problemas resueltos-limites
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1
LIMITES
Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected]@gmail.com
Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia 2010
Problema 1 ( )
1 y1 2y y lim
1 1 y lim
2
2 y2
2 y
+
++=
+
+∞→∞→
y
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es y2
2y
1 2y
2y
2y
1 2y
2y 2y
2y
y lim
+
++
∞→
Simplificando términos semejantes
1 11
0 1 0 0 1
2y
1 1
2y
1 y2 1
y lim ==+++
=+
++
∞→
( ) 1 1 2
21 y y lim =+
+∞→
y
Problema 2
1 - 2x
x1000 x lim ∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x2
2x
1 - 2x
2x
2x
1000x
x lim ∞→
Simplificando términos semejantes
0 10
0-10
2x
1 - 1
x
1000
x lim ===∞→
0 1 - 2x
x1000 x lim =∞→
Problema 3
7 3x
1 5x - 2x x lim++
∞→
2
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x2
2x
7 2x
3x
2x
1 2x
5x - 2x
2x
x lim +
+
∞→
Simplificando términos semejantes
∞==++
=+
+
∞→ 01
0 00 0 - 1
2x
7 x3
2x
1 x5 - 1
x lim
∞=++
∞→ 7 3x
1 5x - 2x x lim (No existe el límite)
Problema 4
5 8x - 3x
3 x - 22x x lim+
+∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x3
3x
5 3x
8x - 3x
3x
3x
3 3x
x - 3x
22x
x lim
+
+
∞→
Simplificando términos semejantes
0 10
0 0 10 0 0
3x
5 2x
8 - 1
3x
3 2x
1 - x2
x lim ==++++
=+
+
∞→
0 5 8x - 3x
3 x - 22x x lim =+
+∞→
Problema 5
( ) ( ) 5 5x
22 -3x 33 2x y lim+
+∞→
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
5 5x
22 -3x 33 232x3 322x3 32x y lim
5 5x
22 -3x 33 2x y lim+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
∞→=+
+∞→
3
( ) ( ) ( )
5 5x
412x - 2x927 54x 236x - 38x
5 5x
22 -3x 27 9 2x3 3 24x3 38x y lim
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++
=+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛
∞→
( )( ) ( ) ( )
5 5x
x 1227 - 2x1254- 3x1236 - 4 x96 - 2 x243 3 x486 4324x 5 x72 y lim
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
=∞→
Simplificando términos semejantes
5 5x
108 x 108- 2 x261 - 3 x86 4 x228 5 x72 y lim
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++
=∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x5
5x
5 5x
5x
5x
108 5x
x108 - 5x
2 x261 - 5x
3 x86 5x
4 x228 5x
5 x72
y lim
+
+++
∞→
Simplificando términos semejantes
72 172
0 10 0 - 0 0 72
5x
5 1
5x
108 4x
108 - 3x
261 - 2x
86 x
228 72 y lim ==
++++
=+
+++
∞→
( ) ( ) 72 5 5x
22 -3x 33 2x y lim =+
+∞→
Problema 6
1 4x
4 -3x - 22x x lim+
∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x2
4x
1 4x
4x
2x
4 - 2x
3x - 2x
22x
4x
1 4x
2x
4 - 2x
3x - 2x
22x
2x
1 4x
2x
4 - 2x
3x - 2x
22x
x lim
+
=+
=+
∞→
Simplificando términos semejantes
4
2 12
12
0 10 - 0 - 2
4x
1 1
2x
4 - x3 - 2
x lim ===+
=
+∞→
2 1 4x
4 -3x - 22x x lim =+
∞→
Problema 7
3 x x
3 2x x lim+
+∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x
3
3x
x xx
x3
x2x
x
3 x xx
x3
x2x
x lim +
+=
+
+∞→
Simplificando términos semejantes
2 12
0 12
3 0 1
0 2 3
2x
1 1
x3 2
x lim ==+
=+
+=
+
+∞→
2 3 x x
3 2x x lim =+
+∞→
Problema 8
x x 10
2x x lim+
∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x2
2x
xx 2x
10
2x
22x
2x
x x 10
2x
2x
x lim +
=+
∞→
Simplificando términos semejantes
∞==+
=
+
=
+
=
+∞→
01
0 01
x1
2x
101
2x
x 2x
101
xx
2x
10 1 x lim
5
∞=+
∞→ x x 10
2x x lim (No existe el límite)
Problema 9
1 x
3 12x x lim
+
+∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x
x1
xx
33x
1 3x
x
x1
xx
33x
1 2x
x1
xx
x
3 1 2x
x1 x
x
3 1 2x
x lim +
+
=+
+
=+
+
=+
+
∞→
Simplificando términos semejantes
0 10
0 1
3 0 0
x1 1
33x
1 2x
1
x lim ==++
=+
+
∞→
0 1 x
3 12x x lim =
+
+∞→
Problema 10
x x x
x x lim++
∞→
Elevando la expresión al cuadrado.
( ) x x x
x 2
x x x
2x x lim++
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
∞→
Dividiendo la expresión por el mayor exponente que es x
4x
x 2x
x xx
xx
2x
x 2x
x xx
xx
2x
x x xx
xx
xx x
xx
xx
x
x x x xx
x lim
++
=
++
=+
+
=+
+
=++
∞→
Simplificando términos semejantes
1 11
0 11
0 0 11
0 0 1
1
3x
1 x1 1
1 x lim ==+
=++
=++
=
++∞→
6
1 x x x
x x lim =++
∞→
Problema 11
1 2x
1 3x 1 - x lim+
+→
Reemplazando el valor de (-1)
( )( )
0 20
1 11 1 -
1 21 -
1 31 - ==++
=+
+=
0 1 2x
1 3x 1 - x lim =+
+→
Problema 12
25 - 2x
10 5x - 2x 5 x lim +→
Reemplazando el valor de (5)
( ) ( )( )
∞==+
=+
= 0
10 25 - 25
10 25 - 25 25 - 25
10 55 - 25
∞=+
→ 25 - 2x
10 5x - 2x 5 x lim (No existe el límite)
Problema 13
23x 2x
1 - 2x 1 - x lim++
→
( )( )( )( )2 x
1-x 1 -x lim
23x 2x
1 - 2x 1 - x lim++→=
++→ x
1x + 1
Simplificando términos semejantes
( )( )2 x
1-x 1 - x lim+→
Reemplazando el valor de (-1)
( )( )( )( ) 2-
12 -
2 1 - 1- 1 - ==
+=
7
x2 - 1 = (x - 1) * (x + 1) Factorizacion dos números sumados sea 3 y multiplicados sea 2 x2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)
2 - 23x 2x
1 - 2x 1 - x lim =++
→
Problema 14
3x 4 4x
2 3x - 3x 1 x lim+−
+→
( )
( )1-x 3- x 2 x 3x
1-x 2 -x 2x1xlim
34x - 4x
2 3x - 3x 1 x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
→=+
+→
( )( )( )
( ) ( )
8
1-x 32x 2 x
1-x 2 x 1x 1 x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+−→
1x −
Simplificando términos semejantes
( ) 32x 2 x
2 x 1 x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+→
Reemplazando el valor de (1)
( )( ) 2
1 63
3 2 13
3 12 21
2 1 ==++
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+=
21
3x 4 4x
2 3x - 3x 1 x lim =+−
+→
Problema 15
4x 4 2x
2x - 2x 2x lim+−
→
( )( )( )( ) 2-x 2-x
2-x x 44x - 2x
2x - 2x 2 x lim =+
→
Simplificando términos semejantes
( )( ) 2 - x
x 2 x lim →
Reemplazando el valor de (2)
∞=== 02
2 - 2 2
x2 – 3x + 2 = (x2 + x - 2)(x - 1) Factorizacion dos números sumados sea 1 y multiplicados sea -2 (x2 + x - 2) = (x + 1) (x - 2) x2 – 3x + 2 = (x - 1) (x + 2) (x - 1) x4 – 4x + 3 = (x3 + x2 + x – 3) (x – 1) x4 – 4x + 3 = (x2 + 2x + 3) (x – 1) (x – 1)
x2 – 2x = (x)(x - 2) Factorizacion dos números sumados sea - 4 y multiplicados sea +4 (x2 - 4x + 4) = (x - 2) (x - 2)
∞=+−
→ 4x 4 2x
2x - 2x 2x lim (No existe el límite)
Problema 16
( ) 3a 3x
a x 1 a - 2x a x lim−
++→
( )3a - 3x
a x -ax - 2xaxlim
3a 3x
a x 1 a - 2x a x lim +→=
−
++→
( )( )
( )a -x 2aax 2x
a -x 1 -x a x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→
Simplificando términos semejantes
( ) 2aax 2x
1 -x a x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→
Reemplazando el valor de (a)
( )( ) 2a 3
1a 2a 2a 2a
1 - a 2a aa 2a
1 - a −=
++=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
=
( )23a
1 - a 3a 3x
a x 1 a - 2x a x lim =−
++→
Problema 17
1 - 2x
3 -2x 2x 1 x lim +→
( )(( )(
))1x
1-x
9
1 -x 3 x 1xlim
1 - 2x
3 -2x 2x 1 x lim+
+→=
+→
Simplificando términos semejantes
( )( )1x
3 x 1 x lim++
→
Reemplazando el valor de (1)
2 24
11 3 1 ==
++
=
x2 – ax – x + a ordenando para factorizar x2 – x – ax + a = x(x – 1) - a(x – 1) x2 – x – ax + a = (x – 1) - (x – a) x3 – a3 = (x2 + ax + a2) ( x – a)
x2 - 1 = (x - 1) * (x + 1) Factorizacion dos números sumados sea 2 y multiplicados sea -3 x2 + 2x - 3 = (x + 3) * (x - 1)
2 1 - 2x
3 -2x 2x 1 x lim =+
→
Problema 18
a -x
3a - 3x a x lim →
( )( ) a -x
2a ax 2x a -x axlim
a -x
3a - 3x a x lim⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→=→
Simplificando términos semejantes
2a ax 2 x a x lim ++=→ Reemplazando el valor de (1)
( ) 2a 3 2a 2a 2a 2a aa 2a =++=++=
2a 3 a -x
3a - 3x a x lim =→
Problema 19
3 x- 1
3 - x- 1
1 1 x lim ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
( ) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→ 2 x x 1 x- 1
3 - x- 11
1xlim 3 x- 1
3 - x- 1
1 1 x lim
( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
++→=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→ 2 x x 1 x- 1
3 - 2 x x 1 1xlim 2 x x 1 x- 1
3 - 2 x x 1 1 x lim
( )( )( )
( ) ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+→=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+→ 2 x x 1 x- 1
1 -x 2 x 1x lim 2 x x 1 x- 1
2 - x 2 x 1 x lim
( )( )( ) ⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+−→ 2 x x 1 x- 1
x - 1 2 x 1 x lim
Simplificando términos semejantes
10
Diferencia de cubos x3 – a3 = (x - a) * (x2 + ax + a2) Factorizacion dos números sumados sea 2 y multiplicados sea -3 x2 + 2x - 3 = (x + 3) * (x - 1)
Diferencia de cubos 1 – x3 = (1 - x) * (1 + x + x2)
Factorizacion dos números sumados sea 1 y multiplicados sea -2 x2 + x – 2 = (x + 2) (x – 1)
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
+−→ 2 x x 1
2 x 1 x lim
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
−−→ 2 x x 1
2x 1 x lim
Reemplazando el valor de (1)
( )1-
33 -
21 1 1
21 ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
−−=
1 - 3 x- 1
3 - x- 1
1 1 x lim =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛→
Problema 20
( ) ( ) 3 -x 2 x 4x 24x 3x 2 - x lim
+++
→
( )( ) ( )( )3 -x 2 x
4 4x 2xx 2 - xlim
3 -x 2 x 4x 24x 3x 2 - x lim
+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→=+
++→
( )(( )( )
)3 -x
11
2 x 2 x x 2 - x lim
++
→2 x +
Simplificando términos semejantes
( )( )3 -x
2 x x 2 - x lim +→
Reemplazando el valor de (1)
( )( )
( ) ( ) 0 50
502
5 -0 2 -
3 - 2 -2 2 - 2 - ====
+=
( )( ) 0 3 -x 2 x 4x 24x 3x 2 - x lim =
+++
→
Problema 21
1 -x 1 - x 1 x lim →
conjugado
x3 + 4x2 + 4x = (x ) * (x2 + 4x + 4) Factorizacion dos números sumados sea 4 y multiplicados sea 4 x2 + 4x + 4 = (x + 2) * (x + 2) x3 + 4x2 + 4x = (x ) * (x + 2) * (x + 2)
( )( )( ) ( )
1 x 1 -x 1 x 1 - x 1 x lim
+
+→
( )
( ) ( ) 1 x 1 -x 1 -x 1 x lim
+→
Simplificando términos semejantes
( ) 1 x 1 1 x lim+
→
Reemplazando el valor de (1)
( ) 21
111
1 1 1 =
+=
+=
21
1 -x 1 - x 1 x lim =→
Problema 22
x- 4
2 - x 4 x lim →
Conjugado
( )( )( ) ( )
2 x x - 42 x 2 - x 4 x lim
+
+→
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) 2 x x- 4 x- 4 -
4 xlim 2 x x- 4
4 -x 4 x lim+
→=+
→
Simplificando términos semejantes
( ) 2 x 1 - 4 x lim+
→
Reemplazando el valor de (4)
( ) 41 -
221 -
2 4 1 =
+=
+
−=
41 -
x- 42 - x 4 x lim =→
12
Problema 23
12 - x - x
4 -x lim 24 x→
( )( ) (
13
)3x 4 lim
12 - x - x4) -(x lim 4 x24 x +
= →→ -x 4 -x
Simplificando términos semejantes
( )3x 1 lim 4 x +→
Reemplazando el valor de (4)
71
34 1 =+
=
71
12 - x - x4 -x lim 24 x =→
Problema 24
9 - x27 x lim 2
33 x
−→
( ) ( )( ) ( )3 x
9 3x x 3 -x lim 3 - x3 - x lim
23 x22
333 x +
++= →→
3x − Simplificando términos semejantes
( )( )3 x
9 3x x lim2
3 x +++
→
Reemplazando el valor de (3)
( ) ( )( )( )
29
627
69 9 9
3 39 33 3
2==
++=
+++
=
29
9 - x27 x lim
2
33 x =
−→
Problema 25
( ) h
x- h x lim22
0 h+
→
( )h
x- h2xh lim h
x- h x lim22
0x22
0 h+
=+
→→ x
2 +
Factorizacion dos números sumados sea -1 y multiplicados sea -12 x2 - x -12 = (x - 4) * (x + 3)
Diferencia de cubos x3 – 33 = (x - 3 ) * (x2 + 3x +9) Diferencia de cuadrados x2 – 32 = (x - 3 ) * (x + 3)
Simplificando términos semejantes ( ) ( )
hh 2x h lim
hh 2xh lim 0x
20 h
+=
+→→
h2x lim 0 h +→ Reemplazando el valor de (0)
2x 0 2x =+=
( ) 2x h
x- h x lim22
0 h =+
→
Problema 26
5 x 3
x- 4 lim2
22 x
+−→
Conjugado al denominador
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=+−
→→5x 3 5x- 3
5 x 3 x- 4 lim
5 x 3
x- 4 lim22
22
2x2
22 x
( )( )
( ) ( )( )2
22
2x2
22
2x2
22
2 xx4
5x 3 x- 4lim
5 - x- 9
5 x 3 x4lim
5x - 9
5 x 3 x- 4 lim
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
→→→
Simplificando términos semejantes
5x 3 lim 22 x ++→
Reemplazando el valor de (0)
6339354 3 5 2 3 2 =+=+=++=++=
6 5 x 3
x- 4 lim2
22 x =
+−→
Problema 27
( )
1-x2x x lim
2
21 x
−+→
( )( ) ( )( ) ( )1-x
14
1 x 2x lim
1-x2- x x lim 1 x2
21 x −
+=
+→→
1-x
Simplificando términos semejantes
Factorizacion dos números sumados sea 1 y multiplicados sea 2 x2 + x -2 = (x +2) * (x -1) (x - 1)2 = (x - 1) * (x -1)
( )( ) 1 x
2x lim 1 x −+
→
Reemplazando el valor de (1)
∞==−+
= 03
112 1
( )∞=
−+→
1-x2x x lim
2
21 x (No existe el límite)
Problema 28
4x - x lim 22 x→
Reemplazando el valor de (1)
( ) ( ) 4 - 8 - 4 x4 - 2 2 ===
4 - 4x - x lim 22 x =→
Problema 29
( ) 4 -3x 2x x lim 231 - x −+→
Reemplazando el valor de (-1)
( ) ( ) ( ) 0 4 - 3 2 1 - 8 - 1 - 4 - 1 -3 - 1 -2 1 - 23 =++==+=
( ) 0 4 -3x 2x x lim 231 - x =−+→
Problema 30
( )( )
1x1 -3x lim
3
21 x
+→
( )( )
( ) ( )( )31 x3
21 x
1x 1-3x 1 -3x lim
1x 1 -3x lim
+=
+→→
( ) ( )32
1x3
21 x
1x1 6x - 9x lim
1x 1 3x -3x 9x lim
+
+=
+
+−→→
Formando un cuadrado perfecto (séptimo caso de factorizacion) se multiplica toda la expresión por 9 y luego se divide por 9
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
99 9x6 - 9x
919 6x9 - 9x9 1 6x - x9
222 +
=+
=+
15
Dos números que sumados sean -6 y multiplicados sea 9 (9x)2 – 6x + 9 = (9x - 3 ) (9x - 3 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3*3
1-3x3 * 1-3x3 3* 3
3 -9x 3 -9x 9
3 -9x 3 -9x 1 6x - x9 2 ===+
Simplificando términos semejantes
( ) ( )1-3x * 1-3x 1 6x - x9 2 =+ Reemplazando
( )( ) ( )
( )31 x3
21 x
1x
1-3x * 13xlim 1x
1 6x - 9x lim+
−=
+
+→→
Reemplazando el valor de (1)
( )[ ] ( )[ ]( )
[ ] [ ]( ) 2
1 84
22 * 2
1 11 - 13 * 1 13 33 ===
+
−=
( )( ) 2
1 1x
1 -3x lim3
21 x =
+→
Problema 31
3 33 - 3 lim
x-x
x-x0 x
+→
( )( )( )( )
x
xx
x
xx
0x
xx
xx
0 x
31 33
31 - 33
lim
31 3
31 - 3
lim+
=+
→→
Simplificando términos semejantes
1 31 - 3 lim
2x
2x0 x
+→
Reemplazando el valor de (1)
( )( ) 0
20
1 11- 1
1 31 - 3
1 31 - 3 0
0
02
02==
+=
+=
+=
0 3 33 - 3 lim
x-x
x-x0 x =
+→
16
Diferencia de cubos x3 – a3 = (x - a) * (x2 + ax + a2) Factorizacion dos números sumados sea 2 y multiplicados sea -3 x2 + 2x - 3 = (x + 3) * (x - 1)
Problema 32
1 - x
1 -x lim 22 x→
17
( ) ( )1x 1x −
1-xlim
1 - x1 -x lim 2x22 x += →→
Simplificando términos semejantes
( ) 1 x 1 lim 2 x +→
Reemplazando el valor de (2)
31
12 1 =+
=
31
1 - x1 -x lim 22 x =→
Problema 33
x
x- 1 - x 1 lim 0 x+
→
Conjugado
( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) x- 1 x1 x
x-1- x1 lim x- 1 x 1 x
x-1 x 1 x-1 - x 1 lim 0x0 x++
+=
+++++
→→
( ) ( ) ( )x1 x 1x lim
x- 1 x1 x x x 1 - 1 lim 0x0 x
−++=
++++
→→x2
Simplificando términos semejantes
( )x1 x 1 2 lim 0 x
−++→
Reemplazando el valor de (4)
( ) 1 22
112
1 12
01 01 2 ==
+=
+=
−++=
1 x
x- 1 - x 1 lim 0 x =+
→
Diferencia de cuadrados x2 – 12 = (x - 1 ) * (x + 1)
Problema 34
49 - x
3 -x - 2 lim 27 x→
Conjugado
( )( )( )( )
( )( )( ) 3- x 2 7 - x
3-x- 4 lim 3-x 2 7 - x
3 -x 2 3 -x - 2 lim 227x227 x+
=+
+→→
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )3-x2 7x 7-x7xlim
3-x2 7x7-xx7lim
3- x 2 7 - x3x - 4 lim 7x7x227 x
++−−
=++
−=
+
+→→→
Simplificando términos semejantes
( ) ( )3-x2 7x 1 lim 7 x++
−→
Reemplazando el valor de (7)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 561-
4 141-
4 2*141-
3-72 77 1 ==
+=
++−
=
56
1- 49 - x
3 -x - 2 lim 27 x =→
Problema 35
1 - x1 - x lim 31 x→
1 - t1 - tlim
1 - t
1 - tlim 1 - x1 - x lim
2
31t3 6
61t31 x →→→ ==
( ) ( )( ) ( )1t 1-t
1 tt 1-t lim2
1 x +++
→
Simplificando términos semejantes
( )( )1t
1 tt lim2
1 x +++
→
Reemplazando el valor de (1)
( )23
11 11 1
2=
+++
=
18
Se utiliza un cambio de variable x = t6
x→ 1 t→ 1 Diferencia de cubos t3 – 13 = (t - 1) * (t + t2 + 1) Diferencia de cuadrados t2 – 12 = (t - 1 ) * (t + 1)
23
1 - x1 - x lim 31 x =→
Problema 36
x-5 -1
x5 - 3 lim 4 x+
→
Conjugado
( )( )( )( )( )( )
( ) ( )[ ]( )[ ]( ) x5 3 x-5-1
x-51 x5- 9 4xlim x-51 x 5 3 x-5-1x-5 1 x5 3 x 5 - 3 4 x lim
++++
→=+++++++
→
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )x53 4-x
x-51 x-4 4xlim x53 x5-1x-51 x-5-9 4 x lim
+++
→=+++
+→
( ) ( )
( ) ( ) x53 4-xx-51 4-x 4 x lim
+++−
→
Simplificando términos semejantes
( )( ) x53
x-51 4 x lim++
+−→
Reemplazando el valor de (4)
( )( )
( )( )
( ) 31-
62-
332-
9 311-
453 4-5 1 ==
+=
++
=++
+−=
31-
x-5 -1 x5 - 3 4 x lim =
+→
Problema 37
x
1 - x 2xx 1 0 x lim +++→
Conjugado
( ) ( ) ( )
( )
1-x - 2xx1x
1-x - 2 x x 1 1-x 2xx 1 0xlim
x
1-x 2xx 1 0 x lim
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
→=+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
→
19
( )
( ) ( )
20
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+→=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++
→1-x - 2xx1x
1-x22xx10xlim
1-x - 2xx1x
1x22x - 2xx10xlim
1-x - 2xx1x
21-x - 2xx1 0 x lim + - 2x +
Simplificando términos semejantes
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++→
1-x - 2xx1 x
x3 0 x lim
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++→
1-x - 2xx1
3 0 x lim
Reemplazando el valor de (0)
( ) ( ) ( ) 23
113
1-0 - 20 01
3 =+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
=
23
x 1 - x 2xx 1 0 x lim =
+++→
Problema 38
1 - 1x
x 0 x lim+
→
Conjugado
( )( )( )
( )( )
1-1x1 1xx 0xlim
1 1x 1- 1x 1 1xx 0 x lim
+++
→=+++
++→
( ) ( )
x 11xx
0x lim 1-1x
1 1xx 0 x lim ++→=
+++
→
Simplificando términos semejantes
1 1x 0 x lim ++→ Reemplazando el valor de (0)
2 11 110 =+=++=
2 1 - 1x
x 0 x lim =+
→
Problema 39
55x 2 - 2x 0 x lim
−+
+→
Conjugado
( )( )( )( )( )( )
( ) ( )[ ]( )[ ]( ) 2 2x 5-5x
5 5x 2- 2x 0xlim 5 5x 2 2x 55x5 5x 2 2x 2 2x 0 x lim
+++
+++→=
++++−+
++++−+→
Simplificando términos semejantes
( )( )
( )( )2 2x
5 5x 0xlim 2 2xx 5 5xx 0 x lim
++
++→=
++
++→
Reemplazando el valor de (0)
( )( )
( )( )
25
25
22 52-
2 20 5 5 0 ===
++
++=
25
55x 2 - 2x 0 x lim =
−+
+→
Problema 40
x
2- x 4 0 x lim +→
Conjugado
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]
2 x4x2 x 4 2- x4 0xlim
x2- x4 0 x lim
++
+++→=
+→
( )( ) ( ) 2 x4x
x 0xlim
2 x4x 4 -x 4 0 x lim
++→=
++
+→
Simplificando términos semejantes
( ) 2 x4 1 0 x lim++
→
Reemplazando el valor de (0)
( ) ( ) 41
2 41
2 04 1 =
+=
++=
21
41
x2- x 4 0 x lim =
+→
Problema 41
2 x- 18 - 3
3-x 3 x lim →
Conjugado
( ) ( )
2x-18 - 9
2x-18 3 3-x 3xlim
2x-18 3 2x- 18 - 3
2 x- 18 3 3x 3 x lim
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
→=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−
→
( ) ( )
9- 2x
2x-183 3-x
3 xlim 2x 18-9
2 x- 18 3 3-x 3 x lim
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
→=+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
→
( )
( ) ( ) 3x 3-x
2x-183 3-x 3 x lim
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
→
Simplificando términos semejantes
( ) 3x
2x-183 3 x lim
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
→
Reemplazando el valor de (3)
( ) 1
66
633
693
69 - 18 3
33
23 -18 3 ==
+=
+=
+=
++
=
1 2 x- 18 - 3
3-x 3 x lim =→
Problema 42
a - x a
a-x a x lim →
Reemplazando el valor de (a)
0 0 a - aa
=−
=−
=aaa
aa
22
Diferencia de cuadrados x2 – 32 = (x - 3 ) * (x + 3)
0 a - x a
a-x a x lim =→
23