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PROBLEMAS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES

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  • 1. E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y PuertosBarcelonaProblemas deResistencia de Materiales yEstructurasJuan Miquel CanetJuan Miquel CanetProblemas de EstructurasVersin 12.01

2. Captulo 1:Anlisis de tensiones 3. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 2Problema 1.1. Dado el tensor de tensiones (las unidades son MPa),120 7575 300Tdeterminar los planos en los cuales las tensiones tangenciales son nulas (planos principales).Hallar asimismo el valor de las tensiones normales en dichos planos (tensiones principales).Fig. 1 Tensor de tensionesSolucinObsrvese la figura 2 en la cual un rectngulo elemental de dimensiones dz1 , dz2 se corta por unplano AB de cosenos directores N=[l,m]t siendo l = cos , m = sin . Haciendo el equilibrio defuerzas en direccin N y en la direccin normal a N, se tiene respectivamente .AB OB OB OA OAcos sin cos sin 0 AB OB OB OA OA1 1 2 sin cos sin cos 01 2es decir, cos sin sin 2 sin 2 cos 22 122221 1 Haciendo en las anteriores ecuaciones 0 se obtiene el valor del ngulo p correspondienteal plano principal,0,375tan 2 2 2 75120 300 1 2 p 4. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 3Fig. 2. Tensiones en un plano cualquiera0,375tan 2 2 2 75120 300 1 2 p9,83 1 p 80,17 2 p Por lo que respecta a las tensiones, sustituyendo en el valor de se obtiene1 MPa I p ( ) ( 9,83) 120cos2 ( 9,83) 300sin 2 ( 9,83) 75sin( 2 9,83) 132,992 En la figura 3 pueden verse representados los valores anteriores.MPa II p ( ) (80,17) 120cos2 (80,17) 300sin2 (80,17) 75sin(2 80,17) 312,99Fig. 3 Planos y tensiones principales 5. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 4Problema 1.2. En el estado de tensin plana representados en la figura 1 determinar:a) Tensiones que actan sobre el plano ABb) Direcciones principalesc) Tensiones principalesFig. 1 Estado de tensin planoSolucina) Las tensiones y sobre el plano AB valdrn, (ver problema 1.1) 40cos2 30 10sin2 30 15sin(230) 19,51MPa10 40 sin(2 30) 15cos(2 30) 20,49MPa2 Sobre el plano CD: 40cos2 120 10sin2 120 15sin(2120) 30,49MPa10 40 sin(2 120) 15cos(2 120) 20,49MPa2 b) A partir de los resultados obtenidos en el problema 1.1tan 2 2 15 1 p 40 10 6. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 522,5 1 p 67,5 2 p c) Se obtendrn las tensiones principales40 10 40 102MPa I 15 46,21222 40 10 40 102MPa II 15 3,79222 En la figura 2 pueden verse representados los planos y las tensiones principales.Fig. 2 Tensiones y planos principales correspondientes al problema resuelto 1.2 7. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 6Problema 1.3 Con respecto a la pieza en tensin plana que se indica en la figura.1,determinar el tensor de tensiones.Fig.1 Pieza sometida a tensin plana correspondiente al problema resuelto 1.3SolucinPartiendo de los resultados obtenidos en el problema 1.150 cos2 70 20sin2 70 sin(2 70)1 10 20 1 sin(2 70) cos(2 70) 2Resolviendo el sistema anterior,121,51MPa 1 72,43MPaEl tensor de tensiones se escribir por tanto121,51 72,43 72,43 20 8. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 7 Problema 1.4 El elemento plano de la figura 1 est sometido a las tensiones que seindican. Hallar:-Tensiones sobre un plano cuyo vector normal forma 70 con el eje z1.-Tensiones principalesFig.1 Tensor de tensionesSolucinSe desea obtener la tensin normal y la tensin tangencial en el plano AB representadoen la figura 2Fig 2 Tensiones en un plano inclinado ABPor equilibrio de la laja cos sin2 sin 2 2 1 2 70cos2 70 32sin2 70 24sin(2 70) 21,02MPa1 2 sin 2 cos 22 9. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 832 70 sin(2 70) 24cos(2 70) 6,17MPa 2 Anlogamente, los planos principales se obtendrn a partir de1,262 tan 2 2 2470 32 1 2 pEs decir,25,82 1 115,82 2 y las tensiones principalesMPa I 70cos2 (25,82) 32sin2 (25,82) 24sin(225,82) 81,61MPa II 70cos2 (115,82) 32sin2 (115,82) 24sin(2115,82) 20,39En la figura 3 pueden verse representadas las tensiones principalesFig. 3 Planos y tensiones principales 10. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 9 Problema 1.5 En un determinado punto en el cual el estado de tensiones es plano, losplanos principales forman un ngulo de 76,35 y 166,35 (medidos como el ngulo que forma lanormal a dichos planos con el eje z1), valiendo las tensiones principales 50,89 MPa y -18,89MPa. Determinar el tensor de tensiones.SolucinEl estado de tensiones es el representado en la figura 1Fig.1 Planos y tensiones principalesEl tensor de tensiones T en los ejes principales 1 z y 2 z se escribe50,89 0 0 18,89El tensor puede obtenerse supuesto conocido el de tensiones (referido a los ejes z1 y z2)mediante un cambio de base= TSiendo la matriz de cambio de base sin 76,35 cos76,35 = cos76,35 sin 76,35por lo que= T es decir : 11. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 10MPa cos 76,35 sin 76,35 50,89 0 cos 76,35 sin 76,35 15 1616 47sin 76,35 cos 76,350 18,89sin 76,35 cos 76,35En la figura 2 puede verse representado el tensor de tensionesFig.2 Tensor de tensiones 12. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 11Problema 1.6 En un determinado estado plano de tensiones, se sabe que 40MPa 1 y25MPa 2 . Sabiendo que en un plano cuya normal forma 30 con el eje z1 la tensintangencial vale -1,50 MPa, determinar el valor de la tensin tangencial del tensor detensiones.SolucinEl estado de tensiones puede verse representado en la figura 1Fig. 1 Estado de tensionesPor equilibrio de la laja se sabe que2 1 sin 2 cos 22 y sustituyendo25 40 -1,5 = sin2 30 cos2 302Es decir: 10MPa 13. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 12 Problema 1.7 En el problema 1.4 determinar el valor de la tensin tangencial mxima,plano en el que se produce y valor de la tensin normal en este plano.SolucinEn un plano cualquiera, las tensiones valen: cos sin2 sin 2 2 1 22 1 sin 2 cos22 y derivando el valor de ' con respecto a e igualando a cero,0 2 1 2cos 2 2 sin 22 ddEs decir:0,79132 70 tan 2 2 1 2 242 19,18 1 109,18 2 32 70sin2 19,18 24cos2 19,18 30,61MPa 1 2 32 70sin2 109,18 24cos2 109,18 30,61MPa2 2 Fig. 1 Tensiones en los planos de tensin tangencial mximay las tensiones normales 14. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 13 70cos2 19,18 32sin2 19,18 24sin2 19,18 51MPa1 70cos2 109,18 32sin2 109,18 24sin2 109,18 51MPa2 En la figura 1 pueden verse representadas las anteriores tensiones en los planos dados por 1 y2 15. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 14Problema 1.8 En la laja de la figura 1 se conocen las tensiones que all se indican,determinar el tensor de tensiones as como las tensiones , y .Fig.1 Tensiones en una lajaSolucinDel tensor de tensiones se conocen dos componentes20MPa 2 y 25MPaPor otro lado, la normal al plano AC tiene por componentesl cos 225 22m sin 225 22y como la tensin normal al plano AC vale 50 MPa , puede escribirse50 cos 225 sin2 225 sin2 225221 y sustituyendo, se obtiene70MPa 1 Obtenido el tensor de tensiones, los valores , y se obtienen simplemente porequilibrio 24,15MPa ; 51,47MPa ; 45MPa 16. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Anlisis de tensiones 15Problema 1.9 De un determinado estado tensional plano se sabe que: Para un plano cuya normal forma un ngulo de 30 con z1 la tensin normal vale 94,2MPa Para un plano cuya normal forma un ngulo de 45 con z1 la tensin normal vale 75MPa Para un plano cuya normal forma un ngulo de 60 co z1 la tensin normal vale 69,2MPaHallar el tensor de tensionesSolucinLos planos que se indican pueden verse representados en las figuras 1 a) b) y c)Fig. 1 Tensiones en diferentes planosSi se conocen los valores del tensor de tensiones 1 , 2 y las tensiones en un planocualquiera valen (ver ejercicios anteriores) cos sin2 sin 2 2 1 2y sustituyendo para 30 , 45 , y 6094,2 cos 30 sin2 30 sin 60221 75 cos 45 sin2 45 sin 90221 69,2 cos 60 sin2 60 sin120221 con lo que150MPa 1 , 100MPa 2 , 50MPa 17. Captulo 2:Leyes de esfuerzos 18. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 17Problema 2.1 Determinar las reacciones y leyes de esfuerzos de la mnsula de la figura 1Fig. 1 Pieza recta correspondiente al problema 2.1SolucinLas reacciones valdrn V F B ; M aF B .Para determinar las leyes de esfuerzos, se corta idealmente la estructura por un punto arbitrarioC de abcisa x1 (Fig. 2). La fuerza resultante ser vertical e igual al cortante, mientras que elmomento de las fuerzas situadas a la derecha de C valdr ( ) 1 M F a x f . Las leyes deesfuerzos sern por tantoQ F( ) 1 M F a x f Dichas leyes pueden verse representadas en las figuras 3.a) y 3.b), respectivamente.Fig. 2 Corte por C en la estructura de la figura.1Fig. 3 Leyes de esfuerzos. a) Esfuerzos cortantes b) Momentos flectores 19. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 18Problema 2.2 Determinar las leyes de esfuerzos en la pieza de la figura 1Fig .1 Viga biapoyada del problema 2.2SolucinPor equilibrio, se obtienen los valores de las reacciones en A y BR pL A 0,5R pL B 2,5Cortando idealmente la pieza por un punto situado entre B y C, y de coordenada x1 los esfuerzosvaldrnM L x p L Cf B 1 3 Q p L CB 0 CB NFig. 2 Leyes de esfuerzos. a) Momento flector. b) Esfuerzo cortante. 20. Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 2: Leyes de esfuerzos 19Cortando nuevamente la pieza por cualquier punto entre A y B y de coordenada x1 se obtiene 2 L 2M 3 L x p L x p L x R x p 1p x L BBf A 11211 0,5222 Q B