PROBLEMA 11.1

El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 10, donde "x" y "t" se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 4s.

SOLUCION:

Tenemos que: x = 1.5t4 - 30t2 + 5t + 1O

v = dx/dt = x´

x' = 6t3 - 60t + 5 = v

a = dv/dt

x´´ = 18t2 - 60 = a

Evaluamos cuando t = 4s

v = x´= 6(4)3 - 60(4) + 5

v = 149 m/s

a = x´´ = 18(4)2 - 60

a = 228 m/s2

Distancia = x = 1.5(4)4 - 30(4)2 + 5(4) + 10

x = 60 m

Problema 11.5

El movimiento de una partícula está definido por la relación x=6 t 2+3 t+32 donde “x” y “t” se expresan en metros y segundos, respectivamente.

Determine el tiempo, posición y velocidad cuando a=0.

Posición:

x=6 ( 23 )4

−2( 23 )3

−12( 23 )+3 ( 23 )+3=0.259m

Velocidad, 1ra Derivada:

24 t 3−6 t 2−14 t +3=24( 23 )3

−6( 23 )2

−24( 23 )+3=−8.56 ms

Aceleración, 2da derivada:

72 t2−12 t−24=0

x=−(12)±√(−12)2−4 (72 ) (−24 )

2(72)=12±84144

=96144

=23=0.667 seg

11.7 el movimiento de una partida esta definido por la relación:

x=t 3−6 t 2−36 t−40

Donde x y t se expresan en “ft” y “s” respectivamente. Determine:

a) Cuando V=0 b) La velocidad, la aceleración y distancia total viajando cuando x=0

a)

posición x= (6)3-(6)(6)2-36(6)-40= -256m

velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0 ecuacion de 2°grado.

x=−b±√b2−4ac2a

x=−(−2)±√(−12)2−4 (3)(−36)

2(3)= 12±246

=366

=6 s

Aceleración 2° derivada 6t-12= 6(6)-12= 24 m

s2

Ecuación de 3° grado (método de Rufiny)

x=t 3−6 t 2−36 t−40=0

1 -5 -36 -40

10 10 40 40

1 4 4 0

X1=10

t 2+4t+4

1 4

4

-2

-2 -4

1 2 o

X2=-2

1 2 -2 -2 -1

0

X3=-2

t=10 s

velocidad 1° derivada 3t2-12t-36=0

3(10)2-12(10)-36= 144ms

Aceleración 2° derivada

6(10)-12= 48 m

s2

0 ≤ t ≤ 6

X0= (0)3-6(0)2-36 (0)-40

X0=40m

X6=(6)3-6(6)2-36(0)-40

X6=-256m

|x10−x6|=|216− (−256 )| = 472 m

xT= 216+472= 688m

11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=-8m/s^2. Si se sabe que x=20m cuando t=4s y x=4m cuando la velocidad 16m/s determinar a) el tiempo cuando la velocidad es cero b) La velocidad y la distancia total cuando el tiempo=11s.

6s 0seg 10 seg

-256 -40m 0m

x=20mx=4mt=4 segv=16m / s

∫−8dtv=−8 t +C

∫ x dx=∫4t−8t +C

x−20=−8 t2

2|¿ 4t+C

t1|4

t

x−20=−4 t−[−4( 42 )]+C ( t−4 )x−20=−4 t2+64+C( t−4 )x=−4 t2+C ( t−4 )+64+20x=−4 t2+C ( t−4 )+84−3

x=−4 t2+(16−8 t )( t−4 )+84−4 t2+16 t−64+8t2−32t +84−4 t2−16 t +20=4+4 t2−16 t+16=0(2 t−4 )(2 t−4 )4 t2−8 t−8 t+162 t−4

t=−42

t=−42

t1=−2 t2=−2a=8 t+16=8 (2)+16=32v=−8 t+C=−8(2)+32=m /sx=−4(2 )2+32(2)−4+84x=4m

a=−8m /s2

v=−8 t+Cx=−4 t2+C ( t−4 )+84

Sustituyendo 16 en 2

−8 t+C=16C=16+8 t

Luego 4 en 3

Problema 11.11

La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo cuando t =

0, la velocidad de la partícula es V=16 pulgs

. Si se sabe que V=15 pulgs

y para

X = 20 pulgadas cuando t = 1s. Determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando t = 7s.

Datos:

t = 0 V = 16pulg

sV = 15

pulgs

t = 1s

X = 20 pulg

a )v=0 v=−8 t−C

t=V−C8

=0−328

=4 s

b )v ll=v ll=−8 t+C

v ll=−8 (11+32)=−56m /sxo=−4(0 )+32(0−4 )+84¿−44mx4=20mx ll=−176m|x4−xo|=|64||x ll−x4|=|196|64+196=260m

V = ?

X = ? Cuando t = 7s

X t=¿?

Solución:

a = Kt K = constante

dvdt

=Kt=a

Integrando con t = 0 y V = 16pulg

s

∫16

v

dv=∫0

1

Kt dt

V−16=12

K t2

V=16+12

K t 2 (pulg

s¿ ………………(1)

Sustituyendo V=15 pulgs

y t = 1s en ecu. (1)

[15 pulgs ]=16+ 12 K (1−0)2

K=15−1612

=−112

=−2………………(2)

Sustituyendo ecu. (2) en ecu. (1)

V=16+12

(−2 ) t2=16−22

t 2=16−t 2

V=16−t 2

∫20

X

dx=∫1

t

(16−t 2)dt

X−20=16 t−13

t 3∫1

t

.

X−20=−13

t 3+16 t−16+ 13

X=−13

t3+16 t−16+ 13+20

X=−13

t3+16 t +133

………………… (3)

Sustituyendo t = 7s en la ecu. (1)

V=16−t 2=16−(7 )2=16−49

V=−33 pulgs

………………….(4)

Sustituyendo t = 7s en la ecu. (3)

X7=−13

(7 )3+16 (7 )+ 133

=2 pulg .

Cuando V = 0

V=16−t 2=0

t 2=16

t=√16=4 s .

Sustituyendo en la ecu. (3)

X 4=−13

(4 )3+16 (4 )+ 133

=47 pulg

X 0=−13

(0 )3+16 (0 )+ 133

=133

pulg

0≤ t<44 ≤t <7

|X4−X0|=|47−133 |=42.6 pulg.

|X7−X 4|=|47−2|=45 pulg

Distancia total:

XT=42.6+45=87.6 pulg.

11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=A−6 t2 donde A es una constante en t=0. La partícula inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 segundo y v=30m/s determine: a) Los tiempos en la que velocidad e cero. b) La distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 segundos

Datos.

t=0 x=8m

v=0

t=1seg. v=30m/s

a) v =0 t=?

b) x total=? t=5seg.

Solucion:

dvdt

=a=A−6 t 2

∫0

v

dv=∫0

t

( A−6 t2 ) dt

v−0=At−2 t3(m /s)

v=At−2 t 3…… ..(1)

30=A (1 )−2 (1 )3

A=30+2=32…… (2 )

sustituyendo laecuacion2enla ecuacion1

dxdt

=v=32t−2 t3………. (3 )

integrando .

∫8

x

dx=∫0

t

(32 t−2t 3 ) dt

x−8=16 t 2−12

t4… ….. (4 )

a¿cuando v=0de laecuacion3 :

v=32 t−2t 3=0

simplificando :

V¿2 t (16 t−t 2 )=0

2 t=016−t 2

t=02=04=t

por lo que :

t=4 segundos

b¿ t=0 seg . ,4 seg. ,5 seg .dela ecuacion4 :

x0−8=16 (0 )2−12

(0 )4=0

x0=8

x4=16 (4 )2−12

(4 )4+8=136m

x5=16 (5 )2−12

(5 )4+8=95.5m

0≤ t ≤4 4≤ t ≤5

|x4−x0∨¿|136m−8m|=128m

¿ x5−x4∨¿|95.5m−136m|=40.5m

xT=128m+40.5m=168.5m

11.7. Una partícula oscilante entre los puntos X = 40 mm y X = 160 mm con una aceleración a = k ( 100 - X), donde a y X son expresiones en mm/s’2, respectivamente. La velocidad de la partícula es 18 mm/s cuando X = 100 mm y es cero por lo tanto X = 40 mm y X = 160 mm. Determine: a) El valor de k, b) La velocidad cuando X = 120 mm.

Problema 11.17

Datos:

X=40mm x=160mm

A=k (100-X) k=cte.

V= 18 mm/s X= 100mm

V= 0 X= 40mm

a) k =?

b) V =? V = 120 mm

Solución:

V * dv/dx = a = k (100-X)

∫0

vV∗dv

dx=¿ X=∫

40

X

k (100−X )dx ¿

½ V’2 – (0) = K∫40

X

100dx−k∫40

X

X dx

½ V’2 = K (100X-1/2X’2) IX40

½ V’2 = k (100X-1/2X’2)-(100*40-1/2*40’2)

½ V’2 = k (100X-1/2 X’2 - 3200)…………… ecu. 1

a) Sustituyendo la v=18 mm/s y x= 100mm en la ecu. 1.

½ (18)’2 = k (100(100)- ½ (100’2 - 3200))

k = 0.0900s’2

b) Cuando X= 120 mm V=?

½ V’2 = 0.09 (100*120 – ½ (120)’2 - 3200)= 144 V= (+-) 16.97 mm/s

Problema 11.21

A partir de X=0 con una velocidad inicial, dada una partícula una

aceleración a=08 √v2+49❑ , donde a y v se expresa en m/s2 y m/s,

respectivamente. Determinar

a) la posición de la partícula cuando V=24 ms

b) la velocidad de la partícula cuando X=40 m.

DATOS.

X=0

V=0

a= 0.8 √v2+49❑

a) X=0 V=24 ms

b) V=0 X=40 m

Solución:

vdvdx

❑

= a=0.8 √v2+49❑

Despejando para pasar la velocidad del otro lado de la igualdad

V dv

√v2+49= 0.8 = ∫

0

x

0.8 dx

[√v2+49❑](v0) = 0.8x √v2+49❑ - √02+49❑ = 0.8x √v2+49❑- 7 = 0.8 x

Aplicando los límites.

√v2+49❑-7 =0.8 x …. 1

a) sustituyendo V = 24 ms para encontrar X.

√242+49❑ -7 = 0.8 x X= 22.5 m.

b) Sustituyendo X= 40 m para encontrar V = ?

√242+49❑ -7 = 0.8 (40) V = 38.4 ms

Problema 11.33

Un automovilista entra a una carretera a 45kmh y acelera

uniformemente asta 99kmh. De acuerdo con el odómetro del automóvil

la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determinar.

a) La aceleración del automóvil.

b) El tiempo que se requiere para alcanzar 99kmh.

Datos:

V 0=45kmh

V=99 kmh

X=0.2Km

X 0=0

Solución:

a) a=?b) t=?

V 2=V 02+2a (X−X0)

a=V 2−V 0

2

(X−X0)(2)

a=(99 km

h )2

−(45 kmh )

2

(0.2Km−0 ) (2 )=7776

Km2

h2

0.4Km

a=19440 kmh2 ( 1000m

1Km )( 1h3600 s )

2

=1.5 ms2

V=V 0+at ∴t=V−V 0

a

t=(99 km

h )−(45 kmh )

19440km

h2

=54

kmh

19440km

h2

=2.77×102h (3600 s1h )=10Segundos .

Problema 11.3

El movimiento de una partícula está definido por la relación

x=53

t 3−52

t 2−30 t+8, donde x y t se expresan en pies y segundos,

respectivamente. Determinar el tiempo, la aceleración cuando v=o.

V=5 t 2−5 t−30

0=5 t2−5 t−30

t=−b±√b2−4 ac2a

=− (−5 )±√ (−5 )2−4 (5 ) (−30 )

2 (5 )

t 1=5+2510

=3010

=3 seg.

t 1=5−2510

=2010

=2 seg .

x=53

(3 )3−52

(3 )2−30 (3 )+8

x=−59.5 ft

a=10 t−5

a=10 (3 )−5

a=30−5

a=25 ft

s2

PROBLEMA

Solución.

Datos. a=11 ft/s2 Va=30 Mi/hr. tb= ¿ Vb = ¿ X0 = 0 X=160 ft

V= 30 mi/h (5280 ft1milla

( 1h3600 s

) ∴ v= 44 ft/s

Usando x= x0 + Vot + 12

a t2 ∴ 160 = 0 + 44 ft/s + 12

11 ft/s2 t2.

Igualando a cero: - 160 + 44 t + 5.5 t2 = 0 ; Usamos formula general x=−b

+¿−¿√b2−4 ac

2a¿¿

X=−44

±

−¿√442−4 (5.5)(−160)2(5.5)

¿ ; x=

−44 ±73.8611

=x 1=2.71 s ; x2=−10 s ; por lo tanto el tiempo es

2.71 seg

b)

Vb=Va + at ; Vb= 44 ft/s + 11 ft/s2 (2.71 s) ; Vb = 73.81 ft/s 3600 s1hr ( 1ml

5280 ft )=50.4mi /h este valor debe

11.37. Un atleta en una carrera de 100m acelera de manera uniforme durante los primeros 35m y luego corre con una velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 35m es de 5.4s determine:

a) Su aceleraciónb) Su velocidad finalc) El tiempo en que completa la carrera

PROCEDIMIENTO.

0 ≤ X < 35

35 ≤ X ≤ 100m

Cuando X=35m t=5.4s C) 35 ≤ X< 100

XB= XA + VAt + 12 at 2 X = Xo

+ Vo (t – t1)

XB = 0 + 0t + 12 a (5.4 s)2 100 =

35 + (12.96ms) (t2 – 5.4s)

XB = 35m Despejo la ecuación t2 = 10.41s

35 = a (14.58)

a) a = 2.4005ms

b) 35 ≤ X < 100

V 2 = 0 + 2ª (x – 0)

X = 35m

V 2 = 2 (2.4005)(35m)

V = 12.96 ms

11.39 Un oficial de policía en una patrulla estacionada en una zona donde la rapidez es de 70 km/h observa el paso de un automóvil que marcha a una rapidez constante. Al oficial le parece que el conductor podría estar intoxicado y arranca la patrulla, acelera uniformemente hasta 90 km/h en 8 s y mantiene una velocidad constante de 90 km/h, alcanza al automovilista 42 s después. Si se sabe que transcurrieron 18 s antes de que el oficial empezara a perseguir al automovilista.Determine:a) la distancia que recorrió el oficial antes de alcanzar al automovilista.b) la rapidez del automovilista.

a)

V = Vo +a (t-to)

Despejando la aceleración

a = ( Vo+V ) / (t-to)a = ( 0 + 25 m/s ) / ( 26s – 18s ) =3.125 m/s2

X = Xo + Vo ( t – to ) + ½ a ( t - to)X = 0 + 0 ( 26 - 18 ) + ½ ( 3.125 m/s2 ) = 100

Xp= 100 (25m/s) ( 42s – 26s)=Xp= 500 m/s

b)

500 m/s = V ( 42s )V = 11.9 m/s (1km/1000m) (3600s/1hr)=V = 42.84 Km/h