problemas de cinematica

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PROBLEMAS DE CINEMÁTICAPROBLEMAS DE CINEMÁTICA

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CINEMÁTICA Problema 1 (1)

Desde lo alto de una torre cuya altura es h0 = 12 m se lanza hacia arriba una piedra formando un ángulo φ = 60º con la horizontal. La velocidad inicial de la piedra es 36 km/h, y el lanzador está a una distancia d = 3 m del pretil de la torre. (Véase figura). Se quiere saber:A) ¿Cuál es la trayectoria de la piedra?B) Su altura máxima sobre el suelo.C) A qué distancia del pie de la torre chocará contra el suelo.D) Su velocidad cuando se estrelle contra el suelo.

h0

d

v0

h0

d

v0

v0y

vxLa velocidad en el eje X se mantiene constante

X

YLa velocidad en el eje Y cambia...

... debido a la aceleración de la gravedad

φ

3

h0

d

X

Y

x

y


tvx x ⋅=vx

20 2

1tgtvy y ⋅−⋅=v0y

-g

v0

v0y

vx

φ

φcos0 ⋅= vvx

222

0 cos2tg x

v

gxy ⋅−⋅=

φφ

Ecuación trayectoria:(apartado A)

222 60cos10·2

8.960tg xxy ⋅−⋅= 2196.0732.1 xx ⋅−⋅=

Se trata de una parábola

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Posición del máximo (apartado B)

h0

d

X

Y

→ En el máximo la tangente es horizontal

222

0 cos2tg x

v

gxy ⋅−⋅=

φφ

xv

g

dx

dy ⋅−=φ

φ22

0 costg 0 =Max

xMax

yMax

g

vxMax

φφ cossen20 ⋅⋅=

g

v

2

2sen20 φ⋅=

m 12.4=Maxx m 83.3=Maxy

Altura desde el suelo: m 83.1583.3120 =+=+ maxyh

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h0

d


Lugar en que se estrella contra el suelo (apartado C)

X

Y 222

0 cos2tg x

v

gxy ⋅−⋅=

φφ

xsuelo

xsuelo-d

0hy −=

0cos2

02

220

=−⋅−⋅ hxtgxv

gsuelosuelo φ

φ

012732.1196.0 2 =−⋅−⋅ suelosuelo xx

m 40.13=suelox m 57.4−=suelox

Distancia desde el pie de la torre: m 40.10340.13 =−=− dxsuelo

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Cálculo de velocidad cuando se estrella contra el suelo (apartado D)

Razonamiento: Calculemos el tiempo tsuelo que tarda en llegar al suelo... y a partir de ahí la velocidad

x

suelosuelo v

xt =

º60cos10

40.13

⋅= s 68.2=

Tiempo tmax que tarda en llegar al punto más altox

maxmax v

xt =

º60cos10

12.4

⋅= s 88.0=

Desde el punto más alto cae sin ninguna velocidad inicial en el eje Y, por lo que la componente vertical de la velocidad es:

)( maxsuelosueloy ttgv −= m/s 61.17=

Velocidad en el punto en que choca con el suelo:

10·cos 60º

17.61

2suelo

2yxsuelo vvv +=

vsuelo = 18.31 m/s

θ

= −

suelo

1tgy

x

v

vθ = 15.85º

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xv

g

dx

dy ⋅−=φ

φ22

0 costg x

v

g

dx

dt

dt

dy ⋅−=φ

φ 220 cos

tg

dt

dxx

v

g

dt

dy ⋅

⋅−=

φφ 22

0 costg xvx

v

g

dt

dy ⋅

⋅−=

φφ 22

0 costg

xv

gv

dt

dyvy ⋅−==

φφ

cossen

00


Considérese un tiro parabólico en ausencia de rozamiento. Determinar la velocidad vertical, la velocidad total y el ángulo que forma la velocidad total con la horizontal en función de la posición x. Háganse gráficas de estas tres magnitudes en función de la posición en el intervalo 0-14 m empleando los datos numéricos del problema anterior (velocidad inicial de la piedra 36 km/h, ángulo de lanzamiento 60º).

222

0 cos2tg x

v

gxy ⋅−⋅=

φφEcuación de la trayectoria:

yv

8


φcos0vvx =

xv

gvvy ⋅−=

φφ

cossen

00

2

00

220

22

coscoscos

⋅−+=+= x

v

gvvvvv yx φ

φφ

θ

v

yv

xv

x

y

v

v=θtg

0,00 8,660,50 7,681,00 6,701,50 5,722,00 4,742,50 3,763,00 2,783,50 1,804,00 0,824,42 0,004,50 -0,165,00 -1,145,50 -2,126,00 -3,107,00 -5,068,00 -7,029,00 -8,98

10,00 -10,9411,00 -12,9012,00 -14,8613,00 -16,8213,40 -17,60

x (m) vy (m/s)

=⋅= φcos0vvx

m/s 560cos10 =⋅=

v (m/s)

10,009,168,367,606,896,265,725,315,075,005,005,135,435,887,118,62

10,2812,0313,8315,6817,5518,30

θ (º)

60,056,953,348,843,536,929,119,89,30,0

-1,8-12,8-23,0-31,8-45,3-54,5-60,9-65,4-68,8-71,4-73,4-74,1

9


0 2 4 6 8 10 12 14-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20V

eloc

ida

des

(m/s

)

Posición x (m)

0 2 4 6 8 10 12 14-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20V

eloc

ida

des

(m/s

)

Posición x (m)

vvy

10

0 2 4 6 8 10 12 14

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80Á

ngul

o co

n la

hor

izon

tal (

º)

Posición x (m)

θ


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Por el pozo de una mina caen desde la superficie gotas de agua a razón de una gota por segundo. Un montacargas que sube por el pozo a 10 m/s es alcanzado por una gota de agua cuando está a 100 m por debajo del suelo. ¿A qué profundidad y cuánto tiempo después alcanzará la siguiente gota de agua al montacargas? (tómese g = 10 m/s2). Pueden despreciarse los efectos del rozamiento sobre las gotas.


Superficie

100 m

h0

vm

10 m/s

Origen de tiempos: el instante en que se estrella la gota a 100 m de profundidad

En t = 0, ¿dónde se encuentra y qué velocidad lleva la gota que se estrellará próximamente?

Razonamiento: la diferencia de velocidad entre dos gotas consecutivas es constante ...

vg

y

h0-y... porque cada gota vuela desde 1 s antes que la siguiente, incrementando su velocidad a ritmo uniforme.

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En el instante en que una gota cae desde arriba, la que la precede lleva 1 s cayendo, habiendo partido del reposo, y por lo tanto su diferencia de velocidades es:

tgv ∆⋅=∆ s 1s

m 10

2⋅=

s

m 10=

Si consideramos pares consecutivos de gotas, la diferencia de velocidades entre las dos componentes del par es siempre la misma pues ambas están sometidas a la misma aceleración.

La velocidad de la gota que se estrella sobre el montacargas cuando éste se encuentra a 100 m de profundidad (t = 0) puede calcularse fácilmente:

02100 2 hgv ⋅⋅= m/s 72.4420002 0100 ==⋅⋅= hgv

Por lo tanto la velocidad de la gota siguiente, en t = 0, es:

1072.44100 =−=−=∆ gg vvvv m/s 72.3472.44 =∆−= vvg

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La posición en que se encuentra esta gota en t = 0 es:

Superficie

100 m

h0

vm

10 m/s

vg

y

h0-y

ygvg ⋅= 22 m 28.6020

72.34

2

22

===g

vy g

Por lo tanto su distancia al montacargas en t = 0 es:

m 72.3928.6010000 =−==− zyhm/s 72.34=gv

Ahora el problema se reduce a calcular dónde se encontrarán dos cuerpos que viajan en sentidos opuestos, uno con M.U.A y otro con velocidad constante, cuyas velocidades iniciales y separación inicial son conocidos.

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Situamos el origen para el cálculo final a la profundidad de 100 m

vm

10 m/s

vg

z0

m/s 72.34=

zEcuación de movimiento del montacargas:

tvz mm ⋅=

100 m

Ecuación de movimiento de la gota:

20 2

1tgtvzz gg ⋅−⋅−=

La gota se estrella cuando zm = zg

20 2

1tgtvztv gm ⋅−⋅−=⋅

0)(2

10

2 =−⋅++⋅ ztvvtg mg 072.3972.445 2 =−⋅+⋅ tt

s 814.0=t

s 758.9−=tSolución

Profundidad:

m 86.91814.0101000 =⋅−=−= mzhy

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