problemas num

7/23/2019 Problemas num

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Problema 16. Colocar los dígitos faltantes.

(Figura tomada de la sección de problemas del mismo libro):

Por el algoritmo de la raíz cuadrada, tomando en cuenta el tres !ue

est" anotado, el #nico n#mero cuo cuadrado tiene un tres con $alor

relati$o de %&, es el 6, así !ue los dos dígitos finales del algoritmo

deben de ser %6.

Para !ue a un n#mero de tres dígitos se le reste uno de dos elresultado sea un n#mero con dos dígitos, es por!ue el dígito !ue

ocupa el lugar de las centenas de a!uel de tres dígitos es un 1, de

a!uí entonces !ue el primer dígito del primer renglón con tres cifras

desconocidas es 1, , dado !ue los #nicos cuadrados con un dígito son

1, ' , entonces el #nico !ue sumado con un 1 podría dar un n#mero

de dos cifras es el , de a!uí !ue el primer dígito de la raíz cuadrada

es % ( el #ltimo a sabíamos !ue era 6).

& 6& * &1 61* 61

+ 6+ * 1+'

de a!uí !ue sólo a dos un n#mero posible para continuar con el

algoritmo !ue de como producto un n#mero de dos cifras, con ello, la



#nica opción posible es 1 61. -e a!uí, el dígito !ue sigue del % en la

raíz es un 1, así la raíz !ue nos !ueda es: %1. Por #ltimo, obteniendo

ele$ando al cuadrado todos los n#meros entre %1&& %+&&, sólo a

uno !ue termina en %6, el cual es %1', con esto, todos los dem"s

espacios se llenan autom"ticamente.

Problema 1. /allar el maor di$isor posible !ue de0e el mismo residuo

cuando es di$idido entre los ' n#meros, &1 1&2 1'1 +%1+.

3ota: 4n la solución, cuando anotemos 5* deber" entenderse !ue es

congruencia modular, por e0emplo: 5* % (mod')

7e !uiere allar el maor 8 tal !ue &15*1&25*1'15*+%1+ (mod 8)

por propiedades de congruencia, entonces 1&29&15*& (mod 8)

de a!uí, %25* (mod 8)

pero, %2 * +(1), con + 1 primos (adem"s relati$os), de lo

como, a la ora de di$idir &1, 1&2, 1'1 +%1+ entre %2, los

residuos arro0ados son: %'%, %'%, %'% 16' respecti$amente, no

puede ser entonces 8 sea %2, pero, al di$idir entre 1, los residuos

!ue se arro0an son 16' en todos los casos, entonces, por congruenciamodular, se tiene !ue 8*1 es el mas grande !ue de0a el mismo

resto cuando di$idimos cada n#mero entre ;l.

Problema 1. /allar todos los enteros positi$os !ue acen !ue

(<1&) sea un cuadrado.7ol. 7e re!uiere tener pare0as de enteros positi$os (,) tales !ue

(<1&) * =+

de a!uí, manipulando, se tiene !ue ( <&)=+ > (&)=+* =+ de donde, (<&)=+ 9 =+*(+)=+(%)='(2)=+entonces, (<&<)(<&9)* (+)=+(%)='(2)=+



así, sólo basta tomar todas las combinaciones posibles para tenerproductos con los factores de 1&&, las cuales son en total (%)(2)(%)*'2 combinaciones posibles !ue darían lugar a & sistemas deecuaciones del tipo ++ para resol$er, con auda de un programa !ueintente resol$er los & sistemas de ecuaciones, los #nicos !ue tienensolución con positi$a entera se dan cuando:*1+, *'* 16, *26* 6&, *1+&* 1'', *+16* %+&, * '&&*2, * 6+*1%6, *+&+'

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