problemas propuestos capitulo 5

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Capítulo 5Torsión

Problemas Propuestos Capitulo 5: Torsión

Formulario:

Ip=(De 4−Di4) π32

cv= T n71600

τ=TρIp

θ= TLGIp

ρ=D2

∅= TG Ip

T=71.600∗cvn

19.-Si un árbol circular macizo de 30 mm de diámetro está sometido a un par T de 2.500 kg-cm que produce un ángulo de torsión de 3,38 grados en una longitud de 1,5 m, determinar el módulo cortante del material. Sol. G = 8 x 105 kg/cm2

Datos:

T= 2.500 Kg-cmΘ= 3,38 grados = 0,058992128 radL= 1,5 m = 150cm De= 30 mm =3 cmG=?

Formulas:


θ= TLGIp

Ip=(3 cm4) π32

= 7,95cm4

Despejando G de la formula general nos queda:

G= TLθIp

Entonces:

G= 2500Kg−cm∗105cm0,058992128∗(7,95 cm) ⁴

=¿799378,1747Kg/cm2 ≈ 8*105Kg/cm2

20.-Considerar un árbol circular hueco de diámetro exterior 12,5 cm e interior 7,5 cm. Por la experiencia se ha de terminado que la tensión cortante en las fibras interiores es de 600 kg/cm2. ¿Cuál es la tensión cortante en las exteriores? Sol. 1.000 kg/cm2

Datos:

De = 12,5 cm

Solucionario Resistencia de Materiales Schaum

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Capítulo 5Torsión

Di = 7,5 cm

τ exterior =?

Ρ= D /2 = 3,75cm; exterior = 6,25cm

Formulas:

ρ=D2

; τ=TρIp

Ip=(De4−Di4) π32

Entonces de la formula de tensión cortante:

600Kg /cm2= T 3,75 cm

((12,5 cm)4−(7,5cm)4) π32

Entonces:

T=

600 Kgcm2

∗((12,5 cm)4−(7,5cm)4) π32

3,75 cm = 9817,48 Kg-cm

Como la fuerza para interior y exterior es igual

τ=9817,48Kg−cm6,25cm¿¿= 1000 Kg/cm2

21.-Determinar la tensión cortante máxima en un árbol macizo de 10 cm de diámetro que soporta un par de 228.000 kg-cm. ¿Cuál es el ángulo de torsión por unidad de longitud si el material es acero para el cual G = 8,4 x 105 kg/cm2? Sol. 1.160 kg/cm2, 0,000276 rad/cm

Datos:

D= 10cm

T= 228.000 Kg-cm

P= 5cm

.τ =?

Ø= ?

G= 8,4 x 105 kg/cm2


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Capítulo 5Torsión

Formulas:

∅= TG Ip

; Ip=(De 4−Di4) π32

; τ=TρIp

Entonces con las formulas:

Ip=(10 cm4) π32

= 981,75 cm4 ; τ=228.000Kg−cm∗5cm981,75 cm ⁴

= 1161,19 Kg/cm2

Ø= por unidad de longitud

∅= 228.000Kg−cm

8,4 x105 kgcm ²

∗981,75 cm ⁴ = 0,000276 rad/cm

22.-Determinar la potencia máxima que puede transmitir un árbol macizo de acero de 55 mm de diámetro a 250 rpm si la tensión de trabajo del acero es 750 kg/cm2. Sol. 86 CV

Datos:

D = 55mm = 5,5 cm

N =250 rpm

.τ = 750 Kg/cm2

P= 2.75cm

Formulas:

cv= T n71600

; Ip=(De 4−Di4) π32

; τ=TρIp

Entonces:

Ip=((5,5cm)4) π32

= 89,84 cm4

Si mesclo las 2 formulas de cv y de tensión cortante τ obtengo lo siguiente:

cv=

750Kgcm ²

∗89,84 cm ⁴∗250 RPM

71600∗2,75cm =85,6 ≈ 86


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Capítulo 5Torsión

23.-Un árbol hueco de acero de 5,50 m de longitud tiene un diámetro exterior de 125 mm y uno interior de 6,25 mm y está conectado a una máquina que produce 250 CV a una velocidad de 150 rpm. Calcular la tensión cortante máxima en el árbol y la torsión en los 5,50 m de longitud. Tomar G = 8,4 x 105 kg/cm2. Sol. 330 kg/cm2, 0,0348 rad

Datos:

L= 5,5 m = 550 cm De = 125mm = 12,5 cm /2 =P = 6,25cm Di = 6,25mm = 0,625cm /2 p= 0,3125cm Cv= 250N= 150rpmG=8,4 x 105 kg/cm2 .τ =?Θ=?

Formulas:


cv= T n71600

τ=TρIp

θ= TLGIp

ρ=D2

Entonces

Ip=((12,5 cm )4−(0.625 cm )4 ) π32= 2396,83 cm4

Despejando par (T) de la formula de potencia (cv) obtenemos:

T=71.600∗cvn = 71.600∗250150 rpm = 119333,33 Kg-cm

τ=119333,33Kg−cm∗6,25cm2396,83 cm ⁴

= 311,17 Kg/cm2

θ=119333,33Kg−cm∗550 cm

8,4 x105 kgcm ²

∗2396,83cm ⁴ = 0.03259927

24.-Un eje de hélice de barco tiene 35 cm de diámetro. La tensión de trabajo en cortante admisible es de 500 kg/cm2 y el ángulo de torsión admisible de 1º en 15 diámetros de longitud. Si G = 8,4 x 105 kg/cm2, determinar el par máximo que puede transmitir el árbol. Sol. 4.114.000 kg-cm


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Capítulo 5Torsión

Datos:

D =35 cm

.τ = 500 kg/cm2

Θ= 1º en 15 diámetros de longitud

G = 8,4 x 105 kg/cm2

T =?

El largo se calcula segun lo anterior 15 veces el diámetro= 15*35=525 cm

Formulas:


; τ=TρIp

; θ= TLGIp

Entonces:

Ip=((35cm)4) π32

= 147.323,52cm4

Como no se trabajan en grados hay que pasar al formula a radianes;(2π= 360º), y nos queda de la siguiente manera:

θ= TLGIp

de esta fórmula deducimos el par.

T=2π∗8,4 x10

5 kgcm ²∗147.323,52 cm ⁴

360∗525 cm = 4.114.048,64 Kg-cm

25.-Considerar el mismo árbol del Problema 24, pero con un agujero axial de 17,5 cm en toda su longitud. Las condiciones de tensión de trabajo y de ángulo de torsión siguen siendo las mismas. ¿En qué porcentaje se reduce la capacidad de soportar carga torsional? Sol. 6,25%Datos:Di= 17,5 cm De= 35 cm .τ= 500kg/cm2 Θ= 1ºT=?

Formulas:


cv= T n71600

τ=TρIp

θ= TLGIp

ρ=D2

∅= TG Ip


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Capítulo 5Torsión

T=71.600∗cvn

Entonces:

Ip=¿

500 kg /cm2= T∗17,5 cm138.115,8cm 4 = T =3.946.165,6 Kg-cm

3.946.165,6 kg-cm = x%4.114.048,64 kg-cm= 100%

X%= 93,75% entonces 100% - 93,75% = 6,25%

27.-Un árbol hueco de acero debe transmitir 7.500 CV a 120 rpm. Si la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2y la relación del diámetro exterior al interior es 2, determinar el diámetro exterior. Hallar, además, el ángulo detorsión en una longitud de 12 m. G = 8,4 x 105 kg/cm2. Sol. 30,6 cm. 4,55º

Datos:

Cv= 7500

N= 120rpm

G = 8,4 x 105 kg/cm2.

L= 12m

.τ= 850 kg/cm2

De =?

Θ =?

T=?

Formulas:

T=71.600∗cvn ; Ip=(De 4−Di4) π

32 cv= T n71600 τ=Tρ

Ip θ= TLGIp

Entonces:

T=71.600∗7500120

=4475000Kg−cm


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Capítulo 5Torsión

ρ=D2 mas la formula Ip=(De4−Di4 ) π

32 y esta formula τ=TρIp

obtengo la siguiente fórmula:

De ³=8∗32∗Tπ∗τ∗15

Remplazando los datos obtenemos

De ³=8∗32∗4475000 kg−cmπ∗850 kg /cm ²∗15

=30,58cm

θ= 4475000∗1200∗32

8,4 x105 kgcm ²

∗π∗((30,6 cm)4−(15,3cm )4)=0,0792220599 rad=4 ,54⁰

28.-Determinar el diámetro de un árbol macizo de acero que ha de transmitir 200 CV a una velocidad de 250 rpm si la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2. Determinar, asimismo, las dimensiones de un árbol hueco de acero cuyo diámetro interior es tres cuartos del exterior para las mismas condiciones. ¿Cuál es la relación entre los ángulos de torsión por unidad de longitud de esos dos árboles? Sol. Diámetro = 7,00 cm, diámetro exterior = 7,95 cm, relación = 0,88

Datos:

Cv= 200N= 250rpm .τ= 850 kg/cm2 G = 8,4 x 105 kg/cm2.De=?Di=? Pero Di=3/4De.

Formulas:


τ=TρIp

θ= TLGIp

ρ=D2

T=71.600∗cvn

Entonces:

T=71.600∗200250 = 57.280kg-cm

Al igual que el ejercicio anterior mezclo las siguientes formulas y los datos ρ=De

2 y Ip=(De 4−Di4) π

32 obtengo: De ³=128∗32∗T

π∗τ∗175 Remplazando:


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Capítulo 5Torsión

De ³=128∗32∗57.280 kg−cm

π∗850 kgcm ²

∗175=7.95 cm

El diámetro menor se obtiene con la siguiente fórmula:

Di ³= 32∗Tπ∗τ∗2 =

Di ³= 32∗57.280

π∗850 kgcm ²

∗2 = 7,00cm

La relación entre los diámetros es:

Di/De= 7,00cm/7,95cm =0,881

29.-Considerar un árbol circular macizo que transmite 1.800 CV a 350 rpm. Determinar el diámetro necesario para que (a) no se torsione un ángulo superior a 1 grado en una longitud de 20 diámetros y (6) la tensión cortante no exceda de 650 kg/cm2. El árbol es de acero para el cual G = 8,4 x 105 kg/cm2. Sol. 17,2 cmDatos:

Cv= 1800

N=350 rpm

Θ = 1⁰= 0,018radL= 20 De

G = 8,4 x 105 kg/cm2

.τ= 650 kg/cm2

Formulas:


cv= T n71600

τ=TρIp

θ= TLGIp

ρ=D2

T=71.600∗cvn

T=71.600∗1800350

=368.229 kg−cm

Al igual que los 2 ejercicios anteriores se mezclan las 2 formulas θ= TL

GIp y Ip=(De 4−Di4) π

32 obtenemos: De ³= T∗32∗20

G∗π∗0,0184 rad

Remplazando obtenemos:


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Capítulo 5Torsión

De ³= 368229 kg−cm∗32∗20

8,4 x105 kgcm ²

∗π∗0,0184 rad = 17,23 cm

30.-Un árbol compuesto está constituido por uno macizo de cobre de 65 cm de longitud y 10 cm de diámetro, unido a otro de 80 cm de longitud de acero macizo con 11,5 cm de diámetro. A cada extremo del árbol se aplica un par de 120.000 kg-cm. Hallar la tensión cortante máxima en cada material y el .ángulo de torsión de todo el árbol. Para el cobre, G = 4,2 x 105 kg/cm2, y para el acero, G = 8,4 x 105 kg/cm2. Sol. En el cobre, 610 kg/cm2; en el acero, 400 kg/cm2; θ = 0,0256 rad

Datos: L cu= 65 cm L ac = 80 cm D cu= 10cm D ac= 11,5cm T= 120000 Kg-cm Gcu = 4,2 x 105 kg/cm2 G ac= 8,4 x 105 kg/cm2

.τ cu=? .τ ac=?Θ total=?

Formulas:


τ=TρIp

θ= TLGIp

τcu=120000Kg−cm∗5cm

π∗(10cm)4 /32=611,15kg /cm²

τac=120000∗5,75cmπ∗(11,5 cm )4/32

=401,84 kg /cm²

θtotal= T∗LcuGcu∗Ip

+ T∗LacGac∗Ip

θtotal= 120000 kg−cm∗65cm

4,2 x105kgc m2

∗π

32∗(10cm) ⁴

+ 120000 kg−cm∗80cm

8,4 x 105kgcm2∗π

32∗(11,3cm) ⁴

= 0,0256rad


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Capítulo 5Torsión

31.-El árbol vertical y las poleas enclavadas a él pueden considerarse sin peso. El árbol gira con velocidad angular uniforme. Los esfuerzos conocidos en las poleas son los indicados y las tres poleas están sujetas rígidamente al árbol, como se puede ver en la Fig. (a). Si la tensión de trabajo a cortante es de 530 kg/cm2, determinar el diámetro necesario para un árbol circular macizo. Despreciar la flexión del árbol producida por la proximidad de los apoyos de las poleas.

Sol. 3,15 cm

Datos:

.τ= 530 kg/cm2

D=?

Formulas:

Ip=(De4−Di4 ) π32

ρ=D2

τ=TρIp

T=F x r

Con la aplicación de la última:

150kg -120kg= 30kg T= 30kg * 17,5cm = 525 kg-cm

400kg- 140kg= 260kg T= 260kg* 12,5cm = 3250 kg-cm

530 kg /cm ²=3.250 kg−cm∗D /2

π32

∗D ⁴ Despejando D obtenemos:

De ³= 32∗3250 kg−cm530 kg /cm ²∗2 π∗¿¿

= 3,14cm


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Capítulo 5Torsión

32.-Determinar el número de pernos necesarios para unir dos árboles de 60 mm de diámetro cada uno que soportan un par de 110.000 kg-cm. La tensión cortante admisible en los pernos es de 850 kg/cm2, el diámetro del círculo de pernos de 180 mm y el diámetro de los mismos de 20 mm. Sol. 5 pernos

Datos:D=60mm =6cm T= 110000 kg-cm .τ= 850 kg/cm2

D perno circulo= 180mm =18cm =r =9cm D perno=20mm = 2cm

Formulas:

τ= FA

F=Tr

A=n∗π4

∗d perno ²

Entonces:F=110000kg−cm

9 cm =12.222,22kg

850 kg /cm ²=12.222,22kgn∗π4

∗2² Despejando n obtenemos 4,57 ≈ 5 pernos.


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Capítulo 5Torsión

33.-Considerar el árbol compuesto de acero representado en la Fig. Formado por dos barras macizas circulares.Se desprecia la concentración de tensiones en la unión de las dos. La tensión cortante máxima admisible es de 750 kg/cm2 y el máximo ángulo de torsión admisible en los 150 cm de longitud, de 1 grado. ¿Cuál es la capacidad de resistencia a un par de este árbol? Para este material, G = 8,4 x 105 kg/cm2. Sol. 51.500 kg-cm

Datos:

.τ=750 kg/cm2 G = 8,4 x 105 kg/cm2

L=150cmΘ=1⁰= (π/180)T=?

Formulas:


θ= TLGIp

ρ=D2τ=Tρ

Ip θtotal=T 3∗L

G∗Ip+ T 3∗LG∗Ip

Despejando T de la formula de tensión cortante máxima obtenemos T de árbol de mayor diámetro

T=

750 kgc m2

∗(10cm )4∗π

5 cm∗32= 147.262,22 kg-cm

Ahora se despeja T con el árbol de menor diámetro:

T=

750 kgc m2

∗(17,5 cm )4∗π

3,75cm∗32=62.126,22 kg-cm

Con la siguiente formula calcularemos T3

θtotal=T 3∗LG∗Ip

+T 3∗LG∗Ip

π /180= T 3∗90cm∗32

8,4 x 105 kgc m2

∗π∗(10cm) ⁴+ T 3∗60cm∗32

8,4 x105 kgcm2∗π∗(7,5cm) ⁴


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Capítulo 5Torsión

T3= 51.472,27 kg-cm

34.-Determinar los pares reactivos en los extremos empotrados del árbol circular cargado con tres pares, representado en la Fig. .La sección de la barra es constante en toda su longitud.Sol. T¡ = 3.636 kg-cm, TD = 13.636 kg-cm

Esta figura solo se realiza momento en los extremos ya que poseen 2 incógnita.

MI = -10.000 kg-cm*90cm -10.000kg-cm*180cm +30.000kg-cm*240cm -TD*330cm = 0

Despejando TD obtenemos =13.636,32kg-cm

Luego realizamos momento en el punto MD y llegamos a despejar TI siguiente planteamiento.

MD =30.000kg-cm*90cm -10.000kg-cm*150cm -10.000kg-cm*240cm + TI*330 cm =0

Despejando TI obtendremos =3.636,36 kg-cm


problemas propuestos capitulo 5

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