1

Solucionario de la 2da practica calificada

1.- Determine la solucin del problema siguiente

2 21 4 4 2 1 2 4 4 , (0) 0, (0) 1t t x t x x t x x

Por Euler

( )( ) ( )

d d aD ax b D aD

d z d x ax b

2 2 2 2 2

2 2( ) ( ) ( )

( ) ( )

a aD D D D D ax b D a D D a

ax b ax b

Para: a=-2 y b=1

1 2 zt e 2 2(1 2 ) 2(1 2 ) 4 4t x t x x t

22 21(( 2) ( 2) 2( 2 ) 4) 4( )

2

eD D D x

2 2(4 ( 2) 4 4) (1 )D D D x e 2 2

2 2 2 2 (1 )4( 1) (1 ) ( 1)4

eD x e D x

2( ) 1 0 1P r r r

11 1 2x c e c e 2 21 1 2 1

4( 1)( 1) 4 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)

z z z z

p

e e e ex

D D D D D D D D

21 1( 1 ( ) )

4 3 2

zz

p

ex z e

2

1 2

1 1( 1 ( ) )

4 3 2

zz z zex c e c e z e

Por condiciones iniciales:

x(0)=1 y x(0)=1

z = ln (at+b)

z = lnb = ln(1) = 0

Reemplazando en x

1

2

23

48

25

48

C

C

;( ) ( )

d dD D

d x d z

ln( )

zat b e

z at b

2

2.- En el sistema adjunto determine:

24 2 2n

n nY Y

2z n 2

22 4 2z

zY Y

Homognea:

2 2 2( ) 4 2 0 ,2 2 2

iP r r r p

22( ) ( cos sin )2 2 2

zY A z B z

Particular: 2

( )(40 2) 2 ( )z z

zY

( ) 2z

zY A

2

1( ) ( ) :

1 ln 2en A

( ) 2

2

1 ln 2p

z

zY

2

2

2 2( ) ( cos sin ) , 2

2 2 2 1 ln 2

z

H PY Y Y Y A z B z z n

3.- Determine la solucin de la ecuacin en diferencias:

2 2 / 2(( 1) 1) 2 cos2

n

nE a

Homognea 4 2 3( ) 4 4 0P r r r r

1,2 3,40; 2r r 0 0 2 2

1 2 3 4( )n n n n

n Ha c e c e c e c e

Particular

4 2 3 / 2

4 2 3( 4 4 ) 2 cos 4 4 02

n

n n n nD D D a a a a

/ 2

, 2 ( cos sin ) ( )2 2

n

n p

n na k A B

( 4) / 2 ( 3) / 2 ( 2) / 2 2( 4) ( 4) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2)

2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 4 2 ( cos sin ) 2 cos2 2 2 2 2 2 2

n

n n nn n n n n n nk A B A B A B

4( (2cos 2 sin ) (cos 2sin 2) cos2 2 2 2 2

n n n n nk A B

8 2 2 1A B

4 2 2 0A B

2 2 1 2 4,

31 62 62 31A B

3

4.-Determinar el desplazamiento x(t), de una bloque de ms de m, de

constante 2m y constante de amortiguacin 3m, con una fuerza externa

m*sen2t condiciones iniciales nulas:

extF kx cx mx

sin 2 2 3m t mx mx mx

m m m m

2 2w 3

sin 2 2 3t x x x

3 2 0x x x 3( ) 3 2 0P r r r

2, 1r 2

1 2

t t

Hx c e c e

1 1sin 2 ( (sin 2 )

( 2)( 1) ( 2)

t t

px t e e t dtD D D

(cos 2 sin 2 )3

20p

t tx

2

1 2

(cos2 sin 2 )3

20

t t

H p H

t tx x x x c e c e