UNIVERSIDAD TÉCNICA DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA QUÍMICA

PROBLEMAS PROPUESTOS DE MATLAB

MATRICES

001. Dadas las matrices

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2825443132781596

C y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

15327384

D , realizar en MATLAB las siguientes

operaciones: a. Crear la matriz E1 con las dos columnas centrales de C usando el operador dos puntos. b. Crear la matriz E2 con las filas 1 y 2, y las columnas 2 y 3 de C usando el operador dos puntos. c. Crear la matriz E3 colocando E1 y D lado por lado. d. Encuentre el producto de C2,4 y D1,2 002. Dadas las matrices ]176213[F = , ]39274[G = , y ]15921[H = , a. Combinar F, G y H en la matriz K1 tal que F está en la primera fila de K1, G en la segunda fila de K1, y H en la tercera fila de K1. b. Combinar F, G y H en la matriz K2 tal que F esté en la primera columna de K2, G en la segunda columna de K2 y H en la tercera columna de K2.

003. Dada las matrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1227

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=54

32B , calcular lo siguiente:

a. A+B b. A-B c. 2*B d. A/4 e. A.*B f. B.*A g. A*B h. B*A i. A.^2 j. A^2 k. A.^B l. A./B Úsese papel y lápiz. Verifíquese los resultados con MATLAB.

004. Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

38.1467.234.37.2135.606.5

23.99.711.12A , use MATLAB para realizar lo siguiente:

a. Encuentre el logaritmo natural del valor absoluto de cada elemento de A. b. Encuentre el logaritmo de base 10 del valor absoluto de cada elemento de A. c. Encuentre la raíz cuadrada de cada elemento de A. d. Calcule el coseno hiperbólico de cada elemento de A. e. Redondee cada elemento de A al entero más cercano. f. Redondee cada elemento de A al entero más alto y próximo. g. Truncar cada elemento de A al entero más bajo y cercano a cero. h. Encuentre la suma de los elementos en cada columna de A.

i. Encuentre el producto de los elementos en cada fila de A. j. Encuentre el producto de los elementos en cada columna de A. k. Encuentre el valor máximo en cada fila de A. l. Encuentre el valor máximo en cada columna de A. m. Ordene los elementos de cada columna de A en orden ascendente. n. Ordene los elementos de cada fila de A en orden ascendente. o. Ordene los elementos de cada columna de A en orden descendente. p. Ordene los elementos de cada fila de A en orden descendente. q. Encuentre la media de los valores de cada columna de A. r. Encuentre la dimensión de A. s. Encuentre el número de elementos de A. t. Ordene de forma ascendente todos los elementos de A. 005. Dados los vectores ]8 6 2 3[=x y [ ]0232 −=y , a. Obtenga la suma de los elementos de x y y b. Obtenga un vector z cuyos componentes sean los elementos del vector x elevados a la potencia

especificada por cada elemento correspondiente en el vector y. c. Dividir cada elemento de y para cada elemento correspondiente de x. d. Obtenga un vector z cuyos componentes sean los elementos del vector x multiplicados por cada

elemento correspondiente del vector y. e. Ejecutar la operación zyxT − 006. Obtener un vector cuyos componentes: a. Se encuentren entre 5 y 25, y separados por 5 unidades. b. Sean los números entre 10 y 30 separados por una unidad. c. 6 números entre 0 y 20 igualmente espaciados 007. Construir una matriz A de 2x3 cuyas filas son los 6 primeros impares consecutivos. a. Anular el elemento (2,3) b. Obtener la matriz B = A’ c. Construir una matriz C, formada por la matriz B y la matriz identidad de orden 3 adosada a su derecha d. Construir una matriz D extrayendo las columnas impares de la matriz C e. Construir una matriz E formada por la intersección de las dos primeras filas de C y sus columnas tercera y quinta f. Construir una matriz F formada por la intersección de las dos primeras filas y las tres últimas columnas de la matriz C g. Construir una matriz diagonal G tal que los elementos de su diagonal principal son los mismos que los de la diagonal principal de D h. Calcular el orden de la matriz C 008. Dada una matriz M cuadrada aleatoria de orden 3: a. Obtener su inversa, su transpuesta y su diagonal b. Transformarla en una matriz triangular inferior y en otra superior. c. Obtener la suma de los elementos de la primera fila y la suma de los elementos de la diagonal. d. Extraer la submatriz cuya diagonal son los elementos a

11 y a

22 y extraer también la submatriz cuyos

elementos de la diagonal son a11

y a33

.

009. Dados ]6 2 9 7 5 1 3[=x , explicar el significado de los siguientes comandos: a. x(3) b. x(1:3) c. x(1:end) d. x(1:end-1) e. x(6:-2:1) f. x([1 6 2 1 1])

010. Dados los arreglos ]8 4 1[=x , ]5 1 2[=y , y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

725613

A , determine cuál de los

siguientes planteamientos no se ejecutará correctamente: a. ]y' 'x[A − b. ]y' ; x[ c. ]y ; x[ d. A - 3

011. Ingresar las matrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=2101

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=401321

B , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

5511

C y

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

222311

D , y evaluar cada una de las siguientes expresiones. Explicar cualquier mensaje de

error: a. 2*A+3*C b. A-4*D c. B^2 d. B.^2 e. A*B f. B*A g. C*D h. C.*D i. A*B+D 013. Considere los escalares 2x1 −= , 3x 2 = , 2x 3 = , y los vectores

T

231

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=1v ,

T

54

0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=2v ,

T

211

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=3v

a. Use MATLAB para calcular la combinación lineal 321 vvv 321 xxx ++

b. Forme el vector fila ] x xx[ 321=x y la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

vvv

v y calcular el producto vector-

matriz xV .

014. Crear las matrices

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5020136500223321

X ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

5020136500213321

Y . Usar operaciones entre

arreglos para responder cada uno de los literales: a. Crear una matriz A cuyos elementos i,j son ijijij y3x2a −=

b. Crear una matriz A cuyos elementos i,j son 2ijij xa =

c. Crear una matriz A cuyos elementos i,j son 3ya ijij −=

d. Crear una matriz A cuyos elementos i,j son 2ij

2ijij yxa −=

e. Crear una matriz A cuyos elementos i,j son 2

ij2

ij yxij ea +=

015. Sea la matriz cuadrada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

133320011

A

a. Construir una matriz añadiendo la matriz identidad de rango 3 a la derecha de la matriz A. b. Sumar a la tercera fila, la primera fila multiplicada por 3. c. Cambiar la primera columna de A por la tercera. d. Construir una nueva matriz cuyas columnas sean las columnas primera y tercera de A. e. Construir una nueva matriz cuyas filas sean las columnas primera y tercera de A. 016. Sea la matriz cuadrada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

733320041

A

a. Hallar el valor mínimo dentro de cada fila de A. b. Ordenar los elementos de A en orden descendente dentro de cada columna. c. Ordenar los elementos de A en orden ascendente dentro de cada fila. d. Formar una lista con los elementos de A ordenada de forma ascendente. e. Hallar el máximo en valor absoluto de los elementos de la matriz A. 017. En una sola orden de MATLAB crear una matriz 3 x 5 cuyo único elemento sea el 7. 018. Con una sola orden de MATLAB crear una matriz aleatoria 4 x 4 de números reales entre -5 y 5. 019. Considerar la siguiente orden de MATLAB: A = magic(5). En una sola orden: a. Definir una matriz B formada por las filas pares de la matriz A. b. Definir una matriz C formada por las columnas impares de la matriz A. c. Definir una vector d formada por la tercera columna de la matriz A. d. Eliminar la tercera fila de la matriz A. 020. Sea x = (0:pi/2:2*pi). Con una sola orden de MATLAB crear una matriz cuya primera fila es x, su segunda fila es el seno de cada elemento de x y cuya tercera fila el coseno de cada elemento de x. 021. Definir un vector a formado por los cuatro primeros números impares y otro b formado por los cuatro primeros números pares de varias formas distintas. Emplearlos para construir la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

564228144030201024181268642

A

022. Construya una matriz n x n, C = (cij) a. Con cij = i·j; b. Con cij = cos(i·j); 023. Construir de distintas formas la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4444333322221111

A

024. En una sola instrucción, cambiar todos los valores de la diagonal de una matriz cuadrada a cero. 025. En una sola instrucción, sustituir todos los valores de la diagonal de una matriz cuadrada por los elementos de un vector dado. 026. Ordenar los elementos de una matriz del menor al mayor manteniendo su forma (indicación: emplear la orden reshape) 027. De tres formas distintas (cada una en una sola instrucción), averiguar el número de elementos de una matriz, de forma que al final tengamos un número. Operadores lógicos y relacionales. 001. Trabaje en los resultados de las siguientes operaciones, antes de verificar con MATLAB, dados los vectores a = [-1 0 3]; y b = [0 3 1]; a. ˜ a b. a & b c. a | b d. xor(a, b) e. a > 0 & b > 0 f. a > 0 | b > 0 g. ˜ a > 0 h. a + (˜ b) i. a > ˜ b j. ˜ a > b k. ˜ (a > b) 002. Determine los valores de verdad de las siguientes operaciones antes de verificar com MATLAB, a. 1 & -1 b. 13 & ˜(-6) c. 0 < -2|0 d. ˜[1 0 2] * 3 e. 0 <= 0.2 <= 0.4 f. 5 > 4 > 3 g. 2 > 3 & 1 003. Dados a = [1 0 2] y b = [0 2 2] determine los valores de las siguientes expresiones. Verifique sus respuestas con MATLAB. a. a ˜= b b. a < b c. a < b < a d. a < b < b e. a | (˜a) f. b & (˜b) g. a(˜(˜b)) h. a = b == a (determine el valor final de a) 004. Dados -4c 2,b ,5a === , determinar los valores de verdad de las proposiciones.

a. ( ) ( )cbr o ca nda ba >><

b. ( ) ( )ca nda cb nda ba >≤≥

c. ( ) ( )ca or ba or >>

d. ( ) ( ) ( )( )ab and car o ba or <>>

e. ( ) ( )cbr o ca nda ba >>< 005. Escriba una sentencia en MATLAB sobre la ventana de comandos que use vectores lógicos para contar cuántos elementos del vector x son negativos, ceros, o positivos. Verifique la sentencia con el vector

[-4 0 5 -3 0 3 7 -1 6] 006. Crear una matriz A de 6×6 cuyos elementos son números aleatorios comprendidos -4 y 4. En una sola instrucción, poner a cero todos los elementos negativos de una matriz. 007. Crear una matriz A de 6×6 cuyos elementos son números aleatorios comprendidos -3 y 3. En una sola instrucción, poner a cero todos los elementos de la matriz que estén entre -1 y 1. (La conjunción lógica es &). 008. Una compañía ofrece 7 niveles de salario (dólares): 12000, 15000, 18000, 24000, 35000, 50000, 70000. El número de empleados en cada nivel son, respectivamente: 3000, 2500, 1500, 1000, 400, 100 y 25. Escriba sentencias en la ventana de comandos para calcular lo siguiente: a. El nivel de salario promedio. (Use el comando mean) (Rta: 32000) b. El número de empleados sobre y bajo este salario medio. Use vectores lógicos para encontrar qué niveles de salario están sobre y bajo el nivel promedio. Multiplique estos vectores lógicos elemento por elemento por el vector empleados, y sume el resultado. (Rta: 525 sobre, 8000 bajo)

GRÁFICAS Gráficos 2D. 001. Calcular y graficar las siguientes funciones. (Usar el comando plot)

a. t05.01 e

t41cos2

)tsin(2)t(y −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+= , 0 ≤ t ≤ 30 y t2.0

2 et

41cos2

)tsin(2)t(y −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+= , 0 ≤ t ≤ 30

b. ( )π+= tcost

)t50sin()t(x , ( )π+= tsint

)t50sin()t(y , en el intervalo -10π ≤ t ≤ 10π

c. ( )

( )( )2x1x2xx)x(f−+

−= , en el intervalo -2≤x≤2

d. ⎩⎨⎧

≥−<

=0 xsi 10 xsi x

)x(f2

, en el intervalo -2≤x≤2

e. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<<<−

=

2 xsi x2x0 si 1

0 xsi x)x(f

2

, en el intervalo -4≤x≤4

f.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

<<−

<−

=

1 xsi 1-x

1x1- si x1-1 xsi x1

)x(f 2 , en el intervalo -2≤x≤2

002. Dibujar las curvas paramétricas siguientes, usando los comandos plot y comet; dibujar además los vectores velocidad utilizando el comando quiver. a. ( ) ( )( )tsin,tcos)t( =r , t∈[0,2π]

b. ( )( )( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += t2sin2,1tcostcos

23)t(r , t∈[-π,π]

c. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

t7sint

32,

2t7cost

32)t(r , t∈[-π,π]

003. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones en coordenadas polares (Usar el comando polar(theta,rho) ): a. ( )θ−= sin77r ; θ∈[-π,π]

b. ( )θ= 6sinr ; θ∈[-π,π]

c. ( )θ= 2cos5r ; θ∈[-π,π]

d. ( )θ= 6sinr ; θ∈[-π,π] 004. Dados los problemas del ejercicio 4, utilizar el comando pol2cart(theta,rho) para cambiar las coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Usar después el comando plot para obtener las gráficas en las nuevas coordenadas. Gráficos 3D 001. Utilizando los comandos plot3 y comet3, dibujar las curvas que son imagen de las trayectorias dadas. Represéntese algunos vectores velocidad utilizando el comando quiver3. a. ( ) π≤≤++= 4t0 donde ,t2)t3cos()t3sin(t 2/3 kjic

b. ( ) ( ) π≤≤= 2t0 donde ,)tcos(,t6,e4t 4tc

c. ( ) ( ) π≤≤−= 2t0 donde ,t,tt3),t(cost 22c

d. ( ) ( )( ) 2t0 donde ,t4,t,esent 3t ≤≤−=c

e. ( ) ( ) π≤≤= 2t0 donde ,)tcos(,t6,e4t 4tc

f. ( ){ }⎪

⎩

⎪⎨

⎧

===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0,0.5,1,2r1mR1m/sv

donde ,RvtcosrR,

Rvtsinrvttc

002. Graficar las superficies y las curvas de nivel para cada una de las siguientes funciones (Use los comandos mesh y contour), a. ( ) ( ) π≤≤ππ≤≤π= 3y3-y 3x3- para ysinxsinz

b. ( ) ( ) 1y1-y 1x1- para yxcosyxz 2222 ≤≤≤≤++=

c. ( )( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0y)(x, 0

0,0y)(x, yx

xy)y,x(f 2/122 para -1≤x≤1 y -1≤y≤1

d. 2y2- 2,x2- , yxz 22 ≤≤≤≤+=

e. 2y2- 2,x2- , xyz ≤≤≤≤−=

f. 2y2- 2,x2- , 1yxz 22 ≤≤≤≤++=

g. 2y2- 2,x2- , yxz ≤≤≤≤=

003. Use el comando contour para realizar lo siguiente: a. Graficar las curvas de nivel de la función 33 xyy3)y,x(f −+= en la región donde x y y están entre -1 y 1. b. Graficar la curva: 5xyy3 33 =−+

c. Graficar la curva: ( )22222 yxyx +=− (lemniscata)

d. Graficar la curva de nivel de la función ( ) ( )ylnxxlny)y,x(f += que contenga el punto (1,1). 004. Graficar las superficies de nivel de las siguientes ecuaciones,

a. 9z

4y

4x 22

+=

b. 16x1

4z

9y 222

+=+

c. 0z2y3x4 222 =+−

d. 19z

2y

9x 222

=++

005. Utilizando el comando sphere , dibujar una esfera de radio 2, y de centro (1,-3,5) 006. Dibujar las superficies generadas por cylinder( R(t) , 30 ) a. t)t(R = , t∈[-1,1]

b. 2t)t(R = , t∈[-1,1]

c. ( )tsin2)t(R += , t∈[-2π , 2π]

d. te)t(R = , t∈[-3,3] 007. Utilizando los comandos sphere y cylinder dibujar la intersección entre una esfera de radio 2 con centro en el origen; y tres cilindros de radio 1, con ejes de simetría a lo largo de los ejes x , y , z, y de longitud 2.

008. Dada la función ( ) 22 yxyxy,xV

++

= ,

a. Utilizando los comandos grad y quiver, esbozar el campo gradiente gradV− para el intervalo -1≤x≤1 , -1≤y≤1.

b. Utilizando el comando contour, esbozar la superficie equipotencial V=1 y V=2. c. Trazar la superficie V=V(x,y)

PROGRAMACIÓN 001. Escribir un archivo m que permita determinar si un número entero dado es par o impar. (Utilizar el operador mod) 002. Utilizando el operador relacional > (mayor que), escribir un archivo.m que permita definir si un número a es mayor que un número b. El programa debe admitir ingresar los números a y b, e imprimir el resultado a es mayor que b, o a es menor que b, o a es igual a b. 003. Escribir un archivo.m que de como resultado el menor de tres números a, b, c. a. Utilice la sentencia de control if…elseif…end b. Utilice la sentencia switch…case…otherwise…end 004. Crear un archivo.m que calcule las raíces de la ecuación: a·x2 + b·x + c = 0. Teniendo en cuenta los siguientes casos:

1. Si a=0 y b=0, imprimiremos un mensaje diciendo la ecuación es degenerada. 2. Si a=0 y b≠0, existe una raíz única con valor –c / b. 3. En los demás casos utilizaremos la fórmula siguiente:

a2c·a·4bbx

2

i−±−

=

La expresión d=b2-4ac se denomina discriminante.

- Si d≥0 entonces hay dos raíces reales - Si d<0 entonces hay dos raíces complejas de la forma x + yj, x - yj

Indicar con literales adecuados los datos a introducir, así como los resultados obtenidos. a. Utilizando la sentencia de control if…then…elseif…end b. Utilizando la sentencia switch…case…otherwise…end 005. Escribir un programa que permita imprimir sobre la ventana de comandos los números impares del 1 al 20. a. Utilizar la sentencia for…end b. Utilizar la sentencia while…end 006. Escribir un archivo m que de como resultado la suma de los 100 primeros números naturales.

a. Utilizar la sentencia for…end b. Utilizar la sentencia while … end

007. Crear un archivo m que de como resultado la suma de los números pares comprendidos entre dos números enteros a y b ingresados por el usuario. 008. Una secuencia de Fibonacci es generada por el siguiente esquema recursivo:

1n , aaa n1n2n ≥+= ++ Para empezar la secuencia, se deben asignar valores de partida a1 y a2. Escribir un archivo de función para calcular la secuencia, asignando como parámetros de entrada a1 y a2. No obstante, la primera vez que | an | > 1000, el cómputo de valores deberá finalizar. a. Utilizar la sentencia de control for…end b. Utilizar la sentencia de control while…end 009. Implementar un programa que permita evaluar el factorial de un número entero positivo. Por ejemplo Factorial(5) = 5*4*3*2*1 = 120 Factorial(3) = 3*2*1 = 6 010. Implementar un programa que permita determinar si un número entero positivo es primo. 011. Implementar un programa que de como resultado un vector formado por los números primos menores que un número dado n (positivo y entero). 012. Vamos a suponer que nuestro problema es sumar los términos de una serie infinita, ∑ na , en el computador. No obstante, es posible sumar únicamente un número finito de términos para aproximar la suma exacta de la serie. Especificamos el criterio 6

n 10a −< como test de convergencia. Escriba archivos de función para calcular las siguientes series:

a. ( ) ( )∑∞

=

+−=−+−+−=

1n

1n

n1...

51

41

31

2112ln

b. ( )∑

∞

=

+

−−

=+−+−=π

1n

1n

1n21...

71

51

311

4

c. ...!2

1!1

1!0

1!n

1ae0n0n

n +++=== ∑∑∞

=

∞

=

013. Escribir un programa que lea una cadena de n caracteres e imprima el resultado que se obtiene cada vez que se realice una rotación de un carácter a la derecha sobre dicha cadena. El proceso finalizará cuando se haya obtenido nuevamente la cadena de caracteres original. Por ejemplo: HOLA AHOL LAHO OLAH HOLA 014. Escribir un programa que permita ingresar una palabra, y posteriormente imprimir la palabra con las letras en orden inverso. Por ejemplo: Se ingresa: INGENIERIA Se imprime: AIREINEGNI 015. Escribir un programa que dibuje un triángulo de n filas, empleando el caracter asterisco. Crear el programa utilizando: a. Sentencias for…end b. Sentencias while…end Por ejemplo, para n=4 ******* ***** *** * 016. Utilizando la sentencia for…end, escribir un programa que imprima un tablero de ajedrez en el que las casillas blancas se simbolizarán con una B y las negras con una N. Así mismo el programa deberá marcar con * las casillas a las que se puede mover un alfil desde una posición dada. La solución será similar a la siguiente:

Posición del alfil: Fila 3 Columna 4 B * B N B * B N N B * B * B N B B N B * B N B N N B * B * B N B B * B N B * B N * B N B N B * B B N B N B N B * N B N B N B N B 017. Caída de presión en tuberías. La caída de presión del flujo de un fluido en un tubo puede expresarse mediante la forma adimensional del factor de fricción de Darcy, definida por la ecuación:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ=ρ+−ρ+=∆

DLV

21fghPghP*P 2

sal2ent1

El factor de fricción de Darcy f, depende del régimen de flujo (laminar o turbulento). Para flujo turbulento, Colebrook, encontró en experimentos en tubos revestidos con un material áspero con una altura física (de la rugosidad) ε, que el factor de fricción f medido, se relaciona con el número de Reynolds (Re) y la razón rugosidad a diámetro del tubo (ε/D) mediante la fórmula:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

ε−=

fRe51.2

7.3D/log2

f1

10 si Re ≥ 2300 (Flujo turbulento)

Analíticamente se puede demostrar que para flujo laminar en un tubo circular, el factor de fricción de Darcy, se relaciona con el número de Reynolds mediante la fórmula:

Re64f = si Re<2300 (flujo laminar)

a. Escribir un archivo de función para calcular el factor de fricción de Darcy, dados como parámetros de entrada: el número de Reynolds (Re), la rugosidad de la tubería (ε) y el diámetro del tubo (D). Para despejar f de la ecuación de Colebrook, utilice la relación recursiva:

2

i101i fRe

51.27.3D/log2f

−

+ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ε−=

Para empezar el cálculo iterativo, especificar dentro del programa un valor de partida para f (por ejemplo

f = 0.001). Para finalizar las iteraciones utilizar el criterio de convergencia 6

i

i1i 10f

fferror −+ <−

= o

un número máximo de 1000 iteraciones (el criterio que se alcance primero). b. Escribir un archivo de función para calcular la caída de presión modificada en la tubería *P∆ , la caída de presión estática en la tubería ( )salent2ent hhg*PPPP −ρ−∆=−=∆ , y el cambio de carga hidráulica en el tubo. Especifíquese como parámetros de entrada la longitud de la tubería (L), el diámetro de la tubería (D), la rugosidad de la tubería (ε), la altura de entrada y salida del tubo (hent y hsal), el flujo

volumétrico (Q), la densidad del fluido (ρ) y la viscosidad cinemática del fluido (ν). Para calcular el factor de fricción de Darcy, utilice la función creada en el literal a. Recuerde que el número de Reynolds en términos del diámetro de la tubería, viene definido por la ecuación:

ν=

DVRe

En tanto que el cambio de carga hidráulica en el tubo se define por:

g*Ph

ρ∆

=∆

c. Una tubería de acero comercial con diámetro de 8 in = 0.2032 m, conduce agua (ρ = 1000 kg/m3, ν = 1E(-6) m2/s) desde la salida de un tanque de almacenamiento (a una altura de 100 m) a una distancia de 2 km (a una altura de 22 m) desde el tanque de almacenamiento. Si el gasto volumétrico es de 1000 gal/min = 0.06303 m3/s, calcule (1) la pérdida de carga hidráulica, (2) el cambio en la presión estática Pent - Psal entre la entrada y la salida de la tubería. d. Bajo las condiciones de flujo especificadas en el literal c, calcúlese el caudal para el cual la caída de presión estática sea cero. 018. Cálculo del caudal en una tubería para una pérdida dada de presión. En muchos de los casos de flujos en tuberías, el gasto volumétrico por la tubería no está controlado sino que crece hasta alcanzar un nivel que concuerde con la caída de presión disponible. Por ejemplo al abrir por completo el grifo en un lavamanos, el caudal aumenta hasta que la caída de presión en la tubería iguala la diferencia de presión entre el suministro de agua y la presión atmosférica. El procedimiento para calcular el gasto Q es el siguiente:

1. Se calcula el cambio de carga hidráulica ( ) ( )

gghPghP

g*Ph salsalentent

f ρρ+−ρ+

=ρ

∆=∆

2. Suponiendo que el flujo es laminar (Re<2300), se calcula V a partir de la ecuación ( )

L32DhgV

2f

ν∆

=

y el número de Reynolds por la ecuación ν= /DVRe .

3. Si Re<2300, el flujo es laminar y 4

VDQ2π

= .

4. Si el flujo no es laminar (Re>2300), se calcula ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν∆

=L

Dhg2Ref 2

3f y el número de Reynolds

por la ecuación ( ) ( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛+

ε−=

Ref51.2

7.3D/logRef2Re 10

5. Se calcula el caudal 4

ReD4

VDQ2 νπ

=π

=

a. Escribir un archivo de función que permita calcular el caudal (Q), dados el cambio de presión estática entre la entrada y la salida (Pent - Psal), la diferencia de alturas entre la entrada y salida de la tubería (hent - hsal), la densidad del fluido (ρ) y la viscosidad cinemática del fluido (ν), la longitud del tubo (L), el diámetro del tubo (D) y la rugosidad del tubo (ε). b. Una tubería de acero (ε = 1E(-5) m) comercial con diámetro de 8 in = 0.2032 m, conduce agua (ρ = 1000 kg/m3, ν = 1E(-6) m2/s) desde la salida de un tanque de almacenamiento (a una altura de 100 m) a una distancia de 2 km (a una altura de 22 m) desde el tanque de almacenamiento. Calcule el gasto volumétrico (Q) cuando la caída de presión estática Pent – Psal es cero.

CÁLCULO SIMBÓLICO

Álgebra simbólica 001. Resolver las ecuaciones simbólicamente (Use el comando solve):

a. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=+−

=++

3zy6x1z7y3x2

2z5y4x3

b. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=

=+−=

01y4

x)y,x(g

03x4y)y,x(f

22

2

c. ⎩⎨⎧

=+−=

=−=

01xy)y,x(g0)xsin(y)y,x(f

2

d. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−=

=+−=

01xy)y,x(g01xy)y,x(f

2

2

e. 0)xyexp(x)y,x(f =−= , despejar y. f. 0cbxax 2 =++ , despejar x. g. Ckt)yrln()yln( +=−− , despejar y.

h. ( ) RTbvvaP 2 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + , despejar v.

Límites. 001. Calcular los siguientes límites (Use el comando limit),

a. ( )

xxsinLim

0x→

b. ( )π+

+π−→ x

xcos1Limx

c. x2

xex Lim −

∞→

d. 1x

1Lim1x −−→

e. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+→ x1sin Lim

0x

f. ( ) ( )

( ) ( )xy

yxyxLim22

0,0y,x

−−+→

g. ( ) ( )

( )220,0y,x yx

1xycosLim −→

h. ( ) ( ) xy

)xysin(Lim0,0y,x →

i. ( ) ( ) 1x

eLimxy

0,0y,x +→

j. ( ) ( ) 44

2

0,0y,x yx)2/x(1)xcos(Lim

+−−

→

k. ( ) ( ) 2220,0,0z,y,x zyx

xyzLim++→

Derivación 001. Calcular las siguientes derivadas (Usar el comando diff),

a. ( )( )( )xsinhacrtgdxd

b. ( )( )( )xsintanhdxd 1−

c. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ xtg

abarctg

ab1

dxd

d. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

− axarcsin

xax

dxd

22

e. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−a

axarcsinaxax2axdxd 22

002. Calcular las derivadas parciales (Usar el comando diff),

a. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

22

22

yxyx

y

b. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+∂∂∂

22

2

yxxy

yx

c. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

yxarctanx

x 2

2

d. ( )( )222

3

yxcosAyx

+∂∂

∂

e. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

∂∂ 2222 yx

BAexpBA

y

003. Demostrar que el potencial gravitatorio de Newton222 zyx

mMGV++

−= satisface la ecuación

de Laplace:

0zV

yV

xV

2

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

004. Escribir un archivo de función llamado div para calcular la divergencia de un campo vectorial en forma simbólica. Como parámetro de entrada se especificará el campo vectorial con nomenclatura matricial: ]F,F,F[ zyx=F . Donde 33:F ℜℜ a . La divergencia de un campo vectorial en coordenadas cartesianas es:

( )zF

yF

xFdiv zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=•∇= FF

Obsérvese que ( ) ℜℜ•∇ a3:F 005. Escribir un archivo de función llamado rot para calcular el rotacional de un campo vectorial en forma simbólica. Como parámetro de entrada se especificará el campo vectorial con nomenclatura matricial: ]F,F,F[ zyx=F . Donde 33:F ℜℜ a . El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cartesianas es:

ˆxF

zF

ˆxF

zFˆ

zF

yF

xF

zF ,

xF

zF ,

zF

yF)(rot

zxzxyz

zxzxyz

kji

FF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

∂∂

−∂∂

∂

∂−

∂∂

=×∇=

Obsérvese que ( ) 33: ℜℜ×∇ aF 006. Escribir un archivo de función llamado gradiente para calcular el gradiente de un campo escalar en forma simbólica. Como parámetro de entrada se especificará el campo escalar f en coordenadas cartesianas. Donde ℜℜ a3:f . El gradiente de un campo escalar f en coordenadas cartesianas es:

ˆzf ˆ

yfˆ

xf

zf ,

zf ,

yff)f(grad

kji∂∂

+∂∂

+∂∂

≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=∇=

007. Utilizando los comandos div y rot de los problemas 4 y 5, calcular la divergencia y el rotacional de los siguientes campos vectoriales: a. kji zyx)z,y,x(F ++= b. kji xyxzyz)z,y,x(F ++=

c. 222 zyxxyxzyz)z,y,x(F

+++−

=kji

d. [ ]z,y,xˆzyˆx siendo , )z,y,x(F ≡++== kjirr

e. [ ] ( ) 2/13 r , z,y,xˆzyˆx siendo ,

r)z,y,x(F rrkjirr

•=≡++==

008. Utilizando el comando gradiente del problema 6, calcular,

a. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇ nr

1, siendo 222 zyxr ++=

b. ( )222 zyxgrad ++

c. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−−∇=

222Gzyx

mMGF

d. ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++πε−∇=

2220

Ezyx

qQ4

1F

e. ( )2222 zyyx +∇ 009. Sea 2222 zyyx)z,y,x(f += . Verificar que 0f =∇×∇ 010. Sea kjiF zxyxz2 32 ++= , kjiG zxyxz2 32 ++= , y yxf 2= . Calcular, a. ( )GF ×∇•

b. ( )f∇•F

c. ( )f∇×F

d. ff2 ∇•∇=∇ Sumatorias 001. Calcular las siguientes sumas utilizando el comando symsum

a. ∑=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

n

1k k11

k1

b. ∑∞

=1n2n

1

c. ∑=

n

1k

2k

d. ∑∞

=0k

kr

e. ∑=

n

0k

k

!kx

; la función factorial no trabaja con entradas simbólicas, pero se puede usar sym(‘k!’) o la

función ( ) ∫∞

−−=Γ0

1xt dttex llamada gamma en MATLAB, que satisface ( ) !k1k =+Γ

f. ( )∑

∞

−∞= −k2kz

1

Integración 001. Calcular simbólicamente las siguientes integrales,

a. ∫π 2/

0

dx)xcos(

b. ( )∫ dxxsinx 2

c. ( ) ( )∫ − dxx3cos1x3sin

d. ∫ + dx4xx2

e. ∫+∞

∞−

− dxe2x

f. ∫ ∫−

1

0

a

022

dydxya

x

g. ∫ ∫+

+−

3

0

1x

1x

2

2

xydydx

h. ∫ ∫1

0

e

e

x2

x

dydx)yln(x

i. ( )∫ ∫π 2/

0

y/)yarcsin(

0dxdyxycosy

j. ( )∫ ∫π 2/

0

y/)yarcsin(

0dxdyxycosy

k. ∫ ∫π

+2/

0

)xsin(3

)xsin(dydx)y1(x .

l. ∫ ∫⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+

2

0

)2/x43

2/x43

32

2dydxy

x25

.

m. ( )∫ ∫ ∫ +1

0

x

0

y

0

dzdydxxzy

n. ∫ ∫ ∫1

0

z

0

y

0

32 dxdydzzxy

o. ∫ ∫ ∫ +

1

0

y

0

3/x

022 dzdxdy

zxx

p. ∫ ∫ ∫2

1

z

1

2

y/1

2dxdydzyz

q. ∫ ∫∞

−

0

y

0

y dxdyxe3

002. El potencial gravitacional a una distancia R de la región comprendida entre dos esferas concéntricas de radios 1ρ y 2ρ , con 2ρ > 1ρ , viene dado por la expresión:

( )( )∫ ∫ ∫

ρ

ρ

π π

−φρ+φρ

ρφθφρ=

2

1 0

2

0222

2

Rcossin

dddsinR,0,0V

Evaluar la integral triple y encontrar una fórmula simplificada para el cálculo del potencial gravitacional.

Series de Taylor 001. Encontrar el polinomio de Taylor de grado n (Usar el comando taylor), alrededor del punto x0, para las siguientes funciones: a. 0x,6n,e)x(f 0

x ===

b. 0x,6y 4n),xsin()x(f 0 ===

c. 2x,6n),xsin()x(f 0 ===

d. 0x,6n),xtan()x(f 0 ===

e. 1x,4n),xln()x(f 0 ===

f. 0x,8n),x(erf)x(f 0 === 002. Escribir un archivo m de función llamado taylor1 para encontrar la serie de Taylor de primer orden, alrededor del punto x0, de una función ℜℜ⊂ a3D:f . Recuérdese que la serie de Taylor de primer orden para funciones de n variables tiene la forma

( ) ( ) ( ) ...fff +∇+= 00 xhxx Donde,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=−=

0,nn

0,33

0,22

0,11

T0

T

xx. .

xxxxxx

)( xxh , ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=∇ 0000 xxxxn21 x

f,...,xf,

xff

003. Escribir un archivo de función llamado taylor2 para encontrar la serie de Taylor de segundo orden, alrededor del punto x0, de una función ℜℜ⊂ a3D:f . Recuérdese que la serie de Taylor de segundo orden para funciones de n variables tiene la forma

( ) ( ) ( ) ( ) ...f!2

1fff T ++∇+= hxHhxhxx 000

Donde

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=−=

0,nn

0,33

0,22

0,11

T0

T

xx. .

xxxxxx

)( xxh , ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂

∂∂

=∇ 0000 xxxxn21 x

f,...,xf,

xff

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

000

000

000

0

xxx

xxx

xxx

xH

2n

2

2n

2

1n

2

n2

2

22

2

12

2n1

2

21

2

21

2

xf.....

xxf

xxf

.

...

.

...

xxf.....

xf

xxf

xxf.....

xxf

xf

f

004. Encontrar las series de taylor de primero y segundo orden alrededor del punto x0 , dadas las funciones: a. ( )0,0),yxtan()y,x(f =+= 0x

b. ( )0,0,)yx()y,x(f 2 =+= 0x

c. ( )0,0,1yx

1)y,x(f 22 =++

= 0x

d. ( ) ( )0,0,xycose)y,x(f22 yx == −−

0x

e. ( ) ( ) ( )0,1,ycose)y,x(f21x == −

0x 005. La velocidad de una reacción química está dada por la siguiente expresión

( ) B2

A0BA CCRTEexpkT,C,Cr ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

a. Obtener una aproximación lineal de ésta función (Serie de Taylor de primer orden), alrededor de los valores de referencia CA0, CB0 y T0. b. Obtener una aproximación cuadrática de ésta función (Serie de Taylor de segundo orden), alrededor de los valores de referencia CA0, CB0 y T0. 006. La ecuación de Antoine para calcular la presión de vapor de una sustancia pura , p0, como una función de la temperatura (T), está dada por:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

CTBexpATp0

donde A, B, C son constantes. a. Obtener una aproximación lineal de ésta función (Serie de Taylor de primer orden), alrededor de los valores de referencia T0. b. Obtener una aproximación cuadrática de ésta función (Serie de Taylor de segundo orden), alrededor de los valores de referencia T0. 007. La densidad de un gas ideal (ρ), en función de la presión (p) y la temperatura (T), está dada por la expresión

( )RTMpp,T =ρ

Donde M es el peso molecular del gas y R es la constante universal de los gases.

a. Obtener una aproximación lineal de ésta función (Serie de Taylor de primer orden), alrededor de los valores de referencia p0 y T0. b. Obtener una aproximación cuadrática de ésta función (Serie de Taylor de segundo orden), alrededor de los valores de referencia p0 y T0. Ecuaciones diferenciales 001. Resolver simbólicamente las siguientes ecuaciones diferenciales (Usar el comando dsolve).

a. Ecuación logística: 2ByAydxdy

−=

b. ( )34

41y ,1y3

dxdyxcos2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π=+

c. kx2ekydxdy

=+

d. ( ) ( ) 241y ,x2cos6x2coty4

dxdy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π=+

e. ( ) ( ) 2y(0) ,xsinxsinydxdyy2 2 ==+

f. ( )

2

x2

y3xsinheyx

dxdy

3−

=+

g. -1y(0) ,yydxdy 2 ==+

h. ( ) ( ) k0dxdy 1,y(0) ,0yk

dxdyk2

dxyd 222

2

−===ω+++

i. ( ) 01dxdy 1,y(1) ,0y6

dxdyx4

dxydx 2

22 ===+−

j. ( ) ( )x3cos31xcos

dxdy9

dxyd2

2

+=+

k. 0dxdy

dxyd3

3

=+

l. ( ) 5dx

yd ,100dxdy 3,y(0) ,0y27

dxdy27

dxyd9

dxyd

2

2

2

2

3

3

====−+−

m. ( ) ( ) ( ) 100dx

yd ,50dx

yd ,10dxdy 1,y(0) ,0y251

dxyd26

dxyd

3

3

2

2

2

2

4

4

−==−===+−

n.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

12

21

y12dt

dy

y3dt

dy

o.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

+−−=

−+=

3213

3212

3211

y4y4y4dt

dy

y2y10y4dt

dy

y4y8y2dt

dy

p.

21)0(y ,4)0(y

t2y2dt

dy

t4y2dt

dy

21

12

21

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+−=

q.

2)0(y ,7)0(y

y3ydt

dy

y5ydt

dy

21

212

211

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−=

+−=

Problemas de aplicación 001. Flujo reptante alrededor de una esfera.

Las distribuciones de velocidad y presión para el flujo reptante alrededor de una esfera son:

θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∞ cos

rR

21

rR

231vv

3

r

θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−= ∞θ sin

rR

41

rR

431vv

3

0v =φ

( ) θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛µ

−θρ−= ∞ cosrR

Rv

23cosrgpp

2

0

En la última ecuación, la cantidad p0 es la presión en el plano z=0, lejos de la esfera. El término -ρgz es la presión hidrostática resultante del peso del fluido, y el término que contiene v∞ es la contribución del movimiento del fluido.

a. Calcular las componentes del tensor de esfuerzo viscoso τrr y τrθ:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

µ−=τr

v2 rrr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡θ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

µ−=τ θθ

rr

vr1

rv

rr

b. Determinar la fuerza ejercida por el flujo de fluido sobre la esfera. Debido a la simetría alrededor del eje z, la fuerza resultante estará en la dirección del eje z. Empezar con la integración de la fuerza normal: En cada punto sobre la superficie de la esfera, el fluido ejerce una fuerza por unidad de área

( )Rrrrp

=τ+− sobre el sólido, actuando en dirección normal a la superficie. La componente z de la

fuerza es ( ) ( )θτ+−=

cospRrrr . Multiplicamos la presión por elemento diferencial de superficie

φθθ ddsinR 2 para obtener la fuerza sobre el elemento de superficie. Calcular la fuerza normal resultante en la dirección z:

( )( )∫ ∫π π

=φθθθτ+−=

2

0 0

2Rrrr

n ddsinRcospF

c. Integración de la fuerza tangencial: En cada punto de la superficie del sólido hay también un esfuerzo cortante actuando tangencialmente. La fuerza tangencial resultante en la dirección z es:

( )∫ ∫π π

=θ φθθθτ=2

0 0

2Rrr

t ddsinRsinF

d. Calcular la fuerza resultante, F = Fn + Ft.

MÉTODOS NUMÉRICOS 001. Calcular las siguientes integrales numéricamente, usando el comando quadl

a. ∫π

0

)xsin( dxe

b. ∫ +1

0

3 dx1x

c. ∫+∞

∞−

− dxe2x

Ecuaciones no lineales 001. Encontrar todas las raíces, a. ( ) ( ) 32y1x 22 =−+− y 13/y4/x 22 =+ . Encuentre todas las raíces.

b. ( ) xy2yx 222 =+ y 3xy = 002. La ecuación de estado de Van der Waals para un vapor es:

( ) RTbvvaP 2 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Donde P es la presión (Pa), v es el volumen específico (m3/kg), T es la temperatura absoluta (K), R es la constante del gas (J/kg K), y a y b son constantes empíricas. Considérese el vapor de agua, para el cual R=461.495 J/kg K, a = 1703.28 Pa (m3 kg)3 , y b=0.00169099 (m3/kg). Calcular el volumen específico para P=10000 kPa, y T=800 K.