problemas de aplicación de la ley de gauss
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Problemas de Aplicación de La Ley de GaussTRANSCRIPT
29/7/2015 Problemas de aplicación de la ley de Gauss
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Distribución de cargascon simetría esférica
Conductores
Conductor esféricocargado
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Problemas de aplicación de la ley de Gauss
Problema 1
Una esfera de 5 cm está uniformente cargada con una densidad de carga de 1.2·105/π C/m3.
Calcular el módulo del campo eléctrico a una distancia r del centro, en el interior (r<5) y en el exterior (r>5) dela esfera cargada.
Calcular el potencial en el centro r=0, de la esfera.
Solución
Distribución de carga con simetría esférica.
El campo eléctrico tiene dirección radial, su módulo es constanteen todos los puntos de una superficie esférica concéntrica de radior.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en una superficie esférica de radio r y aplicamos la ley de Gauss
Para r<5 cm
Para r>5 cm
Gráfica del campo
∮ E ⋅ dS = ∮ E ⋅ dS ⋅ cos 0 = E ∮ dS = E ⋅ 4πr2
∮ E ⋅ dS = E = q
ε0
q
4πε0r2
q = π = 1.6 ⋅ E = 144 000 ⋅ r N/C1.2 ⋅ 10−5
π
43
r3 10−5 r3
q = π = 2 ⋅ E = N/C1.2 ⋅ 10−5
π
43
(0.05)3 10−9 18r2
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Potencial
Problema 2
Un cilindro muy largo, macizo, de 5 cm de radio está uniformemente cargado en todo su volumen con unadensidad de carga de 4·106 C/m3.
Determinar, razonadamente, la expresión del campo eléctrico dentro y fuera del cilindro.
Determinar la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje del cilindro y otro a 15 cm del mismo.
Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje delcilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficiecilíndrica de radio r y longitud L.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
V = E ⋅ dr = 144 000 r ⋅ dr + ⋅ dr = 540 V∫0
∞
∫0
0.05
∫0.05
∞18r2
⎧⎪⎪⎪ ∫ ∫ ∫
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Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley deGauss
Para r<5 cm
Para r>5 cm
Gráfica del campo
Diferencia de potencial
Problema 3
∮ E ⋅ dS =
⎧
⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
superficie lateral ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS ⋅ cos 0 = E ∫ dS = E ⋅ 2πrL
base inferior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S2
base superior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S1
∮ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrL
∮ E ⋅ dS = E = q
ε0
q
2π rLε0
q = 4 ⋅ π L = 4π ⋅ L E = 72 000π ⋅ r N/C10−6 r2 10−6 r2
q = 4 ⋅ π L = π ⋅ L E = N/C10−6 (0.05)2 10−8 180π
r
− = E ⋅ dr = 72 000 πr ⋅ dr + ⋅ dr = 90π(1 + 2 ln 3) VV0 V15 ∫0
0.15
∫0
0.05
∫0.05
0.15180π
r
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Una placa plana, está uniformemente cargada, con una densidad de carga de σ=2/π109 C/m2.
Calcular el módulo del campo eléctrico.
Hallar la diferencia de potencial entre dos puntos situados a 1 cm y 8 cm de laplaca
Solución
Problema 4
Una placa plana, indefinida de espesor 2d=2 cm, está uniformemente cargada,con una densidad de carga de ρ=2 108 C/m3.
Obtener razonadamente la expresión del campo eléctrico en el interior y en elexterior de dicha placa.
Representar el módulo del campo eléctrico en función de la distancia a la placa.
Hallar la diferencia de potencial entre el origen (plano que divide a la placa por lamitad) y un punto situado a 5 cm de dicho plano.
Solución
Problema 5
Una esfera hueca de radio interior 3 cm y radio exterior 5 cm, contienecarga uniformemente distribuida por todo su volumen con una densidad de4 105/π C/m3. En su centro hay una esfera conductora de 1 cm de radiocargada con 4·109 C.
Obtener, razonadamente, la expresión del campo eléctrico en las siguientesregiones r<1, 1< r<3, 3<r<5, r>5.
Calcular el potencial del centro de la esfera conductora
Solución
Problema 6
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Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco estáncargados. El primero, que tiene un radio de 2 cm está uniformementecargado en todo su volumen con una densidad de carga de 4·106
C/m3 El hueco de radio interior 5 cm y radio exterior 8 cm, es unconductor cargado con una carga por unidad de de longitud de 9·109C/m.
Determinar razonadamente, la expresión del campo eléctrico en lasdistintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.
Representar el campo en función de la distancia radial
Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largode la dirección radial.
Solución
Distribución de carga con simetría cilíndrica.
El campo eléctrico tiene dirección radial y perpendicular al eje delcilindro, su módulo es constante en todos los puntos de una superficiecilíndrica de radio r y longitud L.
El flujo del campo eléctrico E a través de dicha superficie es
Calculamos la carga q contenida en una superficie cilíndrica de radio r y longitud L y aplicamos la ley deGauss
∮ E ⋅ dS =
⎧
⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
superficie lateral ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS ⋅ cos 0 = E ∫ dS = E ⋅ 2πrL
base inferior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S2
base superior ∫ E ⋅ dS = 0 E ⊥ S1
∮ E ⋅ dS = E ⋅ 2πrL
∮ E ⋅ dS = E = q
ε0
q
2π rLε0
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Para r<2 cm
Para 2<r<5 cm
Para 5<r<8 cm
En el interior de un conductor el campo eléctrico es E=0
Para r>8 cm
Gráfica del campo
q = 4 ⋅ π L = 4π ⋅ L E = 72 000π ⋅ r N/C10−6 r2 10−6 r2
q = 4 ⋅ π L = π ⋅ 1.6 ⋅ L E = N/C10−6 (0.02)2 10−9 28.8π
r
q = 4 ⋅ π L − 9 ⋅ L = π ⋅ 1.6 ⋅ L10−6 0.022 10−9 10−9
E = N/C−71.52r
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Diferencia de potencial
Problema 7
Dos cilindros coaxiales muy largos, uno macizo y otro hueco están cargados. El primero que tiene un radio de 2cm y es un conductor cargado con una carga por unidad de longitud de 9·109 C/m El hueco de radio interior 5cm y radio exterior 8 cm, está uniformemente cargado en todo su volumen con una densidad 4/π·106 C/m3.
Determinar la expresión del campo eléctrico en las distintas regiones: r<2, 2<r<5, 5<r<8, 8<r cm.
Representar el campo en función de la distancia radial
Calcular la diferencia de potencial entre un punto situado en el eje y otro situado a 15 cm del mismo, a lo largode la dirección radial.
Solución
Problema 8
Una esfera de 8 cm de radio está cargada con una cargauniformemente distribuida en su volumen de 1.152·109 C.Determinar razonadamente la expresión del campo eléctrico a unadistancia r del centro de la esfera cargada.
Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en el punto P (0,6) cm producida por dicha distribución de carga y otra cargapuntual Q de 2·109 C situada en el punto (12, 0) cm tal como semuestra en la figura
Solución
Problema 9
Sea un sistema formado por dos esferas de radio a=4 cm.La de la izquierda cuyo centro está situado en el origen ytiene una carga uniformemente distribuida en todo suvolumen de 1.152·109 C. La de la derecha es una esferahueca cargada uniformente con 2.0·109 C, su centro está a12 cm de la primera.
− = E ⋅ dr = 72 000 πr ⋅ dr + ⋅ dr + 0 + ⋅ dr = 83.18 VV0 V15 ∫0
0.15
∫0
0.02
∫0.02
0.0528.8π
r∫
0.08
0.15−71.52
r
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Determinar, la expresión del campo eléctrico y del potencial de cada esfera aisladamente en función de ladistancia a su centro r, para r<a y r>a.
Calcular el vector campo eléctrico y el potencial en los puntos A (0, 2 ) cm, B (6, 0) cm, y C (12, 2) cmproducido por ambas esferas.
Solución
Problema 10
Un modelo de átomo consiste en un núcleo positivo representado por una cargapuntual carga +Q situado en el centro de una esfera de radio R, que tieneuniformemente distribuida una carga Q en su interior.
Determinar de forma razonada la expresión del campo eléctrico a unadistancia r<R del centro de la esfera cargada. ¿Cuánto vale el campo parar>R?.
Calcular la diferencia de potencial entre dos puntos situados a unadistancia del centro r1=R/2 y r2=R, respectivamente.
Solución
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