problemes olÍmpics olim... · ací teniu el número 59 de problemes olÍmpics corresponent al mes...

PROBLEMES

OLÍMPICS

Revi

sta

de p

robl

emes

de M

atem

àtiq

ues

Núm

ero

59. A

bril

2011

GALERIA DE FOTOS PARTICIPANTS AL XII CONCURS DE FOTOGRAFIA “MATEMÀTICA A LA VISTA”

“Geometria en nuestro cuerpo. La mirada del círculo”.

Almudena Torres. IES María Moliner (Port de Sagunt) “Simetria radial”. Ada Pellicer.

Col·legi Paidos (Dènia)

“Matemáticas migratorias”

Sara Giner. Col·legi Paidos (Dènia) “Mayor o menor”

Joan Noguera. Col·legi Paidos (Dènia)

“Frío paralelo” Claudia Martínez

IES Camp de Morvedre (Port de Sagunt) “Sólo hay 12 canicas y 4 espejos”. Marina Estel

Col·legi Paidós (Dènia)

“Cilindros con forma de triángulo”.

Rubén Miralles. Col·legi Paidós (Dénia) “Cuerpo de revolución”. Rubén Peinad

Col·legi Sant Bertomeu (Godella)“Eixos sobre fosc”. Paula Egurbide.

IES S. Vicent Ferrer (València)

Ací teniu el número 59 de PROBLEMES OLÍMPICS corresponent al

mes d’abril de 2011. El present número inclou les activitats proposades per a la fase comarcal de l’Olimpíada Matemàtica 2011 a Alacant i València. També trobaràs activitats complementàries per a treballar amb els teus alumnes a la classe de matemàtiques.

Esperem que vos agrade.

PROBLEMES OLÍMPICS Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana, “Al-Khwarizmi” Apartat 22.045 46071-València Director: Tomás Queralt Llopis. Coordinador de redacció: Mauricio Contreras del Rincón. Consell de redacció: Pedro Alarcón Melero, Mª Dolors Arnal Bertomeu, Maria Jesús Asensio Monedero, Alejandro Barona Hernández, Ana Casas Sanmartín, Vicente Diago Ortells, Irene Ferrando Palomares, Nicasio García Alfaro, Verónica García Ruiz, Francisco Gascón Carrillo, Lorena Gimeno Hernández, Mónica Laparra Ibáñez, Antonio Ledesma López, Encarna López Gómez, Eduardo Llopis Castelló, Miguel Marco Cotaina, Josep Manuel Martínez Canet, Encarnación Moreno Ruiz, Mari Carmen Olivares Iñesta, Ruth Orts García, Silvia Quilis Marco, Mª Jesús Ruiz Maestro, Carlos Segura Cordero, Mª Isabel Terraes Bentel. D.L.: V-3026-2001 ISSN: 1578-1771 Portada: “Huit mitjos” Autores: Elisa Pons – Aitana Lorenzo. IES Gata de Gorgos

Te falta algun exemplar de la revista Problemes Olímpics? Si vols ens la pots demanar i te l’enviem a la teua adreça.

SOL·LICITUD D'ENVIAMENT DE NÚMEROS ANTERIORS DE

“PROBLEMES OLÍMPICS” Nom____________ Cognoms___________________________________________________ Adreça_____________________________________________ Telèfon__________________ C.P. _________ Població_______________________________ Província________________ Correu-e:______________________ Tasca docent (curs, nivell, etc.)___________________ Desitge rebre els següents números de la revista "Problemes Olímpics" a la meua adreça:

X Olimpíada Matemàtica 1998-99 Nº 1 (Exhaurit) X Olimpíada Matemàtica 1998-99 Nº 2 (Exhaurit ) X Olimpíada Matemàtica 1998-99 Nº 3 (1.2 € ) Problemes Olímpics Nº 1 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 2 (1.2 € ) Problemes Olímpics Nº 3 (1.2 € ) Problemes Olímpics Nº 4 (Exahurit) Problemes Olímpics Nº 5 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 6 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 7 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 8 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 9 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 10 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 11 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 12 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 13 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 14 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 15 (2.4 € ) Problemes Olímpics Nº 16 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 17 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 18 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 19 (1.8 € ) Problemes Olímpics Nº 20 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 21 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 22 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 23 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 24 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 25 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 26 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 27 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 28 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 29 (2.0 €)

Problemes Olímpics Nº 30 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 31 (Exhaurit) Problemes Olímpics Nº 32 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 33 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 34 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 35 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 36 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 37 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 38 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 39 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 40 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 41 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 42 (2.0 €) Problemes Olímpics Nº 43 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 44 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 45 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 46 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 47 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 48 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 49 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 50 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 51 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 52 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 53 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 54 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 55 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 56 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 57 (2.5 €) Problemes Olímpics Nº 58 (2.5 €)

Ens envies aquesta butlleta complimentada a la nostra adreça: Societat d’Educació Matemàtica “Al-Khwarizmi”, Apartat 22.045, 46071-València, indicant en el sobre “Revista Problemes Olímpics”, incloent el justificant d’ingrés del preu total dels exemplars que sol·licites al nostre compte de BANCAIXA: 2077-0347-10-1101056867.

Problemes Olímpics. Nº 59. Abril 2011 Pag. 1

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana “Al-Khwarizmi”

SUMARI

FASE COMARCAL VALÈNCIA XXII OLIMPIADA.................................................. p. 2

PROBLEMES NIVELL C (TERCER CICLE PRIMÀRIA).................................... p. 2

PROBLEMES NIVELL A (PRIMER CICLE ESO)............................................... p. 9

PROBLEMES NIVELL B (SEGON CICLE ESO)............................................... p. 14

ELS MONOGRÀFICS DE PROBLEMES OLÍMPICS............................................... p. 19

PROBLEMES DE GEOMETRIA........................................................................... P. 19

Ricard Peirò i Estruch

FE D’ERRADES. ELS NOSTRES LECTORS............................................................ p. 40

SOLUCIONS FASE COMARCAL VALÈNCIA..........................................................p. 46

La selecció de problemes de cada nivell i les solucions ha sigut elaborada per l’equip constituït per: Pedro Alarcón Melero, Mª Dolors Arnal Bertomeu, Maria Jesús Asensio Monedero, Alejandro Barona Hernández, Ana Casas Sanmartín, Maurici Contreras del Rincón, Vicente Diago Ortells, Irene Ferrando Palomares, Nicasio García Alfaro, Verónica García Ruiz, Francisco Gascón Carrillo, Lorena Gimeno Hernández, Mónica Laparra Ibáñez, Antonio Ledesma López, Encarna López Gómez, Eduardo Llopis Castelló, Miguel Marco Cotaina, Josep Manuel Martínez Canet, Encarnación Moreno Ruiz, Mari Carmen Olivares Iñesta, Ruth Orts García, Tomás Queralt Llopis, Silvia Quilis Marco, Mª Jesús Ruiz Maestro, Carlos Segura Cordero, Mª Isabel Terraes Bentel.

Fe d’errades: En la selecció de problemas de cada nivell i les solucions del Problemes Olímpics 57 i Problemes Olímpics 58 també ha participat Carlos Segura Cordero.

Pag. 2 Problemes Olímpics. Nº 59. Abril 2011


XXII OLIMPÍADA MATEMÁTICA FASE COMARCAL XÀTIVA-VALÈNCIA-TORRENT-LA POBLA DE VALLBONA

16 D’ABRIL DE 2011

PROBLEMES NIVELL C (Tercer Cicle de Primària)

1.- QÜESTIÓ DE SIMETRIA

Troba la figura simètrica a la que es mostra, sabent que els punts E’ i C’ són els simètrics dels punts E i C.

PROVA INDIVIDUAL



2.- ELS ASCENSORS

En un gratacel de 100 pisos hi ha dos ascensors. L’ascensor A tarda 0.5 segons en pujar cada pis, i el mateix temps en baixar. L’ascensor B té una velocitat d’ascensió de 0.6 segons per pis, mentre que la velocitat de descens és de 0.3 per pis. L’ascensor A està inicialment en el pis 0, i el B en el pis 80. A continuació els ascensors segueixen els moviments que detalla la taula.

Digues en quin pis es troba cada ascensor després de cada període de temps. Quantes vegades és creuen els dos ascensors?

3.- EL COMPTE

Anna, Josep i Paola van a un bar a dinar. Després de pagar el compte els sobren 24€ i Paola li diu al cambrer que els torne per separat els diners de la següent forma:

“A Anna la meitat del que sobra, a Josep la tercera part i a mi la quarta part”.

Després de fer un ràpid càlcul mental, el cambrer contesta que no està d’acord amb la seua proposta. Sabries dir per quina raó?

Durada Ascensor A

Ascensor B

24 segons Puja Baixa 12 segons Baixa Puja 15 segons Puja Baixa 3 segons Baixa Puja 15 segons Puja Baixa



4.- LES TRES GRANGES

En tres granges hi ha un total de 333 animals. Sabem que en la primera granja hi ha el triple d’animals que en la segona i en la segona granja el doble que en la tercera.

Quants animals caldrà passar de la primera granja a la segona i a la tercera per tal que el número d’animals en cada granja siga un número de tres xifres capicua distint?

5.- PIRÀMIDE NUMÈRICA

Completa la següent piràmide numèrica amb els nombres de l’1 al 15 sabent que cada casella conté la diferència de les dues caselles adjacents inferiors. No es pot repetir cap número. Per a ajudar-te, ja hem ficat uns quants.

6

2

4 9

5



1.- L’ÀREA

Calcula l’àrea de la següent figura sabent que el costat de cada quadrat mesura 1 cm.

2.- ElS SIS AMICS

Amb les pistes que et donem, esbrina l’ordre en què arribaran al col·legi els sis amics. Quant de temps tarda cadascú?

Pistes:

• Lluís tarda 17 minuts.

• Montse viu a meitat camí de Pere i Lluís.

• A Toni li costa arribar al col·legi 7 minuts més que a Carme.

• Sara viu 20 minuts més lluny del col·legi que Pere.

• Pere arriba 18 minuts abans que Carme.

• Carme és la quarta a arribar i tarda 6 minuts més que Lluís.

PROVA DE VELOCITAT



3.- NÚMEROS DESCONEGUTS

Quin nombre representa el triangle, el rectangle, el rombe, el cercle i el cor, si sabem quant sumen les files i les columnes?

6

8

7

4 9 8

4. EL CIRC

Un dia al circ el trapezista, el domador i el pallasso mantenien esta conversació:

Domador: “Jo soc més vell que el trapezista” Trapezista: “I jo sóc més jove que el pallasso” Pallasso: “En canvi jo sóc major que el trapezista, però menor que el domador”

Quin és el mes major? I el més jove?



5.- EL TEMPLE MAIA

Quants furgadents són necessaris per a formar un temple de huit pisos?

6.- LA FAMÍLIA DELS TRIANGLES

Tinc molts triangles, menuts, mitjans i grans. Quants triangles hi ha en total?

7.- D’UN SOL TRAÇ

Traça quatre línies rectes que passin per les nou monedes de la il·lustració però sense aixecar el llapis del paper, és a dir, d'un sol traç.



8.- TRIANGLES I QUADRATS

Dibuixa els triangles i els quadrats que falten en l'últim quadre

9.- NOMBRES

Considera les següents xifres: 9 8 7 6 5 y 4. Construïx amb elles dos nombres de tres xifres cadascú, de manera que quan es resten el resultat siga el nombre (positiu) més menut possible.

10.- RECTANGLES DE FIGURES

En els següents rectangles hi ha línies de figures iguals que hauràs de localitzar com en l'exemple.





PROBLEMES NIVELL A (Primer Cicle d’E.S.O.)

1.- SUPERFÍCIE DEL JARDÍ

En el pla del nou jardí que es construirà a l'entrada del I.E.S i que estarà enllumenat per quatre fanals situats en els punts mitjans dels seus costats, la part ombrejada, de 5 m2, són els rosers que s'han plantat fins ara. Raonant la resposta, calcula la superfície del jardí complet i de la zona destinada a la plantació dels rosers limitada pel triangle ABC.

2.-BUSCANT A DOMAN

L'Arnau de la Nau, l'astronauta més famós de l'univers, ha anat a Mart a visitar al seu amic marcià Doman, però no sap a quina ciutat de Mart hi viu. Els habitants de la ciutat Uti sempre diuen la veritat. Els de la ciutat Iomi sempre menteixen i els de Grundi de vegades diuen la veritat i de vegades menteixen. Es troba tres marcians, Aken, Bal i Cwos, que són un de cada ciutat, però l'Arnau no sap de quina. Els hi va fer dues preguntes a cadascun:

1) De quina ciutat ets? 2) De quina ciutat és Doman?

Aken va contestar: 1) No sóc d'Uti 2) Doman és de Iomi. Bal va dir: 1) No sóc de Iomi 2) Doman és de Grundi Cwos va contestar: 1) No sóc de Grundi 2) Doman és d'Uti

De quina ciutat és Doman?

PROVA INDIVIDUAL



3.- UN PRODUCTE “UNIFICAT”

Un nombre de 16 xifres multiplicat per un altre de dues dóna un producte que està fet per 18 uns.

De quin producte es tracta?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? X ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4.- DELICIOSOS CARAMELS

Una bossa conté 71 deliciosos caramels dels sabors següents: llima, taronja, maduixa i menta. Hi ha el doble nombre de caramels de llima que de maduixa; els caramels de taronja són un menys que els de maduixa i els de menta són sis caramels menys que els de llima. Quin és el mínim nombre de caramels que has de traure per a estar segur de tindre almenys dos caramels del mateix sabor? I quants d'estos deliciosos caramels hauria de traure com a mínim per a estar segur de poder menjar-se almenys dos sabors? Raona les respostes.

5.- AMB TRES DÍGITS

Donats 3 dígits a, b i c, és possible formar 6 números de dos xifres diferents, elegint cada vegada dos dels tres dígits. Determina els possibles conjunts {a, b, c} per als que les suma d'eixos 6 números de 2 xifres construïts és 484



PROVA DE VELOCITAT

1. - EN LA XXII EDICIÓ DE L’OLIMPÍADA MATEMÀTICA

Quants nombres hi ha en els quals apareix 22 en escriure tots els nombres enters entre 1 i 2011?

2.- UNA NIT FREDA A NOVA YORK

Demà viatjarem a Nova York, però les previsions per a despús-demà per a la nit és d’una gelada forta amb baixada de temperatures. Als Estats Units, la temperatura es mesura en graus Fahrenheit i s’espera arribar a una temperatura prou curiosa. El nombre de graus Fahrenheit i el de graus Celsius acaben tots dos en 5. Quins són aquestos valors?

Per a resoldre este problema, recordeu que el punt de congelament, el 0º Celsius correspon a 32º Fahrenheit. A més a més, 5ºC són equivalents a 9ºF.

3.- A L’EDITORIAL

Vol imprimir-se un llibre de 1.430 pàgines en fascicles tots iguals amb el mateix nombre de fulles i que tinguen entre 25 i 75 fulles. De quantes formes possibles podríem fer l’edició? Quants fascicles es farien i quantes fulles tindria cada fascicle?

4.- PLA DE REFORESTACIÓ

En un bosc n’hi ha 200.000 exemplars d’arbres. Cada any, la massa forestal augmenta un 2%. El 0’4% és d’una espècie d’un arbre autòcton en via d’extinció i vol reforestar-se en un any per a que el percentatge d’aquesta espècie siga del 2%. Quants exemplars hauran de plantar-se?

5.- FADRINS I CASATS

En una ciutat 2/3 parts dels hòmens estan casats amb 3/5 parts de les dones. Si els habitats d’aquest curiós poble mai es casen amb forasters, quina és la proporció de fadrins del poble?



6.- EL RELLOTGE DIGITAL

En un rellotge digital, les 10:01 és una hora capicua. Si són les 12 de mitjanit, quants dies passaran fins que observem en el rellotge 112 hores capicues?

7.- ELS BESSONS CAPRITXOSOS

Una mare passa amb els seus bessons davant la porta d’una cafeteria on estan dos màquines expenedores de xicles.

El primer bessó: Mare, vull un xicle! El segon bessó: Mare, jo també, i el vull del mateix color que Rubén.

Les màquines, que funcionen amb 1 euro, estan quasi buides. No n’hi ha forma de saber el color de la propera bola. En la 1ª màquina n’hi ha un xicle blanc, un xicle roig, un xicle verd i dos blaus. En la 2ª màquina n’hi ha 3 xicles blaus, un xicle roig i un blanc.

Si la mare vol estar segura de traure’n dos boles del mateix color, quina serà la despesa mínima ? I quina màquina triarà?

8.- EL MISTERI DEL DNI

Se’ns ha esborrat el número del DNI, i l’hem de trobar amb les següents indicacions:

a) Les quatre primeres xifres són imparells. (considerarem la primera xifra començant per l’esquerre).

b) La quarta xifra és igual al seu quadrat.

c) El producte de la 1ª xifra per la 2ª és igual a 21

d) El producte de la 2ª xifra per la 3ª és igual a 35.

e) Sumant la 1ª a la 5ª, la 2ª a la 6ª, la 3ª a la 7ª i la 4ª a la 8ª s’obté sempre 9.



9.- RECTANGLE AMB QUADRATS

El problema de descomposar un rectangle en quadrats distints ha sigut un trencaclosques que va estar de moda farà prou de temps. Vos proposem ací el cas d’aquest rectangle que s’ha descomposat en 11 quadrats tots diferents. Ens agradaria conèixer les dimensions del rectangle, però l’únic que sabem és el costat 9 del quadradet més xicotet. Si anomenem x al costat del segon quadradet, podem expressar els costats del rectangle en funció d’x. I a partir d’ahí, resolent alguna equació, podrieu donar les dimensions del rectangle?

10.- L’ARCA DE NOÉ

El període de vida d’una balena és de quatre voltes el d’una cigonya, la qual viu 85 anys més que un conill de les índies, que viu 6 anys menys que un bou, el qual viu 9 anys menys que un cavall, que viu 12 anys menys que un pollastre, que viu 282 anys menys que un elefant, que viu 283 anys més que un gos, que viu dos anys més que un gat, que viu 135 anys menys que una carpa, la qual viu el doble que un camell, que viu 1066 anys menys que el total dels períodes de vida de tots estos animals. Quant viu la cigonya?





PROBLEMES NIVELL B (Segon Cicle d’E.S.O.)

1.-CALCULEM ÀREES

Si el costat dels hexàgons interiors mesura 3 cm, quina superfície tenen les àrees ombrejades?

2.-CODIFICANT ELS LLIBRES

Jaume li dóna a cadascun dels seus llibres una clau de tres lletres utilitzant l'ordre alfabètic: AAA, AAB, AAC,... AAZ, ABA, ABB, etc. Considerant l'alfabet de 26 lletres i que Jaume té 2203 llibres, quin va ser l'últim codi que Jaume va utilitzar en la seua col·lecció?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

3.- ELS SEIENTS DEL TEATRE

Maria i les seues tres germanes van al teatre. Tenen reservades quatre seients a la millor fila del pati. Maria i dues de les seues germanes arriben abans d’hora i ocupen tres dels quatre seients a l’atzar. Quina és la probabilitat que Maria tinga de canviar de seient si en arribar Ana, la germana menuda, aquesta insisteix a ocupar el seient que tenia assignat i també insisteixen a fer-ho qualssevol de les germanes que s’hagen tingut d’aixecar a causa d’això?

PROVA INDIVIDUAL



4.- EL NÚMERO SECRET

El director del banc ha oblidat la combinació de la caixa forta, de la que sabem que té 7 xifres. Després de molt preguntar-li hem aconseguit que recorde les pistes següents:

a) Les tres primeres xifres formen un número que és igual al producte del número format per la 4a i la 5a xifra i el número constituït per les dos últimes xifres.

b) El nombre de dos xifres format per la 4a i la 5a xifra és igual al doble del número format per les dos últimes xifres més dos.

c) La suma de les dos últimes xifres és 4.

Series capaç d'esbrinar quin és el número secret de la combinació de la caixa forta del Banc? Raona la resposta.

5.- REUNIÓ DE CONEGUTS A Irene l’han convidada a una festa d’aniversari a la qual hi asisteixen 12 persones, ella inclosa, i només coneix a una altra de les persones que s’han aplegat. Josep, un altre dels assistents, només en coneix dues. La tercera assistent, Griselda, en coneix tres. I així successivament, de manera que es poden ordenar onze de les persones convidades de manera que cada una coneix una persona més que l’anterior, i així fins arribar a la persona número 11 que coneix a tots els assistents. Quantes persones coneix el dotzè i darrer convidat? Heu de suposar que si una persona X en coneix una altra, Y, aleshores la persona Y coneix X.



PROVA DE VELOCITAT

1. - EL BOSC

Aquest any, 2011, és l’Any Internacional dels Boscos. Per tal de commemorar-ho, explica com podries plantar en un bosc 10 arbres formant 5 files amb 4 arbres a cada una d’elles.

2. - PARELLES UNIDES

De quantes maneres distintes es poden col·locar en fila 5 parelles per a fer-se una foto si cal que sempre estiguen junts els membres de cada parella.

3. - QUÍ ÉS MAJOR?

Siga A = )2011...21(2010 +++⋅

Siga B = )2010...21(2011 +++⋅

Qui és major A o B?

4. - RELLOTGE DIGITAL

Un rellotge digital està format pels deu dígits que formen les hores, els minuts, el dia, el mes i l’any. El dia 24 de juliol de 1998, a les 16 hores 53 minuts, el rellotge marcava la data i l’hora usant exactament els 10 primers nombres naturals (0-9) sense repetir, com mostra el següent esquema.

Quan es produirà per primera vegada aquesta mateixa situació al segle XXI?

16 53 24 07 98



5. - ELS TRES QUARENTONS

Tres professors de Matemàtiques estan fent una guàrdia de pati. Un alumne atrevit els pregunta qui d’ells és el major. Aquestos, perquè s’adone de la seua impertinència, li contesten amb una endevinalla. Les respostes són:

- JOAN: “Jo no sóc el major”.

- ANTONI: “ Joan va nàixer el primer”.

- TOMÀS: “Antoni va nàixer el primer”.

Sabent que un d’ells li diu una mentida, podries dir qui és el major?

6. - MELONS

Un llaurador porta melons en el maleter del seu cotxe. Es troba amb tres amics, i els dóna, al primer, la meitat dels melons que té més dos; al segon, la meitat dels que li queden més dos; i al tercer, la meitat dels restants més dos. No obstant això, encara li queda 1 meló. Quants melons portava al principi?

7. - CERCLE I QUADRATS

Un cercle està inscrit en el quadrat ABCD i és tangent al quadrat BEFG, com es mostra al dibuix.

Sabent que el costat del quadrat menut és 1 cm, calcula la longitud del costat del quadrat gran.



8.- FUNCIÓ ESPECIAL

Considerem una funció f(x) tal que yxfyxf )()( =⋅ .

Sabent que f(30) = 20, calcula el valor de f(40)

9. - GRAN MULTIPLICACIÓ

Si multipliquem un nombre format per 2011 xifres “9” amb un altre format per 2011 xifres “6” obtenim un gran nombre.

999. . . 999 x 666. . .666

Calcula quan sumen les xifres del resultat d’aquest producte.

10. - TRIANGLE OMBREJAT

Calcula l’àrea del triangle ombrejat sabent que el costat del pentàgon regular del dibuix és 10 cm,

10cm

2011 xifres 2011 xifres



ELS MONOGRÀFICS DE PROBLEMES OLÍMPICS

PROBLEMES DE GEOMETRIA

per RICARD PEIRÒ I ESTRUCH

Com en altres ocasions, continuem amb la secció dedicada als problemes de Geometria aportats pel nostre company Rcard Peirò i Estruch.

La Geometria és una part fonamental del currículum de matemàtiques, sense la qual no podem considerar seriosament les matemàtiques. Aquesta part de les matemátiques afavorix la manipulació i exploració, l’experimentació la formulació de conjectures, la resolució de problemes oberts i, per tant, permitix desenvoloupar les competències matemàtiques: raonar i argumentar, comunicar, representar, modelar, utilitzar el lenguatge tècnic, el simbolisme i les operacions, etc. El pensament inductiu i deductiu, i el contrast de conjectures se veu afavorit pel tractament constructivista de la Geometria. Per allò pensem que caldria adequar les programacions dels centres perquè la Geometria tinguera el seu lloc destacat en el currículum.

Com ja hem dit en altres ocassions, des d’ací us fem la proposta de què vostres alumnes s’inicien més prompte en l’estudi de la Geometria i en la resolució dels seus problemes.

• PROBLEMA 1 En la figura hi ha tres cercles de radi 2. El centre de cada cercle és la intersecció de altres dos. Calculeu l’àrea de la zona ombrejada.



Solució:

A C

B

Els centres A, B, C dels 3 cercles formen un triangle equilàter de costat 2. L’àrea de la zona ombrejada és igual a la suma de les àrees del triangle equilàter de costat 2 i l’àrea de 3 segments circulars de 60º i radi 2.

L’àrea del triangle Δ

ABC és: 34

322==ABCS .

L’àrea d’un segment circular de radi 2 i 60º és:

33

24

32261 2

2 −=−⋅=ππsegmentS .

L’àrea ombrejada és:

32233

2333 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⋅+= ππ

segmentABCombrejada SSS .

• PROBLEMA 2

En el dibuix, ABCD és un quadrat de costat 17, Els triangles Δ

ABF , Δ

DAE , Δ

BCG i Δ

CDH són rectangles i iguals. Si 8=BF determineu l’àrea del quadrilàter EFGH ombrejat.

A B

E

F

E

C

G

H



Solució:

Notem que EFGH és un quadrat, ja que els quatre triangles de l’enunciat són iguals.

8== BFAE .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle Δ

ABF :

15817 22 =−=AF . 7815 =−=−= AEAFEF .

L’àrea del quadrat EFGH és:

49722=== EFSEFGH .

• PROBLEMA 3

En la figura, sobre un costat d’un octògon regular s’ha dibuixat un quadrat i sobre el costat d’un quadrat s’ha dibuixat un triangle equilàter. Calculeu l’angle BAC∠ .

C

B

A



Solució:

O

C

D

BE

A

Notem que els costats de l’octògon el quadrat i el triangle equilàter són iguals.

Aleshores, BCAB = . Per tant, el triangle Δ

ABC és equilàter. L’angle interior de l’octògon regular és:

º1358

º360º180º180 =−=−∠=∠ BOCCBD .

( ) º75)º60º90º135(º360º360 =++−=∠+∠+∠−=∠ ABEDBECBDABC .

'30º522

º75º1802

º180=

−=

−∠=∠

ABCBAC .

• PROBLEMA 4 La circumferència 122 =+ yx s’intersecta amb la recta 57 += xy en els punts A i B. Si O és el centre de la circumferència, calculeu la mesura de l’angle AOB∠ .



Solució:

O0.5

0.5

A

B

122 =+ yx és la circumferència de centre )0,0(O i radi 1. La intersecció de la circumferència i la recta és la solució dels sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+==+57122

xyyx , les solucions d’aquest són

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

5453

y

x,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

53

54

y

x. Les coordenades

dels punts d’intersecció són: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

54,

53A , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

53,

54B . Per ser A i B de la

circumferència, 1== OBOA . 254

53

53

54 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

=AB .

Aleshores, 222OBOAAB += , aleshores, el triangle

ΔOAB és rectangle i

isòsceles, per tant, º90=∠AOB , º45==∠ OBAOAB .

• PROBLEMA 5

En la figura, la circumferència és tangent a la hipotenusa del triangle

rectangle i isòsceles Δ

ABC , la recta AC és tangent a la circumferència en el punt F i la recta AB és tangent a la circumferència en el punt E.

Si l’àrea del triangle Δ

ABC és 9, quina és l’àrea del cercle?. E

F

AB

C



O

E

F

A

T

B

C

Solució:

Siga O en el centre de la circumferència. Per ser E, F punts de tangència, AFAE = .

OF és perpendicular a la recta AC, OE és perpendicular la la recta AE. Aleshores, OFAE és un quadrat. El radi de la circumferència és AEOFr == .

Si l’àrea del triangle Δ

ABC és ): 2

219 AB= , 18

2=AB . 23=AB .

36182222

=⋅=⋅= ABBC . Aleshores, 6=BC .

Siga T el punt de tangència de la hipotenusa BC i la circumferència. Per ser, E i T punts de tangència: BEBT = . Per ser, F i T punts de tangència: CFCT = . Com que AFAE = i ACAB = , tenim que CFBE = .

Per tant, 321

=== BCCTBT . El radi de la circumferència és:

323 +=+== BEABAEr . L’àrea del cercle és:

( ) ( )22393232

+=+= ππcercleS .

• PROBLEMA 6 Considerem els punts ),0(),5,(),2,(),0,0( dDbCbBA , on b i d són enters positius, que formen un trapezi d’àrea 25. Determineu els valors possibles de b i c.



Solució:

Els segments dAD = , 3=BC són paral·lels. L’altura de trapezi és: bBH = . L’àrea del trapezi és:

252

)3(=

+ bd .

50)3( =+ bd , Nbd ∈, .

⎩⎨⎧

==+

1053

bd

, aleshores, ⎩⎨⎧

==

102

bd

.

⎩⎨⎧

==+

5103

bd


==

57

bd

.

⎩⎨⎧

==+

2253

bd


==

223

bd

.

⎩⎨⎧

==+

1503

bd


==

147

bd

.

• PROBLEMA 7

ABCDE és un pentàgon que té vèrtexs )0,0(A , )0,11(B , )2,11(C , )2,6(D ,

)8,0(E . Volem dividir el pentàgon en dos polígons d’igual àrea mitjançant una recta de la forma kx = . Determineu el valor de k.

A2

2

E

D C

BD'P

x=k

Q



Solució:

Siga D’ la projecció de D sobre el costat AB . L’àrea del polígon ABCDE és igual a la suma l’àrea del rectangle BCDD’ i l’àrea del trapezi AD’DE.

4062

2825 =+

+⋅=ABCDES .

L’àrea del rectangle BCDC’ és 10 per tant el valor de k pertanys a ] [6,0 . La recta kx = talla el segment 'AD en el punt P, i el segment DE en el punt Q. La recta DE té equació: 8+−=≡ xyrDE . Les coordenades de P i Q són:

)0,(kP , )8,( kkQ − kPQ −= 8 .

L’àrea del trapezi APQE és la meitat del pentàgon ABCDE, és a dir, 20.

APPQAESAPQE 2+

= .

20288

=−+ kk .

Resolent l’equació 628 −=k .

• PROBLEMA 8

La imatge mostra 7 monedes iguals de radi 1 que s’han col·locat tangents unes a les altres. Hem posat un cordó al voltant de les monedes. Quina és la longitud del cordó?.



Solució:

O

B

C

A

Q

P

T

R

Els centres de les 6 circumferències (monedes) exterior formen un hexàgon regular de costat 2. Considerem la circumferència de centre A. Siguen P i Q els punt de tangència del cordó i la circumferència. Considerem la circumferència de centre B, Siga R el punt de tangència del cordó i la circumferència més proper a P. Considerem la circumferència de centre C, Siga T el punt de tangència del cordó i la circumferència més proper a Q. Per ser el cordó tangent a les circumferències: AP és perpendicular a PR i a AB . AQ és perpendicular a QT i a AC . L’angle interior d’un hexàgon regular és º120=∠BAC . Aleshores, º60=∠PAQ . El perímetre p de la corda és igual a una circumferència de radi 1 i 6 segments iguals a 2== ABPR . El perímetre és:

ππ 2122612 +=⋅+⋅=p .



• PROBLEMA 9

Lluïsa ha dibuixat una estrella de 6 puntes regular de tal forma que l’angle exterior β és el doble de l’angle interior α . Calculeu l’angle α .

α β

Solució

O

A

CB

L’estrella està inscrita en un hexàgon regular de centre O. Siguen A i B, C tres vèrtexs consecutius de l’estrella. Δ

OAC és un triangle equilàter, º60=∠OAC i 2α

=∠OAB .

Per ser el triangle Δ

ABC isòsceles, 2

º90 β−=∠BAC .

Aleshores, º602

º902

=−+βα .

Per hipòtesi αβ 2= .

Resolent el sistema ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−+

αβ

βα

2

º602

º902 :

⎩⎨⎧

==

º120º60

βα

.



• PROBLEMA 10

L’àrea d’un triangle rectangle Δ

ABC és 54 i la longitud del catet AC és mitjana aritmètica del catet AB i la hipotenusa BC . Quina és la longitud de l’altura sobre la hipotenusa?.

B C

A

H

Solució:

Siga AHh = altura sobre la hipotenusa.

L’àrea del triangle Δ

ABC és: 5422

===ahbcSABC .

Aleshores, 108=bc .

Per hipòtesi 2

cab += . Aleshores, cba −= 2 . Elevant al quedrat:

bccba 44 222 −+= . Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle Δ

ABC : bccbcb 44 2222 −+=+ . Simplificant: 043 2 =− bcb .

010843 2 =⋅−b . Resolent l’equació: 12=b . 10812 =c . Resolent l’equació: 9=c . 159122 =−⋅=a .

Calculem l’altura sobre la hipotenusa del triangle Δ

ABC : 542

15=

⋅ h . Resolent

l’equació: 5

36=h .



• PROBLEMA 11 L’àrea d’un prisma rectangular recte (ortoedre) és 22. Si la suma de les arestes és 24. Determineu la mesura de la diagonal del prisma.

a

b

c

Solució:

Siga l’ortoedre d’arestes a, b, c. Per hipòtesi la suma de les arestes és 24: 24)(4 =++ cba .Simplificant: 6=++ cba (1)

Per hipòtesi l’àrea de l’ortoedre és 22: 22)(2 =++ bcacab (2) Aplicant el teorema de Pitàgores la diagonal de l’ortoedre és:

2222 cbad ++= (3)

Elevant al quadrat l’expressió (1): )(2)(6 22222 bcacabcbacba +++++=++= (4)

Substituint les expressions (2) (3) en l’expressió (4): 226 22 += d . 142 =d . Per tant, 14=d .

• PROBLEMA 12

Hem construït un trapezi juxtaposant dos triangles rectangles semblants com els de la figura. Calculeu l’àrea del trapezi.

12

16



Solució:

A B

D C

12

16

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangleΔ

ABD :

201612 22 =+=BD .

Per hipòtesi els triangles Δ

ABD , Δ

BDC són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

BDBC

ABAD

= . 2016

12 BC= .

15=BC .

L’àrea del trapezi és la suma de les àrees dels triangles Δ

ABD , Δ

BDC :

24622015

21612

=⋅

+⋅

=+= BDCABDABCD SSS .

• PROBLEMA 13

En la figura hi ha un petàgon regular CDEG inscrit en un trapezi ABCD. Demostreu que CDAB ⋅= 2 .

D C

G

F

E

A B



Solució:

L’angle interior del pentàgon és: º108=∠DEB .

º72º108º180 =−=∠AEB (1)

El trapezi ABCD és isòsceles, aleshores: º72º108º180º180 =−=−∠=∠ BCDDAB (2)

De les expressions (1) i (2) deduïm que el triangle Δ

AEF és isòsceles. Aleshores, CDEFAF == .

CDAFAB ⋅=⋅= 22 .

• PROBLEMA 14

Siga el triangle rectangle Δ

ABC , º90=C de catets 30=AC , 16=BC . Fent centre en C es dibuixa una circumferència de radi CB que talla la hipotenusa en el punt D. Calculeu la mesura del segment BD .

C A

B

D

H

Solució:

16== BCCD . Aleshores el triangle Δ

BCD és isòsceles.


ABC :

341630 22 =+=AB . Siga CH l’altura sobre la hipotenusa.

CH és altura del triangle isòsceles Δ

BCD , aleshores, DHBH = .

Calculant l’àrea del triangle Δ

ABC :



234

21630 CHSABC

⋅=

⋅= . Resolent l’equació:

17240

=CH .


BCH :

17128

1724016

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=BH . Per tant:

172562 =⋅= BHBD .

• PROBLEMA 15

Calculeu l’àrea de la secció d’una rosca.

Solució:

O

P

A

B

C

D

E

F

Q

Siga ABCDEF l’hexàgon exterior de la rosca. Siguen P i Q els punts de tangència de la circumferència i els segments BF , CE , respectivament.



25=PQ . aleshores, 25== PQFE . El radi de la circumferència és 225

=OP .

L’àrea de la secció de la rosca és igual a l’àrea de l’hexàgon menys l’àrea del cercle.

L’àrea del triangle equilàter Δ

FEO és:4

36254

32543 22

=== FESFEO .

L’àrea de l’hexàgon ABCDEF és: 32

18754

36256 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=ABCDEFS .

L’àrea del cercle de radi 225 és:

4625

225 2 ππ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=cercleS .

L’àrea de la secció de la rosca és: 22 33'1192'1132

46253

21875 cm mm Srosca ≈≈−=

π .

• PROBLEMA 16

En un triangle isòsceles obtusangle des del vèrtex de l’angle obtús es traça una perpendicular a un dels costats iguals que talla el costat desigual en dos segments. Si el costat desigual del triangle mesura 32 i l’altura sobre el costat desigual 12. Determineu la longitud en què queda dividit el costat desigual per la perpendicular.

B CH

A

D



Solució:

Siga el triangle isòsceles Δ

ABC , ACAB = , 32=BC . Siga 12=AH altura del triangle.

162

322

===BCCH .

Els triangles Δ

AHC , Δ

DHA són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

CHAH

AHDH

= , 1612

12=

DH . Aleshores, 9=DH .

25916 =+=+= DHCHCD . 72532 =−=−= CDBCBD .

• PROBLEMA 17

Un rectangle que la base mesura el doble que l’altura està inscrit en un segment circular de 120º i altura h. Quant mesura el perímetre del rectangle.

O

A B

S R

P QM

N

T

Solució:

Siga AB un arc de 120, centre O i radi r, º120=∠AOB . Siga hMN = altura del segment circular.

º30=∠BAO , aleshores, 22rOAOM == .

hrMNOMONr +=+==2

. Aleshores, hr 2= .

Siga PQRS el rectangle inscrit en arc, tal que xPS = , xPQ 2= .

Considerem el triangle rectangle Δ

OTR :



hrOR 2== , xTR = , xhMTOMOT +=+= .

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle Δ

OTR : 222 )()2( xhxh ++= .

Resolent l’equació en la incògnita x: hx2

71+−= .

El perímetre del rectangle PQRS és: ( )7136 +−== hxPPQRS .

• PROBLEMA 18

En la figura BCCD = , º72=∠BAD i AB és el diàmetre del semicercle de centre O. Determineu la mesura de l’angle DEC∠ .

A B

D

O

C

E

Solució:

Per ser E un punt de la circumferència i AB el diàmetre, º90=∠AEB . Aleshores, º90=∠BED .

º18º72º90º90 =−=−∠=∠ BAEABE Δ

BED és rectangle i C és el punt mig de la hipotenusa BD , aleshores,

2BDCE = . Aleshores, BCCE = .

Aleshores, els arcs que abracen les cordes són iguals.

Aleshores, º362

=∠

=∠BAEEBC .

Aleshores, º54º36º18 =+=∠+∠=∠ EBCABEABC . Per tant, ( ) º54)º54º72(º180º180 =+−=∠+∠−=∠ ABDBADDEC .



• PROBLEMA 19

En la figura hi ha un quart de cercle de entre O i dues semicircumferències de diàmetres OA i OB . Calculeu la raó de proporcionalitat entre la regió ombrejada de color gris i la regió ombrejada de color negre.

O

B

A

Solució:

O

B

A

P

Q

T

Siguen P i Q els centres de les semicircumferències i T la seua intersecció.

L’àrea de color gris és el doble de l’àrea del segment circular de centre Q de radi OQ i abraça un quart de circumferència.

222

41

81

221

2412 OAOAOASgris ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ππ .

L’àrea de color negre és igual al sector format pel quart de cercle de centre O i rai OA menys dos quarts de cercle de centre Q i radi OQ menys un quadrat de costat OQ .



222

2

41

81

22412

41 OAOAOAOASnegre ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−= πππ .

Les àrees són iguals, per tant la proporció entre les àrees és 1.

Siga PQRSTU l’hexàgon de diagonal RU sobre la diagonal BD del quadrat ABCD. PQ és paral·lel a la diagonal BD . Siga O el centre del quadrat ABCD i de l’hexàgon PQRSTU. Siga M el punt mig del costat 1=PQ .

23

=OM . 21

== MQAM .

( )3121

+=OA .

( ) ( )31222 +== OAAB .

L’àrea del quadrat ABCD és: 322

+== ABSABCD .

• PROBLEMA 20

En un trapezi d’angles aguts βα , està inscrit un cercle de radi. Determineu la proporció entre les àrees del trapezi i del cercle.

O

M

K

A B

NL

CD

P Q

Solució:

Siga ABCD el trapezi de costats paral·lels AB , CD . Siga DAB∠=α , ABC∠=β angles aguts del trapezi. Siga el cercle de centre O i radi r tangent al trapezi ABCD en els punts K, L, M, N. Siga DNDMx == , AKANy == , BLBKz == , CMCLt == .



L’altura del trapezi és rMN 2= .

L’àrea del trapezi és: rtzyxSABCD 22

+++= .→ rtzyxSABCD )( +++= .

Siga P la projecció de D sobre el costat AB . Siga Q la projecció de C sobre el costat AB .

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle Δ

APD :

αsin2=

+ yxr , aleshores,

αsin2ryx =+ .

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle Δ

BQC :

βsin2=

+ tzr , aleshores,

βsin2rtz =+ .

rtzyx 2sin

1sin

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+++

βα.

22sin

1sin

1)( rrtzyxSABCD ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+++=

βα.

L’àrea del cercle de radi r és: 2rScercle π= .

La proporció entre les àrees del trapezi i del cercle és:

( )βαπβα

π

βαsinsinsinsin2

2sin

1sin

1

2

2

⋅⋅+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=r

r

SS

cercle

ABCD .



FE D’ERRADES. ELS NOSTRES LECTORS

Presentem a continuación algunes cartes d’alguns companys rebudes a la nostra redacció en l’últim mes, les quals ens assenyalen alguns errors localitzats en l’ultim número de “Problemes Olimpics”, concretament, al PO Nº 58 del mes de febrer. Des de nostra redacció volem agraïr aquestes col.laboracions dels nostres lectors i volem demanar també disculpes per les errades observades. Per a pròxims edicions volem establir un mecanisme de control què minimize aquestos errors.

1.- CARTA DE NOSTRA COMPANYA EMPAR ROCA

Estimats col·legues,

M'adrece a vosaltres, en primer lloc per felicitar-vos per la feina feta en aquests quadernets de problemes olímpics, que em resulta de gran ajut per a les meues classes, i en segon lloc per comunicar-vos que crec que en l'últim exemplar hi ha una petita errada. A l'apartat de Problemes de Nivell C (tercer cicle de primària), al problema núm 2, "Quadrat, cercle i pentàgon" pense que la última balança també hauria d'estar equilibrada per als valors que doneu al solucionari. Si no fos així per favor comuniqueu-me la meua errada.

Gràcies per la vostra atenció i pel treball que feu. Una abraçada

Empar Roca Velasco. Escola Gavina, Picanya

• Resposta de la redacció:

Moltes gràcies pel teu missatge, Empar. En efecte, el dibuix què hi aparéix en l’enunciat de l’esmentat problema induïx a confussió, al fer pensar què un pentàgon i un cercle pesen més què dos cercles i un quadrat, quan en realitat pesen el mateix. L’última balança caldria què estiguera equilibrada.

Gràcies per la teua col.laboració.



2.- CARTA DE RICARD PEIRÒ

Estimats companys:

He rebut el problemes olímpics i he vist un dibuix en errors en el problema del convent (problema 23, pàg 42, PO Nº 58, febrer!. La resta molt bonic!

Salut!

Ricard Peirò, IES Abastos, València


Moltes gràcies pel teu missatge, Ricard. En efecte, el dibuix què hi aparéix en l’enunciat és erroni, ja què no es mostra el pati interior, degut a l’ompliment de color de la figura gran (claustre). A més, el dibuix de la solución del problema és erròni, degut a què s’ha marcat el contorn exterior de la figura; en realitat sobra el marc exterior.


Pati interior

Claustre

x

y



3.- PRIMERA CARTA DE FERNANDO JUAN: LA MONEDA FALSA

Amics,

El problema 4 de nivell A, "La moneda falsa", de l'últim número de Problemes Olímpics (PO Nº 58, febrer) presenta una solució incompleta. Dóna 4 com el mínim nombre de pesades per a determinar la moneda menys pesada d'un grup de 24. En realitat el mínim és 3:

1a pesada: Se separen en tres grups de 8 i comparem dos d'aquests grups: la moneda falsa està en el grp de 8 que resulte menys pesat o, si pesen igual, en el que hem deixat a banda. Hem reduït el nombre de boles a 8. 2a pesada: Es comparen ara dos grups de 3 i queda a banda un grup de dos. Si la balança es desequilibra haurem localitzat un grup de 3 que conté la moneda falsa. Sinó, està en el grup de 2. 3a pesada: Independentment del resultat del pas anterior, fem una pesada amb una moneda en cada plat. Si es desequilibra, en el plat que ascendeix està la moneda falsa; sinó (sols pot ser si han quedat 3 després de la 2a pesada) la moneda falsa és la que hem deixat a banda.

La llàstima és que també el procés de generalització que s'indica en la solució és insatisfactori. És un bon procediment per utilitzar un nombre reduït de pesades, però no el mínim. Supose (ara no tinc temps de comprovar-ho) que la generalització automàtica es pot fer per a potències de 3 (o dobles de potències de 3?), en comptes de fer-se per a potències de 2 (triples de potències de 2). En qualsevol cas, la situació concreta que demana el problema (3072 monedes) es pot resoldre amb el mateix procediment que la de 24 monedes: dividir sempre en grups de 3. Quan el residu és diferent de zero, se separen les monedes sobrants i, una vegada feta la pesada, s'afegeixen al grup que ha pesat menys (o que hem deixat a part). Amb 3072 monedes compararíem grups de:



1a pesada: 1024; 2a pesada: 341 (una bola a banda); 3a pesada: 114; 4a pesada: 34 (dues boles a banda); 5a pesada: 12; 6a pesada: 4; 7a pesada: 1 (una bola "a banda"); 8a pesada: 1, i queda determinada la moneda falsa.

El nombre mínim de pesades necessàries es redueix així d'11 (solució PO) a 8. Es podria incloure la rectificació en el proper número, o s'utilitza el bloc o el web? O no fa falta res.

Una abraçada i felicitacions pel gran treball que feu, Fernando Juan


Moltes gràcies pel teu missatge, Fernando. En efecte, la teua carta és tan clara què pensem què no cal afegir més. En tot cas, volem demanar disculpes a tots els lectors per la publicació precipitada de solucions de problemes, què cal millorar. En eixe sentit, pensem introduïr mecanismes de control de qualitat en els pròxims números de la revista, per tal d’evitar situacions com aquesta.


4.- SEGONA CARTA DE FERNANDO JUAN: EL DESDEJUNI

Estimats amics:

Aquesta vegada és també el problema 4, però el de nivell B: "El desdejuni" (pàg. 45, PO Nº 58, de febrer). Algú s'ha despistat: l'enunciat permet deduir el preu d'algunes consumicions mitjançant combinacions lineals, però no el que es demana: el preu d'una consumició formada per una torrada, un got de llet i un got de suc de taronja. Probablement és adaptació d'un altre problema, i no s'han controlat totes les variables.



Solució que es presenta: 3,20 euros. Obtinguda amb 0,90 € per a la torrada (que és l'únic preu que es pot determinar), 1,20 € per al got de llet i 1,10 € per al suc de taronja. Els dos últims preus s'obtenen d'un sistema format per dues equacions equivalents: 4y + 2z = 7 i 6y + 3z = 10,5. Aquest sistema té infinites solucions si no parlem de preus, i un conjunt relativament extens de solucions amb preus que s'adapten al sistema monetari (amb un nombre enter de cèntims d'euro).

Altres solucions:

N'hi ha amb preus raonables, com, per exemple, 1 € el got de llet i 1,50 € el suc de taronja, que donen un total diferent: 0,9 + 1 + 1,5 = 3,40 euros

N'hi ha (sols teòricament, i descartant preus nuls o negatius) la més favorable per al consumidor: 1,74 € el got de llet i 0,02 € el suc de taronja: 2,66 euros en total.

N'hi ha (teòricament també) la més favorable per al venedor: 0,01 € el got de llet i 3,48 € el suc de taronja: 4,39 euros en total.

I, evidentment, unes quantes intermèdies. En la imatge següent es visualitzen 20 de les 174 solucions en la forma “(preu de got de llet, preu de suc de taronja)”:

El consum en una cafeteria d’una torrada, quatre cafés amb llet,i dos gots de suc de taronja costen 7 € i 90 cèntims, a torrada, mentre que la




Moltes gràcies pel teu missatge, Fernando. Per la nostra banda, assumim l’errada i pensem què no hi ha cap cosa què afegir als teus comentaris. No ens queda més que agraïr la teua col.laboració. Intentarem què en les pròximes edicions no es tornen a repetir errades com aquesta.




SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL C (TERCER CICLE PRIMÀRIA)

PROVA INDIVIDUAL 1.- QÜESTIÓ DE SIMETRIA

2.- ELS ASCENSORS

Fem un esquema d’on es troba cada ascensor en cada moment. Per esbrinar-ho, només cal dividir la durada de cada moviment entre el temps que tarda en pujar o baixar cada ascensor. Així sabrem quants pisos s’han desplaçat. El problema pot esdevindre en assabentar-se que l’ascensor B, si seguim les indicacions de pujada i baixada, cauria per davall del nivell 0. En aquest punt s’admeten els casos raonats: Cas 1: L’edifici té soterranis. Aleshores, la taula que descriu el moviment dels ascensors és la següent:

Per tant ja tenim clar que els ascensor es creuen 1 vegada.

Durada Ascensor A

Ascensor B

24 segons Pis 48 Pis 0 12 segons Pis 24 Pis 20 15 segons Pis 54 Pis -30 3 segons Pis 48 Pis -25 15 segons Pis 78 Pis -75



Cas 2: L’edifici no té soterranis. En aquest cas, quan l’ascensor B arribe al pis 0, no seguirà baixant, i entendrem que es queda en eixe pis fins que passe el període de baixada corresponent. Per tant:

En aquest segon cas, també es creuen només una vegada.

3.- EL COMPTE

Sabem que els han de tornar 24€.

A Anna li donaran la meitat del que sobre: 21 de 24 = 12€.

A Josep li donaran la tercera part del que sobre: 31 de 24 = 8€.

A Paola li donaran la quarta part del que sobre: 41 de 24 = 6€.

Per tant, en total els hauran de tornar: 12+8+6= 26€ > 24€ que és més que el que els sobrava.

Això es deu a que: 11213

41

31

21

>=++

4.- LES TRES GRANGES

Es tenen 333 animals. Els animals els repartim en cada granja de la següent forma:

GRANJA 1 GRANJA 2 GRANJA 3

Per tant, el valor de cada circumferència és de: 379

333= . En cada granja hi

ha els següents animals:

GRANJA 1 GRANJA 2 GRANJA 3 37·6=222 animals 37·2=74 animals 37 animals

Per altra banda, els tres números capicua distints en ordre decreixent la suma dels quals no siga superior a 333 sén: 101 – 111 – 121.

Durada Ascensor A

Ascensor B

24 segons Pis 48 Pis 0 12 segons Pis 24 Pis 20 15 segons Pis 54 Pis 0* 3 segons Pis 48 Pis 5 15 segons Pis 78 Pis 0*



Així doncs, la granja 1 ha de tindre 101 animals, la granja 2 tindrà 111 animals i la granja 3: 121 animals. Per a que això es complisca:

Haurem de passar de la granja 1 a la granja 2: 111-74= 37 animals.

Haurem de passar de la granja 1 a la granja 3: 121-37= 84 animals.

La granja 1 es quedarà amb: 222-37-84= 101 animals.

5.- PIRÀMIDE NUMÈRICA

La solució és única i és la següent:

6 14 15 3 13

8 1 12 10

7 11 2

4 9

5



SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL C (TERCER CICLE PRIMÀRIA)

PROVA DE VELOCITAT

1. - L’ÀREA

Cada quadrat té una àrea d’1 2cm . La figura està formada por 32 quadrats. Aleshores, l’àrea de la figura és de 32 2cm .

2. - ELS SIS AMICS

Pere Montse Lluís Carme Sara Toni Ordre 1 2 3 4 5 6 Temps 5 min 11 min 17 min 23 min 25 min 30 min

3. - NÚMEROS DESCONEGUTS

Triàngle = 1 Rombe = 2 Rectàngle = 5 Cercle = 3 Cor = 4

4. - EL CIRC

El més major és el domador i el més jove el trapezista

5. - EL TEMPLE MAIA

1 pis: 4 furgadents = 22

2 pisos: 10 furgadents = 32 + 1 3 pisos: 18 furgadents = 42 + 2 4 pisos: 28 furgadents = 52 + 3 ......... 8 pisos: = (8 + 1)2 + (8 - 1) = 92 + 7 = 88 furgadents

6. - LA FAMÍLIA DELS TRIANGLES

En total hi ha 20 triangles Triangles de grandària 1: 12 triangles Triangles de grandària 2: 6triangles Triangles de grandària 3: 2 triangles



7. - D’UN SOL TRAÇ

8. - TRIANGLES I QUADRATS

Del primer al segon quadrat s’afegixen tres triangles i dos quadrats. Del segon al tercer quadrat es resten dos triangles i se suma un quadrat. Del tercer al quart quadrat es torna a sumar tres triangles i dos quadrats, ja què la sèrie torna a començar. Així el resultat és:

9. - NOMBRES

745 – 698 = 47 és el nombre més menut (positiu) possible.

10. - RECTANGLES DE FIGURES



SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL A (PRIMER CICLE ESO)

PROVA INDIVIDUAL

1.- SUPERFÍCIE DEL JARDÍ

La superfície de rosers ja plantada és de 5 m2. Llavors, la quarta part del jardí, el rectangle de vèrtexs AQNR consta de quatre triangles què tenen la mateixa superfície de 5 m2 cadascun; per tant, la quarta part del jardí té una superfície de 4x5=20 m2. Així, el jardí complet té una superfície de 4x20=80 m2. D'altra banda, l'àrea de la superfície de rosers (triangle ABC) equival a 6 triangles amb una superfície com la del donat; per tant, l'àrea del triangle ABC és 6x5=30 m2.

2.-BUSCANT A DOMAN

Hem de saber qui diu la veritat, és a dir, qui és d'Uti. Aken no pot ser d'Uti perquè els d'Uti diuen la veritat i està dient que no és d'Uti. Per altra banda tampoc pot ser de Iomi perquè els de Iomi sempre menteixen i estaria dient la veritat. En conseqüència Aken és de Grundi.

Cwos diu que no és de Grundi. Si fos de Iomi seria correcte el que diu, i un ciutadà de Iomi sempre menteix, per tant està dient la veritat. Com que els habitants de Grundi també diuen la veritat però sabem que Aken és de Grundi i tenim un habitant de cada ciutat podem afirmar que Cwos és d'Uti i diu la veritat. Per tant Doman, tal com diu Cwos és d'Uti.



3.- UN PRODUCTE “UNIFICAT”

Com que tenim 18 uns la suma de les seues xifres és 18, que és multiple de 9, per tant el nostre número és divisible per 9.

També és divisible per 11, ja que la suma de les xifres en posició parell és igual a la suma de les xifres en posició senar.

Per tant el número és divisible per 99.

Dividint 111111111111111111 per 99 obtenim 1122334455667789 que és la solució.

Si dividim per 11 obtenim 10101010101010101 que té una xifra més de les que tenim en l’enunciat.

Si dividim per 9 obtenim 12345679012345679 que també té una xifra més que les que tenim en l’enunciat, per tant la solució és la primera.

Altra solució: Hem rebut també la següent carta d’una companya que va participar en un dels jurats: Hola, revisando las soluciones del problema tres que tenemos que corregir creo que hay otra posibilidad ya que el 11...1 (18 cifras) creo que también es divisible por 91, siendo otra posible solución el 1221001221001221 (con 16 cifras) Ya nos dices algo, CRISTINA Resposta de “Problemes Olímpics”: En efecte, la nostra companya Cristina té raó. Hi ha més d’una solució, amb la qual cosa el jurat ha decidit valorar per igual qualsevol de les solucions què s’aporten al problema.

4.- DELICIOSOS CARAMELS



Quqnts caramels hi ha de cada tipus, si de fresa hi ha F caramels? Quants caramels hi ha en total en funció dels de fresa? F+2F+(F-1)+(2F-6)=6F-7

Donat que a la bossa hi ha 71 caramels, quants caramels de fresa hi ha? 6F-7=71 → F=13

Quants caramels hi ha de llima? Quants de taronja? Quants de menta? L=2F → L=26 N=F-1 → N=12 M=2F-6 → M=20

Comencem a treure caramels i parem quan traem un d’un sabor anterior:

En el pijor dels casos, quants caramels hi ha que treure per a obtindre dos del mateix sabor? 5 caramels.



I si volem dos caramels de distint color? Pot passar que ne traguem un d’un sabor… que el següent siga del mateix… i el següent... i l’altre… i l’altre… Si ens passa això, quin és el sabor que ens obligaria a treure el major número de caramels? Quants caramels hi hauria que treure? Hi hauria que treure els 26 caramels de llima. El caramel número 27 seria obligatòriament d’altre sabor.

5.- AMB TRES DÍGITS

Els 6 possibles números són: 10a+b, 10a+c, 10b+a, 10b+c, 10c+a i 10c+b i la seua suma és 22(a+b+c). Així, els conjunts buscats són {6,7,9} i {5,8,9} donat que els dígits han de ser distints.

SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL A (PRIMER CICLE ESO)

PROVA DE VELOCITAT 1.- EN LA XXII EDICIÓ DE L’OLIMPÍADA MATEMÀTICA

-Nombres de dos xifres: 22→ 1 possibilitat -Nombres de tres xifres de la forma: a22, 1 9a≤ ≤ → 9 possibilitats -Nombres de tres xifres de la forma: 22a, 0 9a≤ ≤ , llevant 222 que s’ha comptabilitzat abans→ 9 possibilitats Entre 1000 i 2011, tornem a repetir la seqüència d’abans, per tant, en total n’hi ha 38 possibilitats



2.- UNA NIT FREDA A NEW YORK

Com el nombre de graus centígrads acaba en 5, serà de la forma -5n, amb n imparell i es correspon a 32-9n en graus Fahrenheit

Temperatura (ºC): -5n Temperatura (ºF): 32-9n n=0 0ºC 32ºF n=1 -5ºC 23ºF n=3 -15ºC 5ºF n=5 -25ºC -13ºF n=7 -35ºC -31ºF n=9 -45ºC -49ºF n=11 -55ºC -67ºF n=13 -65ºC -85ºF

Les quantitats demanades acaben en 5 quan n acaba en 3, és a dir, per a la sèrie n=3, 13, 23, …..· però les solucions a partir de n= 13, resulta excesiu ja que no seria possible viure a -65ºC en aquestes latituts de la Terra.

La solució és: -15ºC i 5ºF

3.- EN L’EDITORIAL

Es pot fer la edició de tres formes distintes de 26,55 o 65 , les fulles serien 55,26 i 22 respectivament.

4.- PLA DE REFORESTACIÓ ALS BOSCOS

Ara N=200 000 arbres i 0’4% de 200 000= 800 arbres autoctons. L’any vinent, hi haurà 1,02·800= 816 arbres autoctons respecte dels 1,02·200 000=204 000 arbres en total. X= nombre d’arbres autòctons a reforestar Per tant,

204000 _____ 100816 _____ 2x

⎫⎪⎬⎪+ ⎭

→100: (816+x)=408 000→x=3 264 arbres



5.- FADRINS I CASATS

2/3 del número de varones es igual a 3/5 del número de mujeres, es decir, la razón de número de varones y número de mujeres es 9/10. Cada 10 mujeres hay 9 hombres. 3/5 de 10 = 2/3 de 9 = 6 .

De 10 mujeres, se casan 6 y 4 quedan solteras. De 9 hombres, se casan 6 y 3 quedan solteros, luego la proporción de solteros es 7/19.

6.- EL RELLOTGE DIGITAL

Si les 12 de mitjanit són 00:00, en un dia a més estan 01:10; 02:20; 03:30; 04:40; 05:50; 10:01; 11:11, 12:21; 13:31; 14:41; 15:51; 20:02; 21:12; 22:22; 23:32; En un dia, n’hi ha 16 hores capicues, per tant 112/16=7 dies

7.- DESPESA DE MENUTS CAPRITXOS

La despesa mínima és de 4 €, en la 2a màquina, Ja que n’hi ha que pensar en la pitjor de les possibilitats en cada màquina 1ª màquina: 1Blanc, 1Roig, 1Verd, 1Blau, 1Blau, per tant 5 € 2ª màquina: 1Roig, 1Blanc, 1Blau, 1Blau, per tant 4€

8.- EL MISTERI DEL DNI

Sols hi ha dos números d’una xifra que són iguals al seu quadrat, són el 1 i el 0. Com ha de ser imparell, la 4ª xifra serà un 1. Per a que 1ªX2ª=21 i al mateix temps 2ªX3ª=35, la segona ha de ser un 7, i per tant, la 1ª serà un 3 i la 3ª un 5. Per a que es complisquen la resta de condicions, el nº ha de ser:

37.516.248



9.- RECTANGLE AMB QUADRATS

El rectangle gran és casi un quadrat., ja que té com a costats 176 i 177. Els costats dels diferents quadrats es poden anar expressant en funció de la incògnita x. L’única dificultat és adonar-se de que el tros menut AB, diferència entre el costat del quadrat 1 i 2, es pot expressar com x-9.



10. - L’ARCA DE NOÉ

FRASE ANYS Vida d’una balena 4x Vida d’una cigonya X Vida d’un conill de les índies x-85 Vida d’un bou x-85+6=x-79 Vida d’un cavall x-79+9=x-70 Vida d’un pollastre x-82 Vida d’un elefant X+200 Vida d’un gos x-83 Vida d’un gat x-85 Vida d’una carpa x-85+135=x+50 Vida d’un camell (x+50)/2 Suma total (1/2+13)x-209

Aleshores, x/2+25=13x+x/2-209-1066 Per tant 13x=1300 x=10 anys

La cigonya viu 10 anys.



SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL B (SEGON CICLE ESO)

PROVA INDIVIDUAL 1.- CALCULEM ÀREES

Àrea = 75.99 cm2 Àrea = 85.82 cm2

Figura 1.

Dividim els hexàgons interiors en sis triangles equilàters iguals tal i com ho mostra la figura i calculem l’altura d’un d’ells amb el teorema de Pitàgores, ja que sabem que els seus costats mesuren 3 cm.

32 = (1.5)2+ a2 , a = 2.598 cm Per tant cada una de les àrees dels hexàgon interiors val Ainterior = 6(3a/2) = 23.38 cm2

Ara per a calcular l’àrea de l’hexàgon gran ens fixem en què la diagonal que passa pel centre mesura 15 cm, ja que són un costat i dos diagonals d’un hexàgon interior i cada una de les diagonals mesuren 6. Per tant el costat dels triangles mesuren 7.5 cm, calculem l’altura com abans (7.5)2 = (3.75)2+b2 , b = 6.495 cm Agran = 6((7.5)b/2) = 146.14 cm2

On ara b és l’altura dels triangles de l’hexàgon gran



Si restem a l’àrea gran 3 vegades la menuda obtenim el resultat que buscavem A = Agran - 3Ainterior = 75.99 cm2 Nota: si per a fer els càlculs només agafem dos decimals el resultat és 76.

Figura 2.

Ja hem calculat l’àrea dels hexàgons interiors. El costat del quadrat val quatre vegades “a” més 3, per tant l’àrea

Aquadrat = (4a+3)2 = 179.35 cm2 A = Aquadrat – 4Ainterior = 85.82 cm2

2.- CODIFICANT ELS LLIBRES

De la A a la Z, en ordre, hi ha 26 lletres, així que de AAA a AAZ hi ha 26 codis (AAZ és el nombre 26). De la mateixa manera, de AAA a AZZ hi ha 26 x 26 = 676 codis. Podem veure que 2203 = 676 x 3 + 175, així que encara ens falten 175 codis després de CZZ, que és el codi 3 x 26 x 26 = 2028. Com 175 = 6 x 26 + 19, després de DFZ (que és el codi 676 + 26 x 6) ens falten encara 19 codis, així que l'etiqueta és DGS.

3.- ELS SEIENTS DEL TEATRE

Si imaginem les 24 possibilitats perquè es senten Maria i les dues germanes que han arribat abans d’hora i deixen una cadira buida veuríem que en 12 d’aquestes situacions Maria ha de canviar de cadira. Aquestes situacions són totes aquelles en que la cadira de Maria és la que havia quedat lliure (6 casos), aquelles en que Maria seu a la cadira d’Ana i el seu seient està ocupat (4 casos més) i, finalment, els dos casos en que la cadira d’Ana està ocupada per una germana i Maria seu justament a la cadira d’aquesta germana. En total 12 casos favorables al que es demana d’un total de 24 casos possibles.

4.- EL NÚMERO SECRET

Llamando x a la última cifra, planteamos los datos conocidos de derecha a izquierda

Sabemos que las dos últimas cifras suman 4, con lo que las únicas posibilidades para x son: 0, 1, 2, 3 ó 4.



Los posibles números que se crean, dependiendo del valor de x (entre 0 y 4) son: 32808240, 19846431, 10124622, 3642813, 401004

De todos ellos, el único que tiene 7 cifras y, por tanto, resulta ser el número secreto es: 3642813

5.- REUNIÓ DE CONEGUTS

Posarem A1,A2, ...,A11,A12 les persones assistents i indicarem amb la relació de coneixenÇa. Si A1 només coneix una persona i A11 les coneix totes es dedueix que A1 A11. Raonant de manera semblant, com que A2 coneix dues persones, una d’elles serà A11 i l’altra ha de ser A10 que coneix totes les persones menys una; la que no coneix és A1. Per tant A2 A11 i A2 A10. Així podem anar seguint i veurem que A3 A11,A10,A9, que A4

A11,A10,A9,A8 i que A5 A11,A10,A9,A8,A7. Quan arribem a A6 raonarem que coneix A11,A10,A9,A8,A7 però a més ha de conèixer una altra persona que no pot ser cap de A1,A2,A3,A4,A5. Per tant A6 A12. Semblantment, ja tenim escrites 6 persones conegudes de A7 i en sabem 4 que no el coneixen. Deduïm doncs que A7 A12 i anàlogament es raona que A8 A12, A9 A12, A10 A12 i, com que ja sabíem per l’enunciat que A11 coneix totes les altres persones convidades, A11 A12.



SOLUCIONS

PROBLEMES NIVELL B (SEGON CICLE ESO)

PROVA DE VELOCITAT

1.- EL BOSC

2.- PARELLES UNIDES

Es pot considerar que cada parella ocupa un lloc en la foto, aleshores les 5 parelles es poden col·locar de 120123455 =⋅⋅⋅⋅=P maneres distintes.

Però cada parella es pot col·locar Home–Dona o Dona-Home, és a dir, de dues formes distintes.

Per tant, les 5 parelles es poden col·locar de 3840321202120 5 =⋅=⋅ maneres distintes.

3.- QUÍ ÉS MAJOR?

Solució 1:

201120102010321201020113212010 ⋅+++++=++++= )...()...(A

=+++++=++++= )...)(()...( 20103211201020103212011B

)...()...( 2010321120103212010 ++++⋅+++++=

Com 201032120112010 ++++>⋅ ... →A>B



Solució 2:

1006201120102011220111201020113212010 ⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=++++= )...(A

51005201120102010220101201120103212011 ')...( ⋅⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=++++=B

És evident que A>B

4.- RELLOTGE DIGITAL

El dia 27 de juny de 2034, a les 18 hores i 59 minuts.

5.- ELS TRES QUARENTONS

Les afirmacions d’Antoni i de Tomàs són contradictòries →Un dels dos és el mentider.

Si el mentider és Tomàs→ Antoni diu una veritat i el major seria Joan. Això està en contradicció amb l’afirmació de Joan, que no pot ser mentider.

Aleshores, Tomàs diu una veritat i, per tant, Antoni és el major.

6.- MELONS

36 melons

7.- CERCLE I QUADRATS

Siga r = OF = radi de la circumferència. Aleshores: 1== FEBE

2211 22222 =→=+=+= BFFEBEBF

Els triangles BFE i BOH són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

212 22 22 212

=−⋅→=−→+=→+

=→= )(rrrrrr

rBHBO

BEBF

18 59 27 06 34

3r amic 2n amic 1r amic

Després de veure a..., li queda 1 6 16

Abans de donar-li 2 melons a ..., en té 3 8 18

Abans de veure a ..., en portava 6 16 36



221222

1212122

122

+=−+

=+−

+⋅=

−=

))(()(r → 224222 +=+⋅= )(AB

8.- FUNCIÓ ESPECIAL

3)10()310()30(20 fff =⋅== → 60320)10( =⋅=f

154

604

)10()410()40( ===⋅=fff

9.- GRAN MULTIPLICACIÓ

99 x 66 = (100 – 1 ) x 66 = 6600 – 66 = 6534

999 x 666 = (103 – 1 ) x 666 = 666000 – 666 = 665334

9999 x 6666 = (104 – 1 ) x 6666 = 66660000 – 6666 = 66653334

........................................................................................................................

999. . . 999 x 666. . .666=(102011 – 1 ) x 666. . .666=

=666. . . 666 000...000 - 666. . .666 = 666...6665333...3334

La suma de totes les xifres és S = 2010 x 9 + 4 + 5 = 2011 x 9 = 18099.

H

2011 xifres 2011 xifres 2011 xifres

2011 xifres 2011 xifres 2011 xifres 2010 xifres 2010 xifres



10.- TRIANGLE OMBREJAT

L’angle interior d’un pentàgon regular mesura: ( ) 1085

5405

18025==

⋅−=α

Considerem un dels 5 triangles isòsceles en els quals es descomposa el pentàgon.

cm 8865455

54 '≈⋅=→= tghhtg

cm 518545554 '

coscos ≈=→= a

a

Siga H = altura del triangle ombrejat

cm 3915518886 ''' ≈+=+= haH

.'' 2cm 95762

3915102

≈⋅

=⋅

=HbAT

CONTACTEU AMB NOSALTRES...!!!

SI VOLS ENVIAR-NOS SOLUCIONS DE PROBLEMES OBERTS, PROPOSTES DE PROBLEMES O DE TEMES, COMENTARIS I SUGGERIMENTS... POTS ENVIAR UNA CARTA A L’ADREÇA:

SEMCV "AL-KHWARIZMI" PROBLEMA OBERT APARTADO 22.045 46071-VALENCA

TAMBÉ POTS ENVIAR UN MISSATGE AL CORREU ELECTRÒNIC:

[email protected]

ESPEREM LES VOSTRES COL.LABORACIONS!!!

10cm

ha

a

54◦



Vols fer-te soci? Ompli la següent butlleta d’inscripció i ens l’envies a la nostra seu. Anima als teus companys o inscriu al teu centre a la nostra societat.

INSCRIPCIÓ I DOMICILIACIÓ BANCÀRIA

Cognoms:.......................................................................Nom:....................................

DNI / NIF:...................................... Domicili particular:

Població:.............................................................................................D.P.:...............

Carrer:.............................................................

Telèfon:................................................

Correu-e:..................................... Centre de treball:

Nom:..........................................................................................................................

Carrer:.....................................................Població:..................................D.P.:............

Telèfon:.............................................Correu-e:........................................................... Entitat bancària (on es lliurarà el cobrament de quotes):

Nom:..........................................................................................................................

Carrer:.....................................................Població:..................................D.P.:...........

Codi Compte Client:

Entitat Oficina D.C. Nº Compte

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

_________________________________________________________________________ Sr. Director de la Sucursal............................................................................................. del Banc/Caixa d’estalvis.............................................................................................. Distingit Senyor: Us pregue que atengueu, amb càrrec al meu compte nº: c/c - llibreta: ..........................................., i fins a nova ordre, els rebuts que anualment siguen presentats a nom de ............................................................................................... per la Societat d'Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana "irizmaKhw Al" . Atentament,

.............................................a............de........................................de 200.. (signatura) El titular del compte:.................................................... DNI:........................................................ Adreça:................................................................................................................

Societat d’Educació Matemàtica de la Comunitat Valenciana "irizmaKhw- Al"

Escola Universitària de Magisteri “Ausiàs March” Departament de Didàctica de la Matemàtica Apartat 22.045 46071VALÈNCIA

Esta revista es publica amb el suport de l’Acadèmia Valenciana de la Llengua

Amb la col·laboració de la Conselleria d’Educació de la Generalitat Valenciana

Trobaràs tota la informació en la nostra web.

Visiteu-la: www.semcv.org

Societat d'Educació Matemàtica de la

Comunitat Valenciana

"Al-Khwarizmi"

problemes olÍmpics olim... · ací teniu el número 59 de problemes olÍmpics corresponent al mes...

Documents