PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTTICAS E HIPERESTTICAS PARA VIGAS, MARCOS Y ARMADURAS EN R2UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGN

3.2. MTODO DE FLEXIBILIDADES APLICADO A MARCOS ESTTICAMENTE INDETERMINADOS1.- Calcular las reacciones correspondientes a las cargas indicadas. e son constantes.

SOLUCIN.a) Verificacin del grado de indeterminacin.Para el marco mostrado, el nmero de nodos es y no hay condiciones impuestas por la construccin, es decir . La estructura est compuesta por la cantidad de miembros. Tanto en el pasador (apoyo articulado) como en el hay dos incgnitas de reaccin, una horizontal y una vertical, por lo que .como ya que el marco es estticamente indeterminado con un grado de .b) Eleccin de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.Se optar porque sea la fuerza redundante. En consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo articulado (pasador) en se reemplaza por un apoyo simple (rodillo u oscilador), puesto que ste ltimo soporte no restringir en la direccin horizontal ya que se est eliminando la reaccin redundante elegida. Esta nueva estructura (MIF 1) es isosttica, estable (de ningn modo debe ser inestable) y est sometida a las mismas cargas que la estticamente indeterminada (hiperesttica).c) Principio de superposicin.El marco real u original es equivalente a la suma de una serie de estructuras isostticas conformada por la estructura primaria y otro nmero de estructuras igual al nmero de redundantes elegidas. Entonces, el marco hiperesttico de este ejemplo es igual a MIF 1 ms otro marco que aqu hemos etiquetado como MIF II.La estructura primaria y su subsecuente (MIF II) deben tener entre s la misma geometra e idnticas condiciones de apoyo con la diferencia de que la segunda en lugar de estar sometida a las cargas externas originales, nicamente soporta a la redundante elegida () de sentido arbitrario (en este caso se propone hacia la izquierda). De acuerdo a lo anterior, el marco real u original es igual a la suma de las siguientes estructuras:

Estructura primariaMIF 1(Estructura )

Este marco (MIF 1), contrariamente al marco original o real, experimenta un desplazamiento horizontal en el punto .

Estructura liberada con fuerza redundante aplicada

En ste marco, se desplaza horizontalmente una cantidad de

d) Planteamiento de la ecuacin de compatibilidad geomtrica.Para obtener una ecuacin adicional que haga posible la solucin del problema hacemos uso del principio de superposicin formulado anteriormente y tomamos en cuenta la compatibilidad del desplazamiento horizontal en el soporte articulado . Por lo tanto, la ecuacin de compatibilidad geomtrica para el desplazamiento horizontal en es

El lenguaje algebraico anterior se traduce al lenguaje cotidiano como: el desplazamiento horizontal en el punto de la estructura MIF 1 ms el desplazamiento horizontal en el punto de la estructura MIF II es igual al desplazamiento horizontal en el punto del marco real .Obsrvese que en el punto del marco real no se produce desplazamiento horizontal alguno ya que la reaccin en esa direccin del soporte articulado ah situado lo impide, as que es nulo. Efectuando las sustituciones correspondientes, la ecuacin puede escribirse del siguiente modo

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de carga horizontal en el punto correspondiente a la fuerza redundante, el coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese mismo punto por lo que .Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en MIF 2(Estructura )

e) Clculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones de compatibilidad.En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en ya que (fuerza reactiva horizontal en el pasador del punto ) fue suprimida en el marco hiperesttico.Los valores de los desplazamientos requeridos pueden obtenerse con cualquiera de los mtodos explicados en el tema para marcos. En este ejemplo se utilizar el mtodo del trabajo virtual, debido a que es lo ms recomendable. Para su sencilla aplicacin, le hemos denominado estructura a la primaria y estructura a la liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en . Es importante recordar que las coordenadas a emplear en los cortes tienen que ser iguales y las direcciones positivas de los momentos tampoco deben cambiar entre las dos estructuras recin mencionadas. La primera expresin nos indica que es el desplazamiento horizontal en el punto del marco y que se determinar aplicando la ecuacin del trabajo virtual la cual requiere de la combinacin adecuada de los Momentos internos con los Momentos internos ; por su parte, la segunda expresin nos dice que es el desplazamiento horizontal en el punto del marco y que se calcular utilizando la ecuacin del trabajo virtual la cual necesita de la combinacin propia de los Momentos internos con los Momentos internos .

Anlisis de la estructura isosttica MIF 1.

Clculo de las reacciones en los apoyos.

Por trigonometra

Clculo de las componentes rectangulares.

Momentos internos . Miembro AB

Miembro CB

Anlisis de la estructura isosttica MIF 2Clculo de las reacciones en los apoyos.

Clculo de las componentes rectangulares.

Momentos internos .Como ya se haba mencionado, debe usarse las mismas coordenadas que las empleadas para deducir los Momentos internos , sin importar que en ambos miembros (AB y CB) no hay variacin de carga.Miembro AB

Miembro CB

Clculo de la incompatibilidad geomtrica .

Clculo del coeficiente de flexibilidad .

f) Clculo de la fuerza correctiva o reaccin redundante.reescribimos la ecuacin de compatibilidad geomtrica

sustituyendo

despejando la incgnita

g) Clculo de las reacciones faltantes para la estructura real.Las fuerzas reactivas desconocidas restantes pueden determinarse si aplicamos las ecuaciones de equilibrio a un diagrama de cuerpo libre en el que coloquemos la fuerza redundante que ha sido calculada.

2.- Calcular las reacciones en los soportes con el mtodo de la fuerza del marco mostrado en la siguiente figura. El miembro A-B soporta una carga con variacin lineal, el B-D una carga uniformemente repartida y el E-D una presin curva definida por la ecuacin indicada, cuyo origen se considera en E y en la que se han colocado sus valores en los puntos inicial y final. En la trabe hay una articulacin en C. Considere constante. Determinar adems las ecuaciones de momento, cortante y normal.

SOLUCIN.h) Clculo del grado de indeterminacin.

Si y , entonces , por lo que el marco es estticamente indeterminado de grado .i) Eleccin de la fuerza redundante y planteamiento de la estructura primaria.Seleccionaremos como accin redundante a . En consecuencia, en la estructura primaria, el apoyo articulado (pasador) en se reemplaza por un apoyo simple (oscilador o rodillo), puesto que ste ltimo no restringir horizontalmente y entonces la capacidad del marco para soportar una fuerza en esa direccin y en ese punto se elimina. j) Principio de superposicin.El marco real es igual a la estructura primaria ms la estructura liberada bajo la accin de la redundante ; sea .

Estructura primariaMIF 1(Estructura )

En ste marco se desplaza horizontalmente una cantidad de .Estructura liberada con fuerza redundante aplicada

En ste marco se desplaza horizontalmente una cantidad de .k) Planteamiento de la ecuacin de compatibilidad geomtrica.Por superposicin, la ecuacin de compatibilidad para el desplazamiento horizontal en del apoyo articulado es

En el marco original no hay desplazamiento horizontal ya que est restringido por el pasador, as que es nulo. Realizando las sustituciones correspondientes la ecuacin puede expresarse en trminos de la incgnita como

Si a la estructura liberada le aplicamos una unidad de fuerza horizontal en correspondiente a la fuerza redundante, el coeficiente de flexibilidad puede obtenerse directamente al calcular el desplazamiento horizontal en ese punto, por lo que .Estructura liberada con fuerza horizontal unitaria aplicada en MIF 2(Estructura )

l) Clculo de los desplazamientos necesarios para el sistema de ecuaciones de compatibilidad.En resumen, en los marcos MIF 1 y MIF 2 es necesario determinar el valor del desplazamiento horizontal en ya que (fuerza reactiva horizontal en el apoyo articulado del punto ) fue suprimido en el marco hiperesttico. A continuacin el orden con el que se calcularn los desplazamientos por medio del mtodo del trabajo virtual.

Anlisis de la estructura isosttica MIF1.Para la presin curva: Clculo de la carga concentrada equivalente.

resolvemos la integral de forma indefinida

Sean y . Entonces , y por tanto . As, la regla de sustitucin da

Punto de aplicacin.

Como el denominador ya ha sido resuelto, slo atendemos al numerador.

Sea

EntoncesAl integrar por partes tendremos

El brazo de la palanca es

Clculo de las reacciones en los soportes.

Momentos internos .Miembro A-B

Miembro B-D

Miembro E-D

Para la presin curva del corte. Clculo de la carga concentrada equivalente.

Punto de aplicacin.

Anlisis de la estructura isosttica MIF2.Clculo de las reacciones en los soportes.

Momentos internos .Miembro A-B

Miembro B-D

Miembro E-D

Clculo de la incompatibilidad geomtrica .

Resolviendo integrales por separado

esta integral a su vez se resuelve por separado

Sea

Entonces

Al integrar por partes tendremos

Sea

Entonces

Al integrar por partes tendremos , es decir,

Sea

Entonces

Al integrar por partes tendremos , es decir,

Clculo del coeficiente de flexibilidad

Resolviendo las integrales por separado

m) Clculo de la fuerza correctiva o accin redundante.Sustituyendo los resultados en la ecuacin y resolviendo se obtiene

El signo positivo indica que acta en el mismo sentido al que se muestra en la figura de MIF II.

n) Calculo de las reacciones restantes del marco original.Con el valor obtenido, podemos calcular las dems fuerzas reactivas en los soportes aplicando las ecuaciones de equilibrio.

o) Ecuaciones de momento, cortante y normal de la estructura realMiembro A-B

Miembro B-D

.ando las ecuaciones de equilibrio. las demMiembro E-D