problemas resueltos factorizacion

65
1 PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion CASO VI Trinomio de la forma x 2 + bx + c Algebra Baldor Para cualquier inquietud o consulta escribir a: 0HU[email protected] U H1HU[email protected] U H2HU[email protected] U Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010

Upload: 7laser

Post on 18-Feb-2015

478 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Problemas Resueltos Factorizacion

1

PROBLEMAS RESUELTOS CASO I cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común CASO II factor comun por agrupación de terminos CASO III trinomio cuadrado perfecto

CASO IV Diferencia de cuadrados perfectos CASO V Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustraccion CASO VI Trinomio de la forma x2 + bx + c

Algebra Baldor

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected]

[email protected] [email protected]

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico

Bucaramanga – Colombia 2010

Page 2: Problemas Resueltos Factorizacion

2

Page 3: Problemas Resueltos Factorizacion

3

FACTORIZACION CASO 1 (Pág. 144 Baldor). CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

a) Factor común monomio Problema 1. Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común que es a. Escribimos el factor común “a” como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir; a2 ÷ a = a y 2a ÷ a = 2 y tendremos:

a2 + 2ª = a (a + 2) Problema 2. Descomponer 10b – 30 ab2

Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 por que siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b por que esta en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b. El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

10b ÷ 10b = 1 y -30ab2 ÷ 10b = - 3ab y tendremos:

10b – 30 ab2 = 10 (1 - 3ab) Problema 3. Descomponer m (x + 2) + x + 2 Esta expresión podemos escribirla; m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1 (x + 2) Factor común (x + 2). Tendremos; m (x + 2) + 1 (x + 2) = (x + 2) (m+1) Problema 4. Descomponer a (x + 1) – x – 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – (x + 1) a (x + 1) – x – 1 = a (x + 1) – 1(x + 1) Factor común (x + 1). Tendremos; a (x + 1) – x – 1 = (x + 1) (a - 1) Problema 5. Factorar 2x (x + y + z) – x – y – z Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: 2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – (x + y + z) 2x (x + y + z) – x – y – z = 2x (x + y + z) – 1(x + y + z) Factor común (x + y + z). Tendremos;

Page 4: Problemas Resueltos Factorizacion

4

2x (x + y + z) – x – y – z = (x + y + z) (2x - 1) Problema 6. Factorar (x - a) (y + 2) + b(y + 2) Factor común (y + 2). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (y + 2) tenemos: ( )( )

( ) a)-(x 2y

2ya -x =

++

y ( )( ) b

2y 2y b=

++

Luego: (x - a) (y + 2) + b(y + 2) = (y + 2) (x – a + b) Problema 7. Descomponer (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) Factor común (x - 1). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (x - 1) tenemos: ( )( )

( ) 2)(x 1-x

1-x2x +=

+ y

( ) ( )( ) ( )3-x-

1-x3-x 1-x -=

Luego: (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ (x + 2) – (x – 3)] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ x + 2 – x + 3] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 2 + 3] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = (x – 1) [ 5] (x+ 2) (x – 1) – (x – 1) (x – 3) = 5 (x – 1) Problema 8. Factorar x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) se tiene: x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – (a – 1) x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = x (a – 1) + y (a – 1) – 1(a – 1) Factor común (a - 1). Tendremos; x (a – 1) + y (a – 1) – a + 1 = (a – 1) (x + y - 1)

CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

EJERCICIO # 89 Pagina 145 Problema 89.1 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a2 + ab a2 y ab contienen el factor común que es “a“.

Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

a2 ÷ a = a y ab ÷ a = b y tendremos:

a2 + ab = a (a + b) Problema 89.3 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x2 + x x2 y x contienen el factor común que es “x“.

Page 5: Problemas Resueltos Factorizacion

5

Escribimos el factor común “x“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

x2 ÷ x = x y x ÷ x = 1 y tendremos:

x2 + x = x (x + 1) Problema 89.5 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + 4x4 x3 y 4x4 contienen el factor común que es “x3“.

Escribimos el factor común “x3“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

x3 ÷ x3 = 1 y 4x4 ÷ x3 = 4x y tendremos: x3 + 4x4 = x3 (1 + 4x) Problema 89.7 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer ab - bc ab y bc contienen el factor común que es “b“.

Escribimos el factor común “b“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

ab ÷ b = a y -bc ÷ b = - c y tendremos:

ab - bc = b (a – c) Problema 89.9 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 2a2 x + 6ax2 Los coeficientes 2 y 6 tienen como factor comun 2. De las letras, el único factor común es “ax“ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “2ax“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

2a2 x ÷ 2ax = a y + 6ax2 ÷ 2ax = 3x y tendremos:

2a2 x + 6ax2 = 2ax (a + 3x) Problema 89.11 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 9a3x2 - 18ax3 Los coeficientes 9 y 18 tienen como factor común 9. De las letras, el único factor común es “ax2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “9ax2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

9a3x2 ÷ 9ax2 = a2 y - 18ax3 ÷ 9ax2 = - 2x y tendremos:

9a3x2 - 18ax3 = 9ax2 (a2 – 2x) Problema 89.13 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 35m2n3 - 70m3 Los coeficientes 35 y 70 tienen como factor común 35. De las letras, el único factor común es “m2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “35m2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

Page 6: Problemas Resueltos Factorizacion

6

35m2n3 ÷ 35m2 = n3 y - 70m3 ÷ 35m2 = - 2m y tendremos:

35m2n3 - 70m3 = 35m2 (n3 – 2m) Problema 89.15 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 24a2xy2 - 36x2y4 Los coeficientes 24 y 36 tienen como factor común 12. De las letras, el único factor común es “xy2 “ por que esta en los dos términos de la expresión dada. El factor común es “12xy2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

24a2xy2 ÷ 12xy2 = 2a2 y - 36x2y4 ÷ 12xy2 = - 3xy2 y tendremos:

24a2xy2 - 36x2y4 = 12xy2 (2a2 - 3xy2) Problema 89.17 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 4x2 - 8x + 2 Los coeficientes 4, 8 y 2 tienen como factor común 2. Las letras NO TIENEN factor común. El factor común es “2 “. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

4x2 ÷ 2 = 2x2 - 8x ÷ 2 = - 4x y 2 ÷ 2 = 1 y tendremos:

4x2 - 8x + 2 = 2 (2x2 - 4 + 1) Problema 89.19 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer a3 - a2x + ax2 a3 , a2x y ax2 contienen el factor común que es “a“.

Escribimos el factor común “a“ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

a3 ÷ a = a2 - a2x ÷ a = - ax y ax2 ÷ a = x2 y tendremos:

a3 - a2x + ax2 = a (a2 – ax + x2) Problema 89.21 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer x3 + x5 - x7 x3 , x5 y x7 contienen el factor común que es “x3 “.

Escribimos el factor común “x3 “ como coeficiente de un paréntesis. Dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir;

x3 ÷ x3 = 1 x5 ÷ x3 = x2 y - x7 ÷ x3 = - x4 y tendremos:

x3 + x5 - x7 = x3 (1 + x2 – x4) Problema 89.23 Algebra Baldor (Pagina 145) Descomponer 34ax2 + 51a2y - 68ay2 Los coeficientes 34, 51 y 68 tienen como factor común 17. De las letras, el único factor común es “a “ por que esta en los tres términos de la expresión dada.

Page 7: Problemas Resueltos Factorizacion

7

El factor común es “17a“. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir

34ax2 ÷ 17a = 2x2 51a2y ÷ 17a = 3ay y - 68ay2 ÷ 17a = - 4y2 y tendremos:

34ax2 + 51a2y - 68ay2 = 17a (2x2 + 3ay - 4y2) Problema 89.25 Algebra Baldor (Pagina 145) a2b2c2 - a2c2x2 + a2c2y2 = a2c2 (b2 - x2 + y2) Problema 89.27 Algebra Baldor (Pagina 145) 93a3x2y - 62a2x3y2 - 124a2x = 31a2x (3axy - 2x2y2 - 4) 29) a6 - 3a4 + 8a3 - 4a2 = a2 (a4 - 3a2 + 8a - 4) 31) x15 - x12 + 2x9 - 3x6 = x6 (x9 - x6 + 2x3 - 3) 33) 16x3y2 - 8x2y - 24x4y2 - 40x2y3 = 8x2y (2xy - 1 - 3x2y - 5y2) 35) 100a2b3c - 150ab2c2 + 50ab3c3 - 200abc2 = 50abc (2ab2 - 3bc + b2c2 - 4c) 37) a2 - 2a3 + 3a4 - 4a5 + 6a6 = a2 (1 - 2a + 3a2 - 4a3 + 6a4) 39) a20 - a16 + a12 - a8 + a4 - a2 = a2 (a18 - a14 + a10 - a6 + a2 - 1)

Ejercicio # 90 pag. 146

Ejercicio # 90.2 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a + 1) - 3 (a + 1) = (a + 1) (x – 3) Ejercicio # 90.4 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores m (a - b) + (a – b) n = (a – b) (m + n) Ejercicio # 90.6 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (n + 2) + n + 2 = (n + 2) (a +1) 8) a2 + 1 - b (a2 + 1) = 1 (a2 + 1) - b (a2 + 1) (a2 + 1) (1 – b) Ejercicio # 90.10 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 1 – x + 2a (1 – x) = 1(1 – x) + 2a (1 – x) (1 – x) (1 + 2a)

Page 8: Problemas Resueltos Factorizacion

8

12) - m – n + x (m + n) = -1 (m + n) + x (m + n) (m + n) (-1 + x) = (m + n) (x - 1) Ejercicio # 90.14 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 4m ( a2 + x – 1) + 3n ( x – 1 + a2) = 4m ( a2 + x – 1) + 3n (a2 + x – 1) = (a2 + x – 1) (4m + 3m) 16) (x + y) (n + 1) - 3 (n + 1) = (n + 1) (x + y – 3) Ejercicio # 90.18 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1) = (a + 1) (a + 3 – 4) = (a + 1) (a – 1) Ejercicio # 90.20 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores a (x – 1) – (a +2)(x – 1) = (x – 1) (a – a – 2) = (x – 1) (-2) Ejercicio # 90.22 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b) (a – b) - (a – b) (a – b) = (a – b) (a + b – a + b) (a – b) (2b) Ejercicio # 90.24 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (x + m) (x + 1) - (x + 1) (x – n) = (x + 1) (x + m – x + n) (x + 1) (m + n) Ejercicio # 90.26 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (a + b – 1) (a2 + 1) - a2 – 1 = (a + b – 1) (a2 + 1) - 1(a2 + 1) (a2 + 1) (a + b – 1) Ejercicio # 90.28 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores 3x ( x – 1) - 2y (x – 1) + z (x – 1) = (x – 1) (3x – 2y + z) Ejercicio # 90.30 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores x (a +2) – a – 2 + 3 (a + 2) =

Page 9: Problemas Resueltos Factorizacion

9

x (a +2) - 1(a + 2) + 3 (a + 2) = (a +2) ( x - 1 + 3) = (a +2) (x + 2) Ejercicio # 90.32 pag. 146 Factorar o descomponer en dos factores (3x + 2) (x + y – z) - (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y – z) - 1 (3x + 2) - (x + y – 1) (3x + 2) = (3x + 2) (x + y – z – 1 – x – y + 1) = (3x + 2) (- z)

CASO II FACTOR COMUN POR AGRUPACIÓN DE TERMINOS

EJERCICIO # 91 pagina 148 Problema 91.1 Algebra Baldor a2 + ab + ax + bx = a (a + b) + x (a + b) = (a + b) (a + x) a2 + ab + ax + bx = (a + b) (a + x) Problema 91.3 Algebra Baldor ax – 2bx – 2ay + 4by = x (a – 2b) –2y (a – 2b) = (a – 2b) (x – 2y) ax – 2bx – 2ay + 4by = (a – 2b) (x – 2y) Problema 91.5 Algebra Baldor 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = 3m + 3mx4 – 2n – 2nx4 = 3m (1 + x4) – 2n (1 + x4) 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 = (1 + x4) (3m – 2n) Problema 91.7 Algebra Baldor 4a3 – 1 – a2 + 4a = 4a + 4a3 – 1 – a2 = 4a (1 + a2) – 1(1 + a2) 4a3 – 1 – a2 + 4a = (1 + a2) (4a – 1) Problema 91.9 Algebra Baldor 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 = 3abx2 + 3aby2 – 2x2 – 2y2 = 3ab (x2 + y2) – 2 (x2 + y2) = 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 = (x2 + y2) (3ab – 2) Problema 91.11 Algebra Baldor 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = 4a3x – 4a2b – 3amx + 3bm = 4a2 (ax – b) - 3m (ax – b) = 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx = (ax – b) (4a2 – 3m) Problema 91.13 Algebra Baldor 3x3 – 9ax2 – x + 3a = 3x2 (x – 3a) - 1(x – 3a) = 3x3 – 9ax2 – x + 3a = (x – 3a) (3x2 – 1)

Page 10: Problemas Resueltos Factorizacion

10

CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

EJERCICIO # 92 pagina 151 Problema 92.2 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 2ab + b2 = La raíz cuadrada de a2 es a La raíz cuadrada de b2 es b El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Problema 92.4 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: y4 + 1 + 2y2 = y4 + 2y2 + 1 = La raíz cuadrada de y4 es y2 La raíz cuadrada de 1es 1 El segundo termino es: 2(y2) (1) = 2 y2 = (y2 + 1)2 Problema 92.6 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 9 – 6x + x2 = La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de x2 es x El segundo termino es: 2(3) (x) = 6x 9 – 6x + x2 = (3 – x)2 Problema 92.8 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 49a2 – 14a = 1– 14a + 49a2 La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 49a2 es 7a El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a 1– 14a + 49a2 = (1 – 7a)2 Problema 92.10 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 1 – 2a3 + a6 = La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de a6 es a3 El segundo termino es: 2(1) (a3) = 2a3 1 – 2a3 + a6 = (1 – a3)2 Problema 92.12 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores:

Page 11: Problemas Resueltos Factorizacion

11

a6 – 2a3 b3 + b6 = La raíz cuadrada de a6 es a3

La raíz cuadrada de b6 es b3

El segundo termino es: 2(a6) (b3) = 2a6 b3 a6 – 2a3 b3 + b6 = (a3 – b3)2 Problema 92.14 Algebra Baldor Factorar o descomponer en dos factores: 9b2 – 30a2 b + 25a4 = La raíz cuadrada de 9b2 es 3b

La raíz cuadrada de 25a4 es 5a2

El segundo termino es: 2(3b) (5a2 ) = 30a2 b 9b2 – 30a2 b + 25a4 = (3b – 5a2)2

CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS REGLA PARA FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo. Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo Ejemplo: Factorizar 1 – a2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1. a2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. Multiplica la suma de las raíces, (1 + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 - a) 1 – a2 = (1 + a) * (1 - a) Ejemplo: Factorizar 16x2 – 25y4 16 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 x. 25 y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 y2. Multiplica la suma de las raíces, (4x + 5y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 x – 5 y2) 16x2 – 25y4 = (4x + 5y2) * (4 x – 5 y2) Ejemplo: Factorizar 49 x2 y6 z10 – a12 49 x2 y6 z10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7 x y3 z5

a12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a6. Multiplica la suma de las raíces, (7 x y3 z5 + a6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7 x y3 z5 – a6) 49 x2 y6 z10 – a12 = (7 x y3 z5 + a6) * (7 x y3 z5 – a6)

Page 12: Problemas Resueltos Factorizacion

12

Ejemplo:

Factorizar 9

4b - 4

2a

4

2a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2a .

9

4b es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3

2b

Multiplica la suma de las raíces, ( 2a +

3

2b ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del

sustraendo ( 2a –

3

2b )

⎟⎟

⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎛+=

3

2b - 2a *

3

2b2a

9

4b - 4

2a

Ejemplo: Factorizar a2a – 9b4m a2a es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es aa

9b4m es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3b2m

Multiplica la suma de las raíces, (aa + 3b2m ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (aa – 3b2m ) a2a – 9b4m = (aa + 3b2m ) *(aa – 3b2m )

Page 13: Problemas Resueltos Factorizacion

13

EJERCICIO # 93 Pagina 152 Problema 93.1 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores x2 – y2 x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “x”. y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y” Multiplica la suma de las raíces, (x + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x - y) x2 – y2 = (x + y) * (x - y) Problema 93.2 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores

Page 14: Problemas Resueltos Factorizacion

14

a2 – 1 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. 1 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 Multiplica la suma de las raíces, (a + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 1) a2 – 1 = (a + 1* (a - 1) Problema 93.3 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 – 4 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a”. 4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2 Multiplica la suma de las raíces, (a + 2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 2) a2 – 1 = (a + 2) * (a - 2) Problema 93.4 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 9 – b2 9 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “b” Multiplica la suma de las raíces, (3 + b) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3 - b) 9 – b2 = (3 + b) * (3 - b) Problema 93.5 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 4m2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 4m2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2m Multiplica la suma de las raíces, (1 + 2m) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 2m) 1 – 4m2 = (1 + 2m) * (1 – 2m) Problema 93.6 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 16 – n2 16 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 4 n2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “n” Multiplica la suma de las raíces, (4 + n) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (4 - n) 16 – n2 = (4 + n) * (4 - n)

Page 15: Problemas Resueltos Factorizacion

15

Problema 93.7 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 – 25 a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “a” 25 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 Multiplica la suma de las raíces, (a + 5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a - 5) a2 – 25 = (a + 5) * (a - 5) Problema 93.8 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – y2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 y2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “y” Multiplica la suma de las raíces, (1 + y) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – y) 1 – y2 = (1 + y) * (1 – y) Problema 93.9 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4a2 – 9 4a2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “2a” 9 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 Multiplica la suma de las raíces, (2a + 3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2a - 3) 4a2 – 9 = (2a + 3) * (2a - 3) Problema 93.10 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 25 – 36a4 25 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5 36a4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 6a2. Multiplica la suma de las raíces, (5 + 6a2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5 – 6a2) 25 – 36a4 = (5 + 6a2) * (5 – 6a2) Problema 93.11 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 49 a2 b2 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 49 a2 b2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7ab Multiplica la suma de las raíces, (1 + 7ab) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 7ab)

Page 16: Problemas Resueltos Factorizacion

16

1 – 49 a2 b2 = (1 + 7ab) * (1 – 7ab) Problema 93.12 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 4x2 – 81y4 4x2 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 2x 81y4 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 9y2. Multiplica la suma de las raíces, (2x + 9y2) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (2x – 9y2) 4x2 – 81y4 = (2x + 9y2) * (2x – 9y2) Problema 93.13 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2b8 – c2 a2b8 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es ab4 c2 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “c” Multiplica la suma de las raíces, (ab4 + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (ab4 – c) a2b8 – c2 = (ab4 + c) * (ab4 – c) Problema 93.14 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 – x2y6 100 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10 x2y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es “xy3” Multiplica la suma de las raíces, (10 + xy3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10 – xy3) 100 – x2y6 = (10 + xy3) * (10 – xy3) Problema 93.15 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a10 – 49 b12 a10 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es a5 49 b12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 7b6

Multiplica la suma de las raíces, (a5 + 7b6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a5 - 7b6) a10 – 49 b12 = (a5 + 7b6) * (a5 - 7b6) Problema 93.16 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores

Page 17: Problemas Resueltos Factorizacion

17

25x2y4 – 121 25x2y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 5xy2

121 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 11 Multiplica la suma de las raíces, (5xy2 + 11) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (5xy2 - 11) 25x2y4 – 121 = (5xy2 + 11) * (5xy2 - 11) Problema 93.17 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 100 m2 n4 – 169 y6 100 m2 n4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 10mn2

169 y6 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 13 y3

Multiplica la suma de las raíces, (10mn2 + 13 y3) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (10mn2 - 13 y3) 100 m2 n4 – 169 y6 = (10mn2 + 13 y3) * (10mn2 - 13 y3) Problema 93.18 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores a2 m4 n6 – 144 a2 m4 n6 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es am2n3

144 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 12 Multiplica la suma de las raíces, (am2n3 + 12) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (am2n3 - 12) a2 m4 n6 – 144 = (am2n3 + 12) * (am2n3 - 12) Problema 93.19 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 196 x2 y4 – 225 x12 196 x2 y4 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 14 xy2

225 x12 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 15x6

Multiplica la suma de las raíces, (14 xy2 + 15x6) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (14 xy2 - 15x6) 196 x2 y4 – 225 x12 = (14 xy2 + 15x6) * (14 xy2 - 15x6) Problema 93.20 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 256 a12 – 289 b4 m10 256 a12 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 16 a6

289 b4 m10 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 17 b2 m5

Page 18: Problemas Resueltos Factorizacion

18

Multiplica la suma de las raíces, (16 a6 + 17 b2 m5) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (16 a6 - 17 b2 m5) 256 a12 – 289 b4 m10 = (16 a6 + 17 b2 m5) * (16 a6 - 17 b2 m5) Problema 93.21 Algebra Baldor (Pagina 152) Factorizar o descomponer en dos factores 1 – 9 a2 b4 c6 d8 1 es el minuendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 1 9 a2 b4 c6 d8 es el sustraendo. Se le extrae la raíz cuadrada que es 3 a2 b2 c3 d4 Multiplica la suma de las raíces, (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 – 3 a2 b2 c3 d4 ) 1 – 9 a2 b4 c6 d8 = (1 + 3 a2 b2 c3 d4 ) * (1 – 3 a2 b2 c3 d4 )

CASO ESPECIAL Ejemplo: Factorizar (a + b)2 – c2 La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrado en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de c2 es “c” Multiplica la suma de las raíces, (a + b + c) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + b - c) (a + b)2 – c2 = (a + b + c) (a + b - c) Ejemplo: Factorizar 4x2 - (x + y)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 4x2 es 2x La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [2x + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2x - (x + y)] 4x2 - (x + y)2 = [2x + (x + y)] * [2x - (x + y)] 4x2 - (x + y)2 = [2x + x + y] * [2x - x - y] 4x2 - (x + y)2 = [3x + y] * [x - y] Ejemplo: Factorizar (a + x)2 - (x + 2)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + x)2 es (a + x) La raíz cuadrada de (x + 2)2 es (x + 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a + x) + (x + 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + x) - (x + 2)]

Page 19: Problemas Resueltos Factorizacion

19

(a + x)2 - (x + 2)2 = [(a + x) + (x + 2)] * [(a + x) - (x + 2)] (a + x)2 - (x + 2)2 = [a + x + x + 2] * [a + x - x - 2] (a + x)2 - (x + 2)2 = [a + 2x + 2] * [a - 2]

Page 20: Problemas Resueltos Factorizacion

20

Problema 94.1 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + y)2 – a2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) La raíz cuadrada de a2 es “a” Multiplica la suma de las raíces, (x + y + a) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + y - a) (x + y)2 – a2 = (x + y + a) * (x + y - a) Problema 94.2 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 4 – (a + 1)2

Así, en este caso, tenemos:

Page 21: Problemas Resueltos Factorizacion

21

La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de (a + 1)2 es (a + 1) Multiplica la suma de las raíces, [2 + (a + 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [2 - (a + 1)] 4 – (a + 1)2 = [2 + (a + 1)] * [2 - (a + 1)] 4 – (a + 1)2 = [2 + a + 1] * [2 - a - 1] 4x2 - (x + y)2 = [3 + a] * [1 - a] Problema 94.3 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 9 – (m + n)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de (m + n)2 es (m + n) Multiplica la suma de las raíces, [3 + (m + n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [3 - (m + n)] 9 – (m + n)2 = [3 + (m + n)] *[3 - (m + n)] 9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] 9 – (m + n)2 = [3 + m + n] *[3 -m - n] Problema 94.4 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (m - n)2 – 16 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (m - n)2 es (m - n) La raíz cuadrada de 16 es “4” Multiplica la suma de las raíces, (m – n + 4) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (m – n - 4) (m - n)2 – 16 = [(m – n + 4)] *[(m – n - 4)] Problema 94.5 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x - y)2 – 4z2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x - y)2 es (x - y) La raíz cuadrada de 4z2 es “2z” Multiplica la suma de las raíces, (x – y + 2z) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x – y – 2z) (x - y)2 – 4z2 = (x – y + 2z) * (x – y – 2z) Problema 94.6 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + 2b)2 – 1

Page 22: Problemas Resueltos Factorizacion

22

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + 2b)2 es (a + 2b) La raíz cuadrada de 1 es “1” Multiplica la suma de las raíces, (a + 2b + 1) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (a + 2b - 1) (a + 2b)2 – 1 = (a + 2b + 1) * (a + 2b - 1) Problema 94.7 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 – (x – 2y)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (x – 2y)2 es (x – 2y) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (x – 2y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (x – 2y)] 1 – (x – 2y)2 = [1 + (x – 2y)] * [1 - (x – 2y)] 1 – (x – 2y)2 = [1 + x – 2y] * [1 - x + 2y] Problema 94.8 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 2a)2 – 4x2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 2a)2 es (x + 2a) La raíz cuadrada de 4x2 es “2x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 2a + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 2a - 2x) (x + 2a)2 – 4x2 = [(x + 2a + 2x)] * [(x + 2a - 2x)] (x + 2a)2 – 4x2 = [x + 2a + 2x] * [x + 2a - 2x] (x + 2a)2 – 4x2 = [3x + 2a ] * [2a - x] Problema 94.9Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a + b)2 - (c + d)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a + b)2 es (a + b) La raíz cuadrada de (c + d)2 es (c + d) Multiplica la suma de las raíces, [(a + b) + (c + d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a + b) - (c + d)] (a + b)2 - (c + d)2 = [(a + b) + (c + d)] * [(a + b) - (c + d)] (a + b)2 - (c + d)2 = [a + b + c + d] * [a + b - c - d]

Page 23: Problemas Resueltos Factorizacion

23

Problema 94.10Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - b)2 - (c - d)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - b)2 es (a - b) La raíz cuadrada de (c - d)2 es (c - d) Multiplica la suma de las raíces, [(a - b) + (c - d)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - b) - (c - d)] (a - b)2 - (c - d)2 = [(a - b) + (c - d)] * [(a - b) - (c - d)] (a - b)2 - (c - d)2 = [a - b + c - d] * [a - b - c + d] Problema 94.11 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1)2 – 16x2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1)2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 16x2 es “4x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 4x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1 - 4x) (x + 1)2 – 16x2 = (x + 1 + 4x) * (x + 1 - 4x) (x + 1)2 – 16x2 = (1 + 5x)] * (1 - 3x) Problema 94.12 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 64 m2 – (m – 2n)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 64 m2 es 8m La raíz cuadrada de (m – 2n)2 es (m – 2n) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m – 2n)] 64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + (m – 2n)] * [8m - (m – 2n)] 64 m2 – (m – 2n)2 = [8m + m – 2n] * [8m - m + 2n] 64 m2 – (m – 2n)2 = [9m – 2n] * [7m + 2n] Problema 94.13 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 2b)2 - (x + y)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 2b)2 es (a - 2b) La raíz cuadrada de (x + y)2 es (x + y) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 2b) + (x + y)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 2b) - (x + y)]

Page 24: Problemas Resueltos Factorizacion

24

(a - 2b)2 - (x + y)2 = [(a - 2b) + (x + y)] * [(a - 2b) - (x + y)] (a - 2b)2 - (x + y)2 = [a - 2b + x + y] * [a - 2b - x - y] Problema 94.14 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2a - c)2 - (a + c)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2a - c)2 es (2a - c) La raíz cuadrada de (a + c)2 es (a + c) Multiplica la suma de las raíces, [(2a - c) + (a + c)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(2a - c) - (a + c)] (2a - c)2 - (a + c)2 = [(2a - c) + (a + c)] * [(2a - c) - (a + c)] (2a - c)2 - (a + c)2 = [2a - c + a + c] * [2a - c - a - c] (2a - c)2 - (a + c)2 = [3a ] * [a - 2c] Problema 94.15 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (x + 1)2 – 4x2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (x + 1)2 es (x + 1) La raíz cuadrada de 4x2 es “2x” Multiplica la suma de las raíces, (x + 1 + 2x) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (x + 1 - 2x) (x + 1)2 – 4x2 = (x + 1 + 2x) * (x + 1 - 2x) (x + 1)2 – 4x2 = (1 + 3x)] * (1 - x) Problema 94.16 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 36x2 – (a + 3x)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 36 x2 es 6x La raíz cuadrada de (a + 3x)2 es (a + 3x) Multiplica la suma de las raíces, [8m + (m – 2n)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [8m - (m – 2n)] 36x2 – (a + 3x)2 = [6x + (a + 3x)] * [6x - (a + 3x)] 36x2 – (a + 3x)2 = [6x + a + 3x] * [6x - a - 3x] 36x2 – (a + 3x)2 = [9x + a ] * [3x - a ] Problema 94.17 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible a6 – (a - 1)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de a6 es a3

La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1)

Page 25: Problemas Resueltos Factorizacion

25

Multiplica la suma de las raíces, [a3 + (a - 1)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [a3 - (a - 1)] a6 – (a - 1)2 = [a3 + (a - 1)] * [a3 - (a - 1)] a6 – (a - 1)2 = [a3 + a - 1] * [a3 - a + 1] Problema 94.18 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (a - 1)2 - (m - 2)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (a - 1)2 es (a - 1) La raíz cuadrada de (m - 2)2 es (m - 2) Multiplica la suma de las raíces, [(a - 1) + (m - 2)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [(a - 1) + (m - 2)] * [(a - 1) - (m - 2)] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [a - 1 + m - 2] * [a - 1 - m + 2] (a - 1)2 - (m - 2)2 = [a + m - 3] * [a - m + 1] Problema 94.19 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (2x - 3)2 - (x - 5)2 Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (2x - 3)2 es (2x - 3) La raíz cuadrada de (x - 5)2 es (x - 5) Multiplica la suma de las raíces, [(2x - 3) + (x - 5)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo[(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [(2x - 3) + (x - 5)] * [(2x - 3) - (x - 5)] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [2x - 3 + x - 5] * [2x - 3 - x + 5] (2x - 3)2 - (x - 5)2 = [3x - 8] * [x + 2] Problema 94.20 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible 1 – (5a + 2x)2

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de (5a + 2x)2 es (5a + 2x) Multiplica la suma de las raíces, [1 + (5a + 2x)] por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo [1 - (5a + 2x)] 1 – (5a + 2x)2 = [1 + (5a + 2x)] * [1 - (5a + 2x)] 1 – (5a + 2x)2 = [1 + 5a + 2x] * [1 - 5a - 2x] Problema 94.21 Algebra Baldor (Pagina 154) Descomponer en dos factores y simplificar si es posible (7x + y)2 – 81

Page 26: Problemas Resueltos Factorizacion

26

Así, en este caso, tenemos: La raíz cuadrada de (7x + y)2 es (7x + y) La raíz cuadrada de 81 es “9” Multiplica la suma de las raíces, (7x + y + 9) por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (7x + y - 9) (7x + y)2 – 81 = (7x + y + 9) * (7x + y - 9)

CASOS ESPECIALES

COMBINACIÓN DE LOS CASOS III Y IV Estudiamos a continuación la descomposición de expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y descomponiendo estos trinomios (CASO III) se obtiene una diferencia de cuadrados (CASO IV) Ejemplo: Factorizar a2 + 2ab + b2 – 1 Aquí tenemos que a2 + 2ab + b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a2 + 2ab + b2 – 1 = (a2 + 2ab + b2) – 1 Factorando el trinomio a2 + 2ab + b2 – 1 = (a + b)2 – 1 Factorando la diferencia de cuadrados a2 + 2ab + b2 – 1 = [(a + b) + 1] * [(a + b) - 1] a2 + 2ab + b2 – 1= [a + b + 1] * [a + b - 1] Ejemplo: Descomponer a2 + m2 – 4b2 – 2am Ordenando esta expresión, podemos escribirla: a2 - 2am + m2 – 4b2 Aquí tenemos que a2 - 2am + m2 – 4b2 es un trinomio cuadrado perfecto; luego a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a2 - 2am + m2 ) – 4b2

Factorando el trinomio a2 - 2am + m2 – 4b2 = (a - m)2 – 4b2

Factorando la diferencia de cuadrados a2 - 2am + m2 – 4b2 = [(a - m) + 2b] * [(a - m) – 2b] a2 - 2am + m2 – 4b2 = [a - m + 2b] * [a - m – 2b] Ejemplo: Descomponer 9a2 – x2 + 2x – 1 Introduciendo los tres últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) para que x2 y 1 se hagan positivos, tendremos: 9a2 – x2 + 2x – 1 = 9a2 – (x2 - 2x + 1) Factorando el trinomio

Page 27: Problemas Resueltos Factorizacion

27

9a2 – (x2 - 2x + 1)= 9a2 - (x - 1)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9a2 - (x - 1)2 = [3a + (x – 1)] * [3a - (x - 1)] 9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1] 9a2 - (x - 1)2 = [3a + x – 1] * [3a - x + 1] 9a2 – x2 + 2x – 1= [3a + x – 1] * [3a - x + 1] Ejemplo: Descomponer 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 El termino 4xy nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene x2 y cuyo tercer termino tiene y2. El termino 2ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2. Pero –a2 y –b2 son negativos, se introduce este ultimo trinomio en un paréntesis precedido del signo (-) ordenando 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = 4x2 – 4xy + y2 - a2 + 2ab – b2 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = (4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2) Factorando el trinomio (4x2 – 4xy + y2) - (a2 - 2ab + b2) (2x – y)2 - (a - b)2

Factorando la diferencia de cuadrados (2x – y)2 - (a - b)2 = [(2x – y) + (a - b)] * [(2x – y) - (a - b)] (2x – y)2 - (a - b)2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b] 4x2 – a2 + y2 – 4xy + 2ab – b2 = [2x – y + a - b] * [2x – y - a + b] Ejemplo: Factorar a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2 El termino 10ab nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene a2 y cuyo tercer termino tiene b2. El termino 6mn nos sugiere que es el segundo termino de un trinomio cuadrado perfecto cuyo primer termino tiene m2 y cuyo tercer termino tiene n2. ordenando a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2

Agrupando a2 + 10ab + 25b2 – m2 – 6mn – 9n2 = (a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2) Factorando el trinomio (a2 + 10ab + 25b2) – (m2 + 6mn + 9n2) (a +5b)2 - (m + 3n)2

Factorando la diferencia de cuadrados (a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [(a + 5b) + (m + 3n)] * [(a + 5b) - (m + 3n)] (a + 5b)2 - (m + 3n)2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n] a2 – 9n2 – 6mn + 10ab + 25b2 – m2 = [a + 5b + m + 3n] * [a + 5b - m - 3n]

Page 28: Problemas Resueltos Factorizacion

28

Problema 95.1 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 2ab + b2 – x2 Agrupando y factorando el trinomio (a2 + 2ab + b2) – x2 (a + b)2 - x2

Factorando la diferencia de cuadrados (a + b)2 - x2 = [(a + b) + x] * [(a + b) - x] (a + b)2 - x2 = [a + b + x] * [a + b - x] a2 + 2ab + b2 – x2 = [a + b + x] * [a + b - x] Problema 95.2 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 2xy + y2 – m2 Agrupando y factorando el trinomio (x2 – 2xy + y2 ) – m2 (x - y)2 - m2

Factorando la diferencia de cuadrados (x - y)2 - m2 = [(x - y) + m] * [(x - y) - m] (x - y)2 - m2 = [x - y + m] * [x - y - m] x2 – 2xy + y2 – m2 = [x - y + m] * [x - y - m] Problema 95.3 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: m2 + 2mn + n2 - 1 Agrupando y factorando el trinomio (m2 + 2mn + n2) – 1 (m + n)2 - 1

Page 29: Problemas Resueltos Factorizacion

29

Factorando la diferencia de cuadrados (m + n)2 - 1 = [(m + n) + 1] * [(m + n) - 1] (m + n)2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] m2 + 2mn + n2 - 1 = [m + n + 1] * [m + n - 1] Problema 95.4 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – 2a + 1 – b2

Agrupando y factorando el trinomio (a – 2a + 1) – b2

(a – 1)2 – b2

Factorando la diferencia de cuadrados (a – 1)2 – b2 = [(a - 1) + b] * [(a - 1) - b] (a – 1)2 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b] a2 – 2a + 1 – b2 = [a - 1 + b] * [a - 1 - b] Problema 95.5 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: n2 + 6n + 9 - c2

Agrupando y factorando el trinomio (n2 + 6n + 9) – c2

(n + 3)2 – c2

Factorando la diferencia de cuadrados (n + 3)2 – c2 = [(n + 3 ) + c] * [(n + 3 ) - c] (n + 3)2 – c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c] n2 + 6n + 9 - c2 = [n + 3 + c] * [n + 3 - c] Problema 95.6 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + x2 + 2ax - 4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 + x2 + 2ax – 4 = a2 + 2ax + x2 – 4 (a2 + 2ax + x2) - 4

(a + x)2 – 4

Factorando la diferencia de cuadrados (a + x)2 – 4 = [(a + x ) + 2] * [(a + x ) - 2] (a + x)2 – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] a2 + x2 + 2ax – 4 = [a + x + 2] * [a + x - 2] Problema 95.7 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 4 – 4a – 9b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 + 4 – 4a – 9b2 = a2 – 4a + 4 – 9b2

(a2 – 4a + 4) – 9b2

(a – 2)2 – 9b2

Page 30: Problemas Resueltos Factorizacion

30

Factorando la diferencia de cuadrados (a – 2)2 – 9b2= [(a - 2) + 3b] * [(a - 2) - 3b] (a – 2)2 – 9b2= [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b] a2 + 4 – 4a – 9b2 = [a - 2 + 3b] * [a - 2 - 3b] Problema 95.8 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 4y2 – 4xy – 1 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x2 + 4y2 – 4xy – 1 = x2 – 4xy + 4y2 – 1 (x2 – 4xy + 4y2) – 1

(x – 2y)2 – 1

Factorando la diferencia de cuadrados (x – 2y)2 – 1 = [(x – 2y) + 1] * [(x – 2y) - 1] (x – 2y)2 – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1] x2 + 4y2 – 4xy – 1 = [x – 2y + 1] * [x – 2y - 1] Problema 95.9 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – 6ay + 9y2 - 4x2

Agrupando y factorando el trinomio a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = (a2 – 6ay + 9y2) – 4X2

(a – 3y)2 – 4x2

Factorando la diferencia de cuadrados (a – 3y)2 – 4x2 = [(a – 3y) + 2x] * [(a – 3y) - 2x] (a – 3y)2 – 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x] a2 – 6ay + 9y2 - 4x2 = [a – 3y + 2x] * [a – 3y - 2x] Problema 95.10 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = 4x2 + 20 xy + 25y2 – 36 (4x2 + 20 xy + 25y2) – 36

(2x + 5y)2 – 36

Factorando la diferencia de cuadrados (2x + 5y)2 – 36 = [(2x + 5y) + 6] * [(2x + 5y) - 6] (2x + 5y)2 – 36 = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] 4x2 + 25y2 – 36 + 20xy = [2x + 5y + 6] * [2x + 5y - 6] Problema 95.11 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = 9x2 – 24ax + 16a2 – 1

(9x2 – 24ax + 16a2) – 1

(3x - 4a)2 – 1

Page 31: Problemas Resueltos Factorizacion

31

Factorando la diferencia de cuadrados (3x - 4a)2 – 1 = [(3x - 4a) + 1] * [(3x - 4a) - 1] (3x - 4a)2 – 1 = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] 9x2 – 1 + 16a2 – 24ax = [3x - 4a + 1] * [3x - 4a - 1] Problema 95.12 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = 64 a2 b2 – 16ab + 1 – x4 (64 a2 b2 – 16ab + 1) – x4

(8ab - 1)2 – x4

Factorando la diferencia de cuadrados (8ab - 1)2 – x4 = [(8ab - 1) + x2] * [(8ab - 1) - x2] (8ab - 1)2 – x4 = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2] 1 + 64 a2 b2 – x4 – 16ab = [8ab - 1 + x2] * [8ab - 1 - x2] Problema 95.13 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: a2 – b2 – 2bc – c2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– b2 – 2bc – c2 a2 – b2 – 2bc – c2 = a2– (b2 + 2bc + c2) a2– (b2 + 2bc + c2) a2 - (b + c)2 Factorando la diferencia de cuadrados a2 - (b + c)2 = [a + (b + c)] * [a - (b + c)] a2 - (b + c)2 = [a + b + c] * [a - b - c] a2 – b2 – 2bc – c2 = [a + b + c] * [a - b - c] Problema 95.14 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 - a2 + 2ax – x2 Agrupando y factorando el trinomio 1 - a2 + 2ax – x2 = 1 – (a2 - 2ax + x2) 1 – (a2 - 2ax + x2) 1 - (a - x)2 Factorando la diferencia de cuadrados 1 - (a - x)2 = [1 + (a - x)] * [1 - (a - x)] 1 - (a - x)2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] 1 - a2 + 2ax – x2 = [1 + a - x] * [1 - a + x] Problema 95.15 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: m2 – x2 – 2xy – y2

Page 32: Problemas Resueltos Factorizacion

32

Agrupando y factorando el trinomio m2 – x2 – 2xy – y2 = m2 – (x2 + 2xy + y2) m2 – (x2 + 2xy + y2) m2 - (x + y)2 Factorando la diferencia de cuadrados m2 - (x + y)2 = [m + (x + y)] * [m - (x + y)] m2 - (x + y)2 = [m + x + y] * [m - x - y] m2 – x2 – 2xy – y2 = [m + x + y] * [m - x - y] Problema 95.16 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: c2 – a2 + 2 a - 1 Agrupando y factorando el trinomio c2 – a2 + 2 a – 1 = c2 – (a2 - 2a + 1) c2 – (a2 - 2a + 1) c2 - (a - 1)2 Factorando la diferencia de cuadrados c2 - (a - 1)2 = [c + (a - 1)] * [c - (a - 1)] c2 - (a - 1)2 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] c2 – a2 + 2 a – 1 = [c + a - 1] * [c - a + 1)] Problema 95.17 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9 – n2 – 25 – 10n Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9 – n2 – 25 – 10n = 9 – n2 – 10n – 25 9 – (n2 + 10n + 25) 9 - (n + 5)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9 - (n + 5)2 = [3 + (n + 5)] * [3 - (n + 5)] 9 - (n + 5)2 = [3 + n + 5] * [3 - n - 5] 9 - (n + 5)2 = [8 + n ] * [-2 - n ] 9 - (n + 5)2 = - [8 + n ] * [2 + n ] 9 – n2 – 25 – 10n = - [8 + n ] * [2 + n ] Problema 95.18 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 4 a2 – x2 + 4x - 4 Agrupando y factorando el trinomio 4 a2 – x2 + 4x – 4 = 4 a2 – (x2 - 4x + 4) 4 a2 – (x2 - 4x + 4) 4a2 - (x - 2)2 Factorando la diferencia de cuadrados 4a2 - (x - 2)2 = [2a + (x - 2)] *[2a - (x - 2)] 4a2 - (x - 2)2 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2] 4 a2 – x2 + 4x – 4 = [2a + x - 2] *[2a - x + 2]

Page 33: Problemas Resueltos Factorizacion

33

Problema 95.19 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 1 – a2 – 9n2 – 6an Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 – a2 – 9n2 – 6an = 1 – a2 – 6an – 9n2 1 – (a2 + 6an + 9n2 ) 1 - (a + 3n)2 Factorando la diferencia de cuadrados 1 - (a + 3n)2 = [1 + (a + 3n)] * [1 - (a + 3n)] 1 - (a + 3n)2 = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] 1 – a2 – 9n2 – 6an = [1 + a + 3n] * [1 - a - 3n] Problema 95.20 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 25 – x2 – 16y2 + 8xy Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25 – x2 – 16y2 + 8xy = 25 – x2 + 8xy – 16y2 25 – (x2 - 8xy + 16y2) 25 - (x – 4y)2 Factorando la diferencia de cuadrados 25 - (x – 4y)2 = [5 + (x – 4y)] * [5 - (x – 4y)] 25 - (x – 4y)2 = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y] 25 – x2 – 16y2 + 8xy = [5 + x – 4y] * [5 - x + 4y] Problema 95.21 Algebra Baldor (Pagina 155) Factorar o descomponer en dos factores: 9x2 – a2 – 4m2 + 4am Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 9x2 – a2 – 4m2 + 4am = 9x2 – a2 + 4am – 4m2 9x2 – (a2 - 4am + 4m2 ) 9x2 - (a – 2m)2 Factorando la diferencia de cuadrados 9x2 - (a – 2m)2 = [3x + (a – 2m)] * [3x - (a – 2m)] 9x2 - (a – 2m)2 = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m] 9x2 – a2 – 4m2 + 4am = [3x + a – 2m] * [3x - a + 2m]

Page 34: Problemas Resueltos Factorizacion

34

Ejercicios 95 Algebra Baldor (Pagina 155)

Page 35: Problemas Resueltos Factorizacion

35

CASO V

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Ejemplo: Factorar x4 + x2y2 + y4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2. La raíz cuadrada de y4 es y2. El doble producto de estas raíces es 2x2y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino x2y2 se convierta en 2x2y2 lo cual se consigue sumándole x2y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, x2y2

x4 + x2y2 + y4 + x2y2 - x2y2 x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2

Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2 (x2 + y2)2 - x2y2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 + y2)2 - x2y2 = [(x2 + y2) + xy] * [(x2 + y2) - xy] (x2 + y2)2 - x2y2 = [x2 + y2 + xy] * [x2 + y2 - xy] x4 + x2y2 + y4= [x2 + xy + y2 ] * [x2 – xy + y2] Ejemplo: Descomponer 4a4 + 8a2 b2 + 9b4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2. La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2. El doble producto de estas raíces es 2 * 2a2 * 3b2 =12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 8a2 b2 se convierta en 12 a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a2 b2

4a4 + 8a2 b2 + 9b4

+ 4a2 b2 - 4a2 b2 4a4 + 12a2 b2 + 9b4 - 4a2 b2 = (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 4a2 b2 (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 2ab] * [(2a2 + 3b2) - 2ab] (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 2ab] * [2a2 + 3b2 - 2ab] 4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [2a2 + 2ab + 3b2 ] * [2a2 – 2ab + 3b2 ]

Page 36: Problemas Resueltos Factorizacion

36

Ejemplo: Descomponer a4 - 16a2 b2 + 36b4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2. La raíz cuadrada de 36b4 es 6b2. El doble producto de estas raíces es - 2 * a2 * 6b2 = - 12 a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 16a2 b2 se convierta en - 12 a2 b2 lo cual se consigue sumándole 4a2 b2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, 4a2 b2

a4 -16a2 b2 + 36b4

+ 4a2 b2 - 4a2 b2 a4 + 12a2 b2 + 36b4 - 4a2 b2 = (a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (a4 + 12a2 b2 + 36b4 ) - 4a2 b2 (a2 + 6b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 6b2)2 - 4a2 b2 = [(a2 + 6b2) + 2ab] * [(a2 + 6b2) - 2ab] (2a2 + 3b2)2 - 4a2 b2 = [a2 + 6b2 + 2ab] * [a2 + 6b2 - 2ab] 4a4 + 8a2 b2 + 9b4= [a2 + 2ab + 6b2 ] * [a2 – 2ab + 6b2 ] Ejemplo: Descomponer 49m4 – 151m2 n4 + 81n8

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49m4 es 7m2 La raíz cuadrada de 81n8 es 9n4 El doble producto de estas raíces es - 2 * 7m2 * 9n4 = - 126 m2 n4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 151m2 n4 se convierta en - 126 m2 n4 lo cual se consigue sumándole 25 m2 n4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25 m2 n4

49m4 – 151m2 n4 + 81n8

+ 25 m2 n4 - 25 m2 n4 49m4 – 126m2 n4 + 81n8 - 25 m2 n4 = (49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4 Factorando el trinomio cuadrado perfecto. (49m4 – 126m2 n4 + 81n8 ) - 25 m2 n4 (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 Factorando la diferencia de cuadrados (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [(7m2 – 9n4) + 5mn2] * [(7m2 – 9n4) - 5mn2] (7m2 – 9n4)2 - 25 m2 n4 = [7m2 – 9n4 + 5mn2] * [7m2 – 9n4 - 5mn2] 49m4 – 151m2 n4 + 81n8= [7m2 + 5mn2 – 9n4] * [7m2 - 5mn2 – 9n4 ]

Page 37: Problemas Resueltos Factorizacion

37

Problema 96.1 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a4 + a2 + 1 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 1 es 1 El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 1 = 2 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino a2 se convierta en 2a2 lo cual se consigue sumándole a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + a2 + 1 + a2 - a2 = a4 + 2a2 + 1 - a2 (a4 + 2a2 + 1) - a2 (a2 + 1)2 - a2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 1)2 - a2 = [(a2 + 1) + a ] * [(a2 + 1) - a ] (a2 + 1)2 - a2 = [a2 + 1 + a ] * [a2 + 1 - a ] a4 + a2 + 1 = [a2 + a + 1] * [a2 - a + 1 ] Problema 96.2 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: m4 + m2 n2 + n4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de m4 es m2 La raíz cuadrada de n4 es n2

El doble producto de estas raíces es 2 * (m2) * (n2) = 2 m2 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino m2 n2 se convierta en 2 m2 n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio m4 + m2 n2 + n4 = m4 + m2 n2 + m2 n2 + n4 - m2 n2 (m4 + 2m2 n2 + n4) - m2 n2 (m2 + n2)2 - m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (m2 + n2)2 - m2 n2 = [(m2 + n2) + mn ] * [(m2 + n2) - mn ] (m2 + n2)2 - m2 n2 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ] m4 + m2 n2 + n4 = [m2 + n2 + mn ] * [m2 + n2 - mn ] Problema 96.3 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x8 + 3x4 + 4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x8 es x4 La raíz cuadrada de 4 es 2

El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (2) = 4 x4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

Page 38: Problemas Resueltos Factorizacion

38

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3x4 se convierta en 4 x4 lo cual se consigue sumándole x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - x4

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x8 + 3x4 + 4 = x8 + 3x4 + x4 + 4 - x4 (x8 + 4x4 + 4) - x4 (x4 + 2)2 - x4 Factorando la diferencia de cuadrados (x4 + 2)2 - x4 = [(x4 + 2) + x2 ] * [(x4 + 2) - x2 ] (x4 + 2)2 - x4 = [x4 + 2 + x2 ] * [x4 + 2 - x2 ] x8 + 3x4 + 4 = [x4 + x2 + 2 ] * [x4 - x2 + 2 ] Problema 96.4 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 2a2 + 9 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 9 es 3 El doble producto de estas raíces es 2 * a2 * 3 = 6 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2a2 se convierta en 6a2 lo cual se consigue sumándole 4a2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4a2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 2a2 + 9 + 4a2 - 4a2 = a4 + 6a2 + 9 - 4a2 (a4 + 6a2 + 9) - 4a2 (a2 + 3)2 - 4a2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 3)2 - 4a2 = [(a2 + 3) + 2a ] * [(a2 + 3) - 2a ] (a2 + 3)2 - 4a2 = [a2 + 3 + 2a ] * [a2 + 3 - 2a ] a4 + 2a2 + 9 = [a2 + 2a + 3] * [a2 - 2a + 3 ] Problema 96.5 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: a4 - 3a2 b2 + b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de b4 es b2 El doble producto de estas raíces es - 2 * (a2 )* (b2) = - 2a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 3a2 b2 se convierta en - 2a2 b2 lo cual se consigue sumándole a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 - 3a2 b2 + a2 b2 + b4 - a2 b2 = a4 - 2a2 b2 + b4 - a2 b2 (a4 - 2a2 b2 + b4 ) - a2 b2

Page 39: Problemas Resueltos Factorizacion

39

(a2 -b2)2 - a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 -b2)2 - a2 b2 = [(a2 -b2) + ab ] * [(a2 -b2) - ab ] (a2 -b2)2 - a2 b2 = [a2 -b2 + ab ] * [a2 -b2 - ab ] a4 - 3a2 b2 + b4 = [a2 + ab - b2] * [a2 - ab - b2] Problema 96.6 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x4 - 6x2 + 1 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2 La raíz cuadrada de 1 es 1

El doble producto de estas raíces es - 2 * (x2) * (1) = - 2 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 6x2 se convierta en - 2 x2 lo cual se consigue sumándole 4 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4 x2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x4 - 6x2 + 1 = x4 - 6x2 + 4 x2 + 1 - 4 x2 (x4 - 2x2 + 1) - 4 x2 (x2 - 1)2 - 4 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 - 1)2 - 4 x2 = [(x2 - 1) + 2x ] * [(x2 - 1) - 2x ] (x2 - 1)2 - 4 x2 = [x2 - 1 + 2x ] * [x2 - 1 - 2x ] x4 - 6x2 + 1 = [x2 + 2x - 1] * [x2 - 2x - 1] Problema 96.7 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4a4 + 3a2 b2 + 9b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a4 es 2a2 La raíz cuadrada de 9b4 es 3b2 El doble producto de estas raíces es 2 * (2a2 )* (3b2) = 12a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 3a2 b2 se convierta en 12a2 b2 lo cual se consigue sumándole 9a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 9a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4a4 + 3a2 b2 + 9a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2 = 4a4 +8a2 b2 + 9b4 - 9a2 b2 (4a4 + 12a2 b2 + 9b4 ) - 9a2 b2 (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [(2a2 + 3b2) + 3ab ] * [(2a2 + 3b2) -3ab ] (2a2 + 3b2)2 - 9a2 b2 = [2a2 + 3b2 + 3ab ] * [2a2 + 3b2 - 3ab ]

Page 40: Problemas Resueltos Factorizacion

40

4a4 + 3a2 b2 + 9b4 = [2a2 + 3ab + 3b2] * [2a2 - 3ab + 3b2] Problema 96.8 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4x4 - 29x2 + 25 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x4 es 2x2 La raíz cuadrada de 25 es 5

El doble producto de estas raíces es - 2 * (2x2) * (5) = - 20 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 29x2 se convierta en - 20x2 lo cual se consigue sumándole 9 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 9 x2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4x4 - 29x2 + 25 = 4x4 - 29x2 + 9 x2 + 25 - 9 x2 (4x4 - 20x2 + 25) - 9 x2 (2x2 - 5)2 - 9 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (2x2 - 5)2 - 9 x2 = [(2x2 - 5) + 3x ] * [(2x2 - 5) - 3x ] (2x2 - 1)2 - 25 x2 = [2x2 - 5 + 3x ] * [2x2 - 5 - 3x ] 4x4 - 29x2 + 25 = [2x2+ 3x - 5] * [2x2 - 3x - 5] Problema 96.9 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: x8 + 4x4y4 + 16y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x8 es x4 La raíz cuadrada de 16y8 es 4y4

El doble producto de estas raíces es 2 * (x4) * (4y4) = 8 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 4x4y4 se convierta en 8x4y4 lo cual se consigue sumándole 4x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4x4y4

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x8 + 4x4y4 + 16y8 = x8 + 4x4y4 + 4x4y4 + 16y8 - 4x4y4 (x8 + 8x4y4 + 16y8) - 4x4y4 (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [(x4 + 4y4) + 2x2y2 ] * [(x4 + 4y4) - 2x2y2 ] (x4 + 4y4)2 - 4x4y4 = [x4 + 4y4 + 2x2y2 ] * [x4 + 4y4 - 2x2y2 ] x8 + 4x4y4 + 16y8 = [x4 + 2x2y2 + 4y4] * [x4 - 2x2y2 + 4y4] Problema 96.10 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4

Page 41: Problemas Resueltos Factorizacion

41

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 16m4 es 4m2 La raíz cuadrada de 9n4 es 3n2

El doble producto de estas raíces es - 2 * (4m2) * (3n2) = - 24 m2 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino -25m2 n2 se convierta en -24 m2 n2 lo cual se consigue sumándole m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = 16m4 - 25 m2 n2 + m2 n2 + 9n4 - m2 n2 (16m4 - 24 m2 n2 + 9n4) - m2 n2 (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [(4m2 - 3n2) + mn ] * [(4m2 - 3n2) - mn ] (4m2 - 3n2)2 - m2 n2 = [4m2 - 3n2 + mn ] * [4m2 - 3n2 - mn ] 16m4 - 25 m2 n2 + 9n4 = [4m2 + mn - 3n2] * [4m2 - mn - 3n2] Problema 96.11 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 25a4 + 54a2 b2 + 49b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 25a4 es 5a2 La raíz cuadrada de 49b4 es 7b2 El doble producto de estas raíces es 2 * (5a2 )* (7b2) = 70a2 b2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 54a2 b2 se convierta en 70a2 b2 lo cual se consigue sumándole 16a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25a4 + 54a2 b2 + 16a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2 = 25a4 +70a2 b2 + 49b4 - 16a2 b2 (25a4 + 70a2 b2 + 49b4 ) - 16a2 b2 (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [(5a2 + 7b2) + 4ab ] * [(5a2 + 7b2) - 4ab ] (5a2 + 7b2)2 - 16a2 b2 = [5a2 + 7b2 + 4ab ] * [5a2 + 7b2 - 4ab ] 25a4 + 54a2 b2 + 49b4 = [5a2 + 4ab + 7b2] * [5a2 - 4ab + 7b2] Problema 96.12 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 36x4 es 6x2 La raíz cuadrada de 49y4 es 7y2

El doble producto de estas raíces es - 2 * (6x2) * (7y2) = - 84 x2 y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto.

Page 42: Problemas Resueltos Factorizacion

42

Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 109 x2 y2 se convierta en -84 x2 y2 lo cual se consigue sumándole 25 x2 y2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25x2 y2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = 36x4 - 109 x2y2 + 25 x2 y2 + 49y4 - 25 x2 y2 (36x4 - 84x2y2 + 49y4) - 25 x2 y2 (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 Factorando la diferencia de cuadrados (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [(6x2 - 7y2) + 5xy ] * [(6x2 - 7y2) – 5xy ] (6x2 - 7y2)2 - 25 x2 y2 = [6x2 - 7y2 + 5xy ] * [6x2 - 7y2 – 5xy ] 36x4 - 109 x2y2 + 49y4 = [6x2 + 5xy - 7y2] * [6x2– 5xy - 7y2] Problema 96.13 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 81m8 + 2m4 + 1

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 81m8 es 9m4 La raíz cuadrada de 1 es 1

El doble producto de estas raíces es 2 * (9m4) * (1) = 18 m4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 2m4 se convierta en 18m4 lo cual se consigue sumándole 16m4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16m4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 81m8 + 2m4 + 1 = 81m8 + 16m4 + 2m4 + 1 - 16m4 (81m8 + 18m4 + 1) - 16m4 (9m4 + 1)2 - 16m4 Factorando la diferencia de cuadrados (9m4 + 1)2 - 16m4 = [(9m4 + 1) + 4m2 ] * [(9m4 + 1) - 4m2 ] (9m4 + 1)2 - 16m4 = [9m4 + 1 + 4m2 ] * [9m4 + 1 - 4m2 ] 81m8 + 2m4 + 1 = [9m4 + 4m2 + 1] * [9m4 - 4m2 + 1] Problema 96.14 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: c4 – 45c2 + 100 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de c4 es c2 La raíz cuadrada de 100 es 10 El doble producto de estas raíces es - 2 * (c2) * (10) = - 20 a2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 45c2 se convierta en – 20c2 lo cual se consigue sumándole 25c2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25c2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio c4 – 45c2 + 100 = c4 – 45c2 + 25c2 + 100 - 25c2

Page 43: Problemas Resueltos Factorizacion

43

c4 – 20c2 + 100 - 25c2 (c2 - 10)2 - 25c2 Factorando la diferencia de cuadrados (c2 - 10)2 - 25c2 = [(c2 - 10) + 5c ] * [(c2 - 10) – 5c ] (c2 - 10)2 - 25c2 = [c2 - 10 + 5c ] * [c2 - 10 – 5c ] c4 – 45c2 + 100 = [c2 + 5c - 10] * [c2 – 5c - 10] Problema 96.15 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4a8 es 2a4 La raíz cuadrada de 49b8 es 7b4 El doble producto de estas raíces es - 2 * (2a4 )* (7b4) = - 28 a4 b4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino – 53 a4 b4 se convierta en - 28 a4 b4 lo cual se consigue sumándole 25 a4 b4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 25 a4 b4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = 4a8 – 53 a4 b4 + 25 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4 4a8 – 28 a4 b4 + 49b8 - 25 a4 b4 (4a8 – 28 a4 b4 + 49b8) - 25 a4 b4 (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 Factorando la diferencia de cuadrados (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [(2a4 - 7b4) + 5a2 b2 ] * [(2a4 - 7b4) - 5a2 b2 ] (2a4 - 7b4)2 - 25 a4 b4 = [2a4 - 7b4 + 5a2 b2 ] * [2a4 - 7b4 - 5a2 b2 ] 4a8 – 53 a4 b4 + 49b8 = [2a4 + 5a2 b2 - 7b4] * [2a4 - 5a2 b2 - 7b4] Problema 96.16 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 49 + 76n2 + 64n4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49 es 7 La raíz cuadrada de 64n4 es 8n2 El doble producto de estas raíces es 2 * (7 )* (8n2) = 112 n2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76n2 se convierta en 112n2 lo cual se consigue sumándole 36n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 49 + 76n2 + 64n4 = 49 + 76n2 + 36n2 + 64n4 - 36n2 49 + 112n2 + 64n4 - 36n2 (49 + 112n2 + 64n4) - 36n2 (7 + 8n2)2 - 36n2

Page 44: Problemas Resueltos Factorizacion

44

Factorando la diferencia de cuadrados (7 + 8n2)2 - 36n2 = [(7 + 8n2) + 6n ] * [(7 + 8n2) – 6n ] (7 + 8n2)2 - 36n2 = [7 + 8n2 + 6n ] * [7 + 8n2 – 6n ] 49 + 76n2 + 64n4 = [8n2 + 6n +7] * [ 8n2 – 6n + 7 ] Problema 96.17 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 25x4 - 139x2 y2 + 81y4

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 25x4 es 5x2 La raíz cuadrada de 81y4 es 9y2

El doble producto de estas raíces es - 2 * (5x2) * (9y2) = - 90 x2 y2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 139x2 y2 se convierta en - 90x2y2 lo cual se consigue sumándole 49x2y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 49x2y2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = 25x4 - 139x2 y2 + 49x2y2 + 81y4 - 49x2y2 (25x4 - 90x2 y2 + 81y4) - 49x2y2 (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2

Factorando la diferencia de cuadrados (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [(5x2 – 9y2) + 7xy ] * [(5x2 – 9y2) - 7xy ] (5x2 – 9y2)2 - 49x2y2 = [5x2 – 9y2 + 7xy ] * [5x2 – 9y2 - 7xy ] 25x4 - 139x2 y2 + 81y4 = [5x2 + 7xy – 9y2] * [5x2 - 7xy – 9y2] Problema 96.18 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 49x8 + 76x4y4 + 100y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 49x8 es 7x4 La raíz cuadrada de 100y8 es 10y4

El doble producto de estas raíces es 2 * (7x4) * (10y4) = 140 x4 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 76x4y4 se convierta en 140x4y4 lo cual se consigue sumándole 64x4y4 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 64x4y4

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 49x8 + 76x4y4 + 100y8 = 49x8 + 76x4y4 + 64x4y4 + 100y8 - 64x4y4 (49x8 + 140x4y4 + 100y8) - 64x4y4 (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [(7x4 + 10y4) + 8x2y2 ] * [(7x4 + 10y4) - 8x2y2 ] (7x4 + 10y4)2 - 64x4y4 = [7x4 + 10y4 + 8x2y2 ] * [7x4 + 10y4 - 8x2y2 ] 49x8 + 76x4y4 + 100y8 = [7x4 + 8x2y2 + 10y4] * [7x4 - 8x2y2 + 10y4]

Page 45: Problemas Resueltos Factorizacion

45

CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION Algebra Baldor (Pagina 157)

Page 46: Problemas Resueltos Factorizacion

46

Problema 96.19 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 4 - 108x2 + 121x4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2

El doble producto de estas raíces es - 2 * (2) * (11x2) = - 44 x2 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 108x2 se convierta en -44x2 lo cual se consigue sumándole 64 x2 . Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 64 x2

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4 - 108x2 + 121x4 = 4 - 108x2 + 64 x2 + 121x4 - 64 x2 (4 - 44x2 + 121x4) - 64 x2 (2 - 11x2)2 - 64 x2 Factorando la diferencia de cuadrados (2 - 11x2)2 - 64 x2 = [(2 - 11x2) + 8x ] * [(2 - 11x2) - 8x ] (2 - 11x2)2 - 64 x2 = [2 - 11x2 + 8x ] * [2 - 11x2 - 8x ] 4 - 108x2 + 121x4 = [2 + 8x - 11x2] * [2 - 8x - 11x2] Problema 96.20 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 121x4 - 133x2y4 + 36y8

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2 La raíz cuadrada de 36y8 es 6y4

El doble producto de estas raíces es - 2 * (11x2) * (6y4) = - 132 x2 y4 luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino - 133x2y4 se convierta en - 132x2y4 lo cual se consigue sumándole x2y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - x2y4

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 121x4 - 133x2y4 + 36y8 = 121x4 - 133x2y4 + x2y4 + 36y8 - x2y4 (121x4 - 132x2y4 + 36y8) - x2y4 (11x2 – 6y4)2 - x2y4 Factorando la diferencia de cuadrados (11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [(11x2 – 6y4) + xy2 ] * [(11x2 – 6y4) - xy2 ] (11x2 – 6y4)2 - x2y4 = [11x2 – 6y4 + xy2 ] * [11x2 – 6y4 - xy2 ] 121x4 - 133x2y4 + 36y8 = [11x2 + xy2 – 6y4] * [11x2 - xy2 – 6y4] Problema 96.21 Algebra Baldor (Pagina 157) Factorar o descomponer en dos factores: 144 + 23n6 + 9n12

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 144 es 12

Page 47: Problemas Resueltos Factorizacion

47

La raíz cuadrada de 9n12 es 3n6

El doble producto de estas raíces es 2 * (12) * (3n6) = 72 n6luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo termino 23n6se convierta en 72n6 lo cual se consigue sumándole 49n6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 49n6

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 144 + 23n6 + 9n12 = 144 + 23n6 + 49n6 + 9n12 - 49n6 (144 + 72n6 + 9n12) - 49n6 (12 + 3n6)2 - 49n6 Factorando la diferencia de cuadrados (12 + 3n6)2 - 49n6 = [(12 + 3n6) + 7n3 ] * [(12 + 3n6) – 7n3 ] (12 + 3n6)2 - 49n6 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ] 144 + 23n6 + 9n12 = [12 + 3n6 + 7n3 ] * [12 + 3n6 – 7n3 ]

CASO ESPECIAL FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS

En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay suma de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, puede llevarse al caso anterior y descomponerse. Ejemplo: Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 4b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2

La raíz cuadrada de 4b4 es 2b2 Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (2b2) = 4a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 4a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 4b4 = a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2 a4 + 4a2 b2 + 4b4 - 4a2 b2 (a4 + 4a2 b2 + 4b4) - 4a2 b2 (a2 + 2b2)2 - 4a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados ((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [(a2 + 2b2) + 2a b ] * [(a2 + 2b2) - 2a b] ((a2 + 2b2)2 - 4a2 b2= [a2 + 2b2 + 2a b ] * [a2 + 2b2 - 2a b] a4 + 4b4 = [a2 + 2a b + 2b2] * [a2 - 2a b + 2b2] Problema 97.1 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: x4 + 64y4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de x4 es x2

Page 48: Problemas Resueltos Factorizacion

48

La raíz cuadrada de 64y4 es 8y2

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (x2)* (8y2) = 16x2 y2 Lo cual se consigue sumándole 16x2 y2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16x2 y2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio x4 + 64y4 = x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2 x4 + 16x2 y2+ 64y4 - 16x2 y2 (x4 + 16x2 y2+ 64y4) - 16x2 y2 (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 Factorando la diferencia de cuadrados (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [(x2 + 8y2) + 4xy ] * [(x2 + 8y2) – 4xy] (x2 + 8y2)2 - 16x2 y2 = [x2 + 8y2 + 4xy ] * [x2 + 8y2 – 4xy] x4 + 64y4 = [x2 + 4xy + 8y2] * [x2 – 4xy + 8y2]

FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS

Problema 97.2 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4x8 + y8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4x8 es 2x4 La raíz cuadrada de y8 es y4

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2x4)* (y4) = 4x4 y8 Lo cual se consigue sumándole 4x4 y8. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4x4 y8 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio

Page 49: Problemas Resueltos Factorizacion

49

4x8 + y8 = 4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8 4x8 + 4x4 y8+ y8 - 4x4 y8 (4x8 + 4x4 y8+ y8) - 4x4 y8 (2x4 + y4)2 - 4x4 y8 Factorando la diferencia de cuadrados (2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [(2x4 + y4) + 2x2 y4 ] * [(2x4 + y4) – 2x2 y4] (2x4 + y4)2 - 4x4 y8= [2x4 + y4 + 2x2 y4 ] * [2x4 + y4 – 2x2 y4] 4x8 + y8 = [2x4 + 2x2 y4 + y4] * [2x4 – 2x2 y4+ y4] Problema 97.3 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: a4 + 324b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de a4 es a2 La raíz cuadrada de 324b4 es 18b2

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (a2)* (18b2) = 36a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 36a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio a4 + 324b4 = a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2 a4 + 36a2 b2 + 324b4 - 36a2 b2 (a4 + 36a2 b2 + 324b4) - 36a2 b2 (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [(a2 + 18b2) + 6ab ] * [(a2 + 18b2) – 6ab] (a2 + 18b2)2 - 36a2 b2 = [a2 + 18b2 + 6ab ] * [a2 + 18b2 – 6ab] a4 + 324b4 = [a2 + 6ab + 18b2] * [a2 – 6ab + 18b2] Problema 97.4 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4m4 + 81n4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4m4 es 2m2 La raíz cuadrada de 81n4 es 9n2

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2m2)* (9n2) = 36m2 n2 Lo cual se consigue sumándole 36m2 n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 36m2 n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4m4 + 81n4 = 4m4 + 36 m2 n2 + 81n4 - 36 m2 n2 4m4 + 36 m2 n2+ 81n4 - 36 m2 n2 (4m4 + 36 m2 n2+ 81n4) - 36 m2 n2 (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 Factorando la diferencia de cuadrados (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [(2m2 + 9n2) + 6mn ] * [(2m2 + 9n2) – 6mn] (2m2 + 9n2)2 - 36 m2 n2 = [2m2 + 9n2 + 6mn ] * [2m2 + 9n2 – 6mn]

Page 50: Problemas Resueltos Factorizacion

50

4m4 + 81n4 = [2m2 + 6mn + 9n2] * [2m2 – 6mn + 9n2] Problema 97.5 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 4 + 625x8 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 4 es 2 La raíz cuadrada de 625x8 es 25x4

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (2)* (25x4) = 100x4 Lo cual se consigue sumándole 100x4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 100x4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 4 + 625x8 = 4 + 100x4 + 625x8 - 100x4 4 + 100x4 + 625x8 - 100x4 (4 + 100x4 + 625x8) - 100x4 (2 + 25x4)2 - 100x4 Factorando la diferencia de cuadrados (2 + 25x4)2 - 100x4 = [(2 + 25x4) + 10x2 ] * [(2 + 25x4) – 10x2] (2 + 25x4)2 - 100x4 = [2 + 25x4 + 10x2 ] * [2 + 25x4 – 10x2] 4 + 625x8 = [25x4 + 10x2 + 2 ] * [25x4 – 10x2 + 2] Problema 97.6 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 64 + a12 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 64 es 8 La raíz cuadrada de a12 es a6

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (8)* (a6) = 16 a6 Lo cual se consigue sumándole 16 a6. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16 a6

Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6 64 + a12 = 64 + 16 a6 + a12 - 16 a6 (64 + 16 a6 + a12) - 16 a6 (8 + a6)2 - 16 a6 Factorando la diferencia de cuadrados (8 + a6)2 - 16 a6 = [(8 + a6) + 4a3 ] * [(8 + a6) – 4a3] (8 + a6)2 - 16 a6 = [8 + a6 + 4a3 ] * [8 + a6 – 4a3] 64 + a12 = [a6 + 4a3 + 8 ] * [a6 – 4a3 + 8] Problema 97.7 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 1 + 4n4

Page 51: Problemas Resueltos Factorizacion

51

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 4n4 es 2n2

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (1)* (2n2) = 4n2 Lo cual se consigue sumándole 4n2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 4n2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2 1 + 4n4 = 1 + 4n2 + 4n4 - 4n2 (1 + 4n2 + 4n4 ) - 4n2 (1 + 2n2)2 - 4n2 Factorando la diferencia de cuadrados (1 + 2n2)2 - 4n2 = [(1 + 2n2) + 2n ] * [(1 + 2n2) – 2n] (1 + 2n2)2 - 4n2 = [1 + 2n2 + 2n ] * [1 + 2n2 – 2n] 1 + 4n4 = [2n2 + 2n + 1 ] * [2n2 – 2n + 1]

FACTORAR UNA SUMA DE CUADRADOS Problema 97 Algebra Baldor (Pagina 158)

Problema 97.8 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 64x8 + y8

Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 64x8 es 8x4

La raíz cuadrada de y8 es y4

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (8x4)* (y4) = 16x4y4 Lo cual se consigue sumándole 16x4y4. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 16x4y4 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 64x8 + y8 = 64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4 64x8 +16x4y4 + y8 - 16x4y4 (64x8 +16x4y4 + y8) - 16x4y4 (8x4 + y4)2 - 16x4y4 Factorando la diferencia de cuadrados

Page 52: Problemas Resueltos Factorizacion

52

(8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [(8x4 + y4) + 4x2y2 ] * [(8x4 + y4) – 4x2y2] (8x4 + y4)2 - 16x4y4 = [8x4 + y4 + 4x2y2 ] * [8x4 + y4 – 4x2y2] 64x8 + y8 = [8x4 + 4x2y2 + y4] * [8x4– 4x2y2 + y4] Problema 97.9 Algebra Baldor (Pagina 158) Factorar o descomponer en dos factores: 81a4 + 64b4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 81a4 es 9a2 La raíz cuadrada de 64b4 es 8b2

Para que esta expresión sea un trinomio cuadrado perfecto, hace falta que su segundo termino sea: El doble producto de estas raíces es 2 * (9a2)* (8b2) = 144a2 b2 Lo cual se consigue sumándole 144a2 b2. Pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la misma cantidad que se suma, - 144a2 b2 Ordenando, agrupando y factorando el trinomio 81a4 + 64b4 = 81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2 81a4 + 144a2 b2 + 64b4 - 144a2 b2 (81a4 + 144a2 b2 + 64b4) - 144a2 b2 (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 Factorando la diferencia de cuadrados (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [(9a2 + 8b2) + 12ab ] * [(9a2 + 8b2) – 12ab] (9a2 + 8b2)2 - 144a2 b2 = [9a2 + 8b2 + 12ab ] * [9a2 + 8b2 – 12ab] 81a4 + 64b4 = [9a2 + 12ab + 8b2] * [9a2 – 12ab + 8b2]

CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Trinomios de la forma x2 + bx + c son trinomios como x2 + 5x + 6 a2 – 2a – 15 m2 + 5m – 14 y2 – 8y + 15 que cumplen las condiciones siguientes:

• El coeficiente del primer termino es 1 • El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

• El segundo termino tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es

una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

• El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Page 53: Problemas Resueltos Factorizacion

53

REGLA PRACTICA PARA FACTORAR UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

• El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es “x”, o sea la raiz cuadrada del primer termino del trinomio.

• En el primer factor, después de “x” se escribe el signo del segundo termino del trinomio y en

el segundo factor, después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo termino del trinomio por el signo del tercer termino del trinomio.

• Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos numeros cuya

suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos numeros son los segundos terminos de los binomios.

• Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos numeros cuya

diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos numeros es el segundo término del primer binomio y el menor, el segundo termino del segundo binomio.

Ejemplo Factorar x2 + 5x + 6

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 5x + 6 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5x por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+)

x2 + 5x + 6 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 2 y 3, luego.

x2 + 5x + 6 = (x + 2) * (x + 3)

Ejemplo Factorar x2 - 7x + 12

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 - 7x + 12 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -7x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -7x por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-)

x2 - 7x + 12 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 4 y 3, luego.

x2 - 7x + 12 = (x - 4) * (x - 3)

Page 54: Problemas Resueltos Factorizacion

54

Ejemplo Factorar x2 + 2x - 15

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 2x – 15 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +2x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +2x por el signo de -15 y se tiene que (+) * (-) = (-)

x2 + 2x – 15 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15. Estos numeros son 5 y 3, luego.

x2 - 7x + 12 = (x + 5) * (x - 3)

Ejemplo Factorar x2 - 5x - 14

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 - 5x – 14 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -5x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de -14 y se tiene que (-) * (-) = (+)

x2 - 5x – 14 = (x - ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7 y 2, luego.

x2 - 5x – 14 = (x - 7) * (x + 2)

Ejemplo Factorar a2 – 13a + 40

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 – 13a + 40 = (a ) * (a )

En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -13x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -13a por el signo de +40 y se tiene que (-) * (+) = (-)

a2 – 13a + 40= (a - ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 13 y cuyo producto sea 40. Estos numeros son 8 y 5, luego.

a2 – 13a + 40 = (a - 8) * (a - 5)

Page 55: Problemas Resueltos Factorizacion

55

Ejemplo Factorar m2 – 11m - 12

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea “m”.

m2 – 11m – 12 = (m ) * (m )

En el primer binomio después de “m” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -11m tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -11m por el signo de -12 y se tiene que (-) * (-) = (+)

m2 – 11m – 12 = (m - ) * (m + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 11 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 12 y , luego.

m2 – 11m – 12 = (m - 12) * (m + 1)

Ejemplo Factorar n2 + 28n - 29

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”. n2 + 28n – 29 = (n ) * (n )

En el primer binomio después de “n” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +28n tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +28n por el signo de -29 y se tiene que (+) * (-) = (-)

n2 + 28n – 29 = (n + ) * (n - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 29. Estos numeros son 29 y 1, luego.

n2 + 28n – 29 = (n + 29) * (n - 1)

Ejemplo Factorar x2 + 6x - 216

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”. x2 + 6x – 216 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +6x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +6x por el signo de -216 y se tiene que (+) * (-) = (-)

x2 + 6x – 216 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino.

Page 56: Problemas Resueltos Factorizacion

56

216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 Estos numeros son 18 y 12 y , luego.

x2 + 6x – 216 = (x + 18 ) * (x - 12 )

Ejemplo Factorar a2 – 66a + 1080

El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”. a2 – 66a + 1080 = (a ) * (a )

En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -66a tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -66a por el signo de +1080 y se tiene que (-) * (+) = (-)

a2 – 66a + 1080 = (a - ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 66 y cuyo producto sea 1080. Estos numeros son 8 y 5, luego. Para hallarlos, descomponemos en sus factores primos el tercer termino. 1080 2 540 2 270 2 135 3 45 3 15 3 5 5 1 Estos numeros son 36 y 30 , luego.

a2 – 66a + 1080 = (a - 36) * (a - 30)

Problema 98.1 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 7x + 10 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 + 7x + 10 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +7x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +7x por el signo de +10 y se tiene que (+) * (+) = (+)

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros que buscamos. 2*2*2 = 8 3*3*3 =27 27 – 8 = 19 no sirve, se necesita que la diferencia sea 6 2*2*2*3 = 24 3*3 = 9 24 – 9 = 15 no sirve 2*2*3 = 12 3*3*2 = 18 18 - 12 = 6 y 18 * 12 = 216

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos numeros que buscamos. 2*2*2*3 = 24 3*3*5 = 45 24 + 45 = 69 no sirve, se necesita que la suma sea 66 2*2*3 *3 = 36 2*3*5 = 30 36 +30 = 66 y 36 * 30 = 1080

Page 57: Problemas Resueltos Factorizacion

57

x2 + 7x + 10 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 10. Estos numeros son 5 y 2, luego.

x2 + 7x + 10 = (x + 5) * (x + 2)

CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c

Page 58: Problemas Resueltos Factorizacion

58

Problema 98.2 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 – 5x + 6 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -5x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de +6 y se tiene que (-) * (+) = (-)

x2 – 5x + 6 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 3 y 2, luego.

x2 – 5x + 6 = (x - 3) * (x - 2)

Problema 98.3 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

x2 + 3x - 10 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 + 3x – 10 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +3x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +3x por el signo de -10 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + 3x – 10 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 3 y cuyo producto sea 10. Estos numeros son 5 y 2 , luego.

x2 + 3x – 10 = (x + 5) * (x - 2) Problema 98.4 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

x2 + x - 2 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 + x – 2 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +x por el signo de -2 y se tiene que (+) * (-) = (-) x2 + x – 2 = (x + ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 2. Estos numeros son 2 y 1 , luego.

Page 59: Problemas Resueltos Factorizacion

59

x2 + x – 2 = (x + 2) * (x - 1) Problema 98.5 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 4a + 3 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.

a2 + 4a + 3 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +4a tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +4a por el signo de +3 y se tiene que (+) * (+) = (+) a2 + 4a + 3 = (a + ) * (a + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 4 y cuyo producto sea 3. Estos numeros son 3 y 1, luego.

a2 + 4a + 3 = (a + 3) * (a + 1) Problema 98.6 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

m2 + 5m - 14 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea “m”.

m2 + 5m – 14 = (m ) * (m ) En el primer binomio después de “m” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5m tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5m por el signo de -14 y se tiene que (+) * (-) = (-) m2 + 5m – 14 = (m + ) * (m - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 14. Estos numeros son 7y 2, luego.

m2 + 5m – 14 = (m + 7) * (m – 2) Problema 98.7Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: y2 – 9y + 20 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.

y2 – 9y + 20 = (y ) * (y ) En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -9y tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “y” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -9y por el signo de +20 y se tiene que (-) * (+) = (-)

y2 – 9y + 20 = (y - ) * (y - )

Page 60: Problemas Resueltos Factorizacion

60

Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 20. Estos numeros son 5 y 4, luego.

y2 – 9y + 20 = (y - 5) * (y - 4)

Problema 98.8Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

x2 – 6 – x = x2 – x - 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 – x – 6 = (x ) * (x )

En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -x por el signo de - 6 y se tiene que (-) * (-) = (+)

x2 – x – 6 = (x - ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 3 y 2 , luego.

x2 – x – 6 = (x - 3) * (x + 2)

Problema 98.9 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 9x + 8 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 – 9x + 8 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -9x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -9x por el signo de +8 y se tiene que (-) * (+) = (-)

x2 – 9x + 8 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 9 y cuyo producto sea 8. Estos numeros son 8 y 1, luego.

x2 – 9x + 8 = (x - 8) * (x - 1)

Problema 98.10 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

c2 + 5c - 24 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de c2 o sea “c”.

c2 + 5c – 24 = (c ) * (c ) En el primer binomio después de “c” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +5c tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5c por el signo de -24 y se tiene que (+) * (-) = (-)

Page 61: Problemas Resueltos Factorizacion

61

c2 + 5c – 24 = (c + ) * (c - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 24. Estos numeros son 8 y 3, luego.

c2 + 5c – 24 = (c + 8) * (c – 3) Problema 98.11 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 – 3x + 2 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 – 3x + 2 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -3x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -3x por el signo de +2 y se tiene que (-) * (+) = (-)

x2 – 3x + 2 = (x - ) * (x - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 3 y cuyo producto sea 2. Estos numeros son 2 y 1, luego.

x2 – 3x + 2 = (x - 2) * (x - 1)

Problema 98.12 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: a2 + 7a + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.

a2 + 7a + 6 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +7a tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “a” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +7a por el signo de +6 y se tiene que (+) * (+) = (+) a2 + 7a + 6 = (a + ) * (a + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 6. Estos numeros son 6 y 1, luego.

a2 + 7a + 6 = (a + 6) * (a + 1) Problema 98.13 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: y2 – 4y + 3 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.

y2 – 4y + 3 = (y ) * (y ) En el primer binomio después de “y” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -4y tiene signo (-).

Page 62: Problemas Resueltos Factorizacion

62

En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -4y por el signo de +3 y se tiene que (-) * (+) = (-)

y2 – 4y + 3 = (y - ) * (y - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 4 y cuyo producto sea 3. Estos numeros son 3 y 1, luego.

y2 – 4y + 3 = (y - 3) * (y - 1)

Problema 98.14 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: 12 – 8n + n2 = n2 – 8n + 12 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”.

n2 – 8n + 12 = (n ) * (n ) En el primer binomio después de “n” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -8n tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -8n por el signo de +12 y se tiene que (-) * (+) = (-)

n2 – 8n + 12 = (n - ) * (n - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 8 y cuyo producto sea 12. Estos numeros son 6 y 2, luego.

n2 – 8n + 12 = (n - 6) * (n - 2)

Problema 98.15 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: x2 + 10x + 21 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 + 10x + 21 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +10x tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +10x por el signo de +21 y se tiene que (+) * (+) = (+) x2 + 10x + 21 = (x + ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 21. Estos numeros son 7 y 3, luego.

x2 + 10x + 21 = (x + 7) * (x + 3) Problema 98.16 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

a2 + 7a - 18 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.

a2 + 7a – 18 = (a ) * (a )

Page 63: Problemas Resueltos Factorizacion

63

En el primer binomio después de “a” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +7a tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +5c por el signo de -18 y se tiene que (+) * (-) = (-) a2 + 7a – 18 = (a + ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. Estos numeros son 9 y 2, luego.

a2 + 7a – 18 = (a + 9) * (a – 2) Problema 98.17 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: m2 – 12m + 11 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de m2 o sea “m”.

m2 – 12m + 11 = (m ) * (m ) En el primer binomio después de “m” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -12m tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -12m por el signo de +11 y se tiene que (-) * (+) = (-)

m2 – 12m + 11 = (m - ) * (m - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 12 y cuyo producto sea 11. Estos numeros son 11 y 1, luego.

m2 – 12m + 11 = (m - 11) * (m - 1)

Problema 98.18 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

x2 – 7x - 30 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raiz cuadrada de x2 o sea “x”.

x2 – 7x – 30 = (x ) * (x ) En el primer binomio después de “x” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -7x tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “x” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -7x por el signo de - 30 y se tiene que (-) * (-) = (+) x2 – 7x – 30 = (x - ) * (x + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 30. Estos numeros son 10 y 3, luego.

x2 – 7x – 30 = (x - 10) * (x + 3) Problema 98.19 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

n2 + 6n - 16 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de n2 o sea “n”.

Page 64: Problemas Resueltos Factorizacion

64

n2 + 6n – 16 = (n ) * (n ) En el primer binomio después de “n” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +6n tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “n” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +6n por el signo de -16 y se tiene que (+) * (-) = (-) n2 + 6n – 16 = (n + ) * (n - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 16. Estos numeros son 8 y 2, luego.

n2 + 6n – 16 = (n + 8) * (n – 2) Problema 98.20 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores: 20 + a2 – 21a = a2 – 21a + 20 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de a2 o sea “a”.

a2 – 21a + 20 = (a ) * (a ) En el primer binomio después de “a” se pone signo (-) por que el segundo termino del trinomio -21a tiene signo (-). En el segundo binomio, después después de “m” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -21a por el signo de +20 y se tiene que (-) * (+) = (-)

a2 – 21a + 20 = (a - ) * (a - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos numeros que cuya suma sea 21 y cuyo producto sea 20. Estos numeros son 20 y 1, luego.

a2 – 21a + 20 = (a - 20) * (a - 1)

Problema 98.21 Algebra Baldor (Pagina 161) Factorar o descomponer en dos factores:

y2 + y - 30 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raiz cuadrada de y2 o sea “y”.

y2 + y – 30 = (y ) * (y ) En el primer binomio después de “y” se pone signo (+) por que el segundo termino del trinomio +y tiene signo (+). En el segundo binomio, después después de “y” se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de +y por el signo de -30 y se tiene que (+) * (-) = (-) y2 + y – 30 = (y + ) * (y - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 30. Estos numeros son 6 y 5, luego.

y2 + y – 30 = (y + 6) * (y – 5)

Page 65: Problemas Resueltos Factorizacion

65

CASOS ESPECIALES El procedimiento anterior es aplicable a la factorizacion de trinomios que siendo de la forma x2 + bx + c difieren algo de los estudiados anteriormente. Ejemplos Factorar x4 – 5x2 – 50 El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de x4 o sea x2 x4 – 5x2 – 50 = (x2 - ) * (x2 + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 5 y cuyo producto sea 50. Estos numeros son 10 y 5, luego. x4 – 5x2 – 50 = (x2 - 10 ) * (x2 + 5 ) Ejemplos Factorar x6 + 7x3 – 44 El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de x6 o sea x3 x6 + 7x3 – 44 = (x3 + ) * (x3 - ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 44. Estos numeros son 11 y 4, luego. x6 + 7x3 – 44 = (x3 + 11 ) * (x3 - 4) Ejemplos Factorar a2b2 – ab – 42 El primer termino de cada factor binomio sera la raiz cuadrada de a2b o sea ab a2b2 – ab – 42 = (ab - ) * (ab + ) Ahora, como en estos binomios tenemos signos distinos buscamos dos numeros cuya diferencia sea 1 y cuyo producto sea 42. Estos numeros son 7 y 6, luego. a2b2 – ab – 42 = (ab - 7 ) * (ab + 6 )