problemas tema 7-limite de funciones continuidad

EJERCICIOS Y PROBLEMASTEMA 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

1.- Calcula los siguientes límites:

a) b) c) d) e) xd3lim 3x2 − 1 = 26 xd−∞lim 3−5x = +∞

xd0lim x+1

x−3 = − 13 xd+∞lim x+3

2 = +∞xd−1lim x−5

x2−x+3= − 6

5

2.- Calcula los siguientes límites indeterminados :( ∞∞ )

Ejemplo 1:

xd+∞lim x2+5x3x2−2x+1 =

(1) (+∞)2+5(+∞)3(+∞)2−2(+∞)+1

= +∞+∞ =

(2)xd+∞lim

x2+5xx2

3x2−2x+1x2

=(3)

xd+∞limx2x2 + 5x

x23x2x2 − 2x

x2 + 1x2

=xd+∞lim 1+ 5x

3− 2x + 1

x2=

(4) 1+ 5+∞

3− 2+∞ + 1

+∞= 1+0

3−0+0 = 13

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞∞

(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” y dividimos por ella el numerador y el denominador.x2

(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos cada una de la fracciones.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞

Ejemplo 2:

xd+∞limx3+ x5

5x2−4 =(1) (+∞)3+ (+∞)5

5(+∞)2−4= +∞

+∞ =(2)

xd+∞lim

x3+ x5

x35x2−4

x3=

(3)xd+∞lim

x3x3 + x5

x6

5x2x3 − 4

x3=xd+∞lim

1+ 1x

5x − 4

x3=

(4) 1+ 1+∞

5+∞ − 4

+∞=

1+ 00−0 = 1

0 = +∞


(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” (y no porque esta potencia está afectada por una raíz cuadrada) y dividimos por ella el numerador y el denominador.x3 x5

(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos. Hay que tener en cuenta que para introducir un en una raíz cuadrada, hay que elevar al cuadrado, quedando un dentro.x3 x6

(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞

Ejemplo 3:

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso −∞ ∞∞

(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” (y no porque esta potencia está afectada por una raíz cúbica) y dividimos por ella el numerador y el denominador.x3 x4

(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos. Hay que tener en cuenta que para introducir un en una raíz cúbica, hay que elevar al cubo, quedando un dentro.x3 x9

(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.−∞

Ejemplo 4:


(2) Buscamos la potencia mayor de la x, “ ” y dividimos por ella el numerador y el denominador.x2

(3) Separamos las sumas y restas y simplificamos cada una de la fracciones.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito, hasta obtener el resultado del límite.+∞

a) b) c) d) xd+∞lim x2−3x+5 = +∞ xd−∞lim 2x−1

x2 = 0 xd−∞lim 7−3x22x2−1

= − 32 xd+∞lim x+ x2+1

x−2 = 2

e) f) g) h) xd+∞limx +2x

x2+1= 2 xd+∞lim 2x3

3x+1 = +∞ xd−∞lim 5x+21− x = a xd−∞lim −x2

3x−2 = 13

3.- Calcula los siguientes límites indeterminados :00

Ejemplo 1:

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 3 00

(2) Descomponemos en factores los polinomios utilizando la ecuación de segundo grado: y

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

⎪

⎪

x2 − 4x + 3 = 0 e x =4! 16−12

2 = 4!22 e

⎧

⎩ ⎨ ⎪

⎪

x = 3x = 1 u x2 − 4x + 3 = (x − 1) $ (x − 3)

x2 − 9 = 0 e x2 = 9 e x = ! 9 = !3 e x2 − 9 = (x − 3) $ (x + 3)

sustituimos cada polinomio por su factorización.(3) Simplificamos la fracción.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.3

Ejemplo 2:

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 2 00

(2) Descomponemos en factores el polinomio del numerador sacando factor común: y utilizando la ecuación de segundo grado: x3 − 4x = x $ (x2 − 4) x2 − 4 = 0 e x2 = 4 e x = ! 4 = !2con lo que su descomposición es: x3 − 4x = x $ (x2 − 4) = x $ (x − 2) $ (x + 2)y descomponemos en factores el polinomio del denominador utilizando Ruffini:

y sustituimos cada polinomio por su factorización.x3 − 3x2 + x + 2 = (x − 2)(x2 − x − 1)

(3) Simplificamos la fracción.(4) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.2

I. E. S. CABO BLANCO 1º de BachilleratoDepartamento de Matemáticas Ciencias y Tecnología

RgFA

xd−∞lim3 x4 +2x

x3−2 =(1) 3 (−∞)4 +2(−∞)

(−∞)3−2= +∞

−∞ =(2)

xd−∞lim

3 x4 +2xx3

x3−2x3

=(3)

xd−∞lim3 x4

x9 + 2xx3

x3x3 − 2

x3=xd−∞lim

3 1x5 + 2

x2

1− 2x3

=(4)

31

(−∞)5 + 2−∞

1− 2−∞

=3 0 +01−0 = 0

1 = 0

xd+∞lim2x2− x3

3x2+ x4+1=

(1) 2(+∞)2− (+∞)3

3(+∞)2+ (+∞)4+1= +∞

+∞ =(2)

xd+∞lim2x2− x3

x23x2+ x4+1

x2

=(3)

xd+∞lim2x2x2 − x3

x4

3x2x2 + x4

x4 + 1x4

=xd+∞lim2− 1

x

3+ 1+ 1x4

=(4)

2− 1(+∞)

3+ 1+ 1(+∞)4

=2− 0

3+ 1+0= 2

4 = 12

xd3lim x2−4x+3

x2−9=

(1) 32−4$3+332−9

= 00 =

(2)xd3lim

(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =

(3)xd3lim

(x−1)(x+3) =

(4) 3−13+3 = 2

6 = 13

xd2lim x3−4x

x3−3x2+x+2=

(1)xd2lim 23−4$2

23−3$22+2+2= 0

0 =(2)

xd2lim x(x−2)(x+2)

(x−2)(x2−x−1) =(3)

xd2lim x(x+2)

x2−x−1=

(4) 2$(2+2)22−2−1

= 81 = 8

1 -3 1 22

1 -1 -1 02 -2 -2

Ejemplo 3:

=xd−1lim x+1

x(x+1)(2+ 3−x )=

(4)xd−1lim 1

x(2+ 3−x )=

(5) 1(−1) 2+ 3−(−1)

= − 14

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso −1 00

(2) Multiplicamos por el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para eliminar la raíz y simplificamos.(3) Simplificamos el numerador y descomponemos en factores el polinomio del denominador sacando factor común: y sustituimos el polinomio por su factorización.x2 + x = x $ (x + 1)(4) Simplificamos la fracción.(5) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.−1

Ejemplo 4:

=xd−2lim

(x+2)(x2−2x+4) x2+5 +3(x−2)$(x+2) =

xd−2lim

(x2−2x+4) x2+5 +3x−2 =

((−2)2−2(−2)+4) (−2)2+5 +3−2−2 = 12$(6)

−4 = −18

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso −1 00

(2) Multiplicamos por el numerador y el denominador por el conjugado del numerador para eliminar la raíz y simplificamos.(3) Descomponemos en factores el polinomio del numerador utilizando Ruffini:

y simplificamos y descomponemos el denominadorx3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x − 4)utilizando la ecuación de segundo grado: con lo que su descomposición es: y sustituimos cada polinomio por su factorización.x2 − 4 = 0 e x2 = 4 e x = ! 4 = !2 x2 − 4 = (x − 2) $ (x + 2)(4) Simplificamos la fracción.(5) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.−2

a) b) c) d) xd0lim x2−x

x = −1xd2lim x2−4

x2−3x+2= 4

xd−1lim x2+2x+1

x3+1= 0

xd3lim x−3

3x2−9x = 19

e) f) g) h) xd3lim x+1 −2

x−3 = 14 xd1

limx −1x−1 = 1

2 xd0lim x2+4 −2

x = 0xd0lim x3−3x2

2x2−x4 = − 32

4.- Calcula los siguientes límites indeterminados :(∞−∞)

Ejemplo 1: xd+∞lim x2 + 3 − x =(1) (+∞)2 + 3 − (+∞) = +∞ −∞ = +∞ − ∞ =

(2)xd+∞lim

x2+3 −x $ x2+3 +x

x2+3 +x=xd+∞lim

x2+32

−x2

x2+3 +x=

=xd+∞lim x2+3−x2

x2+3 +x=xd+∞lim 3

x2+3x +x=

(3) 3(+∞)2+3(+∞) +(+∞)

= 3+∞ = 0

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞−∞(2) Multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado y simplificamos.(3) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta obtener el resultado del límite.+∞

Ejemplo 2: xd+∞lim x − x2 − 3x =(1)

+∞ − (+∞)2 − 3 $ (+∞) = +∞ − +∞ = +∞ −∞ =(2)

xd+∞limx− x2−3x $ x+ x2−3x

x+ x2−3x=

=xd+∞limx2− x2−3x

2

x+ x2−3x=xd+∞lim

x2−(x2−3x)x+ x2−3x

=(3)

xd+∞lim 3xx+ x2−3x

= ∞∞ =

(4)xd+∞lim

3xx

xx + x2

x2 − 3xx2

=xd+∞lim 31+ 1− 3

x= 3

1+ 1− 3+∞

= 31+ 1−0

= 32

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. En este caso +∞ ∞−∞(2) Multiplicamos y dividimos la expresión por su conjugado y simplificamos.(3) Volvemos a sustituir el y simplificamos hasta ver que ahora tenemos una indeterminación .+∞ ∞

∞

(4) Resolvemos la nueva indeterminación.

Ejemplo 3: xd1lim 2

x2−1− x

x−1 =(1) 2

12−1− 1

1−1 = 20 − 1

0 = ∞ −∞ =(2)

xd1lim 2

(x−1)(x+1) − xx−1 =

xd1lim 2

(x−1)(x+1) − x(x+1)(x−1)(x+1) =

=xd1lim −x2−x+2

(x−1)(x+1) =(3) −12−1+2

(1−1)(1+1) = 00 =

(4)xd1lim −(x−1)(x+2)

(x−1)(x+1) =xd1lim −(x+2)

(x+1) = −(1+2)(1+1) = − 3

2

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos para ver si hay indeterminación. En este caso 1 ∞−∞(2) Realizamos la resta de fracciones algebraicas, factorizando los denominadores y reduciéndolos a común denominador , y simplificando todo lo que se pueda.(3) Volvemos a sustituir el 1 y simplificamos hasta ver que ahora tenemos una indeterminación .0

0(4) Resolvemos la nueva indeterminación.

a) b) c) d) xd−∞lim x3 + x2 = −∞ xd+∞lim x − x2 + 1 = 0 xd+∞lim x2 − x4 − 4x2 = 2 xd−∞lim x2 + 2x + x = −1

e) g) f) g)xd0lim 1

x2 − 3x = +∞ xd−∞lim 2x − 4x2 + x = − 1

4 xd+∞lim x + 1 − x + 2 = 0xd−2lim 5

x+2 + xx2−4

= !∞

5.- Calcula los siguientes límites indeterminados :(1∞)

Ejemplo 1: xd+∞lim xx+3

x2=

(1) (+∞)(+∞)+3

(+∞)2= ( +∞

+∞ )+∞ = 1+∞ =(2) exd+∞lim x

x+3 −1 $x2= exd+∞lim x−x−3

x+3 $x2=

= exd+∞lim −3x+3 $x2

= exd+∞lim −3x2x+3 =

(3) e−3(+∞)2(+∞)+3 = e

+∞+∞ = e−∞ = 1

e+∞ = 1+∞ = 0

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. Tras resolver la indeterminación de la base obtenemos .−∞ 1∞

(2) Utilizamos la fórmula para resolver la indeterminación , 1∞ xd+∞lim f(x)g(x) = exd+∞lim (f(x)−1)$g(x)

(3) Volvemos a sustituir el y resolvemos la indeterminación−∞ ∞∞


RgFA

xd−1lim

2− 3−xx2+x

=(1) 2− 3−x

(−1)2+(−1) = 00 =

(2)xd−1lim

(2− 3−x )(2+ 3−x )(x2+x)(2+ 3−x )

=(3)

xd−1lim

22−( 3−x )2

(x2+x)(2+ 3−x )=xd−1lim 4−3+x

x(x+1)(2+ 3−x )=

xd−2lim x3+8

x2+5 −3=

(1) (−2)3+8(−2)2+5 −3

= 00 =

(2)xd−2lim

(x3+8) x2+5 +3

x2+5 −3 x2+5 +3=

(3)xd−2lim

(x3+8) x2+5 +3

x2+52

−32=xd−2lim

(x3+8) x2+5 +3

x2+5−9=

1 0 0 8-2

1 -2 4 0-2 4 -8

Ejemplo 2: xd−∞lim x2−xx2−1

−2x=

(1) (−∞)2−(−∞)(−∞)2−1

−2(−∞)= ( +∞

+∞ )−∞ = 1−∞ =(2) exd−∞lim x2−x

x2−1−1 $(−2x)

=

= exd−∞limx2−x−(x2−1)

x2−1$(−2x)

= exd−∞lim −x+1x2−1

$(−2x)= exd−∞lim 2x2−2x

x2−1 =(3) e

2(−∞)2−2(−∞)(−∞)2−1 = e

+∞+∞ = e2

(1) Sustituimos la x por el y simplificamos utilizando la operatoria del infinito para ver si hay indeterminación. Tras resolver la indeterminación de la base obtenemos .+∞ 1∞

(2) Utilizamos la fórmula para resolver la indeterminación , 1∞ xd+∞lim f(x)g(x) = exd+∞lim (f(x)−1)$g(x)

(3) Volvemos a sustituir el y resolvemos la indeterminación +∞ ∞∞

a) b) c) d) xd+∞lim 1 + 1x2

x2= e xd+∞lim (1 + 2

x )x

= e2xd+∞lim ( x−1

x )x

= 1e xd+∞lim x2

x2−1

3x= 1

e) f) f) g) xd−∞lim (1 + 2x )

3x= e6

xd+∞lim 1 + 1x2−1

x2= e xd+∞lim 2 − x2

x2+2

4x= 1

xd−2lim 3

x2−1

1x+2 = e

43

6.- Calcula los siguientes límites:a) b) c) d)

xd0lim 3x+1

2x+3 = 32 xd2

lim ( x +3 − 2x + 1 ) = 0 xd+∞lim 3x+1x−5

2x−4= +∞ xd+∞lim 2x2+3x−2

x2−2x= 2

e) f) g) h) xd−∞lim x3−3x4−2x = −∞

xd1lim 1

x−1 − 3x2−1

= !∞ xd+∞lim x − 2x2 + 1 = −∞ xd+∞lim 2x+12x−5

x+3= e3

i) j) k) l) xd1lim x+1

3x−11

x−1 = 1e xd−1

lim x2−1x2+3x+2

= −2xd0lim x5−3x3

x3−2x2+x = 0xd−1lim (x+1)3

(x+2)(x2+2x+1) = 0

m) n) ñ) o) xd+∞lim x2+3xx2−2

3x= e9

xd−∞lim 2x+1x+3

x+5= 0

xd1lim x4−x3−x2+x

x4−2x3+2x2−2x+1= 1 xd−∞lim 2x−3

x2+1= −2

p) q) r) s) xd−∞lim x2 − 2 − 3x = +∞xd3lim 2x+1

3x−21

x−3 = e− 17

xd−2lim x2−4

x+2 = 0xd1lim 2

x2+x−2− 1

x−1 = !∞

t) u) v) xd−∞lim3 x3+x

2x = 12 xd−∞lim x2 + 1 − x2 − 4x = −2

xd−2lim 2x2+x3

x3+8= 1

3

w) x) y) z) xd3lim 2+7x2

1+x+x2 = 5 xd+∞lim (1 − 1x )

3x−4= 1

e3 xd−1lim x+1

x2+3x+2= +∞ xd+∞lim x2+2

x2+x+5

x2= 0

7.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

Ejemplo 1: Estudia la continuidad de la función: f(x) = x2−4x+3x2−9

Se trata de una función racional que sólo tiene problemas de continuidad en los puntos donde la función no existe, es decir, donde se anulael denominador.

Buscamos esos puntos: y estudiamos la continuidad en esos puntos:x2 − 9 = 0ux2 = 9ux = ! 9 = !3

presenta una discontinuidad esencial en .x = −3

f(−3) =(−3)2−4$(−3)+3

(−3)2−9= 9+12+3

9−9 = 240 = a

xd−3+lim x2−4x+3x2−9

= 240 = −∞

xd−3−lim x2−4x+3x2−9

= 240 = +∞

⎫

⎭

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = −3

presenta una discontinuidad evitable en x = 3

f(3) = 32−4$3+332−9

= 9−12+39−9 = 0

0 = a

xd3+lim x2−4x+3x2−9

= 00 =

xd3+lim(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =

xd3+lim(x−1)(x+3) = 3−1

3+3 = 26 = 1

3

xd3−lim x2−4x+3x2−9

= 00 =

xd3−lim(x−1)$(x−3)(x−3)$(x+3) =

xd3−lim(x−1)(x+3) = 3−1

3+3 = 26 = 1

3

⎫

⎭

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = 3

Por tanto, es continua en:f(x) ‘ − −3,3

Ejemplo 2: Estudia la continuidad de la función: f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

x − 5 ; x < −1x2 + 2 ; − 1 [ x < 24 + x ; x m 2

La función está compuesta por tres funciones: , y . Todas ellas funciones polinómicas,f(x) f1(x) = x − 5 f2(x) = x2 + 2 f3(x) = 4 + xcontinuas en todo .‘

Por tanto, los únicos problemas de continuidad de la función pueden aparecer en los puntos donde hay un cambio de definición, esto es: y . Estudiemos que ocurre en esos puntos:x = −1 x = 2

presenta una discontinuidad de salto en .x = −1f(−1) = (−1)2 + 2 = 1 + 2 = 3

xd−1+lim f(x) =xd−1+lim (x2 + 2) = 1 + 2 = 3

xd−1−lim f(x)xd−1−lim (x − 5) = −1 − 5 = −6

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = −1


RgFA

es continua en .x = 2

f(2) = 4 + 2 = 6

xd2+lim f(x) =xd2+lim (4 + x) = 4 + 2 = 6

xd2−lim f(x) =xd2−lim (x2 + 2) = 22 + 2 = 4 + 2 = 6

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = 2

Por tanto, es continua en: f(x) ‘ − −1

Ejemplo 3: Estudia la continuidad de la función: f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

1x+4 ; x < −2x2 ; − 2 [ x < 3

4x − 3 ; x m 3

La función está compuesta por tres funciones: función racional, continua en , y f(x) f1(x) = 1x+4 ‘ − 4 f2(x) = x2 + 2 f3(x) = 4 + x

funciones polinómicas, continuas en todo .‘

Por tanto, los problemas de continuidad de la función pueden aparecer en por la continuidad de y en los puntos donde hay unx = −4 f1cambio de definición, esto es: y . Estudiemos que ocurre en esos puntos:x = −2 x = 3

presenta una discontinuidad esencial en .x = −4

f(−4) = 1−4+4 = 1

0 = a

xd−4+lim f(x) =xd−4+lim 1

−4+4 = 10 = +∞

xd−4−lim f(x)xd−4−lim 1

−4+4 = 10 = −∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = −4

presenta una discontinuidad de salto en .x = −2

f(−2) = (−2)2 = 4

xd−2+lim f(x) =xd−2+lim x2 = (−2)2 = 4

xd−2−lim f(x) =xd−2−lim 1

x+3 = 1−2+3 = 1

1 = 1

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = −2

es continua en x = 3

f(3) = 4 $ 3 − 3 = 9

xd3+lim f(x) =xd3+lim (4x − 3) = 4 $ 3 − 3 = 9

xd3−lim f(x) =xd3−lim x2 = 32 = 9

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪

⎪

⎪ u f(x) x = 3

Por tanto, es continua en: f(x) ‘ − −4, −2

a) es continua en f(x) = −3x + 1 f(x) ‘

b) es continua en f(x) = x2 − 5x + 4 f(x) ‘

c) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) = 1x f(x) ‘− 0 x = 0

d) es continua en f(x) =⎧

⎩ ⎨

x + 2 ; x [ −1−2x − 1 ; x > −1 f(x) ‘

e) es continua en y presenta discontinuidad de salto en y en f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

2 ; x < 0x2 − 3 ; 0 [ x [ 3

x + 2 ; x > 3f(x) ‘− 0,3 x = 0 x = 3

f) es continua en f(x) = 2 − 6x f(x) ‘

g) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

1 − x ; x < −12 ; − 1 [ x [ 4

2x2 + 1 ; x > 4f(x) ‘− 4 x = 4

h) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

−x + 2 ; x [ −22 + x − x2 ; − 2 < x [ 1

3x − 1 ; x > 1f(x) ‘− −2 x = −2

i) es continua en f(x) = x2 − 5x − 6 f(x) ‘

j) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) = 1x+3 f(x) ‘− −3 x = −3

k) es continua en f(x) = −8 + 6x − x2 f(x) ‘

l) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) =⎧

⎩ ⎨ ⎪

⎪

−x2 + 2 ; x [ 11x ; x > 1 f(x) ‘− 0 x = 0

m) es continua en y presenta discontinuidad evitable en f(x) = x2−2xx−2 f(x) ‘ − 2 x = 2

n) es continua en f(x) = 9 − 3x f(x) ‘

ñ) es continua en f(x) =⎧

⎩ ⎨

3x − 1 ; x [ −1x2 + x − 4 ; x > −1 f(x) ‘


RgFA

o) es continua en y presenta discontinuidad de salto en f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

x ; x < 0x2 − 2 ; 0 [ x [ 3

x + 4 ; x > 3f(x) ‘− 0 x = 0

p) es continua en y presenta discontinuidad evitable en y discontinuidadf(x) = 2x+6x2+2x−3 f(x) ‘− −3,1 x = −3

esencial en x = 1

q) es continua en f(x) = 5x − x2 f(x) ‘

r) es continua en y presenta discontinuidad esencial en f(x) =

⎧

⎩

⎨ ⎪

⎪

x + 3 ; x < −14 − 2x2 ; − 1 < x [ 2

4x−2 ; x > 2

f(x) ‘− 2 x = 2

s) es continua en y presenta discontinuidad evitable en f(x) =⎧

⎩ ⎨ ⎪

⎪

2xx2−2x

; x [ 1x − 3 ; x > 1

f(x) ‘− 0 x = 0

8.- Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

Ejemplo 1: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = −3xx+3

Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = −3asíntota en ese punto.

tiene una asíntota vertical en .xd−3+lim f(x) =xd−3+lim −3x

x+3 = −3$(−3)3+(−3) = 9

0 = +∞

xd−3−lim f(x) =xd−3−lim −3x

x+3 = −3$(−3)3+(−3) = 9

0 = −∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) x = −3

Horizontales: veamos si tiene calculando los siguientes límites.

tiene tiene una asíntota horizontal en .xd+∞lim f(x) =xd+∞lim −3xx+3 = −3$(+∞)

3+(+∞) = −∞+∞ = −3

xd−∞lim f(x) =xd−∞lim −3xx+3 = −3$(−∞)

3+(−∞) = +∞−∞ = −3

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) y = −3

Como hay asíntotas horizontales, no hay oblicuas.

Ejemplo 2: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = x−31−x2

Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = !1asíntota en ese punto.

tiene una asíntota vertical en .xd−1+lim f(x) =xd−1+lim x−3

1−x2 = −1−31−(−1)2 = −2

0 = −∞

xd−1−lim f(x) =xd−1−lim x−3

1−x2 = 1−31−(−1)2 = −2

0 = +∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) x = −1

tiene una asíntota vertical en .xd1+lim f(x) =xd1+lim x−3

1−x2 = 1−31−12 = −2

0 = +∞

xd1−lim f(x) =xd1−lim x−3

1−x2 = 1−31−12 = −2

0 = −∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) x = 1


tiene tiene una asíntota horizontal en .xd+∞lim f(x) =xd+∞lim x−3

1−x2 =(+∞)−31−(+∞)2 = +∞

−∞ = 0

xd−∞lim f(x) =xd−∞lim x−31−x2 =

(−∞)−31−(−∞)2 = −∞

−∞ = 0

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) y = 0

Como hay asíntotas horizontales, no hay oblicuas.

Ejemplo 4: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = x22x−4

Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = 2asíntota en ese punto.

tiene una asíntota vertical en .xd2+lim f(x) =xd2+lim x2

2x−4 = 222$2−4 = 4

0 = +∞

xd2−lim f(x) =xd2−lim x2

2x−4 = 222$2−4 = 4

0 = −∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) x = 2


tiene no tiene asíntotas horizontales.xd+∞lim f(x) =xd+∞lim x22x−4 =

(+∞)22$(+∞)−4 = +∞

+∞ = +∞

xd−∞lim f(x) =xd−∞lim x22x−4 =

(−∞)22$(−∞)−4 = +∞

−∞ = −∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x)


RgFA

Oblicuas: tienen la forma , calculemos m y n.y = mx + nHacia +∞ :

m =xd+∞lim f(x)x =xd+∞lim x2

2x−4 : x =xd+∞lim x22x2−4x =

(+∞)2

2(+∞)2−4$(+∞) = +∞+∞ = 1

2

n =xd+∞lim f(x) − 12 x =xd+∞lim x2

2x−4 + x2 =xd+∞lim x2−x2−2

2(x−2) =xd+∞lim −22(x−2) = −2

2(+∞−2) = −2+∞ = 0

Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: +∞ y = 12 x

Hacia −∞ :

m =xd−∞lim f(x)x =xd−∞lim x2

2x−4 : x =xd−∞lim x22x2−4x =

(−∞)2

2(−∞)2−4$(−∞) = +∞+∞ = 1

2

n =xd−∞lim f(x) − 12 x =xd−∞lim x2

2x−4 + x2 =xd−∞lim x2−x2−2

2(x−2) =xd−∞lim −22(x−2) = −2

2(−∞−2) = −2−∞ = 0

Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: −∞ y = 12 x

Ejemplo 4: Estudia las asíntotas de la función: f(x) = 2x2−3x5−x

Verticales: puede haber asíntota vertical en los puntos que anulan el denominador, en este caso , vamos si efectivamente hay unax = 5asíntota en ese punto.

tiene una asíntota vertical en .xd5+lim f(x) =xd5+lim 2x2−3x

5−x = 2$52−3$55−5 = 35

0 = −∞

xd5−lim f(x) =xd5−lim 2x2−3x

5−x = 2$52−3$55−5 = 35

0 = +∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x) x = 5


tiene no tiene asíntotas horizontales.xd+∞lim f(x) =xd+∞lim 2x2−3x5−x = 2$(+∞)2−3$(+∞)

5−(+∞) = +∞−∞ = −∞

xd−∞lim f(x) =xd−∞lim 2x2−3x5−x = 2$(−∞)2−3$(−∞)

5−(−∞) = +∞+∞ = +∞

⎫

⎭

⎬ ⎪

⎪ u f(x)

Oblicuas: tienen la forma , calculemos m y n.y = mx + nHacia +∞ :

m =xd+∞lim f(x)x =xd+∞lim 2x2−3x

5−x : x =xd+∞lim 2x2−3x5x−x2 = 2$(+∞)2−3$(+∞)

5$(+∞)−(+∞)2 = +∞−∞ = 2

−1 = −2

n =xd+∞lim f(x) − (−2)x =xd+∞lim 2x2−3x5−x + 2x =xd+∞lim 2x2−3x+10x−2x2

5−x =xd+∞lim 7x5−x = 7$(+∞)

5−(+∞) = +∞−∞ = 7

−1 = −7

Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: +∞ y = −2x − 7

Hacia −∞ :

m =xd−∞lim f(x)x =xd−∞lim 2x2−3x

5−x : x =xd−∞lim 2x2−3x5x−x2 = 2$(−∞)2−3$(−∞)

5$(−∞)−(−∞)2 = +∞−∞ = 2

−1 = −2

n =xd−∞lim f(x) − (−2)x =xd−∞lim 2x2−3x5−x + 2x =xd−∞lim 2x2−3x+10x−2x2

5−x =xd−∞lim 7x5−x = 7$(−∞)

5−(−∞) = −∞+∞ = 7

−1 = −7

Por tanto la asíntota oblicua hacia es la recta: −∞ y = −2x − 7

a) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 2xx−3 x = 3 y = 2

b) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = x−1x+3 x = −3 y = 1

c) Verticales: Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = x2−1x x = 0 y = x

d) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 12−x x = 2 y = 0

e) Verticales: ; Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = x2x2−4 x = −2 x = 2 y = 1

f) Verticales: Horizontales: Oblicuas: No hayf(x) = 3−2xx−5 x = 5 y = −2

g) Verticales: Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = x2−4xx−2 x = 2 y = x − 2

h) Verticales: No hay Horizontales: No hay Oblicuas: f(x) = 2x3x2+1 y = 2x


RgFA

problemas tema 7-limite de funciones continuidad

Documents