PROBLEMAS VARIADOS 5(2013-2015)

342.-Un avión vuela en dirección horizontal a una altura h sobre el suelo

y con velocidad constante v. Desde tierra un dispositivo óptico sigue

constantemente al avión. En el tiempo t =0 el avión se encuentra

justamente encima del sistema óptico.

a) Determinar la velocidad angular y aceleración angular que debe tener

el dispositivo óptico para que enfoque permanentemente al avión.

b) Determinar para qué ángulo la aceleración angular toma el valor

mínimo.

c) Representar la velocidad angular y la aceleración angular frente al

ángulo de un avión que vuela a una altura de h=1000 m con una

velocidad constante de 140 m/s. Considerar un sistema de referencia XY

estando el sistema óptico en el eje de coordenadas y el ángulo que forma

el dispositivo óptico se mide respecto del eje Y.

En la figura 1 el avión se encuentra en t=0 sobre el eje Y y al cabo de un tiempo t

forma un ángulo con el eje Y y su abscisa es x.

a) La velocidad constante del avión es: dt

dxv .La velocidad angular del dispositivo

óptico es: dx

dθv

dt

dx

dx

dθ

dt

dθω .

Si h es grande podemos considerar que el aumento de x y de es muy pequeño:

)1(xΔ

θΔvω

De la figura 1 se deduce:

)2(h

θcos

xΔ

θΔ θd

θcos

hdxtagθhx

h

xθtag

2

2

De (1) y (2) )3(h

θcosvω

2

Diferenciando en (3) :

x

h Fig. 1

O X

Y

2θsenh

v

θΔ

ωΔdθ2θsen

h

v-dθθsenθcos2

h

vdω (4)

La aceleración angular es:

(5)θ2senθcosh

vθ2sen

h

vθcos

h

vα

θd

ωdω

dt

θd

θd

ωd

dt

ωdα 2

2

2

b) Para hallar el mínimo derivamos la ecuación (5) respecto de la variable e igualamos

a cero.

(6) 1θtag2θtagθsen

θcos2θtagθsen2θsen2θcosθcos

01)(senθθcos22θsen22θcosθcosh

v

dθ

dα 2

2

La ecuación (6) se puede resolver por tanteo siendo = 30º, o se hace uso de la

relación trigonométrica siguiente: θtag1

θtag22θtag

2

30ºθ3

3

3

1θtag1θtag1θtag21θtag

θtag1

θtag2 22

2

c)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 20 40 60 80 100

ángulo/º

v.a

ng

ula

r en

rad

/s

-0,014

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0 20 40 60 80 100

ángulo/º

acele

r. a

ng

ula

r en

rad

/s2

343.-Comprobar que para un gas perfecto que realiza un proceso

adiabático se cumple la siguiente ecuación

1

γ1γ

1P

2P

1γ1

TRγ

1H

2H

El subíndice 2 señala el estado final y el 1 el inicial.

Para un gas perfecto, que efectúa un proceso adiabático reversible entre los estados

termodinámicos 1 y 2, se cumplen las siguientes ecuaciones.

γγ2211

2

22

1

11 VPVP;T

VP

T

VP

Para un proceso adiabático 12P12 TTCHH (1)

Observando la ecuación del enunciado vamos a eliminar T2 , ya que no aparece en la

ecuación del enunciado, utilizando las ecuaciones anteriores:

)2(P

PT

P

PTT

TP

P

P

PT

P

P

TP

TP

P

P

V

V;

TP

TP

V

V

γ1γ

γ11

γ11

γ1

γ1

γ1

1

21

1

212

1

2

1

1

22

1

2

21

12

1

2

2

1

21

12

2

1

Ahora relacionamos Cp con .

)3(1γ

Rγ

γ

11

RCR

γ

CC

γ

CCγ

C

C;RCC P

PP

PV

V

PVP

Sustituyendo en (1) , las ecuaciones (2) y (3) resulta:

1γ1γ

1T

γ1γ

1

21

1

2112

P

P

1γ

TRγ

P

PT

1γ

RγHH

344.-La ecuación de Clausius-Clapeyron se aplica a una sustancia pura

que se encuentra en equilibrio entre dos fases, y su expresión matemática

es la siguiente:

ΔVT

ΔH

dT

dp

Si nos referimos a un equilibrio líquido vapor, p es la presión de vapor

de la sustancia y H su calor de vaporización por mol, V es la

diferencia de volúmenes por mol entre la fase vapor y la fase líquida.

a) Utilizando la ecuación anterior y los datos experimentales que

aparecen en los datos del problema determinar a qué presión hervirá el

agua pura cuando su temperatura es de 20º C.

b) Estimar a qué temperatura hervirá el agua pura en una montaña de

2000 m de altura, sabiendo que a nivel del mar la temperatura es

20ºC=293 K y que ésta disminuye según la ley T = 293 – z,

K/m36,5.10λ

Suponer que el vapor de agua se comporta como un gas perfecto.

Datos:

Temperatura /K 293 313 333 353 373

H en J/mol 44,2.103 43,4. 10

3 42,4. 10

3 41,6. 10

3 40,7. 10

3

Masa molar promedio del aire M= 29 g/mol.

a) Una sustancia pura en estado líquido hierve cuando su presión de vapor es igual a la

presión externa que actúa sobre ella.

Si queremos integrar la ecuación de Clausius –Clapeyron debemos encontrar una

relación entre la entalpía de vaporización y la temperatura. Para ello representamos en

una gráfica los datos experimentales:

H= -44,329 T + 57206

R2 = 0,9993

40000

40500

41000

41500

42000

42500

43000

43500

44000

44500

250 270 290 310 330 350 370 390

temperatura /K

H

/J.m

ol-1

Los datos se ajustan bien mediante una relación lineal.

íquidolvapor VVT

57206T44,329

dT

dp

Dado que el volumen de un mol de agua en forma de vapor es mucho mayor que el

volumen de ese mol en estado líquido, hacemos la aproximación de que la diferencia de

volúmenes es el volumen de la fase vapor.

Aplicamos la ecuación de los gases perfectos a la fase vapor

p

TRVRTpV

Sustituyendo en la ecuación y separando variables resulta:

(1) CteT

6884-Tln-5,32Cte

T8,31

57206lnT

31,8

44,329pln

dTT

57206dT

T

44,329

R

1

p

dp

p

TR

57206T44,329

dT

dp22

Para hallar el valor de la constante de integración utilizamos el hecho experimental de

que el agua pura hierve a 100 ºC = 373 K cuando la presión de vapor es 101 325 Pa= 1

atm.

49,6118,465,3111,53CteCte373

6884373ln5,32101325ln

Sustituyendo este valor de la constante en la ecuación (1)

Hgmm17,9760101325

2384p

Pa2384p7,78pln61,4920273

688420)ln(2735,32pln

b) Calculamos el valor de la presión que existe en lo alto de la montaña. La variación de

la presión con la altura es:

dzgρdP (2)

El signo menos indica que la presión disminuye con la altura. En la ecuación anterior

puede admitirse, sin apenas error, que g es la misma que en la superficie terrestre y que

la densidad del aire la expresamos en función de la presión y la temperatura, aplicando

la ley de los gases perfectos.

zλ293R

MPρ

M

zλ293Rρ

M

TRρPRT

M

m RTnPV

Sustituyendo en la ecuación (2)

zλ293

dz

R

gM

P

dPdz

zλ293R

gMPdP

Para resolver la segunda integral hacemos el cambio de variable

λ

dadzdzλdaazλ293

Ctezλ293lnλR

MglnP

CtealnλR

MglnP

aλ

da

R

gMlnP

zλ293

dz

R

gM

P

dP

Para hallar la constante de integración, sabemos que cuando z=0 (nivel del mar) la

presión es una atmósfera, Po =101325 Pa

293

zλ293ln

λR

Mg

P

Pln293ln

λR

MglnPzλ293ln

λR

MglnP

293lnλR

MglnPCteCte293ln

λR

MglnP

0

o

oo

Sustituyendo valores numéricos en la última ecuación

Pa7,98.10P

e101325

P0,239

293

20006,5.10293ln

6,5.108,31

9,829.10

101325

Pln

4

0,2393

3

3

Vayamos a la ecuación de Clausius-Clapeyron

)3(T

6884

373

Tln5,3318,7018,46

T

6884

373

Tln5,33239,0

373

1

T

16884

373

Tln5,33

101325

7,98.10ln

T

dT6884

T

dT5,33

p

dp

dTT

6884

T

5,33dT

TR

57206

TR

44,329

P

dp

p

TRT

5720644,329T

TV

ΔH

dT

dp

E

E

E

E

E

E

4

2

22

iquidol

E ET

373

T

373

47,98.10

101325

La ecuación (3) la resolvemos por tanteo

TE= 363 K 18,70<-0,14+18,96 ; TE= 365 K 18,70<-0,12+18,86

TE= 367 K 18,70>-0,086+18,76 ; TE= 366,8 K 18,70>-0,089+18,76

TE= 366,6 K 18,70 -0,092+18,78

Damos este último valor como solución TE =366,6 K = 93,6 ºC

345.-El centro de una circunferencia de radio R coincide con el centro de

coordenadas de un sistema de referencia XY. Un segmento lineal de

longitud mayor que 2R se desplaza de forma paralela al eje X con una

velocidad juu

. Dicho segmento corta a la circunferencia en dos

puntos simétricos respecto del eje Y. Considerando el punto M de la

figura, se pide: a ) Calcular la velocidad del punto M y sus componentes

sobre los ejes coordenados, b) sus aceleraciones.

Representar las mencionadas magnitudes frente a , si u= 0,2 m/s y R =

2 m.

c) Determinar la ecuación f(t)θ y representarla para los valores

anteriores de u y R.

Supongamos que en el tiempo t =0 la recta toca a la circunferencia en el punto superior

y que un tiempo t después se encuentra en la posición M1 indicada en la figura 2.

Transcurrido un tiempo muy pequeño t 0t el punto M ha recorrido el arco M1

M2 y según el eje Y, el segmento lineal y. Designamos con v al módulo de la

velocidad del punto M.

M

X

u

Y

y

M1

M2

X

Y

y

Fig.2

Δθ

y

θRuv

y

u

θR

v

t

yu;

t

θR

dt

)Md(arcoMv m

m21m

En el límite escribimos dy

dθRuv

De la figura 2 se deduce:

θsenR

1

dy

dθdθsenθRdyθcosRy

Finalmente:

θsen

u

θsenR

1Ruv (1)

v es el módulo de un vector que es tangente a la circunferencia en cada punto. Este

vector tendrá una componente sobre el eje X y otra sobre el eje Y. En la figura 3 se ha

dibujado este hecho.

θtag

ucosθ

θsen

uθvcosβvsenv;uθsen

θsen

uθsenvβvcosv xy (2)

De las ecuaciones anteriores se deduce que la velocidad v tiene en cualquier punto de la

circunferencia una componente sobre el eje Y constante y de módulo u. La componente

x es variable.

Como M recorre una circunferencia posee aceleración centrípeta cuyo módulo es:

θsenR

u

R

va

2

22

C (3)

Calculamos las componentes del vector aceleración sobre los ejes coordenados

La aceleración sobre el eje Y es nula ya que la componente de la velocidad es u y se

mantiene constante. La componente de la aceleración sobre el eje X vale:

vx

v

vy

Fig.3

)4(θsenR

ua

uθsenR

1

θsen

u

dt

dy

dy

dθ

θtag

θcos

1u

dt

dθ

θtag

u

dθ

d

dt

dθ

dθ

dv

dt

dva

3

2

x

22

2xx

x

El signo menos de la ecuación anterior indica que la componente sobre el eje X tiene

sentido contrario al positivo

c) De la figura 4 se deduce que en el intervalo de tiempo t, el ángulo ha pasado de valer

cero a valer .

t

R

u1cosarcoθt

R

u1

R

ABR

R

OBθcos (5)

Alternativa

En la posición M1 de la fig.2; correspondiente a un instante cualquiera t, en el que la

posición angular θ(t) = θ es cualquier ángulo, el vector de posición respecto del centro

de la circunferencia es.

El vector velocidad.

Como la velocidad según el eje Y es constante y vale –u podemos igualar:

Sustituyendo:

Las componentes intrínsecas de la aceleración:

B

t=0

t

R

Fig. 4

A

O

(6)

El vector aceleración y sus componentes cartesianas, se obtienen de derivar respecto del

tiempo el vector velocidad.

Si hacemos una aplicación para el instante en el que la posición angular es de θ = 90º.

;

Separando variables e integrando resulta:

Para t = 0; θ = 0 y cos 0 = 1; con lo que la constante C = -1

Resultando finalmente que las posiciones angulares del punto M varían con el tiempo

por la ecuación:

Las gráficas son las siguientes:

Esta gráfica corresponde a la ecuación (1)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 50 100 150 200

ángulo/º

velo

cid

ad

/m.s

-1

Esta gráfica corresponde a la ecuación (2)

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

0 50 100 150 200

ángulo/º

velo

cid

ad

(x)/

m.s

-1

Esta gráfica corresponde a la ecuación (3)

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 50 100 150 200

ángulo/º

aq

.cen

tríp

eta

m.s

-2

Esta gráfica corresponde a la ecuación (4)

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0 50 100 150 200

ángulo/º

(ax

) m.s

-2

Esta gráfica corresponde a la ecuación (5)

0

30

60

90

120

150

180

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo/s

án

gu

lo/º

Esta gráfica corresponde a la ecuación (6)

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 50 100 150 200

ángulo/º

acele

ració

n t

an

gen

cia

l en

ms-2