1

MATRICES

J97B: ;22

332113

;2113

2113

;

++++

=

++++

=

+

=

tyzxtyzx

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

B

-

-=

=-=

=+=+

+=++=+

-==

=+=+

+=++=+

3112

31

212

2231

12

132

2133

Bt

ytyty

tyttyy

ezx

zxzx

zxzzxx

J97A:

===-==+

===-=

+=

=

10;0)1(;1

10;0)1(;0

10

10

10

2

2

2

2

bbbbbbba

aaaaaa

bbaa

ba

ba

ba

Luego: 0110 ==== byabya J01: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2- y las sumamos:

---

--=

-=-

=+

------

=--

216121411

,216121411

35102002511

23

1448142410

24AA

BA

BA

Sustituimos A en la 1 ecuacin y despejamos B:

=

---

---

=

=+

---

--421224

28227247125

,7247125

216121411

2 BB

-=

49142821147

. Luego:

-=

---

--=

49142821147

216121411

ByA

S01B: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2, la 2 por 3- y las sumamos:

-

=

-

-=--

-

=+

3231

27633

69

30804

610X

YX

YX

Sustituimos X en la 2 ecuacin y despejamos Y:

,04102

9693

9211

2,9211

23231

3

--=

-

-

-

-=

-

-=+

-

YY

--=

--=

0251

04102

21Y . Luego:

--=

-

=0251

3231

YeX

--

=

--+

--

=

--+

-

-

=+3676

0251

38125

0251

3231

32312 YX

S04: Multiplicamos la 1 ecuacin por 2 y las sumamos:

--

=

--

=

--

=

-=+

--

=-

2121

105105

51,

105105

5

0341

2

10264

24XX

YX

YX

Sustituimos X en la 2 ecuacin y despejamos Y:

2

=

-=

-=

--

-

-=

-=+

--

2220

21,

2220

2121

0341

2,0341

22121

YYY

-=

1110

. Luego:

-=

--

=1110

2121

YeX

DETERMINANTES

S02B:

----

=

-

-

--

=

-

-

-

-

=-kkk

kkk

kkMM232

212

03221

2110

2110

21102

-=+-=+-++-=-+--=----

= 2222 )1(124423)2()23(1232

210 kkkkkkkk

kkk

1,01 ==- kk

J03A: ,0111

1

)(

)()(

1113

2

1

== zuyuxuxyzxyzxyz

xyzzC

yCxC

zyx

uuuxyxzyz

por tener la 1 y 3 filas proporcionales.

S05B: 7212120

212120

)1(

)3(

21321323 32

13

12

-=--=

--+=

-+

+-+++

xyzFF

yxz

CC

CC

yyyxxxzzz

J07: 1111

10051112015

111201555

-=-=-=-

- cbacbacba

S08: i) 45)3(1553555

3551533

333

222

111

333

222

111

333

222

111

-=-===cbacbacba

cbacbacba

cbacbacba

ii) 91)3()

271(

31)(

31 3

=--=

-=- AA

iii) 3)(

333

222

111

32

333

323232

111

-==+=---cbacbacba

FFcba

ccbbaacba

J09.-3B

---

=

-

-

-=

20301291106

043120

123021

CB

3

-

--=

---

--

---

=-=040223142

020153

1722

20301291106

2 tABCX

28)34(42312

4 -=+-=-

-=X

MATRIZ INVERSA

J00A: a) 0)22(32;211

22310

21110

102

012 =--+-=

-

-=

-

= kkkkkABkkk

kk

kAB

Independientemente del valor de k, BA no tiene inversa.

b) ,0323)2(;23

1

102

01

21110 2 ++=++=

+-

=

-= kkkkBA

kk

kk

BA ya que:

--

=--

==++2

822

1242,0322 kkk no tiene solucin, por lo que, indepen-

dientemente del valor de k, AB siempre tiene inversa

J00B: a)

=

-

=

-

=

-

106628

2002

126630

2002

42210

31001

22103

2013

3

b)

-=

-=

-=

=

-== --

21061

32

3014

61

1002

3012

61

1002

;3012

61;6 11 AXAA

02A: 010,0)1)(1();1)(1(101

11100

=+==-+-+=-

+ lllllllll

ll

10110,01 =-===- y lllll

-

-=

-

-=

==

-

1021

31

310

0021

620020303

61

101131002

;6101131002

2

1 t

l

S05A: ( )BCAXBCAX +=+= -1,

4

,633232

101101

;5

13

202

311

-=--=-

-=

-=

-+

-=+ ABC

-=

-----

-=-

033240033

61

020343303

611

t

A ;

-=

-=

-

-=

21

1

126

6

61

513

033240033

61X

J06B: ( )BAAXBAAX -=-= - 212 ,

=

---

-

=-

=

=

321011111

000110101

;000110101

000101110

100001110

22 BAA

-=

--

-

-=-==

---= -

100101

010

110001010

11,1

100001110

;321

121010

1

t

AA

----

=

---

-=

321331121

321121010

100101

010X

S07A.- Resolvemos la ecuacin: XBAAXABABAXABBABAXAIAB ==+=++=+ -1222)2(

Calculamos la matriz inversa:

1011011 -$=

-= AAA por tanto

=

==-

1011

1101

11))((11

ttAAdj

AA

Luego

--

=

--

=

--

=

2220

1110

211

211011

2X

J08-3B.- i) Sabemos que ttt ABBA = )( por lo que

+

+-=

-

-=

kkk

kk

BA2

321

20110

10211

110223)2)(21()( 22 ===-=-++-== kkkkkkBAAB ttt Luego la matriz tiene inversa para todo 1k

ii) Si 1))(()( -== tt BAXIXBA si

-=-==

2301

)(20 tBAyBAk por

tanto

-=

---

== -

21

23

01

1302

21))(( 1tBAX

S08-3A.-

i)

==

=--=-

-

-=

-

=-

31

01)2(21

121001

2112 2

mm

mmIAm

mmmIA

ii)

-

-=

-

=-

1111

3003

2112

3IA

5

Sea

==

=

--+-+-

=

-

-=-

=

dbca

dbcadbca

dcba

XIAdcba

X0000

0000

1111

)3(

La matriz debe tener las dos filas iguales S09.-3B Resolvemos el sistema por reduccin: i)

)3(7137

3336

32

NMANMANBA

MBANBAMBA

+=+=

=-=+

=-=+

)2(7127

2622

32

NMBNMBNBA

MBANBAMBA

-=-=

-=+-=+

=-=+

Sustituimos las matrices por su valor y operamos:

-=

-=

-+

=

176

71

76

7616

71

1310

2102

371A

-=

-

=

--

=

075

72

72

0522

71

1310

22102

71B

ii)

-=

-

==

= -

21

41

021

2102

41)(1

2102 1 tMAdj

MMM

--=

--

=

-

-

=-

41

21

230

1260

41

1130

2102

411 tNM

J10-3BG ( ) BAIBAAABAAXBAAX +=+=+=+= ---- 1111,

Comprobemos que existe la matriz inversa 101111012201

-$-=--

-= AA

---

=

------

-==-111432221

142132121

))((11t

tAAdjA

A

=

+

=

-

-

---

+

=

2241611047

1241511046

100010001

011131202

111432221

100010001

X

J10.-3AE

++=

-= 12426

2311

011021 kkkkBA

32)(

32023 1 -"$-==--= - kBAkkBA

Resolvemos la ecuacin: 11 )(33)(3 -- === BAIBAXIXBA

-

-=

---=

== -

31

221

6241

21)(12

460 1BABAkSi

6

S10.- 3AG )2(2 1 IBAXIBXA tt +=+= - ; 105 -$= AA

-=

+

-=+ 01

441001221

422IB t

Por tanto

----=

-

----=

----=

----=- 1613

121151

0144

3413

51

3413

51

3143

511 XA

t

S10.- 3BE a)

--= 5321A

--=

-

--=

-

--

--=-= 6332325

5005

3416165210

0155231

5321252 IAAN T

b)

-=

-= - 54

135413 1AXXA ; tAAdj

AAA )(10153

21 1 =$=--=-

--=

-

--=

--=- 213

5235413

1325

13251 XA