problemas de f sica estad stica. curso 2014-2015 · la mayor parte de los problemas propuestos en...

Seleccionados por Daniel Alonso Ramırez

IUdEA, Instituto Universitario de Estudios Avanzados y Facultad de Fısicas

Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015

i

ii Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015

Foreword

La mayor parte de los problemas propuestos en esta coleccion han sido seleccionados

de los de los textos que se encuentran en la bibliografıa. Cada problema contiene

la cita al texto del que ha sido extraido. Por ejemplo,

• 2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista1

La llamada 1 a la nota de pie de pagina indica que el problema 2.2.1 lo puedes

encontrar en el texto Statistical mechanics(An Advanced course with problems and

solutions), por R. Kubo,H. Ichimura, T. Usui y N. Hashitsume. Publicado por

North-Holland publishing company, 1971, como consta en la entrada [Kubo et al.

(1971)] de la bibliografıa.

1[Kubo et al. (1971)]

iii

iv Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015

Contents

Seleccionados por Daniel Alonso Ramırez

Foreword iii

1. Problemas de repaso 1

1.1 Breve repaso de termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Ecuaciones fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.4 Relaciones termodinamicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.5 El cuerpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Modelos Mecanicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Energıa en centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Potencial cuartico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Potencial de Lennard-Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4 Molecula diatomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.5 Grados de libertad de un sistema . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.6 Velocidad media y energıa cinetica . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.7 Algunos ordenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.8 Ordenes de magnitud para el Argon . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Repaso de Mecanica Cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Energıa media de una partıcula “gaussiana” . . . . . . . . 6

1.3.4 Oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.5 Partıculas identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.6 Pendulo cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.7 Atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.8 Mini-curso de teorıa de bandas en solidos . . . . . . . . . . 9

2. Colectividades de Gibbs 11

v

vi Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015

2.1 Gibbs 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Presion de un gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Gas ideal microcanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 El oscilador armonico microcanonico . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Sistema con un numero finito de niveles. Temperaturas

negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5 Gas ideal canonico e isotermo-isobarico . . . . . . . . . . . 12

2.1.6 Sistemas compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.7 Funcion canonica y potenciales de interaccion homogeneos 12

2.1.8 Relacion entre la capacidad calorıfica y fluctuaciones.

Colectivo canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.9 El gas ideal en un campo externo . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.10 Fluctuaciones. Colectivo gran-canonico . . . . . . . . . . . 14

2.2 Gibss 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Gas ideal relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Gases ideales: Moleculas diatomicas . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.4 Distribucion de velocidades de Maxwell . . . . . . . . . . . 17

2.2.5 Capacidad calorıfica de solidos cristalinos: contribucion

fononica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.6 Un electron en un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.7 Partıcula libre en una caja. Colectivo canonico . . . . . . . 19

2.2.8 Oscilador armonico cuantico unidimensional. Colectivo

canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Gibbs 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Teorema de equiparticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2 Molecula diatomica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Gas ideal. Coletividad macrocanonica . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 Equilibrio solido-gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Gibbs 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.1 Funcion de particion de una partıcula libre en una caja . . 22

2.4.2 Modelo de red para un fluido Lattice gas . . . . . . . . . . 22

2.4.3 Cadena molecular lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.4 Molecula de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.5 Funcion de particion de un sistema sujeto a una perturbacion 23

2.4.6 Sistemas de partıculas confinadas en una caja y

armonicamente ligadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.7 Partıculas no identicas en d-dimensiones . . . . . . . . . . 24

2.4.8 N-partıculas en una superficie bidimensional . . . . . . . . 24

2.4.9 Cadena unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.10 Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas

polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Contents vii

2.4.11 Gas ideal cuantico en dos dimensiones: Weyl law, lımite

termodinamico y condiciones de contorno . . . . . . . . . . 25

Bibliography 27

Chapter 1

Problemas de repaso

1.1 Breve repaso de termodinamica

1.1.1 Ecuaciones fundamentales.

Obtener la ecuacion fundamental u = u(s, x) para los sistemas siguientes:

(1) un mol de gas perfecto con calores especıficos constantes;

(2) un mol de una sustancia paramagnetica que obedece la ley de Curie, M =

CH/T y cuyo calor especıfico cM es constante;

(3) una barra elastica que obedece la ley de Hooke con constante elastica E y calor

especıfico cε constantes;

(4) una celda galvanica cuya f.e.m. E es una funcion de la temperatura: E =

E0 + (aT − T0) y cuya capacidad calorıfica C es constante.

La variable x se identifica con, (a) x = v, volumen especıfico; (b) x = M,

magnetizacion; (c) x = ε, esfuerzo; (d) x = z, carga electrica.

1.1.2 Gas ideal

Si un gas tiene una ecuacion de estado de la forma

PV = φ(T ) (1.1)

con energıa interna U funcion de la temperatura T U = ψ(T ). Deducir la ley de los

gases ideales a partir de la primera y segunda ley de la termodinamica.

1.1.3 Gases ideales

Mostrar que para un gas ideal se tiene:

Cp − Cv = R (1.2)

con R la constante de los gases.

1

2 Problemas de Fısica Estadıstica. Curso 2014-2015

1.1.4 Relaciones termodinamicas.

Si se toman como variables en un sistema expansivo el volumen V y la temperatura

T , deducir de la primera y segunda ley de la termodinamica que;

TdS = CvdT + T (∂P

∂T)vdV.

Obtener una relacion similar para Cp.

1.1.5 El cuerpo negro.

La radiacion del cuerpo negro (un gas ideal de fotones en equilibrio) puede ser

caracterizado macroscopicamente. Se puede demostrar que la energıa interna por

unidad de volumen u es una funcion que depende solo de la temperatura, y que la

presion es P = u/3.

(1) Mostrar que la entropıa del sistema esta dada por;

dS =V

T

du

dTdT +

4

3

u

TdV. (1.3)

(2) Demostrar que,

1

T

du

dT=

4

3

d

dT(u

T). (1.4)

(3) Demostrar a partir del resultado del apartado (2) conduce a que u = aT 4 con

a una constante sin determinar.

(4) Obtener que la entropia S verifica S = (4/3)aT 3V , V el volumen, donde S(T =

0) = 0.

(5) Mostrar que en un proceso a entropıa constante se verifica;

T 3V = constante o, PV 4/3 = constante (1.5)

vi) Deducir la funcion de Hemholtz F ,

F = −1

3aT 4V = −1

3U (1.6)

(6) Calcular la funcion de Gibbs G = U + PV − TS(7) De las ecuaciones que has deducido cuales son las fundamentales para el sistema.

1.2 Modelos Mecanicos.

1.2.1 Energıa en centro de masas

La energıa cinetica de un sistema de dos partıculas es E = (m1v21 + m2v

22)/2.

Expresar la energıa en terminos de la velocidad de centro de masas V, y la velocidad

relativa v, donde V = (m1v1 +m2v2)/(m1 +m2) y v = v1 − v2

Problemas de repaso 3

1.2.2 Potencial cuartico

Una partıcula puntual se encuentra en un potencial unidimensional,

φ(x) = ax2 + bx4 para −∞ < x < +∞

donde b es positiva y a puede ser negativa o positiva. Dibujar el potencial y localizar

los puntos de equilibrio de la partıcula en el caso;

Describir el movimiento clasico de la partıcula en este campo en los tres casos.

(1) a/b > 0

(2) a/b < 0

(3) a = 0.

1.2.3 Potencial de Lennard-Jones

Dos moleculas interaccionan a traves del potencial de Lennard-Jones;

φ(r) = 4ε

[(r0r

)12

−(r0r

)6]Calcular la fuerza, F , de interaccion cuando las moleculas estan a distancia

(1) r = 0.9r0(2) r = r0(3) r = 21/6r0(4) r = 2r0. ¿Hacia donde esta dirigida la fuerza en cada caso?.

1.2.4 Molecula diatomica

La fuerza F para un modo de oscilacion simple en una molecula diatomica cuyo

potencial φ(r) tiene un mınimo en r = rm puede escribirse F = −k(r− rm). ¿Bajo

que condiciones?.

(1) Haciendo un desarrollo de Taylor de φ(r) en torno al mınimo, mostrar que la

constante de la fuerza k es;

k =

(d2φ

dr2

)r=rm

(2) Derivar una expresion para k en el caso que tengamos el potencial de Morse,

φ(r) = ε(e−2(c/r0)(r−d) − 2e−(c/r0)(r−d))

y obtener la frecuencia natural de vibracion.

(3) Haz lo mismo para el potencial de Lennard-Jones.


1.2.5 Grados de libertad de un sistema

Determinar el numero total de grados de libertad f = fT +fR+fV , (T=Traslacion,

R=rotacion y V=vibracion) para las siguientes moleculas que se representan en la

figura 1.1.

Fig. 1.1 (a) molecula diatomica, (b) molecula triatomica, (c) molecula triatomica no lineal.

1.2.6 Velocidad media y energıa cinetica

La velocidad media de una molecula a temperatura ambiente es u ≈ 480m/seg.

¿Cual es la energıa cinetica, E, de una molecula de oxıgeno a esta velocidad?.

Calcular el numero n, de tales moleculas que serıan necesarias par tener una enegıa

cinetica del orden E = 1J , y E = 10eV .

1.2.7 Algunos ordenes de magnitud

La raız cubica del volumen por molecula puede usarse como una estimacion simple

de la distancia entre atomos vecinos en una sustancia.

(1) La densidad de un solido de argon a T = −233oC es ρ = 1.65gr/cm3, y la masa

de un atomo es m = 43 × 10−24gr. ¿Cual es la distancia entre atomos usando

la estimacion mencionada previamente?.

(2) Consideramos ahora que el potencial intermolecular es el de esferas duras que se

representa en la figura 1.2. Si tomamos una coleccion de partıculas en empaque-

tamiento compacto (tan proximas como se pueda unas de otras), en una caja,

encontrarıamos que el volumen por molecula es σ3/√

2, donde σ es el diametro

de una molecula. ¿Cual es el diametro efectivo que entra en el potencial de

esferas duras para un atomo de argon en fase solida a T = −233oC?.


(3) Compara la estimacion hecha en cada apartado.

Fig. 1.2 Potencial de esferas duras

1.2.8 Ordenes de magnitud para el Argon

La densidad del argon lıquido a T = −189.4oC es ρ = 1.419gr/cm3. La masa

de un atomo de argon es m = 43 × 10−24gr. Estimar la distancia media s, entre

atomos vecinos en el argon en fase lıquida. Si utilizas los resultados del problema

anterior, estima la separacion, s1, entre atomos de argon en terminos del numero de

diametros atomicos entre dos atomos. Haz el mismo calculo para el argon en fase

gaseosa a T = 0oC y presion P = 1atm si la densidad es ρ = 1.78kg/m3.

1.3 Repaso de Mecanica Cuantica.

1.3.1 Principio de incertidumbre

(1) Emplear el principio de incertidumbre para estimar el mınimo de energıan, E0,

de una partıcula de masa m en una caja unidimensional de lado a. Compra tu

estimacion con el resultado exacto.

(2) Determinar el mınimo de energıa, E0, de los electrones en un microscopio para

asegurar una resolucion de R = 0.1o

A. Determinar la energıa correspondiente

E′0 de un foton.


(3) La incertidumbre en posicion de un electron es ∆x = 0.5Amstrong. Determinar

la incertidumbre ∆p, del momento lineal del electron. Un electron se encuentra

en una caja cubica de lado a = 0.5Amstrong. Estimar la energıa mas baja, E0,

a la que se puede encontrar el electron.

(4) Un electron de masame = 9.11×10−31kg y un proyectıl de masaM = 10gramos

viajan a una velocidad de v = 1000m/seg. Si la precision relativa de una me-

dida de la velocidad es ∆v = 0.01%, calcular la incertidumbre mınima que

habra en la medida de posicion en cada caso. Considerando los lımites ac-

tuales en la resolucion de medidad de longitud, ¿Produce esta incertidumbre

mınima , evaluada para el sistema macroscopico (la bala), alguna restriccion en

el procedimiento para medir su posicion?.

1.3.2 Ecuaciones de ondas

Las ecuaciones de ondas son conocidas desde el siglo XIX en varios contextos. Con-

siderese una cuerda flexible, elastica que es elongada en el eje x, entre dos puntos

x = 0 y x = L. Sea u(x, t) un desplazamiento infinitesimal vertical en la posicion

x en el instante t. La ecuacion diferencial que verifica u(x, t) para el caso de vibra-

ciones libres es;

∂2u

∂x2= a−2

∂2u

∂t2.

Se puede ver que el movimiento queda descrito como una superposicion de dos

ondas de velocidad constante a.

(1) Demostrar que A sin(2πx/L)× cos(2πat/L) es una solucion (aunque no la mas

general) de la ecuacion de ondas con las condiciones de contorno u(0, t) =

u(L, t) = 0 y la condicion inicial ut(x, 0) = 0.

(2) Por analogıa sea λ = L, v = a y Ψ(x, t) = C exp i(2π/λ)(x− vt). Substituye la

longitud de onda de de-Broglie, y expresa la velocidad de la partıcula v y masa

m en termino de su momento lineal p. Finalmente, mostrar que la ecuacion

de Schrodinger dependiente del tiempo en una dimension resulta cuando se

substituye Ψ en la ecuacion resultante.

(3) Examinar detalladamente las hipotesis efectuadas en este ejemplo y discernir si

la ecuacion de Schrodinger esta bajo las mismas limitaciones.

1.3.3 Energıa media de una partıcula “gaussiana”

Evaluar la energıa cinetica media, 〈E〉, para una partıcula cuya funcion de ondas

es ψ(x) = A exp−(x− x0)2/2a2 + ip0x/~.


1.3.4 Oscilador armonico

Sea el oscilador armonico unidimensional. El hamiltoniano del sistema es;

H = −(h2

8mπ2)∂2

∂x2+ kx2/2

La partıcula esta en el estado estacionario ψ(x) = A exp−x2/2a. Encontrar

(1) Los valores de A y a para los cuales ψ(x) es una funcion de ondas normalizada.

(2) La densidad de probabilidad de observar a una partıcula en el punto x.

(3) El valor medio de la coordenada de posicion, 〈x〉.(4) El valor medio del desplazamiento cudratico, 〈x2〉.(5) La energıa cinetica media, 〈p2/2m〉.(6) La energıa media, 〈p2/2m+ kx2/2〉.

1.3.5 Partıculas identicas

Calcular la energıa mınima disponible;

(1) Para dos bosones identicos y,

(2) para dos fermiones identicos, si han sido dispuestos en un contenedor cubico

de lado a. Escribir las funciones de ondas correspondientes (simetricas y an-

tisimetricas). Determinar en cada caso la energıa del primer estado exitado,

E1.

1.3.6 Pendulo cuantico

Considererese un pendulo como el que muestra la figura 1.3. La cuerda de longitud

R se presupone sin masa e inextensible. El sistema oscila con un pequeno arco θ0entorno a la posicion de equilibrio. En este caso se considera por tanto que efectua

un movimiento armonico simple.

(1) Demostar que la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo para la

funcion de ondas ψ esta dada por,

d2ψ

dθ2+

2mR2

~2(ε−mgRθ

2

2)ψ(θ) = 0

para este movimiento.

(2) Transformando adecuadamente la variable independiente θ a una nueva variable

x, demostrar que la ecuacion queda transformada a,

d2ψ

dx2+ (λ− x2)ψ(x) = 0

con

λ =2Rε

~(gR)1/2.


(3) Efectuar la sustitucion ψ(x) = Au(x)e−x2/2, y encontrar la ecuacion diferencial

para u(x);

d2u

dx2− 2x

du

dx+ (λ− 1)u(x) = 0

Demostrar que la solucion a esta ecuacion son

u(x) = Hn(x), (n = 0, 1, 2, .., ),

si λ = 2n+ 1, (n = 0, 1, ..). Las funciones Hn(x) son los polinomios de Hermite

que satisfancen las relaciones de recurrencia,

H ′n(x) = 2nHn−1(x)

Hn+1(x) = 2xHn(x)−H ′n(x).

con H ′(x) = dH/dx.

Como ejercicio, escribir H4(x) y verificar que satisface la ecuacion diferencial

para λ = 9.

(4) Si el pendulo comienza en reposo en el angulo θ = θ0 = 4o y tiene una masa

m = 0.1kg y longitud R = 0, 5mts, calcular su energıa clasica εc. Evaluar el

numero cuantico vibracional que corresponde a dicha energıa εn = εc y consid-

era la siguienta pregunta: Cuando el pendulo se relentiza, ¿porque su energıa

parece decrecer continuamente?. Como consecuencia da sentido a la afirmacion

que la mecanica cuantica cuando se aplica a sistemas macroscopicos conduce a

resultados consistentes con la mecanica Newtoniana.

Fig. 1.3 Pendulo


1.3.7 Atomo de Hidrogeno

(1) Los niveles de energıa de un electron en un atomo de hidrogeno estan dados por

En = mee4/8ε20h

2n2 = (−2.17×10−18/n2)J = (−13.6/n2)eV , con n = 1, 2, 3, ...

ε0 = (4π × 9 × 109)−1Nm2/C2 es la permitividad. Supongase que un neutron

con energıa cinetica E = 6.0eV colisiona con un atomo de hidrogeno en reposo

y en el estado fundamental n = 1. Empleando las leyes de conservacion de la

energıa y momento lineal, demostrar que la colision no puede dar lugar a un

estado exitado en el atomo de hidrogeno.

(2) Supongase que el atomo de hidrogeno sufre una transicion desde el estado n = 3

a un estado n = 2. Calcular la frecuencia, ν, y la longitud de onda λ, del foton

emitido.

1.3.8 Mini-curso de teorıa de bandas en solidos

(1) Un modelo simplificado de los niveles de enegıa de un electron en un solido

es tratar el problema de una partıcula que se mueve en un potencial periodico

unidimensional. La ecuacion de Schrodinger para este problema se escribe

− ~2

2m

d2ψ

dx2− ~2π2ψ

20ma2cos

2πx

a= Eψ

Sopongase que ψ(x) puede escribirse como

ψ(x) =

∞∑n=−∞

Cn exp i

(k +

2πx

a

)x

Empleando las siguientes identidades cos(x) = (eix + e−ix)/2 y

∫ a

0

dx exp

[i2π

a(n− n′)x

]= aδnn′

encontrar una relacion de recurrencia entre los coeficientes Cn.

(2) Si se toman todos los coeficientes Cn con valor cero excepto C0 y C−1, deter-

minar los niveles de energıa en funcion de k. Dibujar la funcion de ondas ψ en

este caso.

Chapter 2

Colectividades de Gibbs

2.1 Gibbs 1

2.1.1 Presion de un gas ideal 1

La presion que ejerce un gas sobre las paredes del recipiente que lo contine puede

entenderse como el promedio temporal del momento lineal que intercambian las

moleculas que lo componen al impactar con las paredes del recipiente por unidad

de tiempo y aread del recipiente.

Calcular la presion p y demostrar que

p =2

3nε

donde n es el numero medio de moleculas por unidad de volumen y ε es la energıa

cinetica media por molecula.

2.1.2 Gas ideal microcanonico 2

Un gas ideal de N partıculas de masa m consideradas puntuales, se encuentran en

una caja de volumen V . Encontrar el numero de estados Ω0 (clasicos) y deducir la

ecuacion de estado del gas.

Nota: El volumen de una n-esfera de radio unidad es

Cn =πn/2

Γ(n/2 + 1)

2.1.3 El oscilador armonico microcanonico 3

Los niveles de energıa de un oscilador armonico de frecuencia ν son:

1[Kubo et al. (1971)]2[Kubo et al. (1971)]3[Kubo et al. (1971)]

11


E =1

2hν,

3

2hν, .., (n+

1

2)hν

Cuando el sistema consiste en N osciladores casi independientes tiene una energıa

total:

E =1

2Nhν +Mhν. M entero

(1) Encontrar el peso termodinamico WM y,

(2) determinar la relacion entre la temperatura del sistema y la energıa E.

2.1.4 Sistema con un numero finito de niveles. Temperaturas neg-

ativas 4

Se tiene un sistema de N partıculas independientes. Cada partıcula esta en uno

de los dos niveles de energıa ε0,−ε0. Encontrar el peso termodinamico WM de

un estado con energıa total E = Mε0; (M = −N, ..,M = +N) y discutir las

propiedades termodinamicas del medio para E < 0, derivando las relaciones entre

la temperatura y la entropıa asi como el calor especıfico.

2.1.5 Gas ideal canonico e isotermo-isobarico 5

Aplicar la funcion canonica y la isoterma-isobarica en el caso de una estadıstica

clasica a un gas ideal de N partıculas y derivar sus funciones termodinamicas.

2.1.6 Sistemas compuestos 6

Se tienen varios sistemas S1, S2, .. que son casi independiente. Si la interaccion

entre los sistemas es muy debil se puede considerar como sistema total al sistema

S1 + S2 + · · · .Demostrar que la funcion de particion ZS1+S2+··· y la energıa libre FS1+S2+···

verifican;

ZS1+S2+··· = ZS1 · ZS2 · · · , yFS1+S2+··· = FS1

+ FS2· · · (2.1)

2.1.7 Funcion canonica y potenciales de interaccion homogeneos 7

Para un sistema de N partıculas contenidas en una region V y hamiltoniano;4[Kubo et al. (1971)]5[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]6[Kubo et al. (1971)]7[Kubo et al. (1971)]

Colectividades de Gibbs 13

H =

N∑i=1

pi2

2m+ U(r1, r2, · · · )

donde ri y pi son posiciones y momentos de la partıcula i-esima, la funcion de

particion canonica es;

Z(V,N, T ) =1

N !

∫exp−(βH) =

(2πmkT )3N/2

N !I(V, T )

con

I(V, T ) =

∫V

· · ·∫

exp−(βU(r1, r2, · · · ))dr1dr2 · · · drN.

Demostrar que si el potencial es una funcion homogenea de grado n

(U(λr1, λr2, · · · ) = λnU(r1, r2, · · · )) la funcion V −NI(V, T ) lo es solo de la variable

V −n/3T .

2.1.8 Relacion entre la capacidad calorıfica y fluctuaciones. Colec-

tivo canonico 8

Sea Z la funcion de particion canonica y < A > el promedio de una cantidad A del

sistema definido como;

〈A〉 = Z−1∫A exp−βH

con H el hamiltoniano del sistema.

Demostrar que si Cv es la capacidad calorıfica a volumen constante,

〈H2〉 − 〈H〉2 = kBT2Cv,

y deducir que por lo tanto que el calor especıfico no puede ser negativo. Nota:

Emplear la desigualdad de Schwartz.

2.1.9 El gas ideal en un campo externo9

Demostrar que la funcion de particion gran-canonica de un sistema confinado en

una region de volumen V y cuyo hamiltoniano H es;

H =

N∑i=1

p2i2m

+ u(ri)

esta dada por:8[Kubo et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]9[Kubo et al. (1971)]


ZG(V, T, z) = exp (zq(V, T ))

donde z es la fugacidad y

q(V, T ) = (2πmkT )3/2∫V

exp−βu(r)dr.

Deducir que la ecuacion de estado para este sistema sigue siendo la de un gas

ideal a pesar de la presencia del potencial u(r).

2.1.10 Fluctuaciones. Colectivo gran-canonico10

Demostrar que la fluctuacion cuadratica media del numero de partıculas en la dis-

tribucion gran canonica puede escribirse como:

〈N2〉 − 〈N〉2 = z∂zz∂z logZG(V, T, z)

Deducir que para un gas ideal la raız cuadrada de la fluctuacion cuadratica

media verifica;

〈(N − 〈N〉)2〉〈N〉2

1/2

= 〈N〉−1/2

2.2 Gibss 2

2.2.1 Gas ideal ultrarrelativista11

Determinar la funcion de particion de un gas ideal clasico de N partıculas ultra-

rrelativistas contenidas en un recinto R de volumen V a la temperatura T . El

hamiltoniano del gas es,

HN = c

N∑i=1

|pi|, (2.2)

donde c es la velocidad de la luz. Calcular la energıa media y la ecuacion de estado

del gas.

10[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]11[Kestin and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]


2.2.2 Gas ideal relativista 12

El hamiltoniano de un gas ideal de N partıculas relativistas contenidas en un do-

minio D es,

HN =

N∑j=1

√pj

2c2 +m2c4, (2.3)

donde m es la masa de las partıculas y c es la velocidad de la luz. Determinar la

funcion de particion, la energıa media y el calor especıfico por patıcula.

Nota: La funcion de Bessel de argumento imaginario Kn(x) tiene la siguiente

representacion integral;

Kn(x) =

√π

Γ(n+ 1/2)

(x2

)2 ∫ ∞0

(sinh θ)2ne−xcoshθ dθ

<(n) > −1

2, <(x) > 0 o <(x) = 0 y

1

2< <(n) <

1

2. (2.4)

2.2.3 Gases ideales: Moleculas diatomicas 13

2.2.3.1 Energıa media y capacidad calorıfica

El hamiltoniano de una molecula diatomica contenida en un recinto R de volumen V

se escribe como la suma de terminos asociados a su energıa traslacional, rotacional

y vibracional,

H = Htras +Hrot +Hvib (2.5)

con,

Htras =P2

2M+ V (R); (2.6)

Hvib =p2r2µ

+µω2

2(r − r0)2; (2.7)

Hrot =1

2µr20

(p2θ +

p2φ

sin2 θ

)(2.8)

La energıa traslacional es la del centro de masas de la molecula R, donde M e

la masa total de la molecula, P es el momento lineal del centro de masas y V (R)

es un potencial que confina a la molecula en el recinto R. En el hamiltoniano de

vibracion, r es la distancia interatomica, pr su momento conjugado, este describe

vibraciones armonicas de una partıcula de masa µ( masa reducidad de la molecula)

12[Kestin and J.R. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]13[Kubo et al. (1971)]


alrededor de r0, que es la distancia de equilibrio entre los atomos de la molecula.

El hamiltoniano de rotacion describe una partıcula de masa µ moviendose sobre la

superficie de una esfera de radio r0, y esta caracterizado por las coordenadas polares

θ, φ, que determinan la orientacion de la molecula y sus momentos conjugados pθ, pφ.

Calcular la funcion de particion de una molecula, obtener la energıa media y

calor especıfico de un gas ideal de N moleculas diatomicas.

2.2.3.2 Molecula diatomica en un campo magnetico uniforme14

Considerese el caso de una molecula diatomica clasica de momento magnetico µ,

orientado en el eje de la molecula, en un campo magnetico B que tiene la direccion

del eje z. El hamiltoniano de este sistema es;

H =1

2I

(p2θ +

p2φ

sin2 θ

)− µB cos θ (2.9)

donde I es el momento de inercia de la molecula, µ = |µ|, y el termino −µB cos θ es

la energıa de interaccion del momento magnetico con el campo. Calcular la funcion

de particion de la molecula y el momento magnetico y la ecuacion de la energıa de

un sistema de N moleculas.

Considera el lımite βµB 1, e interpretar el resultado. Considerar asi mismo

el lımite βµB 1 y calcular la imanacion (momento magnetico por unidad de

volumen) y comprobar que es proporcional al campo externo B. La constante de

proporcionalidad se denomina susceptibilidad magnetica, verifica que es inversa-

mente proporcional a la temperatura (ley de Curie).

2.2.3.3 Molecula diatomica en un campo electrico uniforme 15

Considera el mismo sistema que en el problema anterior pero esta vez la enegıa de

interaccion coresponde a la de un campo electrico con la molecula diatomica, dicha

energıa es 2.1;

−µE cos θ (2.10)

donde E es la intensidad del campo electrico y µ es el momento dipolar electrico.

Calcular la polarizacion electrica P de un gas ideal de N partıculas diatomicas de

momento dipolar µ contenidas en un volumen V . Considerar el lımite |µE| kT

y calcular la constante dieectrica ε. (recuerda que el desplazamiento electrico es

D = εE = E + 4πP .

14[Kubo et al. (1971)]15[Kubo et al. (1971)]


Fig. 2.1 (a) molecula diatomica, (b) molecula triatomica, (c) molecula triatomica no lineal.

2.2.4 Distribucion de velocidades de Maxwell 16

Se tiene una cavidad que contiene un gas a alta temperatura. A traves de una

pequena ventana se observa con un espectrometro una lınea del espectro de las

moleculas del gas. La lınea observada se ensancha debido (entre otras causas que

no consideraremos) al efecto Doppler. Demostrar que la relacion entre la intensidad

de la lınea espectral y la longitud de onda λ esta dada por;

I(λ)α exp(− mc2(λ− λ0)2

2λ20kT

)(2.11)

Donde T es la temperatura de la cavidad, c es la velocidad de la luz, m es la

masa de una molecula dentro de la cavidad, y λ0 es la longitud de onda de la lınea

espectral cuando las moleculas estan en reposo.

2.2.5 Capacidad calorıfica de solidos cristalinos: contribucion

fononica 17

En la aproximacion armonica las oscilaciones de N atomos en una red alrededor

de sus posiciones de equilibrio pueden descomponerse en 3N modos normales, de

forma que el hamiltoniano del solido se escribe como la suma de 3N osciladores

unidimensionales.

Considera los siguientes modelos.

16[Kubo et al. (1971)]17[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]


2.2.5.1 Modelo clasico de Einstein 18

El modelo de Einstein de un solido consiste en N osciladores armonicos de masa m

y con una constante elastica K igual para todos los osciladores. El hamiltoniano

del sistema es:

HN =

N∑i=1

( p2j2m

+1

2K(rj − r0j )2

)(2.12)

donde pj y rj denotan los momentos y las posiciones de las partıculas y r0j las

posiciones de equilibrio de los atomos en la red.

Determinar las propiedades termodinamicas del solido, la densidad local de las

partıculas y la fluctuacion de la posicion de las partıculas alredeedor de las posiciones

de equilibrio.

2.2.5.2 Modelo cuantico de Einstein

Considera ahora que se tienen 3N osciladores armonicos cuanticos en una dimension

distinguibles, de frecuencia ω. Calcula la funcion de particion, la enegıa media y el

calor especıfico por partıcula.

2.2.5.3 Modelo cuantico de Debye para un solido cristalino

Se tienen 3N osciladores cuanticos unidimensionales desacoplados. La enegıa del

solido es

E(ni) =

3N∑i=1

ni~ωi ni=(0,1,2,...) (2.13)

donde ωi es la frecuencia del modo normal i-esimo. Las frecuencias de los 3N

modos de oscilacion se determinan a partir de la relacion de dispersion ω(k) y los

posible valores de k dependen de la red cristalina. La teorıa se basa en las siguientes

aproximaciones:

(1) El vector de ondas k esta dado por;

kx,y,z =2πnx,y,z

L(2.14)

con nx, ny, nz enteros, tales que k se encuentra en el interior de una esfera de

radio kD. Este radio esta determinado como consecuencia de que se tienen 3N

modos.

18[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]


(2) Para cada vector de onda k hay tres modos de vibracion: uno longitudinal de

frecuencia ω1(k) = cLk y dos transversales de frecuencias ω2(k) = ω3(k) = cT k,

donde cL y cT son las velocidades de las ondas sonoras longitudinal y transversal.

Determinar el calor especıfico del solido en este modelo.

Discute globalmente los diferentes resultados obtenidos en estos modelos y su

relacion.

2.2.6 Un electron en un campo magnetico 19

Considerese un electron en un campo magnetico uniforme de intensidad B. El espın

del electron ~/2. El momento magnetico es µB y σ son la matrices de Pauli:

σx =~2

(0 1

1 0

), σy =

~2

(0 −ii 0

), σz =

~2

(1 0

0 −1

)(2.15)

El hamiltoniano de interaccion entre el electron y el campo es,

H = −µB(σ.B); µB =e~

2mc(2.16)

donde e es la carga, m la masa del electron y c la velocidad de la luz.

Calcular la funcion de particion canonica del sistema y el valor medio de σz.

¿Es este resultado consistente con el que se obtendrıa en la colectividad micro-

canonica?. Discute la respuesta.

2.2.7 Partıcula libre en una caja. Colectivo canonico 20

Considera una partıcula cuantica libre en una caja cubica de lado L con codiciones

periodicas de contorno. Calcula el elemento de matriz del operador de densidad

canonico en la representacion de posiciones. Esto es

〈r|e−βH|r′〉 (2.17)

Analiza en el lımite clasico este elemento de matriz. Interpreta tu resultado.

Evaluar el valor medio de H. ¿Esta este resultado en consonancia con el teorema

de equiparticion ?.

2.2.8 Oscilador armonico cuantico unidimensional. Colectivo

canonico 21

Calcular los elementos de matriz del operador de densidad canonico para un os-

cilador armonico con hamiltoniano H = p2

2m + 12mω

2q2, en la representacion de

posiciones. Discute el caso en el que ~ωkT = β~ω 1.

19[Kubo et al. (1971)]20[Kubo et al. (1971)]21[Kubo et al. (1971); Landau and Lifshitz (1980)]


2.3 Gibbs 3

2.3.1 Teorema de equiparticion 22

Aplicar el teorema de equiparticion para evaluar el valor medio de la energıa de los

siguientes hamiltonianos:

H =p2x + p2y + p2z

2m. (2.18)

H =p2x + p2y + p2z

2m+mgz. (2.19)

H =p2x + p2y

2m+ κ(x2 + y2)/2. (2.20)

H =p2r + p2θ/r

2

2m+ κr2/2. (2.21)

H = cp+ c√p2x + p2y + p2z. (2.22)

2.3.2 Molecula diatomica cuantica 23

El hamiltoniano de rotacion de una molecula diatomica de radio r0 y masa reducida

µ es,

H +1

2µr0

(p2θ +

p2φ

sin2 θ

)=

L2

2µr20, (2.23)

donde L2 es el operador momento angular. Los estados estacionarios estan carac-

terizados por los numeros cuanticos j y sus energıas son,

Ej = j(j + 1)~2

2µr20(j=0,1,2,...) (2.24)

con degeneracion

gj = 2j + 1. (2.25)

Calcular los desarrollos de la funcion de particion a altas y bajas temperaturas,

utilizando la formula de Euler-McLaurin:

∞∑n=0

f(n) =

∫ ∞0

f(x) dx+ f(0)/2 (2.26)

−f ′(0)/12 + f ′′′(0)/720 + .. (2.27)

que es valida para funciones f(x) analıticas en [0,∞).22[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]23[Kubo et al. (1971); Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]


2.3.3 Gas ideal. Coletividad macrocanonica 24

2.3.3.1 Distribucion de Poisson

Sea un gas ideal de N moleculas contenidas en un volumen V a la temperatura T .

Probar, empleando la colectividad macrocanonica, que la probabilidad de encontrar

N ′ moleculas en un subvolumen V ′ abierto, viene dada por una distribucion de

Poisson.

2.3.3.2 Fluctuaciones del numero d partıculas

Probar que la fluctuacion de la densidad en la colectividad macrocanonica viene

dada por la expresion

〈N2〉 − 〈N〉2 =kT

V〈N〉2χT , (2.28)

donde

χT = − 1

V

(∂V

∂P

)T,〈N〉

(2.29)

es el coeficiente de compresibilidad isoterma.

2.3.4 Equilibrio solido-gas 25

2.3.4.1 Presion de vapor

Se tiene el siguiente modelo para el estudio del equilibrio gas-solido. Supongase

que el solido es un modelo de Einstein clasico de N atomos con enerıa de cohesion

por atomo ε y que el gas es ideal. Determinar la presion de vapor y el calor de

sublimacion por atomo.

nota: El hamiltoniano del sistema se escribe

HN =

N∑j=1

p2j2m

+N∑j=1

(K(rj − r0j )2/2− ε

), (2.30)

recuerda que en la coexistencia de las dos fases a temperatura T, las presiones y los

potenciales quımicos son iguales.

2.3.4.2 Calor latente de sublimacion

En este caso se tratan las oscilaciones de los atomos del solido en torno a sus posi-

ciones de equilibrio cuanticamente y todos los osciladores tienen la misma frecuencia

ω. Las energıas de cada oscilador son:

En = n~ω, (n=0,1,2,...) (2.31)24[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]25[Fernandez Tejero and Rodriguez Parrondo (1996)]


Calcular el calor latente de sublimacion por atomo del equilibrio gas-solido,

suponiendo que existe una energıa de cohesion por atomo ε en el solido y que el gas

es ideal.

2.4 Gibbs 4

2.4.1 Funcion de particion de una partıcula libre en una caja 26

Encontrar expresiones aproximadas de la funcion de particion de una partıcula

cuantica en un pozo infinito de dimension L en los lımites de altas y bajas temper-

aturas. Obtener la capacidad calorıfica CL y la ecuacion de estado f(P, T, L) = 0

en los lımites mencionados.

2.4.2 Modelo de red para un fluido Lattice gas27

Un fluido compuesto por partıculas que se repelen puede modelarse como un gas en

red del modo siguiente:

Se toma un recinto y se divide en N celdas, cada una de volumen v, comparable

con el volumen de una partıcula. Una celda ocupada por una partıcula o desocupada

tiene energıa cero. Una celda ocupada por dos partıculas tiene energıa ε. Ninguna

celda puede ocuparse por mas de dos partıculas.

Empleando el colectivo gran canonico evaluar la energıa media por celda, la

concentracion c de partıculas y calcular la presion P en funcion de la temperatura

y el potencial quımico.

2.4.3 Cadena molecular lineal 28

Una molecula larga y elastica se modela como una cadena lineal de N -nodos-huesos.

Cada estado de cada vınculo se caracteriza por dos numeros cuanticos l y n. La

longitud de los vınculos es l = a y l = b. El estado vibracional de cada vınculo

se modela como un oscilador armonico con frecuencia angular ωa para aquellos con

longitud a y ωb para aquellos con longitud b. La energıa de un vınculo es;

E(n, l) =

(n+ 1/2)~ωa; ∀l = a

(n+ 1/2)~ωb; ∀l = b, n = 0, 1, · · ·

Si la cadena esta en contacto con un bano termico de temperatura T y se

mantiene con una tension F , encontrar la energıa media y longitud media de la

cadena. Analizar los lımites de altas y bajas temperaturas.

26[Dalvit et al. (1999)]27[Dalvit et al. (1999)]28[Dalvit et al. (1999)]


2.4.4 Molecula de hidrogeno 29

La energıa potencial entre los atomos de una molecula de hidrogeno se puede mod-

elar por un potencial de Morse

V (r) = V0(e−2(r−r0)/a − 2e−(r−r0)/a

),

con V0 = 7× 10−12erg, r0 = 8× 10−9cm y a = 5× 10−9cm

(1) Encontrar la frecuencia angular mas baja del movimiento rotacional y la fre-

cuencia de las pequenas oscilaciones.

(2) Estimar las temperaturas Trot y Tvib en las que la rotacion y la vibracion con-

tribuyen significativamente a la energıa interna.

2.4.5 Funcion de particion de un sistema sujeto a una pertur-

bacion 30

Considerese un sistema clasico con Hamiltoniano H = H0 + λH1, con λ 1.

(1) Demostrar que la energıa libre de Helmholtz F puede escribirse de la forma

F = F0 + λ〈H1〉0, con⟨∗⟩0

promedio para λ = 0. (2.32)

(2) Dar una expresion de la energıa interna correcta hasta primer orden en λ.

2.4.6 Sistemas de partıculas confinadas en una caja y

armonicamente ligadas

Se tiene un sistema de N partıculas independientes de masa m, estas estan confi-

nadas en una caja unidimensional de longitud 2a = L con paredes en x = ±a. Cada

partıcula esta armonicamente vinculada al origen x = 0 de forma armonica, de tal

forma que el hamiltoniano del sistema es:

H =

N∑i=1

p2i2m

+1

2κx2i . (2.33)

(1) Calcular la funcion de particion del sistema.

(2) Con los parametros β = (KBT )−1 y κ se puede formar otro con dimensiones

de longitud σ = (βκ)−12 . Analiza la presion del sistema en los lımites L σ y

L σ.

(3) Demuestra que en el lımite L σ, σ puede interpretarse como la fluctuacion

cuadratica media de la posicion.

Nota: La funcion error se define como φ(y) = 2√π

∫ t0dξe−ξ

2

.

29[Dalvit et al. (1999)]30[Kubo et al. (1971)]


2.4.7 Partıculas no identicas en d-dimensiones 31

Se tienen N partıculas no indenticas en d-dimensiones. El hamiltoniano que describe

el conjunto de partıculas es

H =

N∑i=1

Ai|~pi|s + |~qi|t,

con Ai, Bi constantes que caracterizan a las partıculas individualmente y s, t son

enteros positivos. Si se considera el colectivo canonico evaluar la capacidad calorıfica

del sistema. Discute los resultados.

2.4.8 N-partıculas en una superficie bidimensional 32

Evaluar la funcion de particion canonica de N partıculas que se mueven

(1) en la superficie de una esfera,

(2) en la superficie de un toro.

2.4.9 Cadena unidimensional 33

Se tiene una cadena unidimensional de n 1 elementos. La longitud de cada

elemento de la cadena es a y la longitud total es x. Encontrar la relacion entre la

entropıa del sistema y la temperatura T de la cadena y la fuerza de tension necesaria

para mantener la longitud x. Asumir que las uniones son libres.

2.4.10 Elemento de volumen en el espacio de fases: Coordenadas

polares

Se tiene una partıcula en dos dimensiones. En que en coordenadas cartesianas el

elemento de volumen en el esspacio de coordenadas es dxdy y en el espacio de

momentos es dpxdpy. Por lo tanto el elemnto de volumen en el espacio de fases de

la partıcula es dΓ = dxdydpxdpy.

Se considera un cambio a coordenadas polares

x = r cos θ

y = r cos θ.

Prueba que

dxdy = rdrdθ y

dpxdpy = (1/r)dprdpθ

y que por lo tanto dxdydpxdpy = drdθdprdpθ.

31[Dalvit et al. (1999)]32[Dalvit et al. (1999)]33[Kubo et al. (1971)]


2.4.11 Gas ideal cuantico en dos dimensiones: Weyl law, lımite

termodinamico y condiciones de contorno

Supongase N partıculas cuanticas independientes confinadas en una superficie de

area S y perımetro L. Como las partıculas son independientes se considera una de

ellas. Esta evoluciona libremente acorde a la ecuacion de Schodinger y se pueden

calcular las autoenergıas de la misma resolviendo la ecuacion de Schodinger esta-

cionaria.

−~2

2m∇2Ψ = EΨ =⇒ ∇2Ψ + κ2Ψ = 0, (κ2 = 2mE/~2).

Esta ultima ecuacion tambien se le conoce como ecuacion de Helmholtz.

Para obtener el espectro de energıas del problema hay que imponer condiciones

de contorno en el perımetro de la superficie. Dependiendo de las condiciones im-

puestas se tendra un espectro de energıas y por lo tanto el numero de estados N(E),

del sistema con energıa igual o menor a cierto valor E, i.e.

N(E) = numero de estados cuya energıa es menor o igual aE

Esta funcion es de extremada importancia para los propositos de la Fısica Es-

tadıstica pues de ella se puede extraer la entropıa del sistema en el lımite ter-

modinamico (recordamos que estamos considerando el colectivo microcanonico).

La funcion N(E) depende en general de la superfie en la que estan confinadas

las partıculas, del perımetro del recinto y de las condiciones de contorno, hay otras

dependencias pero estas son las fundamentales. Por simplicidad vamos a considerar

dos situaciones

∇2Ψ + κ2Ψ = 0, Ψ|L = 0 Problema de Dirichlet (2.34)

∇2Ψ + κ2Ψ = 0, ∂Ψ/∂n|L = 0 Problema de Neumann (2.35)

donde ∂Ψ/∂n es la derivada de Ψ en la direcion normal a la superficie. En estos casos

la forma de N(E) es conocida de forma aproximada cuando E es suficientemente

grande (desarrollo de Weyl) y es:

N(E) =Sκ2

4∓ Lκ

4+ · · · ordenes superiores

donde el signo − corresponde a las condiciones tipo Neunmann y + a las condiciones

tipo Dirichlet.

Discute el lımite termodinamico y el porque las condiciones de contorno en ese

lımite no afectan a las prediciones de la Fısica Estadıstica.

Bibliography

Dalvit, D., Frastai, J. and Lawrie, I. (1999). Problems on Statistical Mechanics, Graduatestudent series in physics (Institute of Physics Publishing).

Fernandez Tejero, C. and Rodriguez Parrondo, J. (1996). 100 problemas de Fısica Es-tadıstica (Alianza Editorial).

Kestin, J. and J.R., D. (1971). A course in statistical thermodynamics (Academic Press).Kubo, R., Ichimura, H., Usui, T. and Hashitsume, N. (1971). Statistical mechanics(An

Advanced course with problems and solutions) (North-Holland publishing company).Landau, L. and Lifshitz, E. (1980). Statistical Physics: Course of Theoretical Physics,

Vol.5 (Pergamon).

27

problemas de f sica estad stica. curso 2014-2015 · la mayor parte de los problemas propuestos en...

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