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TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN

Conducción en régimen permanente unidireccional. Problema 1. Un horno cerámico está revestido por una placa plana de 40 cm. de espesor, cuya conductividad térmica presenta una variación con la temperatura de la forma:

( ) ( ) ( )T..bTKTK 001015010 +=+= (W/mºC, T en ºC)

Si la temperatura en la superficie exterior (en contacto con el ambiente) es de 50 ºC y en la superficie interior (en contacto con la llama) es de 1500 ºC, calcular: a) Distribución de temperaturas a lo largo de la placa. b) Valores de la conductividad térmica para x=10 cm. y x=20 cm. c) Error cometido al calcular la temperatura con una conductividad térmica correspondiente a la

temperatura media entre las dos superficies extremas. Problema 2. Una pared plana está compuesta por dos capas de diferente material, cada una de las cuales tiene un espesor de 20 cm. Uno de los lados de dicha pared está aislado y se encuentra a una temperatura media de 50 ºC. Sabiendo que la capa aislada presenta una conductividad térmica de 15 W/mºC y que en ella se genera calor a razón de 1000 W/m3, y que la otra capa presenta un valor de K igual a 20 W/mºC, calcular: a) Temperatura en la unión de las dos capas y en la superficie exterior. (Resultado: Tunión=48.67

ºC, Tsup. exterior= 46.67 ºC) b) Dibujar el perfil de temperaturas. Problema 3. Un cable eléctrico está aislado por una vaina compuesta de un material cuya conductividad térmica es de 0.5 kcal/h.m.ºC y ésta, a su vez, está en contacto con un fluido cuyo coeficiente de película es de 10 kcal/h.m2.ºC. Si el diámetro del cable sin aislar es de 10 mm., calcular: a) Espesor del material de recubrimiento que producirá máximo flujo de calor. (Resultado: 5 cm.) b) Si el recubrimiento está formado por capas de 10 mm. de espesor, ¿cuántas de éstas serán

necesarias para que el flujo de calor sea máximo? (Resultado: 5 capas) Problema 4. En el interior de un cable conductor eléctrico, inicialmente sin aislar y suspendido en el aire, se genera un calentamiento por efecto Joule de 1W/m. La superficie del conductor, cuyo radio es de 0.5 mm., presenta una diferencia de temperatura con el ambiente de 30 K.

Se propone cubrir el citado conductor con un aislante plástico de 0.25 mm. de espesor y cuya conductividad térmica es de 0.35 W/mK. Dicha cubierta, ¿mejorará el contacto térmico con el ambiente o presentará un efecto aislante?. Para verificar la respuesta, calcular la nueva diferencia de temperatura entre la superficie del conductor y el ambiente.

Problema 5. Un microprocesador, que se supone de espesor despreciable, está unido a una placa de circuito impreso de aluminio (Kaluminio=238 W/mK) de 8 mm. de espesor mediante una capa de resina, cuyo espesor también se considera despreciable, a la cual se puede asociar una resistencia térmica de contacto de 0.9×10-4 m2K/W. La cara superior del microprocesador y la inferior de la placa base están en contacto con aire a 298 K y un valor del coeficiente de transmisión de calor por convección de 100 W/m2K.

Si en condiciones normales el microprocesador disipa calor a razón de 10 kW/m2, ¿cuál será su temperatura de funcionamiento?. (Resultado: T=348.3 K)

Problema 6. Una pared de un cerramiento, de los habitualmente empleados en edificación, está compuesta de diferentes capas de material como muestra la figura. Si la cámara de aire presenta una

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resistencia térmica de 0.21 m2K/W y los coeficientes de película de los ambientes que envuelven a las superficies interior y exterior son iguales, de valor 10 W/m2K, calcular: a) Coeficiente global de transmisión de calor. (Resultado: U=1.1 W/m2K) b) Calor perdido por m2 de cerramiento, sabiendo que la temperatura interior es de 23 ºC y que la

Tª exterior es de 5 ºC. (Resultado: φ=20.2 W/m2) c) ¿En que proporción se reduce el calor transmitido si la cámara de aire se rellena con un material

aislante de conductividad 0.03 W/mK?. (Resultado: 55.7 %)

Datos: Cemento: e= 0.02 m. K=1.2 W/mK Ladrillo doble: e= 0.12 m. K=0.42 W/mK Aire: e= 0.04 m. Rt=0.21 m2K/W Ladrillo simple: e= 0.05 m. K=0.42 W/mK Yeso: e= 0.02 m. K=0.26 W/mK

Problema 7. Se desea evitar la condensación atmosférica sobre una tubería de 50 mm. de diámetro interior y 2.5 mm. de espesor. Por el interior de dicha tubería circula un fluido refrigerante que provoca una temperatura en la superficie interior de –10 ºC. Para cumplir el objetivo, se dispone de un material aislante cuya conductividad térmica es de 0.05 kcal/h.m.ºC.

Sabiendo que la temperatura ambiente es de 22 ºC y que el coeficiente de película con dicho ambiente es de 10 kcal/h.m2.ºC, ¿cuál será el espesor de aislante necesario para que no se produzca condensación si la conductividad térmica de la tubería es de 332 kcal/h.m.ºC?. NOTA: Temperatura de rocío del aire en condiciones ambientales = 14 ºC Problema 8. Un tubo de 70 mm. de radio exterior y 4 mm. de espesor se utiliza para trasegar un fluido que se encuentra a 180 ºC. El tubo está constituido de hierro fundido (Khierro=45 kcal/h.m.ºC), y se encuentra aislado del ambiente por una capa de lana de vidrio de 20 mm. de espesor y conductividad térmica 0.0648 kcal/h.m.ºC.

Sabiendo que el ambiente que envuelve al tubo está a 20 ºC, y que los coeficientes de película interior y exterior son, respectivamente, iguales a 1000 kcal/h.m2.ºC y 10 kcal/h.m2.ºC, calcular: a) Calor perdido al ambiente por metro de longitud de tubería. (Resultado: Q/L = 200.83 kcal/h.m) b) Temperatura en todas las uniones de materiales, así como en las superficies interior y exterior.

(Resultado: Tsup. interior=179.52 ºC, Tunión tubo-aislante=179.47 ºC, Tsup. exterior=54.96 ºC) c) Temperatura en un punto situado a 80 mm. del centro. (Resultado: Tr=80 cm.=113.2 ºC) Problema 9. La temperatura ambiente exterior para el proyecto de una cámara frigorífica se considera de 20 ºC. Sabiendo que la temperatura en el interior de la cámara debe ser de –30 ºC y que la ganancia máxima de calor a través de la pared es de 10 W/m2, calcular la posición dentro de la pared en la que se puede empezar a producir congelación (Resultado: 0.083 m. desde interior del cerramiento).

Datos: Coef. de película interior: hi=15 W/m2K Enlucido: e= 0.01 m. K=0.3 W/mK Aislante: K=0.025 W/mK Ladrillo: e= 0.2 m. K=0.87 W/mK Cemento: e= 0.01 m. K=1.4 W/mK Coef. de película exterior: he=15 W/m2K

Cem

ento

Yes

o

Cám

ara

de a

ire

Ladrillo doble Ladrillo simple

Exterior Interior

Cem

ento

Yes

o

Cám

ara

de a

ire

Ladrillo doble Ladrillo simple

Exterior Interior

Cem

ento

Enl

ucid

o

Ais

lant

e

Ladrillo doble

Exterior Interior

Cem

ento

Enl

ucid

o

Ais

lant

e

Ladrillo doble

Exterior Interior

3

Problema 10. Para el almacenamiento de residuos radiactivos (Krr=20 W/mK) se utilizan contenedores cilíndricos de acero (Ka=15 W/mK) de radios interior y exterior 0.5 m. y 0.6 m. respectivamente. La energía generada por el material radiactivo es de 105 W/m3, y la superficie exterior del conductor está expuesta a un flujo de agua con h=1000 W/m2K y temperatura del fluido igual a 298 K. Calcular: a) Temperaturas en las superficies interna y externa del contenedor. (Resultado: Tsup. interior=470.8

K, Tsup. exterior=318.8 K) b) Obtener una expresión para la distribución de temperatura en el interior del cilindro. c) Evaluar la temperatura en el eje. (Resultado: T(r=0)=783.3 K) Problema 11. La distribución de temperaturas a través de un muro de 1 m. de espesor en un instante determinado viene dada por:

( ) 2cxbxaxT ++= donde T está en ºC y x en metros, mientras que a=900 ºC, b=-300 ºC/m, y c=-50 ºC/m2. En el interior de la pared, de sección transversal al flujo 10 m2, existe una generación uniforme de calor de 1000 W/m3. Si las propiedades de dicha pared son ρ=1600 kg/m3, K=40 W/mK, y cp=4 kJ/kgK, calcular: a) Tasa de calor (W) que entra al muro (x=0 m), y que abandona el muro (x=1 m). (Resultado:

Qent=120 kW, Qsal=160 kW). b) Variación con el tiempo de la energía almacenada en el muro. (Resultado: E=30 kW). c) Variación de la temperatura con el tiempo en x=0.025 m. y x=0.5 m. (Resultado:

∂T/∂t = -4.96×10-4 ºC/s) NOTA: Suponer conducción unidimensional en la dirección x, y medio homogéneo con

propiedades constantes. Ecuación general de la conducción del calor:

gz

TK

zy

TK

yx

TK

xt

TpC +

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ρ

Problema 12. Un contenedor metálico de forma esférica se emplea para almacenar nitrógeno líquido a 77 K. El diámetro del contenedor es de 0.5 m y está recubierto de un material aislante de 25 mm de espesor (Kaislante=0.017 W/mK), cuya superficie exterior está expuesta a aire ambiente a una temperatura de 300 K y con un coeficiente de película de 20 W/m2K. El calor latente de vaporización del nitrógeno líquido es de 2×105 J/kg. Calcular: a) Calor transferido al nitrógeno (W). (Resultado: 127.07 W) b) Cantidad de nitrógeno líquido evaporado cada día (kg/día). (Resultado: 54.9 kg/día) NOTA: Despreciar la resistencia térmica de transferencia de calor entre el nitrógeno y el

contenedor, y suponer despreciable el espesor de la pared del contenedor. Asumir condiciones estacionarias.

Problema 13. Se dispone de un sólido con forma cónica (fabricado de cerámica, K = 3.46 W/mK), como el representado en la figura, de sección transversal circular con diámetro D = a.x, siendo a = 0.25. Los bordes de dicho sólido se encuentran en x1 = 50 mm. y x2 = 250 mm. Las temperaturas de dichos bordes son, respectivamente, T1 = 400 K y T2 = 600 K, mientras que la superficie lateral está perfectamente aislada.

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Se pide:

a) Obtener una expresión, en forma simbólica, para la distribución de temperatura en el interior del sólido. Asumir conducción unidireccional, sin generación interna de calor y condiciones estacionarias.

b) Calcular la tasa de calor (W) a través del cono. (Resultado: Q=-2.12 W) Problema 14. En el interior de una barra cilíndrica de un cierto material se genera uniformemente calor a razón de g0=24.107 W/m3. El diámetro de la barra es de 3 cm. y su conductividad térmica tiene un valor de K=30 W/m ºC. La barra está refrigerada por agua, siendo el coeficiente de convección barra-agua de 9580 W/m2 ºC. Asumiendo condiciones estacionarias y conducción unidimensional en dirección radial, ¿cuál será la temperatura máxima que alcanzará el cilindro si el agua se mantiene a una temperatura de 190 ºC?. (Resultado: Tmax=827.9 ºC) Problema 15. La configuración mostrada en la figura está constituida por dos cilindros concéntricos de diferente material. El cilindro 1 (cilindro exterior), de conductividad térmica constante K1 y en cuyo interior existe una generación uniforme de calor go (W/m3), está perfectamente aislado en su superficie exterior, de radio r3. La superficie interior del cilindro 2 (de radio r1), en el cual no existe generación de calor, se encuentra refrigerada por un flujo de agua cuya temperatura media es T∞. Si la configuración ha sido diseñada para que el máximo valor de la temperatura en la superficie aislada (r=r3) sea igual a Ts3, se pide:

a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura, T(r), en el interior del cilindro 1, en

función de los datos necesarios de entre los que se muestran en la figura. ¿Dónde se alcanza la máxima temperatura en dicho cilindro?

b) Calcular el valor del coeficiente de transmisión de calor por convección en la superficie interior de la configuración, sabiendo que la conductividad térmica del tubo interior es K2=20 W/mK, g0=1.105 W/m3, K1=30 W/mK, r1=20 cm, r2=30 cm, r3=50 cm, Ts3=600 K y T∞=290 K. (Resultado: h=585.9 W/m2K)

c) Dibujar un croquis en el cual se muestre la variación de la temperatura con la coordenada radial. NOTA:

• Considerar condiciones estacionarias y propiedades del fluido constantes • Asumir conducción unidimensional en dirección radial • Despreciar las resistencias térmicas de contacto en las uniones de los materiales

x2

x1

T1

T2

x

r1 r2

r3

T∞

Aislante

g0 , K1

Ts3

12

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• La ecuación general de la conducción del calor en coordenadas cilíndricas viene dada por:

t

TCg

z

TK

z

TK

rr

TrK

rr p ∂∂ρ=+

∂∂

∂∂+

ϕ∂∂

ϕ∂∂+

∂∂

∂∂

2

11

Problema 16. Supóngase una pared plana cuya conductividad térmica presenta una variación con la temperatura de la forma K(T)=K0(1+bT), siendo K0 y b constantes. Si T1 y T2 (T1>T2) son las temperaturas en las superficies extremas de dicha pared, demostrar que el flujo de calor, φ(W/m2), se puede calcular como:

e

TTK 21

m−=φ

donde “e” es el espesor de la pared y “Km” el valor de la conductividad térmica evaluado a la temperatura media aritmética entre las dos superficies extremas, es decir,

( )

++= 210m TT2

b1KK

Problema 17. Un colector solar de baja temperatura presenta la configuración que se muestra en la figura. Los conductos de cobre, espaciados una distancia de 0.2 m entre ejes y por cuyo interior circula agua a una temperatura uniforme de 330 K, están unidos directamente a la capa absorbente del colector. Dicha capa absorbente, aislada perfectamente por su parte inferior (espacio entre conductos), está separada del exterior por una cubierta totalmente transparente, habiendo realizado el vacío en el espacio de separación entre la cubierta y el absorbente. En condiciones estacionarias de funcionamiento, el flujo de calor radiante que incide sobre el colector es de 800 W/m2. En estas condiciones, obtener: a) Una expresión para la distribución de temperatura en la placa absorbente, T(x). b) Valor de la máxima temperatura en dicha placa. (Resultado: Tmax=333.3 K) c) Calor (W) transferido al agua que circula por el interior de cada tubo. (Resultado: Q=80 W)

Datos:

Espesor de la placa absorbente: t=6 mm Anchura de la placa absorbente: w=1 m Conductividad térmica de la placa absorbente: K=200 W/mK Distancia entre ejes de los tubos de cobre: L=0.2 m

NOTA: • Dada la elevada conductividad del cobre, considerar que la temperatura de la placa

absorbente encima de los tubos es igual a la temperatura del agua. • Despreciar las pérdidas de calor por radiación en la parte superior de la placa absorbente • Asumir conducción unidireccional en la dirección x

Problema 18. En una instalación de tratamiento de alimentos se requiere almacenar agua caliente y mantenerla a una temperatura de 100 ºC. Para ello, el agua se introduce en un recipiente esférico de radio interior r1=40 cm, radio exterior r2=41 cm y conductividad térmica K=1.5 W/mK, el cual se encuentra recubierto por un calentador eléctrico de 500 W y aislado en su superficie exterior. Si la temperatura en la superficie interior del recipiente es igual a la temperatura del agua (100 ºC), y se supone que el 10% del calor generado en el calentador se pierde a través del aislamiento, se pide:

Vacío

Cubierta transparente

Placa absorbente

Conducto de cobre

φrad

L

tAislante

x

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a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura, T(r), en la pared del contenedor. b) Calcular la temperatura de la superficie exterior del contenedor, Ts2. (Resultado: Ts2=101.5

ºC) c) Caudal de agua (kg/s) a 100ºC que puede suministrar el recipiente si el agua entra al mismo

a 20ºC. (Resultado: m=0.00134 kg/s)

NOTA: Considerar condiciones estacionarias y conducción unidimensional en dirección radial. cp(agua)=4.18kJ/kgK Problema 19. Obtener la expresión de la resistencia térmica de conducción en una esfera de radios interior y exterior r1 y r2 respectivamente, en la cual no existe generación interna de calor. Las temperaturas en las superficies extremas de dicha esfera son T1 (superficie interior) y T2 (superficie exterior), y su conductividad térmica es constante e igual a K. Problema 20. Para conseguir las propiedades requeridas en la superficie interior de un conducto cilíndrico de plástico, cuya conductividad térmica es K (W/mK), dicha superficie se expone a un flujo de calor uniforme procedente de la radiación emitida por una fuente radiactiva cilíndrica. El espacio de separación entre la fuente y el conducto ha sido evacuado (vacío), y la fuente radiactiva proporciona calor a razón de φ0 (W/m2). Si la superficie exterior del conducto se mantiene a una temperatura uniforme igual a Ts2, se pide: a) Obtener una expresión para la distribución de temperatura, T(r), en la pared del conducto en

función de φ0, Ts2, r1, r2 y K b) Si los radios interior y exterior del conducto son r1=25 mm y r2=38 mm respectivamente, y su

conductividad térmica es K=10 W/mK, calcular la tasa de calor por unidad de longitud (W/m) que debe suministrar la fuente radiactiva para mantener la temperatura de la superficie interna igual a Ts1= 420 K, mientras que la temperatura de la superficie externa es constante de valor Ts2= 300 K. (Resultado: Q(W/m)=18007)

NOTA: La ecuación general de la conducción del calor, asumiendo condiciones estacionarias y conducción unidireccional en dirección radial, en coordenadas cilíndricas viene dada por:

01

0 =+

g

dr

dTrK

dr

d

r

siendo g0 la generación interna de calor (W/m3).

r1 r2

Aislante

Ts2

Calentadoreléctrico

Recipienteesférico

Agua

r1 r2

Aislante

Ts2

Calentadoreléctrico

Recipienteesférico

Agua

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Problema 21. Considérese la placa base de una plancha doméstica que tiene un espesor L= 0.5 cm, sección transversal A=300 cm2 y cuya conductividad térmica es K=15 W/mK. La superficie interior de la placa base está sometida a un flujo de calor uniforme debido a unas resistencias eléctricas adosadas a la misma, siendo la potencia de dichas resistencias igual a Q0=1200 W. Debido a que la parte superior de la plancha está bien aislada, todo el calor disipado por las resistencias se transfiere a la placa base a través de su superficie interior. La superficie exterior de dicha placa está en contacto con aire, siendo la temperatura del aire T∞=293 K y el coeficiente de película h = 80 W/m2K. Se pide:

a) Obtener una expresión para la variación de temperatura en la placa base (T(x)), en función de los parámetros conocidos (T∞, h, K, L, A, Q0)

b) Calcular las temperaturas en las superficies interior y exterior (Resultado: Tint=806.3 K, Text=793 K)

NOTA: Considerar condiciones estacionarias y conducción unidimensional en la dirección x

Problema 22. Obtener una expresión para la distribución de temperatura (T(x)) en una pared plana de espesor L y conductividad térmica constante K, para las siguientes condiciones de contorno. Comentar brevemente los resultados obtenidos.

a) Flujo de calor y temperatura constantes en la superficie ubicada en x=0 (φ0=40 W/cm2 y T0=15 ºC)

b) Flujo de calor constante en la superficie ubicada tanto en x=0 (φ0=40 W/cm2) como en x=L (φL=-30 W/cm2)

c) Flujo de calor constante en la superficie ubicada tanto en x=0 (φ0=40 W/cm2) como en x=L (φL=40 W/cm2)

NOTA: Asumir conducción unidimensional en la dirección x y que no existe generación interna de calor. La ecuación general de la conducción aplicada al problema viene dada por:

0=

dx

dTK

dx

d

r1

r2

φ0Ts1

Ts2

Fuenteradiactiva

Vacío

Conducto deplástico

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Problema 23. Una pared plana está compuesta por tres capas (A, B y C) de diferente material (ver figura adjunta), cada una de las cuales presenta un espesor e = 20 cm. Uno de los lados de dicha pared se encuentra perfectamente aislado, mientras que el otro se encuentra sometido a un ambiente

convectivo (h∞=10 W/m2K, T∞ = 25 ºC). En la capa central (capa B) existe una generación interna de calor uniforme de 1000 W/m3. Si la conductividad térmica de cada una de las capas es KA=KC= 20 W/mK y KB = 50 W/mK, se pide:

a) Calcular la temperatura y el flujo de calor en la pared aislada y en la pared sometida a convección, así como en las dos superficies intermedias (separación entre A-B y B-C).

b) Obtener la expresión del perfil de temperatura y del flujo de calor en cada una de las capas. Nota: Despreciar la resistencia térmica de contacto en las uniones entre los diferentes materiales