Curso de Matemática Aplicada Prof. Fabián Vitabar

Problemas de aplicación de la programación lineal1

1

Un fabricante desea encontrar la producción semanal óptima de los artículos A, B y C que maximice su ganancia. La ganancia por unidad y la producción semanal mínima de estos artículos son, respectivamente, $2.00, $2.00 y $4.00; y 100 unidades, 60 unidades y 60 unidades. Los productos A, B y C se procesan en tres máquinas. A continuación se resumen las horas requeridas por artículo por máquina.

ARTÍCULO

MÁQUINA A B C 1 0 1 2 2 1 1 1 3 2 1 1

El número de horas disponibles por semana de las máquinas 1, 2 y 3 son 240, 400 y 360, respectivamente.

Encontrar la programación óptima de la producción.

2

Un agricultor tiene 200 acres y dispone de 18.000 horas-hombre. Él desea determinar el área (en acres) que asignará a los siguientes productos: maí2, trigo, quimbombó, tomate y ejotes. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar a sus puercos y ganado, y debe producir al menos 80 toneladas de trigo, debido a un contrato que firmó previamente. A continuación se resumen el tonelaje y la mano de obra en horas-hombre por acre para diferentes productos.

MAÍZ TRIGO QUIMBOMBÓ TOMATE EJOTE

Tons/acre 10 4 4 8 6 Horas-hombre/acre 120 150 100 80 120

El maíz, trigo, quimbombó, tomate y ejote se venden, respectivamente, en $120.00, $150.00, $50.00, $80.00 y

$55.00 por tonelada. Encontrar la solución óptima.

3

Una compañía fabrica estufas y hornos. La compañía tiene tres almacenes y dos tiendas de venta al menudeo. En los tres almacenes se dispone, respectivamente, de 60, 80 y 50 estufas, y de 80, 50 y 50 hornos. En las tiendas de menudeo se requieren, respectivamente, 100 y 90 estufas, y 60 y 120 hornos. En la siguiente tabla se dan los costos de envío por unidad, de los almacenes a las tiendas de menudeo, los cuales se aplican tanto a estufas como a hornos.

TIENDA

ALMACÉN 1 2 1 3 5 2 2 3 3 6 3

Utilizar el método simplex para encontrar la forma de envío que minimice el costo total del transporte.

1 Extractado de BAZARAA, JARVIS y SHERALI, Programación Lineal y Flujo en Redes, Ed. Limusa, 1998.

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4

Un fabricante desea planear la producción de dos artículos A y B para los meses de marzo, abril, mayo y junio: Las demandas que se deben satisfacer son las siguientes:

Marzo Abril Mayo Junio

Artículo A 400 500 600 400 Artículo B 600 600 700 600

Suponer que el inventario de A y B al finalizar el mes de febrero es de 100 y 150, respectivamente. Suponga, además, que al final del mes de junio se debe disponer de, al menos, 150 unidades del artículo B. Los costos de almacenaje de las unidades no vendidas de los artículos A y B, durante cualquier mes, son de $1.00 y $0.80 multiplicados por el inventario del artículo respectivo al final del mes. Por otra parte, debido a limitaciones de espacio, la suma de los artículos A y B en almacén no pueden exceder de 250 durante cualquier mes. Finalmente, e1 número máximo de artículos A y B que se pueden producir durante mes dado es de 500 y 600, respectivamente.

a) Formular el problema de producción como un programa lineal. El objetivo consiste en minimizar el costo total de inventario (el costo de producción se supone constante).

b) Encontrar la forma óptima de producción/inventario. c) La administración está considerando instalar un nuevo sistema de manufactura para el artículo B a fines

de abril. Esto elevará el número máximo de artículos que se pueden producir por mes de 650 a 70O, y al mismo tiempo, reducirá el costo de fabricación por unidad de $8.00 a $6.50. Evaluar los beneficios de este sistema en reducir los costos totales de fabricación más inventario. Si el lector fuera miembro del equipo administrativo, discutir cómo se evaluaría si el nuevo sistema implica o no mayores utilidades. d) Suponer que la administración decide introducir el nuevo sistema. Una investigación del mercado indica que la entrega de pedidos del artículo B se puede retrasar sin que haya un serio descontento por parte de los clientes. La administración decidió cargar $ 1.00 adicional a cada unidad de demanda no satisfecha durante cualquier mes. Formular el problema de producción/inventario y encuentre la solución óptima por el método simplex.

5

Una compañía camionera tiene tres tipos de camiones: I, II y III. Estos camiones están equipados para transportar tres tipos diferentes de máquinas en cada carga, de acuerdo con la siguiente tabla:

TIPO DE CAMIÓN

I II III Máquina A 1 1 1 Máquina B 0 1 2 Máquina C 2 1 1

Los camiones del tipo I, II y III cuestan $400, $600 y $900 por viaje, respectivamente. Se quiere determinar

cuántos camiones de cada tipo se deben usar para transportar 12 máquinas del tipo A, 10 máquinas del tipo B, y 16 máquinas del tipo C. Formular el problema y resolverlo por el método simplex. (Este es un problema de programación entera, pero es posible ignorar el requerimiento de que las variables sean enteras.)

6

Una compañía produce refrigeradores, estufas y lavadoras de platos. Durante el año próximo, se espera que las ventas sean las siguientes:

TRIMESTRES

PRODUCTO 1 2 3 4 Refrigeradores 1500 1000 2000 1200

Estufas 1500 1500 1200 1500 Lavadoras de platos 1000 2000 1500 2500

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La compañía desea un programa de producción que satisfaga los requerimientos de demanda. Asimismo, la administración ha decidido que el nivel de inventario para cada producto debe ser al menos, 150 unidades al final de cada trimestre. No se cuenta con inventarios de ninguno de los productos al principio del primer trimestre.

Durante un trimestre, se dispone de sólo 18,000 horas de tiempo de producción. Un refrigerador requiere 2 horas de tiempo de producción, una estufa precisa 4 horas y una lavadora de platos, 3 horas. Durante el cuarto trimestre no pueden fabricarse refrigeradores porque la compañía planea modificar la maquinaria para introducir un nuevo producto.

Suponga que cada artículo que se deja en inventario al final de un trimestre produce un costo de almacenaje de $5. La compañía desea planear su producción para todo el año, de tal manera que se satisfagan las demandas trimestrales y se minimice el costo total de inventario. Formular el problema y resolverlo por el método símplex.

7

Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de 2’x4’ y 1000 láminas de tamaño 4’x7’. Se dispone de dos láminas estándar de tamaños 10’x3000’ y 11’x2000’. El personal del departamento de ingeniería decide que los cuatro siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido. Formular el problema de satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio como un programa lineal, y resolverlo por el método símplex.