PROBLEMAS PROPUESTOS

I. ALGEBRA VECTORIAL

Suma y Producto de Vectores

1. En los ejercicios dados a continuación. Determine el módulo y la dirección del vector dado

a) A = (3 ,4) b) A = (-2 , 8) c) A = (5,-5 )

d) A = (4 , 5) e) A = 13î + 5j f) A = 4î - 5j

2. En los ejercicios dados a continuación. Determine el módulo y la dirección del vector dado

a) A = 4î + 5j + 2k b) A = -2î + 6j +7k c) A = 5î + 5j - 2k

d) A = 4î + 5j + 2k c) A = 13î + 5j + 12k d) A = 4î + 5j + 2k

3. En la figura 1, Se muestra un vector A de módulo 100u. Hallar sus componentes a lo largo de los

ejes u-v. Considerando que los ejes son: a) b)

Figura 1. Figura 2.

4. En la figura 2, se muestra un vector U de módulo 100u. Hallar sus componentes rectangulares

5. En la figura 2. Determine los ángulos y cosenos directores del vector dado.

6. Hallar el ángulo entre los vectores dados a continuación:

a) A = (3 ,4) ; B = (-2 , 8) b) A = (5,-5 ) , B = (4 , 5) c) A = 13î + 5j y B = 4î - 5j

d) A = 4î + 5j + 2k y B = -2î + 6j +7k e) A = 5î + 5j - 2k y A = 4î + 5j + 2k

f) A = 13î + 5j + 12k y B = 4î - 5j + 2k g) A = 3î + 5j - 12k y B = -4î - 5j + 2k

7. Hallar los ángulos directores de la recta que pasa por los puntos (1,1,1) y (3,4,-5).

8. Hallar la proyección del vector A sobre B si

a) A= (1,1,1) y B=(1,2,3). c) A = (3 ,4) y B = (-2 , 8)

b) A = (5,-5 ) y B = (4 , 5) d) A = 13î + 5j y B = 4î - 5j

e) A = 4î + 5j + 2k y B = -2î + 6j +7k f) A = 5î + 5j - 2k y A = 4î + 5j + 2k

g) A = 13î + 5j + 12k y B = 4î - 5j + 2k h) A = 3î + 5j - 12k y B = -4î - 5j + 2k

9. En los ejercicios dados a continuación halla el producto vectorial (AxB)

a) A = 4î + 5j + 2k ; B = -2î + 6j +7k b) A = 5î -4j - 2k ; B = 4î + 5j + 2k

c) A = 13î + 5j + 12k ; B = î -7j + 2k d) A = 4î + 5j + 2k ; B = -2î + 6j +3k

e) A = 15î + 5j -12k ; B = 0.4î + 5j + 2k f) A = 3î -5j + 12k ; B = 4î + 5j + 6k

10. Hallar el producto triple (AxB).C si

a) A = 4î + 5j + 2k ; B = -2î + 6j +7k y C = 5î -4j - 2k

b) A = 4î + 5j + 2k ; B = 13î + 5j + 12k y C = î -7j + 2k

c) A = 4î + 5j + 2k ; B = -2î + 6j +3k y C = 15î + 5j -12k

d) B = 0.4î + 5j + 0.2k ; A = 3î -5j + 12k y C = 4î + 5j + 6k

c) A = -4î + 5j - 2k ; B = -2î - 6j +3k y C = 5î + 10j -12k

11. Determine la distancia del punto (1,1,1) a la recta que pasa por (2,4,6) y el origen.

12. Dos rectas L1 y L2 pasan por los puntos (0,0,0), (1,1,1) y (1,-1,1) y (3,4,5) respectivamente.

Determine el ángulo formado por las rectas y la distancia mínima entre ellas.

13. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,1,1) (1,2,2) y (2,3,3) Dar su respuesta en

forma escalar y vectorial.

14. En las figuras mostradas. Hallar los vectores que representan a las superficies S1 y S2. Los

vértices del triangulo son A(1,0,0) B(0,1,0) y C( 0,0,1)

15. Dada la función vectorial A = (t2,t,t). Evaluar la función en t = 1 , 2 ,3 4 , 5. .

16. Dadas las funciones vectoriales, definidas en el campo de los números reales

y .

Hallar el producto escalar y vectorial e dichas funciones.

17. Sea la función vectorial . Hallar el ángulo que

forman A (0) y B (1).

18. Dadas la función . Hallar las tres primeras

derivadas de la función con respecto al argumento t.

19. Evaluar la integral , donde

20. Evaluar la integral , donde

21. Dados los vectores ; y . Hallar: a) , b) c) d)

22. En la figura mostrada. Hallar y

A= 100B= 150

30º60º

23. Hallar la distancia del punto (2, 3, 4) a la recta que pasa por el origen y el punto (1, 1, 0). Utilizando vectores.

24. Hallar, utilizando el algebra vectorial, la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (-2,1,3) y (1,2,3).

25. Hallar. utilizando el álgebra vectorial, la distancia de la recta L paralela a plano, del problema anterior, si pasa por el punto (5, 1,0).

26. En la figura se muestran dos rectas L1, y L2 las cuales cortan a los ejes X, Y y Z en los puntos indicados. Hallar la distancia mínima entre estas rectas.

27. Demostrar mediante el uso de vectores el teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2

28. Si A+B+C = 0. Demostrar que A X B = B X C = C X A

29. Un alpinista parte del punto O(0,0,0) mostrado en la figura, para llegar a la cima de la montaña hace escala en los puntos A(3,4,1), B(-1,6,4), C(-2,3,6), D(-4,5,.6.5), E(-5,6,7) hsta llegar al punto F(-6,5,8). Hallar la altura de la montaña medida desde O y la distancia total recorrida por el alpinista.

II. FUERZA, TORQUES Y EQUILIBRIO

1. Dado el sistema de fuerza ; y

. Determinar la resultante.

2. En la figura se muestran dos fuerzas concurrentes. Hallar la resultante y el ángulo que forma con el eje u positivo.

3. En la figura mostrada F1= 600N, ,

. Hallar para que la partícula esté en equilibrio.

4. En la figura se muestran una placa sostenida parcialmente por los cables AB y AC. Determine la magnitud de la resultante que se ejerce en A. Cuyas coordenadas son: (0,1,1)

5. Determine el torque respecto al origen de una fuerza F=100N, aplicada en el punto (1, 1,1) cuya línea de acción es la recta que pasa por (1,1,1) y (2,3,-1).

6. La estructura está sostenida a las fuerzas indicadas. Hallar el torque total respecto al punto P.

F1 = 100kgf ; F3 = 50kgfF2 = 50kgf ; F4 = 20kgf

Nota: La distancia de F1 a P es 4m y de F2 a P es 10m

7. Sobre el bloque de madera mostrado actúan los pares de fuerzas indicada, cuál debe ser la magnitud de para que el bloque no se mueva?.

8. Sobre la placa de la figura actúan cuatro fuerzas paralelas. Determine

la resultante y su punto de aplicación.

9. Reemplace las cargas distribuidas por una fuerza resultante, especifique su localización y calcule el torque que produce respecta l origen

10. Determinar la fuerza de cada miembro de la armadura e indique si los miembros están en tracción o comprensión.

11. Dos bloques de masas m y M están articuladas según la figura. Si los coeficientes de fricción son y 2 respectivamente. Determine el valor mínimo de la fuerza vertical F para mover los bloques.

12. Una regla de madera de 1 m soportada en la marca de 50 cm tiene colgando dos masas de 300 g y 200 g en las marcas de 10 cm y 60 cm, respectivamente. Encuentre la posición en la cual tiene que coloca otra masa de 400 g para que la regla se mantenga en equilibro.

13. Dos platillos de una balanza se encuentran separados 50 cm. El fulcro de la balanza se ha desplazado 1 cm. del centro por un tendero deshonesto. ¿Qué porcentaje del verdadero peso. de los víveres se lleva el tendero? Desprecie el peso de la balanza.

14. Una escalera de densidad uniforme y masa m descansa contra una pared vertical sin fricción a un ángulo de 60º. El extremo inferior descansa sobre un piso plano con un coeficiente de fricción estatico 0.40. Un estudiante de masa M=52kg intenta subir la escalera. ¿Qué fracción de la longitud L de la escalera subirá el estudiante antes de que la escalera empiece a resbalar?

15. Un tablón uniforme de longitud 6 m y masa dé 30 kg descansa horizontalmente sobre un andamio; 1.5 m del tablón queda salido de un extremo del andamio. Un pintor de 70 kg, ¿cuánto puede caminar sobre la parte colgante antes de que el tablón se caiga.

16. Un automóvil de masa 1500 kg tiene una base de ruedas (la distancia entre los ejes) de 3.0 m. El centro de masa del automóvil se encuentra en la linea central a 1.2 m detrás del eje delantero. Encuentre la fuerza ejercida por el piso sobre cada una de las cuatro ruedas.

17. Un clavadista de 48 kg se encuentra en el extremo de una trampolín de 3 m de largo.¿Qué momento de una fuerza produce el peso del clavadista respecto de un eje perpendicular y en el plano del trampolín que pasa por su punto medio?

18. Un anuncio esférico de 1 m de diámetro y densidad de masa uniforme se encuentra colgado de dos cuerdas, como se muestra en la figura. ¿Qué fracción del peso del anuncio se encuentra soportado por cada cuerda?

18. Una viga uniforme de 10 m de longitud y 100 kg se encuentra colgando horizontalmente por dos cuerdas aplicada en los extremos. Si una de las cuerdas puede soportar una carga máxima de 600 N, ¿a qué distancia máxima, medida desde la cuerda más fuerte, se puede colocar una masa de 50 kg de tal manera que la cuerda delgada no se rompa?

19. Se tiene una varilla uniforme AB de 5 m de longitud y 50 N de peso soportada en A y mantenida en equilibrio por una cuerda, como se muestra en la figura 12.27. Una carga de 100 N cuelga de la varilla a una distancia x de A. Si la resistencia de ruptura de la cuerda es de 50 N, encuentre el máximo valor de x.

21. Una viga de 20 m de longitud y densidad de masa uniforme descansa sobre dos soportes, como se muestra en la figura 12.28. La viga pesa 500 N. a) Una persona de 625 N de peso se encuentra en el punto medio geométrico de la viga. Calcule la fuerza ejercida sobre la viga por los dos soportes. b) La persona puede caminar una distancia máxima x, como se muestra, antes de que la viga se levante. Calcule la distancia x.

22. un puente de 5m de longitud y de masa se mantiene soportado en cada extremo, como se muestra en la figura. un camión de kg se encuentra a 15m de distancia de uno de los extremos. ¿Cuáles son las fuerzas sobre el puente en los puntos de soporte?

23. Una esfera sólida de radio R y masa M se coloca en una cuña, como se muestra en la figura. Las superficies interiores de la cuña se consideran sin fricción. De-termine las fuerzas que ejerce la cuña sobre la esfera en los puntos de apoyo.

20. Determine magnitud de la fuerza horizontal F, requerida para mantener el bloque en la posición mostrada en la figura. El coeficiente de rozamiento están las superficies es = 0.2. W= 100 kg.f; Desprecie el peso de la cuña.

21. En la figura se muestran dos semicilindros circulares de peso “W” cada uno y radio “r”. La superficie entre los cilindros es rugosa y el suelo es lizo. Si el sistema

está en equilibrio hallar las reacciones en P y Q, la reacción entre los dos cilindros y la distancia X a la cual actúa esta reacción.

Nota : El centro de gravedad del semicilindro es

22. Hallar el centro de masa de u sistema de partículas cuyas masas son 2kg, 3kg, 5kg y 10kg ubicadas en el origen, (1,1,2)m, (-2,3,1)m y (3,4,5)m respectivamente

23. En el problema anterior, ¿ donde se debe ubicar una masa de 5kg para que el centro de masa sea el origen?

24. Hallar el centro de masa de las varillas arregladas segunda figura

25. Hallar el centro de masa de la encuadra mostrada en la figura

25. Hallar el centro de masa de la placa mostrada en la figura

26. Hallar el centro de masa de los sólidos homogéneos mostrados en la figura. El radio de las esferas es 8 cm las aristas a = 20cm y b = 10cm

27. Si en el problema anterior reemplazamos la esfera por un cilindro de radio 10cm y altura 20cm colocado de tal modo queso centro de la base coincida con la intersección de las diagonales de la cara superior ¿cual es el centro de masa del sistema?

28. Hallar el centro de masa del sólido cilíndrico mostrado en la figura. El radio de la base es 10 cm y la altura 15cm.28. Hallar la distancia del vértice agudo al centro de

masas del sistema de masas mostrado en la figura. La masas son iguales.