EL PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMA

EL PROBLEMA DEL ARBOL DE EXPANSIN MNIMAEL PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTAEL PROBLEMA DE FLUJO MXIMOEL PROBLEMA DE FLUJO A COSTO MNIMO

Investigacin de Operaciones IIIng. Csar Canelo SoteloEL PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMAEste problema trata de encontrar un rbol que conecte o comunique a todos los nodos de una red, con una longitud total mnima de conexin.El problema de rbol de Expansin Mnima consiste en determinar el conjunto de aristas de una red que conecta todos los nodos, tal que se minimiza la suma de la longitud de las aristas. Es evidente que este conjunto de aristas no debe contener ciclos.Este problema tambin se conoce como el Problema de rbol Mnimo de Mximo Alcance.EL PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMADEFINICIN Para una red con n nodos, un rbol de expansin es un conjunto de n-1 aristas que conectan los nodos de la red y no contiene ciclos.Un rbol de expansin de longitud mnima en una red es un rbol de Expansin Mnima.EL PROBLEMA DEL RBOL DE EXPANSIN MNIMA 12 4 7

(1,2)-(2,3)-(3,1) es un ciclo. (1,3)-(1,2) es un rbol de expansin. (1,2)-(2,3) es un rbol de expansin. (1,3)-(3,2) es el rbol de expansin mnima.132ALGORITMO PRIMInicialmente consideramos al conjunto de nodos de la red como nodos no conectados o aislados y lo denotamos: U = {1, 2, 3, , n}, y denotamos por S el rbol que es el conjunto de nodos conectados, que inicialmente es vaco.Comenzamos eligiendo arbitrariamente cualquier nodo de U, por ejemplo el nodo 2 y lo incluimos dentro de S excluyndolo de U, es decir S={2} y U={1, 3, , n}.Identificamos el nodo no conectado ms prximo al rbol S, y lo incluimos en S.Se repite el procedimiento, determinando el nodo no conectado ms prximo a cualquiera de los nodos conectados, es decir el nodo de U ms prximo a cualquiera de los nodos del rbol S, hasta incorporar a S todos los nodos de la red.

EJEMPLOEl campus de una universidad tiene 5 microcomputadoras. La distancia entre cada par de computadoras (en 100 mts) se indica en la figura. Las computadoras deben estar interconectadas mediante un cable subterrneo. Determine cmo deben conectarse las computadoras para que la longitud total de cable requerido sea mnimo.41235136422452Las aristas (1, 2), (2, 5), (5, 3) y (5, 4)forman el rbol de expansin mnimaIteracinConjunto de nodos conectadosLongitud de la aristaPar de nodos conectadosInicial1234

{ 5 }{5, 2}{5, 2, 1}{5, 2, 1, 3}{5, 2, 1, 3, 4} --2124--5 22 15 35 4 = 9EL PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTAEste problema trata de encontrar la ruta ms corta (trayectoria de longitud mnima) de un nodo origen a cualquier otro nodo de la red.Sea el grafo G=(X, A), en el cual cada arco tiene una etiqueta no negativa, y donde un nodo se especifica como origen. El problema es determinar el costo del camino ms corto desde el origen a todos los dems nodos de X, donde la longitud de un camino es la suma de los costos de los arcos del camino. El costo de un camino puede indicar un costo, tiempo, distancia o algn recurso que tiene un valor.EL PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTA Si Cij >= 0 es el costo unitario del arco Aij que va del nodo i al nodo j, entonces, Cij no satisface la propiedad geomtrica:

La distancia ms corta y por ende ms econmica entre dos puntos, es la que emplea la recta que une a esos dos puntos. EL PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTAEn la siguiente figura se tiene que no se cumple necesariamente la siguiente desigualdad: Cij + Cjk >= Cik (1) Cik

Cij Cjk En una red se puede cumplir cualquiera de las siguientes relaciones:

Cik >= Cij + Cjk o bien Cik