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PROBLEMAS RESUELTOS ROTACION DE UN OBJETO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

CAPITULO 10 FISICA TOMO 1

Cuarta, quinta y sexta edición

Raymond A. Serway

10.1 Velocidad angular y aceleración angular

10.2 Cinemática rotacional: Movimiento rotacional con aceleración angular constante

10.3 Relaciones entre cantidades angulares y lineales 10.4 Energía rotacional 10.5 Calculo de los momentos de inercia 10.6 Momento de torsión 10.7 Relación entre momento de torsión y aceleración angular 10.8 Trabajo, potencia y energía en el movimiento de rotación.

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico

Bucaramanga – Colombia 2010

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: quintere@hotmail.comquintere@gmail.com

quintere2006@yahoo.com

Ejemplo 10.1 Rueda giratoria Serway Edición 4 pag. 282 Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3,5 rad/seg2 si La velocidad angular de la rueda es de 2 rad/seg. En t0 = 0 seg. a) Que ángulo barre la rueda durante 2 seg.

2 t* 21 t * 0 W αθ +=

( )2seg 2 * 2seg

rad 3,5 21 seg 2 *

segrad 2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

2seg 4 * 2seg

rad 3,5 21 rad 4 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=θ

Θ = 4 rad + 7 rad Θ = 11 rad 3600 2π rad X 11 rad

6,28313960

2

0360 * rad 11 x ==π

X = 630,250

3600 1 rev 630,250 x rev

rev 1,75 0360

rev 1 * 0630,25 x ==

X = 1,75 rev. Θ = 11 rad = 630,250 = 1,75 rev. b) Cual es la velocidad angular en t = 2 seg. W = W0 + α * t

seg 2 * 2seg

rad 3,5 segrad 2 W ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

segrad 7

segrad 2 W ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

W = 9 rad/seg Podríamos haber obtenido este resultado con la Ecuación 10.8 y los resultados del inciso a). Inténtalo ¡ W2 = W2

0 + 2 α * θ

rad 11 *2seg

rad 3,5 2 2

segrad 2 2W ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

W2 = 4 rad/seg2 + 77 rad/seg2

W2 = 81 rad2/seg2

W = 9 rad/seg Ejercicio Encuentre el ángulo que barre la rueda entre t = 2 seg y t = 3 seg. Se halla θ1 para t = 2 seg. (Ver grafica)

2

2 t* 21 t * 0 w 1 αθ +=

( )2seg 4 * 2seg

rad 3,5 21 seg 2 *

segrad 2 1 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=θ

θ1 = 4 rad + 7 rad θ1 = 11 rad. Se halla θ2 para t = 3 seg. (Ver grafica)

2 t* 21 t * 0 w 2 αθ +=

( )2seg 3 * 2seg

rad 3,5 21 seg 3 *

segrad 2 2 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=θ

θ2 = 6 rad + 15,75 rad θ2 = 21,75 rad. En la grafica se observa que θ2 - θ1 es el ángulo que barre la rueda entre t = 2 seg y t = 3 seg. θ2 - θ1 = 21,75 rad - 11 rad θ2 - θ1 = 10,75 rad Ejemplo 10.2 Reproductor de discos compactos CD Serway Edición 6 pag. 299 En un reproductor típico de CD, la rapidez constante de la superficie en el punto del sistema láser y lentes es 1,3 m/seg.

A) Encuentre la rapidez angular del disco en revoluciones por minuto (rpm) cuando la información esta siendo leída desde la primera la primera pista mas interior (r1 = 23 mm) y la pista final mas exterior (r2 = 58 mm)

r1 = 23 mm = 0,023 m v = w1 * r1

segrad 56,52

m 0,023segm 1,3

1r

v 1W ===

minrad 3391,3

min 1seg 60 *

segrad 56,52 1W ==

minrev 540

rad 2rev 1 *

minrad 3391,3 1W ==

π

minrev 540 1W =

para la pista exterior r2 = 58 mm = 0,058 m

3

t = 3 seg

θ2

θ1 t = 0 seg t = 2 seg

v = w2 * r2

segrad 22,413

m 0,058segm 1,3

2r

v 2W ===

minrad 1344,82

min 1seg 60 *

segrad 22,413 2W ==

minrev 214,14

rad 2rev 1 *

minrad 1344,82 2W ==

π

minrev 214,14 2W =

El aparato ajusta la rapidez angular W del disco dentro de este margen, de modo que la información se mueve frente al lente objetivo a un ritmo constante. B) El tiempo máximo de reproducción de un CD standard de música es 74 minutos 33 segundos. Cuantas revoluciones hace el disco durante ese tiempo?

seg 4473 seg 33 seg 4440 min 1seg 60 *min 74 t =+==

min 74,55 seg 60

min 1 * seg 4473 t ==

( ) t2 W 1W 21 +=θ

min 74,55 * minrev 214,14

minrev 540

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=θ

min 74,55 * minrev 754,41

21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=θ

θ = 28120,63 rev.

C) Cual es la longitud total de la pista que se mueve frente a la lente objetivo durante este tiempo? Debido a que conocemos la velocidad lineal (que es constante = 1,3 m/seg) y el tiempo = 4473 seg. X = v * t X = 1,3 m/seg * 4473 seg X = 5814,9 metros D) Cual es la aceleración angular del CD durante el intervalo de 4473 seg. Suponga que α es constante. W2 = W1 + α * t W2 - W1 = α * t

2min

rev 4,37 - min 74,55minrev 325,86 -

min 74,55

minrev 540 -

minrev 214,14

t

1 W- 2W ====δ

α = - 4,37 rev/min2

Ejemplo conceptual 10.2 Rueda giratoria Serway Edición 4 pag. 284

4

Cuando una rueda de radio R gira alrededor de un eje fijo como en la figura 10.3, todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad angular? ¿todos tienen la misma velocidad lineal? Si la velocidad lineal es constante e igual a W describa las velocidades lineales y las aceleraciones lineales de los puntos localizados en r = 0, r = R/2 y r = R, donde los puntos se miden desde el centro de la rueda.

Si todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad angular. Esta es la razón por la que usamos cantidades angulares para describir el movimiento rotacional. No todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad lineal. El punto r = 0 tiene velocidad lineal cero y aceleración lineal cero. Un punto en r = R/2 tiene una velocidad lineal

2R * W v = y una aceleración lineal igual a la aceleración

centrípeta ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛===4

2R 2W*R2

2

2RW *

R2

R

2 v2

2R

2v ca

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2R 2W ca . La aceleración tangencial es cero en todos los puntos puesto que W es constante.

Un punto sobre la orilla de la rueda en r = R tiene velocidad lineal R * W v = y una aceleración lineal igual a la aceleración centrípeta ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= R 2W ca

Ejemplo 10.3 una tornamesa giratoria Serway Edición 4 pag. 284 La tornamesa de un tocadiscos gira inicialmente a razón de 33 rev/min y tarda 2 seg. En detenerse. A) Cual es la aceleración angular de la tornamesa, suponiendo que la aceleración es uniforme?

segrad

60 * 2 * 30

seg 60min 1 *

rev 1rad 2 *

minrev 33 0W ππ

==

segrad 3,455

60 * 2 * 33 0W ==

segradπ

Wf = W0 + α * t Pero WF = 0 a los 2 seg, cuando el tocadisco se detiene. W0 = - α * t

5

2seg

rad 0,172 - seg 20segrad 3,455

- t0W - ===δ el signo negativo indica que la w esta disminuyendo.

b) Cuantas revoluciones efectúa la tornamesa antes de detenerse?

2 t* 21 t * 0 W αθ +=

( )2seg 20 * 2seg

rad 0,172- 21 seg 20 *

segrad 3,455 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

2seg 400 * 2seg

rad 0,172 21 - rad 69,1 ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=θ

θ = 69,1 rad – 34,4 rad θ = 34,7 rad

rev 5,52 rad 2

rev 1 * rad 34,7 ==π

θ

c) Si el radio de la tornamesa es de 14 cm, cuales son las magnitudes de las componentes radial y tangencial de la aceleración lineal de un punto sobre la orilla en t = 0 at = r α (aceleración tangencial) a = r (W0)2 aceleración radial

2seg

cm 2,408 - )2seg

rad (-0,172 * cm 14 *r === δta

2seg

cm 167,11 2seg

2rad 11,93 * cm 14 2)segrad (3,455 * cm 14 2 W*r ====ra

ar = 167,11 cm/seg2

Ejercicio ¿Cuál es la velocidad lineal inicial de un punto sobre la orilla de la tornamesa?

R * W v =

segcm 48,37 cm 14 *

segrad 3,455 R * W v ===

v = 48,37 cm/seg

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