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PROBLEMAS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

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  • 1. E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y PuertosBarcelonaProblemas deResistencia de Materiales yEstructurasJuan Miquel CanetJuan Miquel CanetProblemas de EstructurasVersin 12.01

2. Captulo 1:Anlisis de tensiones 3. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 2Problema 1.1. Dado el tensor de tensiones (las unidades son MPa),120 7575 300Tdeterminar los planos en los cuales las tensiones tangenciales son nulas (planos principales).Hallar asimismo el valor de las tensiones normales en dichos planos (tensiones principales).Fig. 1 Tensor de tensionesSolucinObsrvese la figura 2 en la cual un rectngulo elemental de dimensiones dz1 , dz2 se corta por unplano AB de cosenos directores N=[l,m]t siendo l = cos , m = sin . Haciendo el equilibrio defuerzas en direccin N y en la direccin normal a N, se tiene respectivamente .AB OB OB OA OAcos sin cos sin 0 AB OB OB OA OA1 1 2 sin cos sin cos 01 2es decir, cos sin sin 2 sin 2 cos 22 122221 1 Haciendo en las anteriores ecuaciones 0 se obtiene el valor del ngulo p correspondienteal plano principal,0,375tan 2 2 2 75120 300 1 2 p 4. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 3Fig. 2. Tensiones en un plano cualquiera0,375tan 2 2 2 75120 300 1 2 p9,83 1 p 80,17 2 p Por lo que respecta a las tensiones, sustituyendo en el valor de se obtiene1 MPa I p ( ) ( 9,83) 120cos2 ( 9,83) 300sin 2 ( 9,83) 75sin( 2 9,83) 132,992 En la figura 3 pueden verse representados los valores anteriores.MPa II p ( ) (80,17) 120cos2 (80,17) 300sin2 (80,17) 75sin(2 80,17) 312,99Fig. 3 Planos y tensiones principales 5. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 4Problema 1.2. En el estado de tensin plana representados en la figura 1 determinar:a) Tensiones que actan sobre el plano ABb) Direcciones principalesc) Tensiones principalesFig. 1 Estado de tensin planoSolucina) Las tensiones y sobre el plano AB valdrn, (ver problema 1.1) 40cos2 30 10sin2 30 15sin(230) 19,51MPa10 40 sin(2 30) 15cos(2 30) 20,49MPa2 Sobre el plano CD: 40cos2 120 10sin2 120 15sin(2120) 30,49MPa10 40 sin(2 120) 15cos(2 120) 20,49MPa2 b) A partir de los resultados obtenidos en el problema 1.1tan 2 2 15 1 p 40 10 6. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 522,5 1 p 67,5 2 p c) Se obtendrn las tensiones principales40 10 40 102MPa I 15 46,21222 40 10 40 102MPa II 15 3,79222 En la figura 2 pueden verse representados los planos y las tensiones principales.Fig. 2 Tensiones y planos principales correspondientes al problema resuelto 1.2 7. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 6Problema 1.3 Con respecto a la pieza en tensin plana que se indica en la figura.1,determinar el tensor de tensiones.Fig.1 Pieza sometida a tensin plana correspondiente al problema resuelto 1.3SolucinPartiendo de los resultados obtenidos en el problema 1.150 cos2 70 20sin2 70 sin(2 70)1 10 20 1 sin(2 70) cos(2 70) 2Resolviendo el sistema anterior,121,51MPa 1 72,43MPaEl tensor de tensiones se escribir por tanto121,51 72,43 72,43 20 8. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 7 Problema 1.4 El elemento plano de la figura 1 est sometido a las tensiones que seindican. Hallar:-Tensiones sobre un plano cuyo vector normal forma 70 con el eje z1.-Tensiones principalesFig.1 Tensor de tensionesSolucinSe desea obtener la tensin normal y la tensin tangencial en el plano AB representadoen la figura 2Fig 2 Tensiones en un plano inclinado ABPor equilibrio de la laja cos sin2 sin 2 2 1 2 70cos2 70 32sin2 70 24sin(2 70) 21,02MPa1 2 sin 2 cos 22 9. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 832 70 sin(2 70) 24cos(2 70) 6,17MPa 2 Anlogamente, los planos principales se obtendrn a partir de1,262 tan 2 2 2470 32 1 2 pEs decir,25,82 1 115,82 2 y las tensiones principalesMPa I 70cos2 (25,82) 32sin2 (25,82) 24sin(225,82) 81,61MPa II 70cos2 (115,82) 32sin2 (115,82) 24sin(2115,82) 20,39En la figura 3 pueden verse representadas las tensiones principalesFig. 3 Planos y tensiones principales 10. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 9 Problema 1.5 En un determinado punto en el cual el estado de tensiones es plano, losplanos principales forman un ngulo de 76,35 y 166,35 (medidos como el ngulo que forma lanormal a dichos planos con el eje z1), valiendo las tensiones principales 50,89 MPa y -18,89MPa. Determinar el tensor de tensiones.SolucinEl estado de tensiones es el representado en la figura 1Fig.1 Planos y tensiones principalesEl tensor de tensiones T en los ejes principales 1 z y 2 z se escribe50,89 0 0 18,89El tensor puede obtenerse supuesto conocido el de tensiones (referido a los ejes z1 y z2)mediante un cambio de base= TSiendo la matriz de cambio de base sin 76,35 cos76,35 = cos76,35 sin 76,35por lo que= T es decir : 11. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 10MPa cos 76,35 sin 76,35 50,89 0 cos 76,35 sin 76,35 15 1616 47sin 76,35 cos 76,350 18,89sin 76,35 cos 76,35En la figura 2 puede verse representado el tensor de tensionesFig.2 Tensor de tensiones 12. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 11Problema 1.6 En un determinado estado plano de tensiones, se sabe que 40MPa 1 y25MPa 2 . Sabiendo que en un plano cuya normal forma 30 con el eje z1 la tensintangencial vale -1,50 MPa, determinar el valor de la tensin tangencial del tensor detensiones.SolucinEl estado de tensiones puede verse representado en la figura 1Fig. 1 Estado de tensionesPor equilibrio de la laja se sabe que2 1 sin 2 cos 22 y sustituyendo25 40 -1,5 = sin2 30 cos2 302Es decir: 10MPa 13. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 12 Problema 1.7 En el problema 1.4 determinar el valor de la tensin tangencial mxima,plano en el que se produce y valor de la tensin normal en este plano.SolucinEn un plano cualquiera, las tensiones valen: cos sin2 sin 2 2 1 22 1 sin 2 cos22 y derivando el valor de ' con respecto a e igualando a cero,0 2 1 2cos 2 2 sin 22 ddEs decir:0,79132 70 tan 2 2 1 2 242 19,18 1 109,18 2 32 70sin2 19,18 24cos2 19,18 30,61MPa 1 2 32 70sin2 109,18 24cos2 109,18 30,61MPa2 2 Fig. 1 Tensiones en los planos de tensin tangencial mximay las tensiones normales 14. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 13 70cos2 19,18 32sin2 19,18 24sin2 19,18 51MPa1 70cos2 109,18 32sin2 109,18 24sin2 109,18 51MPa2 En la figura 1 pueden verse representadas las anteriores tensiones en los planos dados por 1 y2 15. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 14Problema 1.8 En la laja de la figura 1 se conocen las tensiones que all se indican,determinar el tensor de tensiones as como las tensiones , y .Fig.1 Tensiones en una lajaSolucinDel tensor de tensiones se conocen dos componentes20MPa 2 y 25MPaPor otro lado, la normal al plano AC tiene por componentesl cos 225 22m sin 225 22y como la tensin normal al plano AC vale 50 MPa , puede escribirse50 cos 225 sin2 225 sin2 225221 y sustituyendo, se obtiene70MPa 1 Obtenido el tensor de tensiones, los valores , y se obtienen simplemente porequilibrio 24,15MPa ; 51,47MPa ; 45MPa 16. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 15Problema 1.9 De un determinado estado tensional plano se sabe que: Para un plano cuya normal forma un ngulo de 30 con z1 la tensin normal vale 94,2MPa Para un plano cuya normal forma un ngulo de 45 con z1 la tensin normal vale 75MPa Para un plano cuya normal forma un ngulo de 60 co z1 la tensin normal vale 69,2MPaHallar el tensor de tensionesSolucinLos planos que se indican pueden verse representados en las figuras 1 a) b) y c)Fig. 1 Tensiones en diferentes planosSi se conocen los valores del tensor de tensiones 1 , 2 y las tensiones en un planocualquiera valen (ver ejercicios anteriores) cos sin2 sin 2 2 1 2y sustituyendo para 30 , 45 , y 6094,2 cos 30 sin2 30 sin 60221 75 cos 45 sin2 45 sin 90221 69,2 cos 60 sin2 60 sin120221 con lo que150MPa 1 , 100MPa 2 , 50MPa 17. Captulo 2:Leyes de esfuerzos 18. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 17Problema 2.1 Determinar las reacciones y leyes de esfuerzos de la mnsula de la figura 1Fig. 1 Pieza recta correspondiente al problema 2.1SolucinLas reacciones valdrn V F B ; M aF B .Para determinar las leyes de esfuerzos, se corta idealmente la estructura por un punto arbitrarioC de abcisa x1 (Fig. 2). La fuerza resultante ser vertical e igual al cortante, mientras que elmomento de las fuerzas situadas a la derecha de C valdr ( ) 1 M F a x f . Las leyes deesfuerzos sern por tantoQ F( ) 1 M F a x f Dichas leyes pueden verse representadas en las figuras 3.a) y 3.b), respectivamente.Fig. 2 Corte por C en la estructura de la figura.1Fig. 3 Leyes de esfuerzos. a) Esfuerzos cortantes b) Momentos flectores 19. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 18Problema 2.2 Determinar las leyes de esfuerzos en la pieza de la figura 1Fig .1 Viga biapoyada del problema 2.2SolucinPor equilibrio, se obtienen los valores de las reacciones en A y BR pL A 0,5R pL B 2,5Cortando idealmente la pieza por un punto situado entre B y C, y de coordenada x1 los esfuerzosvaldrnM L x p L Cf B 1 3 Q p L CB 0 CB NFig. 2 Leyes de esfuerzos. a) Momento flector. b) Esfuerzo cortante. 20. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 19Cortando nuevamente la pieza por cualquier punto entre A y B y de coordenada x1 se obtiene 2 L 2M 3 L x p L x p L x R x p 1p x L BBf A 11211 0,5222 Q B pL R p 2L x 0,5pL px A B1 1 B 0A N 21. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 20Problema 2.3 En la viga de la figura 1 hallar las reacciones y dibujar las leyes de momentosflectores y de esfuerzos cortantesFig. 1 Viga correspondiente al problema 2.3SolucinFig. 2 ReaccionesReacciones:Dado que el momento flector en C es nulo,M 0 3 V 90 V 30kN f C D D Por otro lado, tomando momentos en A:2 M 0 20 7 7 V 14 V 90 0A B D 2La suma de fuerzas verticales debe ser nula,V kN B 22,86F V kN V A 0 20 7 22,86 30 87,14Con los valores anteriores pueden dibujarse las leyes de esfuerzos 22. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 21Fig . 3 Leyes de esfuerzos correspondientes al problema 2.3a) Ley de momentos flectores. b) Ley de cortantes 23. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 22Problema 2.4 Determinar y dibujar las leyes de esfuerzos en la viga que se representa en lafigura 1Fig. 1 Viga correspondiente al problema 2.4SolucinFig. 2 ReaccionesTeniendo en cuenta que los momentos flectores en C y B son nulos, se obtienen las reaccionesen A y en B.M 0 205 5 R 5 0 R 50kN f B A A 2Por otro lado, tomando momentos en CM R R R kN f C B A B 0 5 10 20 5 7,5 0 50Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene el valor del cortante en C.Q Q kN C C 50 50 20 5 40 0 40Del mismo modo, tomando momentos en E, se hallan las reacciones RD , RF y MF.M R R kN f E D D 0 60 2 40 4 0 110R R Q R kN F D C F 0 70M M M kN f E F F 0 70 4 0 280Con los valores anteriores pueden dibujarse las leyes de esfuerzos (figuras 3 y 4) 24. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 23Fig. 3 Leyes de momentos flectoresFig. 4 Esfuerzos cortantes 25. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 24Problema 2.5 En la viga de la figura 1, hallar las reacciones y dibujar las leyes de momentosflectores y de esfuerzos cortantes.Fig. 1 Viga correspondiente al problema resuelto 2.5SolucinFig. 2 ReaccionesDado que el momento flector en G es nulo:M R R kN f G H H 0 108 4 6 0 53,33Por equilibrio de fuerzas, se calcula el valor del cortante en G : QG = 26,66 kNTomando momentos en C: 0 2 30 6 10 69 12 0 f C D F G M R R QRB3 20 6 3 0 R kNB120La suma de fuerzas verticales debe ser nula, 0 20 6 50 1014 0 v B D F H F R R R RR kN F 154,166R kN D 17,5Con los valores anteriores pueden dibujarse las leyes de esfuerzos 26. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 25Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de cortantes 27. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 26Problema 2.6 Determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones en la viga de la figura 1Fig. 1 Viga correspondiente al problema 2.6SolucinFig. 2 ReaccionesTeniendo en cuenta que los momentos flectores en E y F son nulos, se obtienen las reaccionesRG y RI.Del mismo modo, tomando el momento en B igual a cero, se obtiene la reaccin en D y a partirdel equilibrio global se obtiene la reaccin en A y el momento MA. Es decir,RI = -15 kNRG = 135 kNRD = 130 kNRA = 100 kNMA = -200 kNmEn las figuras 3 y 4 pueden verse dibujadas las leyes de momentos flectores y de esfuerzoscortantes.Fig. 3 Ley de momentos flectores 28. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 27Fig. 4 Esfuerzos cortantes 29. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 28Problema 2.7 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar: Ley de momentos flectores Ley de esfuerzos cortantes Reacciones en A y DFig. 1 Viga correspondiente al problema 2.7SolucinTeniendo en cuenta que los momentos flectores en C y E son nulos, se obtienen las reaccionesen D y F. Las reacciones en A y B se obtienen a partir del equilibrio global de la estructura. Enla figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones.Fig. 2 ReaccionesEn la figura 3 pueden verse dibujadas las leyes de momentos flectores y las de esfuerzoscortantes.Fig. 3 Leyes de esfuerzos: a) Ley de momentos flectores b) Ley de cortantes 30. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 29Problema 2.8 En la estructura que se acota en la figura, hallar y dibujar las reacciones y lasleyes de esfuerzos.Fig. 1 Viga correspondiente al ejercicio 2.8SolucinFig. 2 ReaccionesFig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantes 31. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 30Problema 2.9 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar:1. Ley de momentos flectores entre C y G2. Ley de esfuerzos cortantes entre C y G3. Reacciones en A y DFig. 1 Viga correspondiente al problema 2.9SolucinFig. 2 ReaccionesFig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantes 32. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 31Problema 2.10 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar y dibujar:1. Reacciones2. Ley de momentos flectores3. Ley de esfuerzos cortantesFig. 1 Viga correspondiente al problema 2.10SolucinFig. 2 ReaccionesFig. 3 Ley de momentos flectores (unidades kNm)Fig. 4 Ley de esfuerzos cortantes (unidades kN) 33. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 32Problema 2.11 Determinar las leyes de esfuerzos de la estructura de la figura 1Fig. 1 Viga correspondiente al problema resuelto 2.11SolucinFig. 2 Reacciones y ley de momentos flectoresFig 3 Ley de esfuerzos cortantes 34. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 33Problema 2.12 Hallar las leyes de esfuerzos en la viga de la figura 1Fig. 1 Viga correspondiente al problema 2.12SolucinFig. 2 Ley de momentos flectoresFig. 3 Ley de esfuerzos cortantes 35. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 34Problema 2.13 Hallar las leyes de esfuerzos y las reacciones en la viga de la figura 1.Fig. 1. Viga correspondiente al problema 2.13SolucinLa reaccin en F valeV kN F 25Para hallar la reaccin en D se toman momentos en C : 0 f c M25 3 4 510 5 2,5 4 3 3 0 D VV kN D 58,33Se determinan asimismo las reacciones en A y BV kN A 18,17 V kN B 41,45En las figuras 2 y 3 se dibujan las leyes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes.Fig.2. Ley de momentos flectores 36. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 35Fig. 3. Ley de esfuerzos cortantes. 37. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 36Problema 2.14 Hallar las reacciones y dibujar las leyes de esfuerzos en la estructura de lafigura 1.Fig.1 Viga correspondiente al problema 2.14SolucinEn las figuras 2, 3 y 4 pueden verse representadas las reacciones y las leyes de esfuerzos.Fig.2 ReaccionesFig.3 Ley de momentos flectores 38. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 37Fig.4 Ley de esfuerzos cortantes 39. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 38Problema 2.15 En la viga de la figura 1, determinar las reacciones en los apoyos as comodibujar las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes.Fig.1 Viga correspondiente al problema 2.15SolucinEn las figuras 2, 3 y 4 pueden verse representadas las reacciones y las leyes de esfuerzos.Fig.2 ReaccionesFig.3 Ley de momentos flectores 40. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 39Fig.4 Ley de cortantes 41. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 40Problema 2.16 En la viga de la figura 1, determinar las reacciones en los apoyos as comodibujar las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes.Fig.1 Viga correspondiente al problema 2.16SolucinEn las figuras 2, 3 y 4 pueden verse dibujadas, respectivamente, las reacciones, leyes demomentos flectores y leyes de esfuerzos cortantes.Fig.2 ReaccionesFig.3 Ley de momentos flectores 42. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 41Fig.4 Ley de esfuerzos cortantes 43. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 42Problema 2.17 En la viga continua que se esquematiza en la figura 1, determinar lasreacciones y las leyes de esfuerzos.Fig.1 Viga continua correspondiente al problema 2.17SolucinLas reacciones en A, D, E y G se obtendrn a partir de las ecuaciones deequilibrio global, y del hecho de imponer momento flector nulo en las rtulas C y F: M 0 1,5 20 R3 fc A M 0 10 33RfF G 22 20 6 4,5 20 17 10 10 17M R R R D A G E 2 V 0 20 10 17 R R R RA D E G De las anteriores ecuaciones se obtienen las reacciones en los apoyos:R 10 kN ; R 49 kN ; R 116 kN ; R 15kN A D E G A partir de estos valores es posible determinar las leyes de esfuerzos.En la figura 2 puede verse representada la ley de momentos flectores, y en la 3 laley de cortantes.Fig.2 Reacciones y ley de momentos flectores 44. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 43Fig.3 Ley de esfuerzos cortantes 45. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 44Problema 2.18 En la viga continua de la figura 1 dibujar:- Ley de momentos flectores- Ley de esfuerzos cortantes- ReaccionesFig.1 Viga continua correspondiente al problema 2.18Solucin- La reaccin en F vale R 15kN F 2- M 0 3 R 15 9 10 9 0 R 90kN fc D D 2- El cortante en C vale Q kN c 15 (ver figura 2)Fig.2 Esquema esttico de ABC- La reaccin en B vale: R R kN B B 5 15 7 70 20 6 0 11- La reaccin en A vale: R R R kN A B A 15 10 2 0 16En la figura 3 pueden verse representadas las reaccionesFig.3 Reacciones 46. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 45En las figuras 4 y 5 estn dibujadas las leyes de momentos flectores y de esfuerzoscortantesFig.4 Ley de momentos flectoresFig.5 Ley de esfuerzos cortantes 47. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 46Problema 2.19 Determinar las leyes de esfuerzos del prtico de la figura 1Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema 2.19SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Las tres ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de momentos respecto al punto R: 0 R M 67,51,25 201,5 5 0,5 0 T T V Hes decir10 228,75 T T V H- Suma de fuerzas verticales: 0 V F 67,5 R T V V- Suma de fuerzas horizontales: 0 H F 20 R T H H 48. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 47Fig. 2 Reacciones y ejes localesLa rtula en C proporciona una nueva ecuacin: Suma de momentos respecto al punto C detodas las fuerzas y reacciones que hay en CT2 4 2 20 0 T T V H 2 20 T T V HLas expresiones anteriores proporcionan un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas.Resolvindolo:V kN T 25,13H kN T 22,57V kN R 42,37H kN R 2,57A partir de estos valores es posible obtener las leyes de esfuerzos.a) Momentos flectoresM T s kNmf S 40 8,94kNm s M SCf 8,94M B s kNmf A 6 2M 23,3 s 12,64 6 s 2CBkNm fM D s s kNmf C 1,88 6,71 6 2 49. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 48kNm s M BRf 2,57b) Esfuerzos cortantesQ T kNS 8,94Q SC 8,94kN Q B s kNA 12Q C s kNB 12 23,3Q D s kNC 6,7 12Q BR 2,57kN c) Esfuerzos axilesN T kNS 32,6N 23,65kN SCN B s kNA 6N C s kNB 14,54 6N D s kNC 3,3 6N 42,37kN BREn las figuras 3 , 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 3 Leyes de momentos flectores 50. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 49Fig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 51. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 50Problema 2.20 Determinar las reacciones y leyes de esfuerzos en todos los puntos de laestructura de la figura 1Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.20SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de las barras.Teniendo en cuenta que los momentos flectores en B y C son nulos, se obtienen las reaccionesen A. M 0 H 3 10 V 20 10 20 5 10 68 0 B A A M 0 5 V 8 H 20 20 5 5 0C A A 2es decir: 10 3 1 460 A A V H5 8 230 A A V HLas expresiones anteriores proporcionan un sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas, del cualse obtiene:V kN A 130,2H kN A 52,63Con estos valores es posible obtener el valor de las reacciones en B utilizando las ecuaciones delequilibrio globalV kN B 69,79H kN B 7,37 52. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 51Fig. 2 Reacciones y ejes localesA partir de estos valores se obtienen las leyes de esfuerzos:a) Momentos flectoreskNm s M GBf 7,37M 36,86 7,37 s 5 s 2kN m FGfM C s s kN mf F 98,93 69,79 10 2M D s s kN mf C 1,16 7,35 2M E kN mf D 20m kN s M ADf 52,63b) Esfuerzos cortantesQ 7,37kN GBQ 7,37 10s kN FGQ C s kNF 69,79 20Q D s kNC 1,16 14,7Q E kND 0 53. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 52Q 52,63kN DAc) Esfuerzos axilesN 69,79kN GBN 69,79kN FGN C kNF 52,63N D s kNC 60,6 8,8N E kND 0N 130,21kN DAEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores:Fig. 3 Leyes de momentos flectores. 54. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 53Fig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles. 55. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 54Problema 2.21 Determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones en el prtico de la figura 1Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.21SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Fig. 2 Reacciones y ejes localesLas ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de momentos respecto al punto E: 0 4 8 20 5 10 6 3 0 E A A M V H M 0 V 8 H 6 20 1010 5 0E H H 56. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 55es decir:4 8 280 A A V H8 6 480 H H V H-Suma de fuerzas verticales: 0 V F 160 A H V V-Suma de fuerzas horizontales: 0 H F 20 A H H HLas expresiones anteriores proporcionan un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas.Resolvindolo:V kN A 80,90V kN H 79,09H kN A 5,45H kN H 25,45Las leyes de esfuerzos sern por tanto:a) Momentos flectores:M B s kN mf A 5,45M C 16,35 25,45s kN m (s contado a partir de B)f B M C s kN mf D 4 2M E s s kN mf C 112,7 43,08 4 2M 20,9 s 5 s 2kN m fFEM F s kN mf H 20 0,89M 80 40 s 5 s 2kN m GFfb) Esfuerzos cortantes:Q B kNA 5,45Q C kNB 25,45Q C s kND 8,0Q E s kNC 43,08 8,0Q s kN FE 20,9 10 57. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 56Q kN FH 0,82Q 40 10s kN GFc) Esfuerzos axiles:N B kNA 80,90N C kNB 80,90N C s kND 4N E s kNC 50 4N 25,45kN FEN F kNH 83,10 GFNEn las figuras 3, 4, y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 3 Leyes de momentos flectoresFig. 4 Leyes de esfuerzos cortantes 58. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 57Fig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 59. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 58Problema 2.22 En la estructura de la figura 1, hallar la expresin analtica y el dibujo de lasleyes de esfuerzos.Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.22SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Las ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de fuerzas verticales: 0 V F 30 6 40 0 A B V V- Suma de fuerzas horizontales: 0 H F20 0 A B H H- Suma de momentos respecto el punto E: ME = 04 10 40 6 4 10 20 2 30 6 3 0 B B A A V H V HLa rtula E proporciona una nueva ecuacin: suma de momentos respecto al punto E de todaslas fuerzas y reacciones a la izquierda de la rtula igual a cero: 0 4 10 20 2 30 6 3 0 fE A A M V HDe este modo, se obtiene un sistema de 4 ecuaciones con 4 incgnitas: 60. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 59 220 A B V V 20 A B H H4 10 580 A A V H4 10 240 B B V HResolviendo, se obtiene:V kN A 127,5V kN B 92,5H kN A 7H kN B 13Fig. 2 Reacciones y ejes localesA partir de estos valores se obtienen las leyes de esfuerzos.a) Momentos flectores:m kN s M DAf 7M D s s kN mf C 14,14 7,5 2M E s s kN mf D 22 38,54 7,5 2m kN s M FEf 27,92kN s M GFf 80 28,28m kN s M FBf 13 61. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 60b) Esfuerzos cortantes:Q 7kN DAQ D s kNC 14,14 15Q E s kND 38,54 15Q FE 27,92kN Q 28,28kN GFQ 13kN FBc) Esfuerzos axiles:N 127,5kN DAN D s kNC 14,14 15N E s kND 56,926 15N 46,31kN FEN 28,28kN GFN 92,5kN FBEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 3 Leyes de momentos flectores 62. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 61Fig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 63. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 62Problema 2.23 Determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones en la estructura de lafigura 1Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.23SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Fig. 2 Reacciones y ejes localesLas ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de fuerzas verticales 0 V FA I V V- Suma de fuerzas horizontales 0 H F 20 40 0 A H 64. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 63De lo que se obtiene que H kN A 20- Suma de momentos respecto al punto F 0 2 401 0 F I M V20 2 20 4 cos 45 4cos 45 4 0 A A A M H VResolviendo, V kN I 20V kN A 20M kN A 173,13A partir de estos valores, se obtienen las leyes de esfuerzos:a) Momentos flectoresM B s kN mA 173,13 28,28M C s kN mf B 96,57 28,28M D s kN mf C 40 20m kN s M DEf 20M F s kN mf D 40 20m kN s M GFf 40M H kN mf G 40M I s kN mf H 20 40b) Esfuerzos cortantesQ B kNA 28,28Q C kNB 28,28Q D kNC 20Q 20kN DEQ F kND 20kN Q GF 40H 0G QQ I kNH 20c) Esfuerzos axiles 65. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 64B 0A NC 0B NN D kNC 200 DENN F kND 40N 20kN GFN H kNG 20I 0H NEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 3 Leyes de momentos flectoresFig. 4 Esfuerzos cortantes 66. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 65Fig. 5 Esfuerzos axiles 67. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 66Problema 2.24 En la estructura de la figura 1, determinar y dibujar (acotndolasdebidamente) las leyes de esfuerzos.Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.24SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Las dos ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de momentos respecto al punto A: 0 A M 26,5 15 8,52 D R- Suma de fuerzas verticales: 0 V F 158,5 A D R RCon lo que las reacciones valen:R kN D 83,4R kN A 44,1 68. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 67Fig. 2 Reacciones y ejes localesA partir de los valores de las reacciones es posible obtener las leyes de esfuerzos.a) Leyes de momentos flectores:M B s s kN mf A 37,8 5,51 2M C s s kN mf B 91,87 45,01 5,51 2m kN s M DBf 125,1 37,29b) Esfuerzos cortantes:Q B s kNA 37,8 11,03Q C s kNB 45,0111,03Q DB 37,3kN c) Esfuerzos axiles:N B s kNA 22,69 6,61N C s kNB 27,01 6,61N 74,59kN DBEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores. 69. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 68Fig. 3 Leyes de momentos flectoresFig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 70. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 69Problema 2.25 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar y dibujar las reacciones ylas leyes de esfuerzos.Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema 2.25SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Las ecuaciones de equilibrio se escriben:- Suma de momentos respecto al punto A : 0 A M 20 8 10 15 2,5 2010 108 0 B B V Hes decir: 20 8 232,5 B B V H- Suma de fuerzas verticales 0 V F 35 A B V V- Suma de fuerzas horizontales 0 H F 10 A B H HLa rtula C proporciona una nueva ecuacin: suma de momentos respecto al punto C de todaslas fuerzas y reacciones que hay en BC igual a cero.15 10 0 B VDe esta ltima ecuacin obtenemos el valor de la reaccin vertical en el apoyo B.V kN B 0,67Resolviendo: 71. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 70H kN B 30,74V kN A 34,33H kN A 20,74A partir de estos valores es posible obtener las leyes de esfuerzos.a) Momentos flectores:m kN s M CBf 10 0,67M D s s kN mf C 0,67 1,5 2M E s kN mf D 200 20A 165,92 20,74f D M s kN mb) Esfuerzos cortantes:Q C kNB 0,67Q D s kNC 0,67 3Q E kND 20Q AD 20,74kN c) Esfuerzos axiles:N C kNB 30,74N D kNC 30,74N E kND 10N 34,33kN ADEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 2 Reacciones y ejes locales 72. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 71Fig. 3 Leyes de momentos flectoresFig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 73. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 72Problema 2.26 En la estructura que se acota en la figura 2, determinar las reacciones y lasleyes de esfuerzo.Fig. 1 Prtico isosttico correspondiente al problema resuelto 2.26SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones, as como los ejes locales de cada barra.Las ecuaciones de equilibrio seran:- Tomando momentos respecto al punto B, se obtiene el valor de la reaccin horizontal enel apoyo izquierdo. 0 B M0H 6,5 1 6,5 6,5 A 2H 3,25kN A - Suma de fuerzas horizontales. 0 H F 1 6,5 A L H HH kN L 3,25- Tomando momentos respecto al punto A : 74. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 7301 6,527,5 4 8,5 3 1 9,522 2 L VLa reaccin vertical en el apoyo derecho vale:V kN L 12,77- Suma de fuerzas verticales 0 V F 9,5 A L V VV kN A 0,27Fig. 2 Reacciones y ejes localesA partir de estos valores es posible obtener las leyes de esfuerzos.a) Leyes de momentos flectoresM B 3,25s 0,5s2f A M C 1,10 s 0,467 s2f B M D 2 1,93s 0,467 s2f C s M ELf 4 3,25 75. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 74s M GEf 3 3M C s kNmf E 20 3,25b) Leyes de esfuerzos cortantesQ B s kNA 3,25 Q C s kNB 1,10 0,934Q D s kNC 1,93 0,934Q 3,25kN ELQ 3kN GEQ C kNE 3,25c) Leyes de esfuerzos axilesN B kNA 0,27N C s kNB 3,07 0,248N D s kNC 0,52 0,248N 12,77kN ELN GE 0kN N 12,77kN CEEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las leyes anteriores.Fig. 3 Leyes de momentos flectores 76. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 75Fig. 4 Leyes de esfuerzos cortantesFig. 5 Leyes de esfuerzos axiles 77. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 76Problema 2.27 Determinar las leyes de esfuerzos y las reacciones en el prtico de la figura 1Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.27SolucinFig. 2 Reacciones 78. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 77Debido a que en C existe una rtula, la suma de las reacciones horizontal y vertical en D debetener la direccin CD.Tomando momentos respecto al punto A (figura 2) M 0 11 V 2 H0,7 6 6 A D D 211 sin 2 cos F 12,6Es decirF 1,17 kNy por tanto,V 1,17 sin 1,05kN D H 0,53kN D V 0,7 6 1,05 3,15kN A H 0,53kN A Con estos valores, se pueden dibujar las leyes de esfuerzos (Fig. 3)Fig. 3 Leyes de esfuerzos: (a) Ley de momentos flectores. (b) Ley de esfuerzos cortantes. (c) Ley deesfuerzos axiles. 79. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 78Problema 2.28 Determinar las leyes de esfuerzos as como las reacciones en la estructura quese acota en la figura 1Fig. 1 Prtico correspondiente al problema resuelto 2.28SolucinFig. 2 Reacciones 80. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 79Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantesFig. 5 Ley de esfuerzos axiles 81. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 80Problema 2.29 Dibujar las leyes de esfuerzos y las reacciones en el prtico que se representaen la figura 1Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.29SolucinFig. 2 Ley de momentos flectoresFig. 3 Ley de esfuerzos cortantes 82. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 81Fig. 4 Ley de esfuerzos axiles 83. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 82Problema 2.30 Determinar las leyes de esfuerzos as como las reacciones en la estructura quese acota en la figura1.Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.30SolucinFig. 2 Reacciones 84. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 83Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantesFig. 5 Ley de esfuerzos axiles 85. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 84Problema 2.31 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar y dibujar:1. Reacciones2. Ley de momentos flectores3. Ley de esfuerzos cortantes4. Ley de esfuerzos axilesFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.31SolucinFig. 2 Ley de momentos flectores y reacciones 86. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 85Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 87. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 86Problema 2.32 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar las reacciones y dibujar lasleyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles.Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.32SolucinFig. 2 Reacciones 88. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 87Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantes 89. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 88Fig. 5 Ley de esfuerzos axiles 90. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 89Problema 2.33 En el prtico de la figura 1, hallar:1. Reacciones en A y en D2. Leyes de esfuerzosFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.33 y reaccionesSolucinFig. 2 Ley de momentos flectores 91. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 90Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 92. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 91Problema 2.34 Obtener las leyes de esfuerzos para la estructura de la figura 1Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.34 y reaccionesSolucinFig. 2 Ley de momentos flectores 93. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 92Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 94. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 93Problema 2.35. En la estructura que se acota en la figura 1, hallar y dibujar lasreacciones y las leyes de esfuerzos.Fig.1 Estructura correspondiente al problema 2.35SolucinPara determinar las reacciones se imponen las siguientes condiciones (figura 2)- Momento flector en E igual a cero:02 2 6 22 F F V H2es decir: 6 F F V H (a)- Momento en A igual a cero:7 2 6 9 2,5 0 F F V Hes decir:7 2 135 F F V H (b)- Suma de fuerzas verticales igual a cero: 54 A F V V (c)- Suma de fuerzas horizontales igual a cero:A F H H (d)Las ecuaciones (a), (b), (c) y (d) forman un sistema de cuatro ecuaciones con cuatroincgnitas. Resolviendo: 95. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 94V kN F 16,33H kN F 10,33H kN A 10,33V kN A 37,67Fig.2 Reacciones en los apoyosEn las figuras 3, 4 y 5 pueden verse representadas las reacciones y las leyes deesfuerzos.Fig.3 Reacciones y ley de momentos flectores 96. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 95Fig.4 Ley de esfuerzos cortantesFig.5 Ley de esfuerzos axiles 97. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 96Problema 2.36 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar y dibujar lasreacciones y las leyes de esfuerzos.Fig.1 Estructura correspondiente al problema 2.36SolucinEn la figura 2 pueden verse dibujadas las reacciones. Asimismo, en las figuras 3,4 y 5 se representan, respectivamente, las leyes de momentos flectores, esfuerzoscortantes y esfuerzos axiles.Fig.2 Reacciones 98. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 97Fig.3 Ley de momentos flectoresFig.4 Ley de esfuerzos cortantes 99. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 98Fig.5 Ley de esfuerzos axiles 100. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 99Problema 2.37 En el prtico que se representa en la figura 1, hallar las reacciones yleyes de esfuerzos.Fig.1 Prtico correspondiente al problema 2.37Solucin 6 Como el momento flector en C es nulo, 1,54EHEV Tomando momentos respecto a A10 20 6 4 6 3 0 E VV kN E 19,2H VE kN 12,8E 1,5 Suma de fuerzas horizontales igual a cero: 4 6 A E H HH kN A 24 12,8 11,2 Suma de fuerzas verticales igual a cero, es decir V kN A 0,8En la figura 2 pueden verse representadas las reacciones 101. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 100Fig.2 ReaccionesEn la figura 3 puede verse representada la ley de momentos flectoresFig.3 Ley de momentos flectoresEn la figura 4 y 5 pueden verse representadas, respectivamente, las leyes de esfuerzoscortantes y esfuerzos axiles. 102. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 101Fig.4 Ley de esfuerzos cortantesFig.5 Ley de esfuerzos axilesAsimismo, en la figura 6 puede verse el equilibrio de fuerzas de las barras BC y AB.Fig.6 a) Equilibrio de fuerzas de la barra BC. B) Equilibrio de fuerzas de la barra AB 103. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 102Problema 2.38 En el prtico representado en la figura 1, hallar las reacciones y lasleyes de esfuerzos.Fig.1 Prtico correspondiente al problema 2.38SolucinA partir de las ecuaciones de equilibrioM p p p V V p c F F 0 8 3 13 2 10 0 3,5F V V p p V p V C F C 0 8 0 5,5M V H p p H p fD F F F 0 3 4 2 6 0 1,625F H H H p H C F C 0 0 1,625En la figura 2, pueden verse representadas las reaccionesFig.2 Reacciones 104. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 103En la figura 3 se dibujan las leyes de momentos flectoresFig.3 Ley de momentos flectoresEn las figuras 4 y 5 se hallan representadas las leyes de cortantes y axilesFig.4 leyes de esfuerzos cortantes 105. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 104Fig.5 Leyes de esfuerzos axiles 106. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 105Problema 2.39 En el prtico de la figura 1, hallar:1. Reacciones en A y en E2. Ley de momentos flectores cortantes y axilesSolucinFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.39 y reaccionesFig. 2 Ley de momentos flectores 107. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 106Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 108. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 107Problema 2.40 En la estructura que se acota en la figura 1, dibujar: Reacciones Leyes de momentos flectores Leyes de esfuerzos cortantes Leyes de esfuerzos axilesFig. 1 Prtico correspondiente al problema resuelto 2.40 y reaccionesSolucinFig. 2 Ley de momentos flectoresFig. 3 Ley de esfuerzos cortantes 109. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 108Fig. 4 Ley de esfuerzos axiles 110. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 109Problema 2.41 Dada la viga de la figura 1, hallar: Reacciones en los apoyos Ley de momentos flectores Ley de esfuerzos cortantes Ley de esfuerzos axilesFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.41SolucinFig .2 Ley de momentos flectores y reaccionesFig. 3 Ley de esfuerzos cortantes 111. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 110Fig. 4 Ley de esfuerzos axiles 112. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 111Problema 2.42 Dada la viga de la figura 1 con las dimensiones y cargas indicadas.Se pide: Reacciones en los apoyos. Ley de momentos flectores. Ley de esfuerzos cortantes. Ley de esfuerzos axiles.Fig. 1 Prtico correspondientes al problema 2.42SolucinFig. 2 Ley de momentos flectores 113. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 112Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 114. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 113Problema 2.43 Construir los diagramas de esfuerzos cortantes, momentos flectores yesfuerzos axiles del prtico indicado en la figura 1Fig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.43SolucinFig. 2 Reacciones 115. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 114Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantesFig. 5 Ley de esfuerzos axiles 116. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 115Problema 2.44 En el prtico de la figura 1, determinar las reacciones en los apoyos as comodibujar las leyes de momentos flectores, esfuerzos cortantes y esfuerzos axiles.Fig.1 Prtico correspondiente al problema 2.44SolucinEn las figuras 2, 3, 4 y 5 pueden verse dibujadas, respectivamente, las reacciones, leyes demomentos flectores, leyes de esfuerzos cortantes y leyes de esfuerzos axiles.Fig.2 Reacciones 117. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 116Fig.3 Ley de momentos flectoresFig.4 Ley de esfuerzos cortantes 118. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 117Fig.5 Ley de esfuerzos axiles 119. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 118Problema 2.45 Hallar las reacciones y dibujar las leyes de esfuerzos en la estructura de lafigura 1.Fig.1 Estructura correspondiente al problema 2.45SolucinFig.2 ReaccionesObservando la figura 2,V V kN E E 30 ' 190 ' C C V V kNTomando momentos flectores respecto a A023 190 8 30 11 20 11 C H2 213,33 C H kNEn la figura 3 se representa la ley de momentos flectores, en la figura 4 la ley de esfuerzoscortantes y en la figura 5 los esfuerzos axiles 120. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 119Fig.3 Ley de momentos flectoresFig.4 Esfuerzos cortantesFig.5 Esfuerzos axiles 121. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 120Problema 2.46 En la estructura que se acota en la figura 1, hallar: Ley de momentos flectores. Ley de esfuerzos cortantes. Ley de esfuerzos axiles. ReaccionesFig.1 Prtico correspondiente al problema 2.46SolucinEn las figuras 2, 3 y 4 se representan las leyes de momentos flectores, cortantes y axiles.Fig.2 Ley de momentos flectores 122. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 121Fig.3 Ley de esfuerzos cortantesFig.4 Ley de esfuerzos axiles 123. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 122Problema 2.47 En el prtico que se representa en la figura 1, hallar: Reacciones, ley demomentos flectore, ley de esfuerzos cortantes y ley de esfuerzos axiles.Fig.1 Prtico correspondiente al problema 2.47SolucinEn la figura 2 pueden verse representadas las reacciones. En la figura 3 la ley de momentosflectores. En la figura 4 se dibuja la ley de esfuerzos cortantes y en la figura 5 la ley deesfuerzos axiles.Fig.2 Reacciones 124. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 123Fig.3 Leyes de momentos flectoresFig.4 Ley de esfuerzos cortantesFig. 5 Ley de esfuerzos axiles 125. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 124Problema 2.48 En la estructura isosttica que se representa en la figura 1, hallar: Reacciones en los apoyos Ley de momentos flectores Ley de esfuerzos cortantes Ley de esfuerzos axilesFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.48SolucinFig .2 Ley de momentos flectores y reacciones 126. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 125Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 127. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 126Problema 2.49 En el prtico que se acota en la figura 1, hallar: Ley de momentos flectores Ley de esfuerzos cortantes Ley de esfuerzos axilesFig. 1 Prtico correspondiente al problema 2.49SolucinFig .2 Ley de momentos flectores 128. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 127Fig. 3 Ley de esfuerzos cortantesFig. 4 Ley de esfuerzos axiles 129. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 128Problema 2.50 Dado P y r de la figura 1, construir los diagramas de N, Q, y Mf.Fig. 1 Arco correspondiente al problema resuelto 2.50SolucinFig. 2 Reacciones y tramos de barra.Determinamos N, Q y Mf por tramos de la barra.En el primer tramo:20 1 .1 1 N P 1 cos ; Q Psen ; M Pr 1 cos ; fEn el segundo tramo: .20 2 130. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 1292 ; 2 N Psen 2 cos ; 2 Q P 1 2 ; 2 M Pr sen f Fig. 3 Ley de momentos flectoresFig. 4 Ley de esfuerzos cortantesFig. 5 Ley de esfuerzos axiles 131. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 130Problema 2.51 En la estructura de la figura 1, construir los diagramas del esfuerzo axil N,del esfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.La carga se distribuye uniformemente sobre la tangente al arco.Fig. 1 Arco correspondiente al problema resuelto 2.51SolucinFig. 2 Reacciones y tramos de barrasdN qRd cos dQ qRd sin 132. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 131dM qRd R R qR d f cos 2 1 cos cos sin0 N qR d qRsin 1 cos0 Q qR d qR M qR d d qR qR qR f2 cos 2 2 sin 2 sin0 0Para2: N qRQ qR2 M qR f 12Para : N 0Q qR11 2qRM 3,14qR2Para32: N qRQ qRM qR2 4,712 1 5,712qR2 f 133. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 132Problema 2.52 En la estructura de la figura 1 construir los diagramas del esfuerzo axil N, delesfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.La carga se distribuye uniformemente sobre la proyeccin horizontal.Fig. 1 Arco correspondiente al problema resuelto 2.52SolucinFig. 2 Tramos de barrasTramo AB:N qa(1 cos ) cosQ qa(1 cos )sinM qa2 1 cos 2 / 2 f 134. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 133Tramo BC:N 2qa qa(1sin )sinQ 2qa qa(1sin )cosM qa 2 qa 2 qa 2 f2(1 sin ) 2 2 (1 sin )2 135. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 134Problema 2.53 En la estructura de la figura 1 construir los diagramas del esfuerzo axil N, delesfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.Fig. 1 Arco correspondiente al problema resuelto 2.53Solucin M p fQ 2pmaxN 2p3 / 2maxmax 136. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 135Problema 2.54 En la estructura de la figura 1 construir los diagramas del esfuerzo axil N, delesfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.Fig. 1 Arco correspondiente al problema 2.54SolucinN P maxQ 3P max 137. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 136Problema 2.55 En la estructura de la figura 1 construir los diagramas del esfuerzo axil N, delesfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.Fig. 1 Arco correspondiente al problema 2.55SolucinM 2Pa max 2 max Q P2 max N P 138. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 137Problema 2.56 En la estructura de la figura 1 costruir los diagramas del esfuerzo axil N, delesfuerzo cortante Q y del momento flector Mf.Fig. 1 Arco correspondiente al problema resuelto 2.56Solucin2Mmax 2,414qa2 max N qa2 max Q qa 139. Captulo 3:Esfuerzo axil 140. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 139Problema 3.1 Una pieza de hormign de 6 m. de longitud, tiene una seccin rectangular dedimensiones 0,3 0,4 m2. En su centro de gravedad se aplica una fuerza F.Determinar:a) Valor mximo de F si las tensiones no pueden superar los 12,7 Mpa.b) Movimiento de un extremo de la pieza respecto al otro.c) Energa de deformacin de la pieza.Nota: El mdulo de elasticidad del hormign se tomar igual a Eh = 30 GPa.SolucinLa seccin de hormign valdr 0,3 0,4 0,12 m2Las tensiones valdrnMPa F 12,7Ade donde:F A 12,7 MPa 0,12 m2 1524 kNEl movimiento de un extremo respecto al otro valemmkN mFL 1524 62,54GPa mEA30 0,122 En cuanto a la energa elstica,kN mN ds 1N L11524 61935,481WN = juliosGPa mEAEA30 0,1222226 2 2 202 141. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 140Problema 3.2 Un pilar de hormign de 40 metros de altura y 2 m2 de seccin est sometido asu propio peso. El peso especfico del hormign es de 25 kN/m3. Se desea saber el valor de lasmximas tensiones de compresin as como el acortamiento del pilar. El mdulo de elasticidadvale E = 30 GPaSolucinLa fuerza repartida por unidad de longitud valdr p1 = -25 2 = -50 kN/m , con lo cual la leyde esfuerzos axiles se escribe (figura 1)50(40 ) 1 N xFig. 1 Cargas y esfuerzos axilesLas mximas tensiones se producirn en el punto A, valiendoMPa compresinkN50 40A 1000 1m22 El movimiento del punto B (acortamiento en este caso) valdr dx 50 40 x dx metros mmv N B 1 1 0,667 10 0,667 400400316 130 10 2EA 142. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 141Problema 3.3 La barra de la figura 1 tiene forma de dos troncos de cono iguales de radios r= 20 cm y 2r, longitud L = 6 m, unidos por sus bases mayores. La barra est sometida afuerzas P = 60 kN de traccin aplicadas en sus extremos.Conociendo el mdulo de elasticidad E = 200 GPa se desea conocer el alargamiento de labarra.Fig. 1 Pieza de seccin variable correspondiente al problema 3.3SolucinLa variacin de la seccin con x vale2A r x2 2 LPor tanto, el alargamiento valdrPLdx r Er x LL P dx LPEEA20 02 2 22 2 y sustituyendo:kN m 62 6 2 14,32 1060 6 mm kN m0,2 200 10 143. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 142Problema 3.4 La viga que se representa en la figura 1 est sometida a una fuerza externa Fde valor F = 500 kN. Hallar:a) Ley de esfuerzos axilesb) Movimiento del punto Bc) Energa de deformacin de toda la barraFig. 1 Viga correspondiente al problema resuelto 3.4SolucinSe libera el apoyo C y en su lugar se coloca una fuerza de valor HC (ver figura 2)Fig. 2 Esquema de fuerzas en la viga.La ley de esfuerzos axiles se escribe:BN F HCAC HCN BCon lo cual, el movimiento del punto C ser: F H HC CEAEAC3 2 y dado que C debe ser nulo, se obtiene:H F kN C 0,6 300Por lo tanto, la ley de esfuerzos axiles se escribe:BN 0,4 200F kNA 144. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 143CN 0,6 300kN FBEl movimiento del punto B valdrm mmF0,4 3 0,4 500 3 3C 6 10 6EA105 La energa de deformacin valdr: CNBNW N1 ds ds julios523001200111 03053305335252 221,5 10102102222EAdsBEAdsAdsEA 145. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 144Problema 3.5 Una barra prismtica de eje vertical tiene sus extremos fijos rgidamente ysoporta un peso P en un punto B.Calclese el esfuerzo normal en ambos trozos de la barra.Fig. 1 Barra prismticaSolucinLiberando el apoyo C aparecer una fuerza F. La ley de esfuerzos axiles valdr (fig. 2)FCN BDN F PB 146. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 145Fig. 2 Fuerzas actuantes en la barraEl movimiento vertical de C (el cual debe ser nulo) vale:DNdBCNcB 1 Fc F Pd 0EA EAEACEs decirF P dLy los esfuerzos axilesCN P dP dBL 1LDNB 147. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 146Problema 3.6 Una pieza de hormign armado tiene las siguientes caractersticas: rea de la seccin de hormign: AC rea de la seccin de acero: AS Mdulo de elasticidad del hormign: EC Mdulo de elasticidad del acero: ESSi el acortamiento que experimenta por retraccin el hormign en masa es C , demostrarque el acortamiento de la pieza de hormign armado, por efecto de la retraccin, vale: t C n11siendo:ESECn A SACDeterminar asimismo las tensiones que se producen en el hormign y en el acero comoconsecuencia de la retraccin.SolucinAl no poderse acortar libremente el hormign aparecer un esfuerzo de traccin de valor N.Por equilibrio en el acero aparecer tambin un esfuerzo de compresin cuyo valor sertambin N.El acortamiento del hormign valdr Nt C E AC CEl acortamiento del acero ser: Nt E AS SDado que ambos acortamientos deben ser iguales se obtieneN ES ASnC 1Sustituyendo: t C 1 n1 148. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 147Problema 3.7 La pieza de la figura 1 tiene la parte BC con un rea de valor 3A y uncoeficiente de dilatacin lineal . El trozo CD tiene una seccin 2A y un coeficiente dedilatacin lineal 3 . Si el mdulo de elasticidad es constante, determinar el valor del esfuerzoaxil as como el movimiento del punto C cuando se produce un incremento trmico de valor t.Fig. 1 Viga correspondiente al problema resuelto 3.7SolucinSe libera el apoyo D y se coloca una fuerza de compresin de valor F. El movimiento total delpunto D, t , ser igual a la suma del alargamiento de origen trmico nt y al originado por lafuerza F. Es decir: t nt siendo nt at 3 at 4 atFaEAFa EAFaEA563 2y puesto que t debe ser cero: 24F EA t5Por lo que respecta al movimiento horizontal del punto C, su valor ser (positivo hacia laderecha)atat Fa C EAnt3C C 53 149. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 148Problema 3.8 Dos piezas rectas AB y CD estn separadas una distancia . Mediante laaplicacin de una fuerza F en C se unen ambas piezas, y una vez unidas se sueldan.Posteriormente se retira la fuerza F.Hallar el esfuerzo axil en AB y en CD .Fig. 1 Piezas rectas correspondientes al problema resuelto 3.8SolucinUna vez unidos los puntos B y C y eliminada la fuerza F, el trozo AB tendr un esfuerzo axil devalor N. El axil en CD debe ser tambin igual a N por equilibrio.El alargamiento de AB debido a N valdr N a 1 EAEl alargamiento de CD debido a N valdrN 2a4EA2 y dado que 1 2 se obtiene:N EAa 23y adems:231 y 3 2 150. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 149Problema 3.9 Sobre un soporte vertical de hormign armado acta una fuerza centrada yvertical de 1000 kN. El soporte de 2,5 metros de altura es de seccin recta, cuadrada de 30 cm.de lado, y est armado con ocho redondos verticales de 20 mm. de dimetro, segn se indica enla figura 1. De esta forma, la seccin neta de hormign es de 875 cm2 y la del acero de 25 cm2.Teniendo en cuenta que los mdulos de elasticidad del hormign y del acero son 25 GPa y 210GPa, repectivamente,Hallara) Tensiones a que est sometido el hormign y el acerob) Acortamiento del soporte por efecto de la fuerza aplicadaFig. 1 Soporte y seccin de hormign armadoSolucinLa seccin mixta reducida al hormign valeE* 875 25 210 cm1085 2h a 25EA A AahLas tensiones en el hormign y en el acero valdrn respectivamenteMPakN1000h 9,212 cm1085MPakN2101000a 77,422 cm251085El acortamiento valdr 9,21 m m mmL MPah 2,5 0,000921 0,921MPaEh25000 151. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 150Problema 3.10 Una pieza recta est constituida por una viga de hormign de seccincuadrada de 20 cm de lado, pretensada por unos cables de seccin 0,5 cm2 cada uno.HallarFig. 1 Seccin correspondiente al problema 3.10a) La tensin con que se debe tensar cada cable para que la pieza recta pueda soportaruna traccin de 80 kN, quedando entonces el hormign a una compresin de 0,4 MPa,con el fin de evitar fisuras por donde el aire ambiente pueda atacar el acero.b) Cuando acta esta fuerza, la tensin a que est sometida el cable.NOTA: Tomar la relacin 7 a h E ESolucinLa seccin homogeneizada valeEa * 20 20 1 4 0,5 412 cm2EAh Si F es la fuerza de pretensin de cada cable, la tensin en el hormign despus de pretensarvaldrF F compresin 1 4 h 0,00971412Cuando, posteriormente, se aplica una fuerza de 80 kN, aparecen unas sobretensiones de valorkN cm traccinkN 80 2 0,19417cmh22412Como debe quedar una compresin remanente de 0,4 Mpa = 0,04 kN/cm2 , deber verificarse:0,00971 F- 0,19417 =0,04Es decir:F = 24,12 kN 152. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 151La tensin final de los cables valdr:4 2kN cm MPaE7 8024,12 424,1280a 7 47,96 479,6 EkNcmEEF FAahah4124120,5412*2 153. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 152Problema 3.11 Una pieza de hormign postensado est formada por una barra recta dehormign de 5 metros de luz y seccin cuadrada de 40 40 cm2 y un cable de acero (tambinde 5 metros de longitud) de 1,5 cm2 de seccin y situado en el centro de gravedad de la seccinde hormign. Para construir dicha pieza se sigue el siguiente proceso: Se construye la pieza de hormign dejando una vaina de 1,5 cm2 en su centro degravedad. Una vez fraguado el hormign se introduce el cable y se postensa con una fuerza depostensado de valor F = 180 kNSe pide:1. Tensiones finales en el hormign (en MPa)2. Acortamiento del hormign (en MPa)3. Energa de deformacin de la parte de hormign (en julios)Posteriormente, a lo largo del tiempo (y sin que medie accin externa alguna) se produce unacortamiento del hormign por retraccin de valor por unidad de longitud 0,00035 rSe pide:4. Tensiones finales en el hormign (en MPa).5. Tensiones finales en el acero (en MPa).E GPa a 210 E GPa h 30SolucinLa seccin de hormign vale A 1598,5 cm2 h 1) Las tensiones en el hormign valdrnMPakN180 1 h 1,1261cm1598,522) El acortamiento del hormign valem mm1 1,1261L MPah 5 0,1877 GPahEh303) Energa de deformacin del hormign kN mjuliosGPa cmW N L h 16,89EA180 530 1598,5121222 2 4) Como consecuencia de la retraccin del hormign, se producir una deformacin r que no ser compatible con la deformacin del acero. Por ello, se producir unadeformacin mecnica de valor (figura 1) 154. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 153Fig. 1 Deformacin del hormignLa deformacin del hormign valdr (alargamiento)Nh h E ALa deformacin del acero valdr (acortamiento)Na a E ASumando: 1 1N rh h a a E A E A Sustituyendo valoresN 10,953 kNcon lo cual la fuerza final que acta en el acero valeF kN f 180 10,953 169,05Las tensiones finales en el hormign valdrnMPakN169,05 2 h 1,06cm1598,525) Las tensiones finales en el acero valenMPakN169,05 2 a 1127cm1,52 155. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 154Problema 3.12 Una pieza de hormign pretensado de longitud L = 5 metros, y seccincuadrada de 0,4 0,4 m2 se construye de la siguiente forma:1. Se tensan cuatro cables de seccin cada uno a una tensin a1 800 MPa .2. Una vez tensados los cables, se hormigona.3. Una vez endurecido el hormign se cortan los cables por AA y BB (ver fig. 1).Determinar:a) Seccin de cada uno de los cables de forma que la tensin final en el hormign seade 5 Mpa.b) Tensin final en cada uno de los cables.c) Energa elstica del conjunto.Fig. 1 Pieza de hormignUna vez se ha fabricado la pieza, se aplica una fuerza F de compresin de 260 kN.Hallar:d) Tensin final en el hormign y en los cables.e) Energa elstica total.Se descarga la fuerza F de compresin y el conjunto se somete a un incremento de temperaturade valor t = 30C. Determinar los incrementos de tensin que se producen como consecuenciade dicha variacin trmica.E GPa a 210E GPa h 30 1,2105 C1 a 105 C1 h 156. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 155SolucinEl rea mecnica (referida al hormign) de la seccin una vez cortados los cables valeA* 40cm 40cm (210 1) 4 1600 2430a) Cuando se cortan los cables, aparece en la seccin mixta un esfuerzo axil de valor 4800 MPa cm2 320 kNcon lo cual la tensin en el hormign valdr3201600 24*1h AIgualando 1 5 MPa 0,5 kN cm2 h , se obtiene 2,6 cm2b) Cuando se cortan los cables, se produce una prdida de tensin en el acero de valorMPaE1 A Ehaa 5 7 35* Por lo tanto, la tensin final en cada cable valdrMPa a 1 800 35 765c) La energa elstica valdr 2 2L A W h h a aahEAE2 y comoL 5 m5 MPa 5 106 N m2 h A 0,4 0,4 4 2,6 10 4 0,15896 m2 h E 30 GPa 30 109 N m2 h 765 MPa 765 106 N m2 a A 4 4 2,6 10 4 0,00104 m2 a E 210 GPa 210 109 N m2 a Sustituyendo:W 7 576,8 julios 157. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 156d) Debido a la fuerza de compresin de F = 260 kN se producirn unas variaciones detensin de valorMPakN260 2 h 1,564* 2cmFA1662,4MPa a h 2 7 2 71,564 10,95Por lo tanto, las tensiones valdrnMPa h h h 2 1 2 5 1,564 6,564MPa a a a 2 1 2 765 10,95 754,05e) Energa elstica: Sustituyendo en la expresin del apartado c)W' 7 610,45 juliosCuando se produce la variacin trmica, si no existiera unin entre el hormign y elacero, las deformaciones de origen trmico valdran:t 301,2105 36105at 301105 30105hFig. 2 Deformaciones producidas por la variacin trmicaAl ser ambas deformaciones distintas, aparecern unas deformaciones de tipo mecnicoa y h (ver figura 2) de forma que la deformacin final sea la misma. Es decirth ath aO sea 158. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 157 aahE Eha35330 10 5 36 10 Adems, por equilibrio:a a h h 3A 3AResolviendo:MPa traccin h 3 0,079MPa compresin a 3 12,12 159. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 158Problema 3.13 La seccin de hormign que se representa en la figura 1 se postensa en dosfases:- En la primera, se tensan los tendones 1 y 2 con una fuerza F , anclndose acontinuacin.- En la segunda, se tensan los tendones 3 y 4 con la misma fuerza F , anclndose acontinuacin.Si se desea que la mxima tensin en el hormign sea de 10 Mpa y en los tendones de postensarsea de 500 Mpa.Hallar:a) Valor de la fuerza Fb) rea de cada uno de los tendonesc) Tensin final en cada uno de los tendones 1,2,3 y 4d) Tensin en el hormign despus de realizada la primera fase de postensadoE GPa h 35E GPa a 210Fig. 1 Seccin de hormign armadoSolucinEn la primera fase, las tensiones en el hormign y en el acero valdrn2F MPa kN cm1 10 1 2h 40 40 41 F 500 MPa 50 kN cm2a En la segunda fase, las fuerzas F actan sobre la seccin mixta de hormign y acero, con unrea mecnica * 1600 2 a1 2 1600 8 Eh EADespus de realizada la segunda fase, las tensiones en los distintos elementos valdrn En el hormign 160. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 1592 F2F 2F kN cmA2 1 1 2h h 1600 840 40 4* En los tendones 1 y 2E2 FF 2F kN cm2 1 212 6 50a a 1600 8*EAah En los tendones 3 y 42 234 F 50kN cma Las ecuaciones relevantes son la primera y la tercera. Representan un sistema de dosecuaciones con dos incgnitas. Resolviendo:F 403,5 kN 8,07 cm2La tensin en el hormign despus de realizada la primera fase valdrkN cm MPa F1 2 2 403,5 2 h 0,515 5,151600 4 8,0740 40 4 161. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 160Problema 3.14 Se da la pieza prismtica de la figura 1, en la cual se efecta un pretensadocon unos cables de secciones 1 y 2 . La tensin en el hormign al final del proceso depretensado es uniforme y vale 10 MPa. Sabiendo que en los cables de igual seccin el esfuerzode pretensado es el mismo, calcular las fuerzas de pretensado en cada uno de los cables.21 10 cm22 15 cm 10aEhEnFig. 1 Seccin correspondiente al problema 3.14SolucinFig. 2 Centros de gravedadCentro de gravedad mecnico (figura 2):y y e 2 1 1 2 9 9 70 70 9 3 e 9 y 2 1 8,483 10 3 y4900 405 162. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 161 Por equilibrioF F N 1 2 3 Adems N debe pasar por G* F F y e 3F F 2 1 1 2 F F y 8,48310 3y 3F F 2 1 1 21,03422F2 F1 Por otro lado MPa N kN F kNcmNh 10 5305 1315 4900 405 2 1 F 1360 kN 2 163. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 162Problema 3.15 La pieza recta de la figura 1 tiene 4 metros de longitud y su seccin recta esun cuadrado de 30 cm. de lado. En dos de sus caras opuestas se produce un incremento detemperatura de valor t = 20C, de tal forma que produce una distribucin de temperaturas enla seccin tal como muestra la figura 1.Admitiendo que se cumple la hiptesis de Navier, y que = 10-5 C-1 y Eh = 35 GPa,Hallara) Tensiones que se producen en la seccinb) Incremento (o decremento) de longitud de la pieza.Fig. 1 Barra sometida a esfuerzos trmicosSolucinFig. 2 Deformacionesa) La seccin debe permanecer plana, por lo que la suma de las deformaciones trmicasms las mecnicas debe estar en un plano (ver figura 2) 164. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 163Por lo tanto:t kSiendo k una constante a determinar. Adems (se usarn las unidades kN y m):35t t 3 133,33 100,15x xm x 3 36 235 10 kN mxEh Sustituyendo: kxx 633535 10133,33 10 63 x 3510 k 46.666,67 x3 Adems, por equilibrio de fuerzas0,15 03 3 x dx 0Es decir:0,15 035 106 k 46.666,67 x dx 5,25 10 6k 525 03 3o sea,k = 10-4con lo cual 3 3 x 3.500 46.666,67 xcon lo cual, las mximas tensiones de traccin se producen en x3 =0 y valen kN m MPa t 3.500 2 3,5max y las mximas de compresin para x3 = 0,15 m: kN m MPa c 3.500 46.666,67 0,15 3.500 2 3,5max b) Las deformaciones en x3 = 0 valen 165. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 16443.500 106 35 10Por lo tanto, el alargamiento de la pieza valdr: L L 4104m 0,4 mm 166. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 165Problema 3.16 En la estructura de la figura 1, la pieza AB es de longitud indefinida einfinitamente rgida. Sobre ella, acta una fuerza vertical de valor F = 200 kN.Las piezas verticales estn articuladas en sus dos extremos, y tienen una seccin de 5 cm2 y unmdulo de elasticidad E = 2105 MPa.Hallara) Para x = 3,5 m esfuerzos en las barras verticales.b) Valor de x para que la barra CD no tenga esfuerzos. En este caso hallar los esfuerzosen las otras barras.c) Valor de x para que el esfuerzo en GH sea de 50 kN de compresin. Valor de losesfuerzos en las otras dos barras.Fig. 1 Estructura del problema 3.16Solucina) Dado que la pieza AB es infinitamente rgida, las posiciones finales de los puntos D, y Hestarn sobre una recta, por lo que los alargamientos de las barras cumplirn la relacin (verfigura 2)EP CD GH CD L L L L 3 7Fig. 2 Alargamientos de las barras 167. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 166Por otro lado, (se usarn las unidades kN y m)4 CD25000 L CDNCD CDCDNE A L N 4 EP25000EPEP EPEPNE A4 GH25000GHN L GH GHGHNE AAdems: Por equilibrio de fuerzas:N N N kN CD EP GH 200 Por equilibrio de momentos:7 4 3,5 200 700 CD EP N NCon lo cual se obtieneN kN CD 62,2 N kN EP 66,2 N kN GH 71,6b) Si NCD = 0 es preciso modificar nicamente la ecuacin de momentos quedando sta ltima:4 NEP = 200 xcon lo cual,x = 1,2 m NEP = 60 kN NGH = 140 kNc) Si NGH = -50 kN , la ecuacin de momentos queda:7 NCD + 4 NEP = 200 xpor lo quex = 7,59 m NCD = 172,7 kN NEF = 77,3 kN 168. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 167Problema 3.17 Un prisma mecnico de seccin variable, longitud L = 30 m, y eje rectovertical tiene el extremo superior empotrado. En el extremo inferior est aplicada una cargaP = 150 kN.Conociendo la tensin admisible 120 MPa , el mdulo de elasticidadE 200 GPa y el peso especfico del material 78 kN m3 , se pide calcular:1. El rea de la seccin recta del empotramiento, si el prisma es un slido de igualresistencia.2. El volumen del prisma mecnico.3. El alargamiento total4. Energa de deformacin.Fig. 1 Pieza sometida a esfuerzo axilSolucina) Se trata de determinar la expresin del rea del prisma en funcin de x de forma que,sometido a su propio peso y a una fuerza P, las tensiones sean constantes en todo el cuerpo.Si A(x) es el rea, las tensiones valdrnA d PAxx 0 ( ) es decir, dxd A x A(x)y resolviendo la ecuacin diferencialA A e x /0siendoA P 0 169. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 168o sea:A P e x / b) El volumen del prisma, supuesto espesor unidad valdrV P e x / dx Pe x 0,0379 m 30 3030 /0 c) El alargamiento total valdr:mdx LE 0,018 300Ed) La energa de deformacin se escribir:1 3m juliosV MPaE(120 )GPadVEWV0,0379 1,36442 2001222 2 2 170. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 169Problema 3.18 Una losa rgida de forma cuadrada est sostenida horizontalmente en losvrtices por cuatro tirantes verticales iguales.Determnese los esfuerzos originados en los cuatro tirantes por una carga F que acta en unpunto de una diagonal.Fig. 1 Losa correspondiente al problema 3.18SolucinPor simetra los esfuerzos en B y en C sern iguales. La losa rgida se mantiene plana, por lo quelos movimientos verticales de B y C sern la semisuma de los de A y D. Adems, como todoslos tirantes son iguales, la misma relacin que en los desplazamientos se cumplir con losesfuerzos, es decir:2 Por equilibrio de fuerzas 2 FTomando momentos respecto a la recta que pasa por B y por CL 2 Fd 02Resolviendo el sistema: 171. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap3. Esfuerzo axil 170F 1d 4 L2 F4F 1d 4 L2 172. Captulo 4:Momento flector 173. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 172Problema 4.1 La viga de la figura 1a) tiene la seccin que se representa en la figura 1b).Hallar el valor mximo de la carga p de forma que las tensiones no sobrepasen los 200 MPa.Fig. 1 Viga y Seccin del problema 4.1SolucinLas caractersticas geomtricas de la seccin valenA = 150 cm2yg = 19,33 cmI = 35266,7 cm4La ley de momentos flectores se indica en la figura 2Fig. 2 Ley de momentos flectoresEl momento flector en B vale 1,6 2M p 1,28p fB 2Se halla la reaccin en A4 42R p 1,28 p 8 1,28 p R 1,68p A A 2 174. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 173La ley de momentos flectores se escribex2 M px p f 21,68y el valor mximo:1,68 1,68 1,68M Mx p p fmx 1,41222 La tensin mxima valdr M y max ISe homogeinizan las unidades:Si p kN m M kN mI = 35266,7 10-8 m4zg = 20,67 10-2 m3 2max 200 MPa 20010 kN m My max ISustituyendo,200 10 1,41 20,67 10 82335266,7 10 p p200 1,41 20,67 35266,7 10 3200 35,2667 p 242 kN m1,41 20,67 175. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 174Problema 4.2 Determinar las magnitudes de las cargas admisibles que actuan sobre la vigade las dimensiones dadas. ( MPa MPa trac com 48 , 120 )Fig. 1 Viga y seccin del problema 4.2SolucinEn la figura 2 puede verse la posicin del centro de gravedad de la seccin.El momento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa por el c.d.g. valeI = 0,973910-4 m4y el reaA = 210-2 m2El momento flector en el empotramiento vale Mf = 4 p y tracciona la fibra superior dela seccin. Por lo tanto, las tensiones en la fibra superior valdrn (mximas de traccin)0,0684P 0,9739 104 t Las tensiones en la fibra inferior valdrn (mximas de compresin)0,1724P 0,9739 104 c Igualando48 MPa 48000 kN m2 t 120 MPa 120000 kN m2 c se obtieneP1 = 17,19 kN P2 =17 kNEl valor de P ser el menor de los dos. Por lo tanto, 176. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 175P = 17 kNFig. 2 Posicin del centro de gravedad 177. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 176Problema 4.3 La seccin recta de la viga de la figura 1 est formada por una doble T (IPN)que tambin se representa en la figura. Estando la viga en carga se suelda a la misma unaplatabanda de 10 cm. de longitud y 1 cm. de espesor a cada ala de la doble T. Realizada lasoldadura, se eliminan las cargas de la viga.Determinar el valor de la mxima tensin normal que aparece en la seccin del punto B cuandose quitan las cargas.Fig. 1 Viga y seccin del problema 4.3Caractersticas de una seccin IPN 200 Canto h = 20 cm Anchura de las alas: b = 10 cm Mdulo resistente: W = 194 cm3 Momento de inercia: I = 1940 cm4SolucinEl momento flector en B vale MfB= 45 kNm.Las tensiones mximas en el punto B valdrnMPaM fB kNm231,963 cmW45194Seguidamente se sueldan sendas platabandas de 1 cm10 cm en cada ala. El nuevo momento deinercia valdrI = 1940 + 2 10 1 10,52 = 4145 cm4Cuando se quitan las cargas aparecern unas tensiones (en las alas de la subseccin IPN 200) devalorkNm 10 108,56' 45 4 cm MPacm4145Por lo tanto las mximas tensiones residuales valen:MPa RES ' 231,96 108,56 123,4 178. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 177Problema 4.4 Una seccin de hormign de forma cuadrada de 80 cm de lado tiene un huecocircular de 10 cm de radio. El hormign tiene un mdulo de elasticidad de 2104 MPa y unatensin normal admisible, tanto a traccin como a compresin de 16 MPa.El hueco se rellena de acero de mdulo de elasticidad 2105 MPa y de tensin normaladmisible, tanto a traccin como a compresin, de 120 Mpa, de tal manera que se supone queacero y hormign trabajan solidariamente unidos.Sobre la seccin conjunta se aplica un momento flector M que lleva la direccin y sentido delsemieje positivo Gx2.Fig. 1 Seccin mixta del problema 4.4Se pide:Valor mximo de M que puede soportar la seccin.SolucinEl momento de inercia de la seccin mixta (referido al hormign vale)I*= 3,484 10-2 m4Las mximas tensiones en el hormign valdrn2M MPa kN m2 0,4 16 16000 n 3,484 10y en el acero2M MPa kN m2 0,1 10 120 120000 a 3,484 10De las anteriores expresiones se deducen dos valores de M 179. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 178M1 = 1393,6 kNm M2 = 4180 kNmSe toma el menor valor, es decirM = 1393,6 kNm 180. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 179Problema 4.5 En la seccin de la figura 1 todas las paredes tienen el mismo espesor (e=1,2cm). El mdulo de elasticidad de AB y CD vale 2E mientras que para el resto de las paredesvale E. Cuando un esfuerzo de compresin N= 100 kN acta en D, hallar: Fibra neutra Distribucin de tensiones normales a lo largo de AHFig. 1 Seccin correspondiente al problema 4.5SolucinEn la figura 2 puede verse la posicin del centro de gravedad mecnicoFig.2 Posicin del centro de gravedad mecnicoLos momentos de inercia mecnicos respecto a los ejes x2 y x3 valen:I * 216762,5 E2 181. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 180I * 54000 E3 El rea mecnica valeA*= 384 Ey por lo tanto, los radios de giro se escriben:2*r I ( ) 216762,5 cm* 2 22 564,486*384EEA2*r I ( ) 54000 cm* 2 33 140,625*384EEALas tensiones normales (x2 ; x3) en un punto cualquiera valen: N E x xx N eN e x x E x x N2 3 2 3 * 1x ee 3* 2 2 32* 2 32*2 32* 233* 32;; ; xrrAxIIAIgualando 2 3 x ; x a cero se obtiene la fibra neutrax ee 3 x 1 0 * 2 232* 2 32rry sustituyendo:01 10,3125 x 15x 3 2 140,625564,4861 0,1067 0,01827 0 2 3 x x lo cual constituye la expresin de la fibra neutra. Las coordenadas x2 y x3 vienen expresadas encentmetros.Las tensiones a lo largo de AH se escriben:; 100x x x x kN 2 3 2 3 2 3 2 1 0,1067 0,01827 2604,17 1 0,1067 0,018270,0384mE x x E x x MPa 2 3 2,60417 1 0,1067 0,01827Para el punto A: MPa A 2,60417 1 0,1067 15 0,01827 30,3125 0,1216 MPa H 2,60417 1 0,1067 15 0,01827 39,6875 3,452En la figura 3 puede verse dibujada la fibra neutra as como la distribucin de tensiones 182. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 181Fig. 3 Fibra neutra y distribucin de tensiones 183. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 182Problema 4.6 La seccin de la figura 1 est compuesta por una parte superior de 60 7cm2 de hormign de mdulo de elasticidad Eh= 30 GPa. Los espesores de las chapas de aceroson: 8mm. para la chapa horizontal y 3mm. para las chapas inclinadas.El mdulo deelasticidad del acero vale Ea = 210 GPaFig. 1. Seccin y viga del problema 4.6La pieza a la que corresponde dicha seccin se construye de la siguiente forma: Se coloca la parte metlica sobre los apoyos A y B y se aplican dos fuerzas F Se hormigona el rectngulo de hormign y una vez ste ha endurecido se retiran lasfuerzas F.SE PIDE:1. Valor de las fuerzas F para que durante el proceso de construccin lasmximas tensiones de compresin en el hormign valgan 2 MPa.2. Hallar y dibujar la distribucin de tensiones en la seccin de acero del tramoAB una vez colocadas las fuerzas F.3. Una vez retirada la fuerza F hallar y dibujar la distribucin de tensiones en elhormign y acero.4. Teniendo presente que en el tramo AB la curvatura es constante, hallar laflecha final en el punto medio de AB.SolucinPara la subseccin de acero, el rea, posicin del c.d.g. respecto a la fibra inferior y elmomento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa por el c.d.g. valen:A 27,404 cm2 a 42 I 755,71 cm a 184. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 183xa cmG 3,5372 3 En cuanto a la seccin homogeneizada:* 44.896,1 4 ( )2 I cm referido al hormignx cm G * 15,1823 En la figura 2 pueden verse representadas posiciones de los c.d.g.Fig. 2 Posiciones de los centros de gravedada) Seccin de acero. b) Seccin mixta1. Cuando se retiran las fuerzas F , las tensiones mximas en el hormign valdrn MPaF 1 8,818cmh 2* 8 m42M xI44.896,1 102 3 maxmax Despejando el valor de F valeF 10,1828 kN2. Las tensiones en el acero una vez colocadas las fuerzas F valen (figura 3a))MPakN m cm10,1828 1 13,46282 a 181,407cm755,714 MPakN m cm10,1828 1 3,53723 a 47,662cm755,714 3. Distribucin final de tensionesa. Tensiones provocadas por la retirada de F (figura 3 b))MPakN m cm10,1828 1 8,818h 2cm44896,141 185. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 184 MPacmkN m cm cm10,1828 1 17 15,182h 0,41244896,142 2 2 a 7 h 2,886 MPaMPakN m cm10,1828 1 15,182a 7 24,1cm44896,143 b. Tensiones totales (figura 3 c))1 1 h h MPa 22 2 h h MPa 0,4122 2 2 a a a MPa 181,407 2,886 178,5213 3 3 a a a MPa 47,662 24,1 23,562Fig. 3 Distribuciones de tensiones4. Curvatura y flecha.Al cargar el acero con las dos fuerzas F se produce una curvatura de valorkN m10,1828 1 14Ma a20,006416210 755,71 mGPa cmE Ia 186. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 185Al quitar las fuerzas, se produce en la seccin mixta una curvatura de valorkN m10,1828 1 1M* 0,000756* 30 44896,142 mGPa cmE IhLa curvatura final valdr * 0,00566m1 a Teniendo en cuenta que la deformada es un crculo, la flecha en el punto centro luzvaldr f L 2 2 5 2 2 0,00566 m 0,01769m22 187. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 186Problema 4.7 La seccin de la figura 1, se fabrica de la siguiente forma:a) Se coloca la viga doble T de acero sobre dos apoyos procediendo a cargarla con dosfuerzas F, tal como indica la figura.b) Seguidamente se coloca sobre AA la capa de hormign y, una vez ste ha endurecido,se retiran las fuerzas F.Hallar:El valor de F para que se cumplan las dos siguientes condiciones:-Tensin en el acero al final del proceso en la seccin centro luz inferior a 50 MPa.-Tensin final en el hormign en la seccin centro luz inferior a 5 MPa.c) Una vez construida la pieza se carga la misma con una fuerza puntual de valor Paplicada en el punto medio de AA. Se pide:-Valor de esta fuerza para que las tensiones finales en el alma del acero seanconstantes, y valor de esta tensin.NOTAS:1. Espesor en la pieza de acero igual a 1 cm.2. 7 a h E E3. Peso especfico del hormign 25kN m3 h Fig. 1 Estructura correspondiente al problema 4.7 188. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 187SolucinLa seccin de acero tiene un momento de inercia de valor I 21333cm4 2,1333 10 4 m4 aEl centro de gravedad mecnico de la seccin mixta est situado a 42,22 cm de la fibra inferiordel acero (figura 2). El momento de inercia mecnico de la seccin mixta (reducido alhormign) vale I * 57,6104m4 .Fig. 2 Seccin mixtaa) Cuando actan las fuerzas F , la ley de momentos flectores es la que se dibuja en lafigura 3Fig. 3 Ley de momentos flectores debido a las fuerzas FLas tensiones en el acero valdrn Fibra 1a 2 F 0,2 4Fa1 4 0,1875 10 (compresiones)2,1333 10 Fibra 2a 2 F 0,2 4Fa2 4 0,1875 10 (tracciones)2,1333 10b) Se carga la viga de acero con el hormign fresco: 189. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 188El peso especfico del hormign fresco vale: 25 kN m3 h por lo que el peso del hormign fresco por unidad de longitud de viga serkN mkNh 25 0,2 0,8 4 3 mEsta carga producir un momento flector mximo en la viga de acero de valor:4 152M 112,5kNm f max 8Las tensiones en las fibras 1 y 2 del acero debido al peso del hormign valen Fibra 1b 112,5 0,2 kN ma 4 21 4 10,55 10 2,1333 10 Fibra 2b 112,5 0,2 kN ma 4 22 4 10,55 10 2,1333 10b) Una vez endurecido el hormign, se eliminan las fuerzas F (lo cual es equivalente adejarlas y aplicar en los mismos puntos dos fuerzas F de sentido contrario). Dichas fuerzasproducen sobre la seccin mixta una ley de momentos flectores representada en la figura 4Fig. 4 Ley de momentos flectores al retirar las fuerzas FLas tensiones que aparecen valen: Fibra 1. Tensiones en el acerob F F Fa 7 146,6 1026,27 2 0,42222 457,6 10'1 Fibra 2. Tensiones en el acero b F F Fa 7,72 7 54 7 2 0,42222 0,4 4 57,6 10'2 190. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 189 Fibra 3. Tensiones en el hormignb 2 F 0,2 0,02222 61,73Fh 57,6 104'3 Tensiones finales: Fibra 1. Tensiones en el acero4 4 41 0,187510 F 10,5510 1026,2F 848,8F 10,5510 a Fibra 2. Tensiones en el acero4 4 42 0,187510 F 10,5510 54F 1929F 10,5510 a Fibra 3. Tensiones en el hormignF h 61,72 3 Se imponen las condiciones848,8 F 10,55 10 50000 kN 65,39 2 4 F kNm1929 F 10,55 10 4 50000 kN 80,61 2F kNm 61,73 F 5000 F 81 kNEs decir:F 65,39 kNCon F 65,39 kN , la distribucin de tensiones en el acero se indica en la figura 5Fig. 5 Tensiones en el acero 191. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 190c) Se aplica la fuerza puntual con un momento de sentido horario (fuerza ascendente)las tensiones que se producirn en 1 y 2 sern:3,75 0,42222 7 1924,18 1 4 57,6 10 3,75 0,42222 0,4 7 101,262 4 57,6 10Para que la distribucin de tensiones en el acero sea constante es preciso que lastensiones totales en la fibra 1 (las previas ms las provocadas por la carga ) sean iguales a lasde la fibra 2. Es decir,20637 101,26 50000 1924,18PO sea: 16,11 kN fuerza ascendenteLa tensin final en el acero valdr: 20637 101,2616,11 19005 kN m2 19 MPa 192. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 191Problema 4.8 La estructura de la figura 1 se construye de la forma siguiente:Fig. 1 Viga y seccin1. Se colocan las piezas de acero AB yBC sobre los apoyos y de forma independiente2. Se coloca sobre ellas una capa de hormign de densidad 25 kN/m3 y espesor tal queuna vez endurecido el hormign la fibra neutra de la nueva seccin est en el contactohormign-acero.3. Una vez endurecido el hormign, se sueldan las dos piezas de acero en la seccin B yse quita el apoyo central (apoyo B).HALLAR: Mximas tensiones en el hormign en la seccin media de AB Mximas tensiones en el acero en la seccin media de AB Distribucin final de tensiones en la seccin media de AB 10 a h n E ESolucin Caractersticas mecnicas de la subseccin de acero (figura 2)x2g = 6,944 cmA = 45 cm2I2 = 3038,19 cm4 Caractersticas mecnicas de la seccin mixta. 193. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 192Dado que el contacto entre el hormign y el acero debe corresponder a la fibra neutra, elvalor de x ser tal que en este mismo punto est situado el centro de gravedad mecnicode la seccin, es decirx = 18 cmA* = 50 x + 45 n = 1350 cm2* 42 I 274.083,3 cmFig. 2 Subseccin de aceroSe determinan las tensiones en el hormign y en el acero en el punto medio de ABa) Sobre la pieza biapoyada AB se coloca el hormign fresco (figura 3)Fig. 3 Sobrecarga debida al hormign frescoEl peso propio del hormign equivale a una sobrecarga de p = 0,18 0,5 25 = 2,25 kN/m. Lareaccin en B valdr 2,25 10 RAB kNB 11,252El momento flector en el punto medio de AB valdr2,25 102M 28,125kN m f 81que provoca unas tensiones en el acero de valorpara el punto 1: 194. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 193 MPa compresinkNm m 167.147,2 kN167,153038,19 10 1 1 8 4 m2 para el punto 2: kN m MPa traccin28,125 0,25 0,06944mkNm m 64.281,69 64,328,125 0,06944 2 1 2 8 4 m3038,19 10La distribucin de tensiones viene dada en la figura 4Fig. 4 Distribucin de tensiones en el acerob) Se sueldan las dos piezas de acero una vez endurecido el hormign:Este hecho no provoca tensiones al no dar lugar a ningn tipo de deformacin.c) Se quita el apoyo central B.La reaccin total en B valeR R RBC kNBABB B 22,5Estticamente se puede sustituir el apoyo por la reaccin RB. Quitar RB equivale amantenerla y aplicar en este punto una fuerza RB igual y de sentido contrario (ver figura 5).Fig. 5 Efecto de eliminar la reaccin RBEl momento flector en B valdr 195. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 19422,5 20M 112,5kN m fB 4En el punto medio de AB el momento flector valeMM fB112,5kNm kNm f 56,25 2 2 2Este momento acta, lgicamente, en la seccin mixta, y produce una distribucin de tensionesde valor:Fig. 6 Distribucin de tensiones en la seccin mixta como consecuencia de quitar el apoyo B-En el punto 3 (ver figura 6)kNm m 3.694,1 3,756,25 0,18 2 kN m MPa 2 3 8 4 m274.083,3 10- En el punto 1: 0 2 1 - En el punto 2: n kN m MPa traccinkNm m 51.307,4 51,307456,25 0,25 2 2 2 8 4 m274.083,3 10Sumando estas tensiones a las obtenidas previamente se obtiene la distribucin final detensiones f.Hormign MPa compresin f 3,7 3 0 f 1 196. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 195Acero MPa MPa compresin f 0 167,15 167,15 1 64,3 51,3074 115,6074 MPa traccin f 2Fig. 7 Distribucin final de tensiones 197. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento flector 196Problema 4.9 La pieza de la figura 1, con la seccin mixta que se indica, se construye de lasiguiente forma:- Se apoya el acero sobre los tres apoyos indicados.- Se construye la parte de hormign vertiendo el hormign fresco directamente sobre elacero, de tal forma que ste ltimo aguanta el peso del hormign fresco (pesoespecfico: 23kN m3 ). En esta etapa, experimentalmente se constata que la reaccinen el apoyo central vale 43,125kN .- Cuando el hormign est endurecido se elimina el apoyo central.HALLAR la distribucin de tensiones en la seccin situada en el punto medio de la viga finalresultante (viga con dos apoyos de 10 metros de luz) ( 7 a h n E E )Fig. 1 Seccin correspondiente al problema 4.9SolucinEl centro de gravedad de la subseccin de acero est situado a 4,1 cm del eje de la pared inferior(figura 2.a). El momento de inercia respecto a un eje horizontal que pasa por dicho centro degravedad valeI 7159,1 cm4El peso del hormign fresco produce una carga uniformemente repartida a la subseccin deacero de valorp 0,31,0 23 6,9 kN m 198. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap 4: Momento