología deportiva’ nos permitirá tener una gráfica del
movimiento de nuestro representante. A partir de esta, el grupo debe determinar cuánto
fue la velocidad de su representante. Ganará el grupo cuyo representante tenga la mayor
velocidad durante su recorrido.
1. Discuta con sus compañeros de grupo, posibles caminos para poder dar respuesta al
problema. Escríbalos a continuación.
2. Mencione los elementos clave para dar solución al problema.
3. Describa el proceso que utilizaron para determinar la velocidad.
91
4. Compare su proceso con el de los otros grupos. Discuta sobre las ventajas o
desventajas de su proceso, así como el de los otros.
5. ¿Se sigue manteniendo en su proceso? ¿Por qué?
6. ¿Qué grupo ganó?
Matemática del movimiento, guía 2
Integrantes: Grupo:___________
1. En las competencias atléticas de fondo (o de largo aliento) se encuentran contrastes.
¿Ocurre que el que corre más rápido es el que gana?
2. La competencia se trata de premiar al grupo con el representante más veloz, es decir,
que alcance una mayor velocidad durante el recorrido. Por tanto determinen la mayor
velocidad que alcanzó el representante de su grupo.
3 ¿Cómo garantizan que la velocidad que ustedes hallan es la mayor de todas las que
tuvo su compañero?
4. ¿Qué característica de la gráfica insinúa una mayor o menor velocidad?
92
5. Compare su proceso con el de los otros grupos. Discuta sobre las ventajas o
desventajas de su proceso, así como el de los otros. ¿Se sigue manteniendo en su
proceso? ¿Por qué?
6. Entonces, ¿quién gano?
Matemática del movimiento, guía 3
Integrantes: Grupo:__________
1. La velocidad que se halló para determinar el ganador, se denomina velocidad
instantánea. Hallen la velocidad instantánea para el primer segundo, el tercer segundo y
el quinto segundo.
2. En la gráfica, ¿a qué equivale el proceso para determinar una velocidad instantánea en
un punto?
3. Realice una descripción matemática del procedimiento. Socialícelo con el curso.
4. Busque en la literatura matemática, a que corresponde este procedimiento.
93
Anexo 2. Hojas de trabajo de los grupos que participan en los datos
La actividad de Jefferson, Jhon y César, guía 1
94
La actividad de Jefferson, Jhon y César, reverso guía 1
95
La actividad de Jefferson, Jhon y César, guía 2
96
La actividad de Jefferson, Jhon y César, guía 3
97
La actividad de David, Paola y Lina, guía 1
98
La actividad de David, Paola y Lina, reverso guía 1
99
La actividad de David, Paola y Lina, guía 2
100
La actividad de David, Paola y Lina, guía 3