problemas con numeros reales

Colegio Nacional de Educacin Profesional Tcnica

Reforma acadmica 2003 9

SOLUCIN DE PROBLEMAS DE NMEROS REALES

Al finalizar el captulo el alumno

manejar operaciones con nmeros reales para la solucin

de problemas



SECRETARA DEEDUCACIN

PBLICA

MAPA CURRICULAR

1.1 Identificar los subconjuntos de los nmeros reales de acuerdo con su clasificacin.

2 h

1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con nmeros reales.

15 h

2.1 Realizar operaciones con expresiones algebraicas de acuerdo

con los procedimientos establecidos. 17 h

2.2 Simplificar expresiones algebraicas utilizando productos notables y factorizacin.

10 h

3.1 Resolver problemas que involucren la solucin de una ecuacin

de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

8 h

3.2 Resolver problemas que involucren la solucin de sistemas de ecuaciones de primer grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

3.3 Resolver problemas que involucren la solucin de ecuaciones de segundo grado de acuerdo con los procedimientos establecidos.

10 h

Mdulo

Matemticas I Aritmtica y

lgebra

72 h

1. Solucin de problemas de

nmeros reales.

17 h

2. Manejo de expresiones algebraicas.

27 h

3. Solucin de ecuaciones de

primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones de

primer grado.

28 h

Resultados del aprendizaje

Unidad de aprendizaje



SUMARIO Nmeros reales Propiedades de los nmeros reales Orden de las operaciones Leyes de las operaciones Aritmtica de los nmeros racionales

e irracionales Aplicaciones de operaciones con

nmeros reales. RESULTADO DEL APRENDIZAJE 1.1 Identificar los subconjuntos de

los nmeros reales de acuerdo con su clasificacin.

1.2 Resolver problemas mediante el desarrollo de operaciones con nmeros reales. 1.1 IDENTIFICAR LOS

SUBCONJUNTOS DE LOS NMEROS REALES DE ACUERDO CON SU CLASIFICACIN

1.1.1 NMEROS REALES Entrar al estudio de los nmeros reales requiere identificar sus subconjuntos; para ello es necesario aclarar qu es un conjunto. Por definicin, un conjunto es una coleccin de objetos o agregado de ideas de cualquier especie, siempre y cuando estn tan claros y definidos para decidir si pertenecen o no al conjunto.

A las ideas u objetos que forman un conjunto se les denomina elementos. La cantidad y caractersticas de stos nos permiten saber el tamao del conjunto. Un conjunto se representa grficamente encerrando sus elementos dentro de un crculo: A Subconjuntos Todo conjunto puede ser un universo o un subconjunto, es decir, todos los conjuntos de dos o ms elementos poseen la cualidad de ser divisibles en su interior. Cuando un conjunto forma parte de uno mayor se dice que es subconjunto de ste. En el caso del conjunto F = {sbado, domingo} que se encuentra incluido en el conjunto universo B = {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo} Tenemos que el conjunto F es un subconjunto de B y se escribe: F B. Donde significa subconjunto de; si

Pedro Juan Sara Sofa



se encuentra tachado () dir que no es subconjunto, no hay pertenencia.

El PSP: Dividir al grupo equipos.

Los Alumnos: Definirn cuatro conjuntos correspondientes a cada carrera. Identificarn sus elementos. Ejemplos: a) El conjunto de docentes integrado

por los maestros del plantel. b) El conjunto del material didctico

utilizado en los salones de clase, que incluye gises, pizarrn, mapas, plumones, borradores, etc.

El conjunto de los nmeros

reales Al conjunto de nmeros enteros positivos se le denomina nmeros naturales y se representan con la letra N, quedando: N = {X | X es un nmero entero positivo} Los nmeros que hacen verdadera est oracin abierta seran

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Los tres puntos indican que la sucesin contina, pero no incluirn el cero ni los nmeros negativos. Al conjunto de nmeros enteros positivos que incluye el cero se le conoce como cardinales.

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... } Por lo tanto N es un subconjunto de C; N C. Al conjunto de los nmeros cardinales y los enteros negativos se le conoce como de nmeros enteros, E, por tanto N C E. C = {, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5 ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... } Un conjunto universo de ste podra ser aquel que incluya los nmeros fraccionarios, denominados racionales, sean estos, cualquier nmero que pueda expresarse como el cociente de dos enteros, en los cuales el divisor es diferente de cero. Se representa con la letra D. Un nmero es racional si su parte decimal termina, es finita, como en el caso de que en forma decimal es 0.5, o cuando termina en un dgito o grupo de stos que se repiten, como 2/3 que en decimal es 0.66666. Existe el complemento de este conjunto denominado como D; son los nmeros irracionales, en los cuales su representacin decimal no es finita, ni de repeticin, como sera = 3.1416... 2 = 1.4142135... A la unin de los nmeros racionales con los irracionales se le conoce como nmeros reales.

Trabajo en equipo



D D = R y siendo tanto D como D subconjuntos de R

Observacin El Alumno: Observar los diferentes

tipos de nmeros que utilice en las actividades de un da. Realizar una tabla con los nmeros y la actividad. Ejemplos: a) El nmero que identifica a cada

saln del plantel es un entero positivo.

b) La hora de llegada al plantel: 8:15, corresponde a los nmeros reales.

Recta numrica o de nmeros

reales La Recta numrica o de nmeros reales es una lnea horizontal, como una regla, con un punto de origen en donde se coloca el cero; los nmeros a la izquierda sern negativos y los de la derecha positivos.

Cada punto de la recta corresponder a un nmero consecutivo y habr la misma distancia entre ellos.

negativos pos itivos cero u origen

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Realizacin del ejercicio El Alumno: Elaborar una sntesis acerca del conjunto de los

nmeros reales y sus subconjuntos, as como su representacin en la recta numrica. 1.1.2. PROPIEDADES DE LOS NMEROS REALES Propiedad de Orden En una recta numrica se podrn comparar dos nmeros reales, el nmero que se encuentre a la izquierda ser el menor y el de la derecha el mayor; para denotarlo se utilizarn los siguientes smbolos

Smbolo Significado Ejemplo = Igual que 3 = 3



Es la misma distancia del lado positivo que del negativo

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

< Menor que -1 < 3 > Mayor que 3 > -1 Menor o igual

que A 5

Mayor o igual que

B 2 Desigual 3 8

Es decir, el orden o lugar en el cual se encuentren dos nmeros en la recta nos permite compararlos y saber cul de ellos es menor o mayor que el otro. Valor absoluto y Valor relativo Se conoce como valor absoluto de un nmero a la distancia que existe entre ste y el cero o punto de origen en la recta. Cabe sealar que se ignora el signo que le anteceda, el valor absoluto siempre ser positivo o cero. Su connotacin se realiza poniendo al nmero entre barras verticales:

|-3 | = 3; se lee: el valor absoluto de -3 es 3. |3| = 3, el valor absoluto de 3 es 3. En contraposicin, el valor relativo de un nmero, es el que le es asignado dependiendo del lugar en el que se encuentre, es decir, si se sita en el lugar de las unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. Tomando como ejemplo el nmero 5,358, valor relativo del ocho, por estar ubicado en el lugar de las unidades, es igual a su valor absoluto, es decir 8; en el caso del tres, por su ubicacin en las centenas tiene un valor de 300 (3 100), cuando su valor absoluto es 3. Para el 5, su valor absoluto en los dos casos es el mismo; pero el valor relativo para el del lugar de las decenas ser 50 y para el del lugar de las unidades de millar es 5,000. Operaciones con nmeros

reales Existen cuatro operaciones bsicas de los nmeros reales, a saber: suma, resta, multiplicacin y divisin. Al realizar ejercicios de cada una de ellas es muy importante considerar el signo de cada operando. Leyes de los signos Para realizar multiplicaciones y divisiones de nmeros reales, es fundamental conocer las leyes de los signos, pues indican que al multiplicar

el valor disminuye

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

el valor aumenta

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



o dividir dos nmeros reales del mismo signo, el resultado tendr un signo positivo, en caso de que los nmeros tengan diferentes signos, el resultado ser negativo. Se aplica de la misma forma para el caso de la divisin.

Investigacin documental El Alumno: Realizar un trabajo escrito

con la descripcin de las leyes de los signos para la adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin. Realizar una tabla. Suma Para sumar dos nmeros reales con el mismo signo, se suman sus valores absolutos respetando el signo de ambos sumandos.

En cambio, si tenemos sumandos con signos diferentes, se resta el menor al mayor y se asigna el signo del que tenga mayor valor absoluto. (-3) + (-5) = -8 (-2) + ( 7) = 5

( 5) + ( 6) = 11 ( 8) + (-3) = 5 Resta Siendo dos nmeros reales a y b, la resta o diferencia de estos es lo mismo que sumar el opuesto del segundo al primero. a - b = a + (-b) (3) - (-4) = 3 + (4) = 7 (2) (4) = 2 + (-4) = (-2) Multiplicacin Tratndose de la multiplicacin de nmeros reales, se operan los valores absolutos de los factores y al resultado se le anota el signo dependiendo de las leyes mencionadas; es decir, una vez realizado el producto de los dos nmeros, si tienen el mismo signo el resultado ser positivo, en caso contrario llevar negativo.

(a) (b) = (c), (-a) (-b) = (c), (-a) (b) = (-c), (a) (-b) = (-c)

El signo de la multiplicacin seguido de un parntesis se acostumbra suprimirlo; o se sustituye por un punto o por un asterisco. Por ejemplo, para multiplicar (a) (b) puede denotarse como a b.

(-5) (-8) = 40 (-2) ( 6) = -12 ( 4) ( 9) = 36 ( 1) (-9) = -9

a b Resultado ( + ) ( + ) = ( + )

( - ) ( - ) = ( + )

( + ) ( - ) = ( - )

( - ) ( + ) = ( - )



Divisin Para la divisin entre nmeros reales diferentes a cero, se lleva a cabo la operacin entre los valores absolutos de los nmeros; al cociente o resultado le asignamos un signo dependiendo de las leyes de los mismos; es decir, si ambos tienen el mismo signo, el resultado ser positivo, si son de diferente signo ser negativo.

(a) (b) = (c) (-a) (-b) = (c) (-a) (b) = (-c) (a) (-b) = (-c) (30) / (-2) = -15 ( 20) / ( 5) = 4

(-10) / (-2) = 5 (-50) / (10) = -5

Comparacin de resultados con otros compaeros

El Alumno: Calcular el costo de sus estudios, considerando los gastos que realiza en transporte, vestido, alimentacin, colegiatura, vivienda; Comparar sus resultados con sus compaeros. Ejemplo: Concepto Alumno 1 Alumno 2Transporte 360 500 Vivienda 3000 2500 Alimentacin 1500 1300 Vestido 400 350

Colegiatura 200 200 Total $5,460 $4,850

1.2 RESOLVER PROBLEMAS CON NMEROS REALES

En esta seccin conoceremos el orden de las operaciones, sus leyes, la aritmtica de los nmeros racionales e irracionales y aplicaciones de operaciones para resolver problemas con nmeros reales. 1.2.1 ORDEN DE LAS

OPERACIONES Propiedad de orden de las

operaciones aritmticas Existen reglas de orden para realizar las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, races, exponentes y parntesis. Primero deben realizarse las

races y exponentes Continuar con las

multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha

Por ltimo las sumas y restas. Signos de agrupacin Para dar prioridad de manera diferente a la anterior se utilizan los parntesis y corchetes. Cuando stos se presentan, primero se realizan las operaciones que se encuentren encerradas por ellos siguiendo el orden anterior, se debe considerar que si se encuentran varios



parntesis anidados, es decir, unos dentro de otros, se comienza de dentro hacia fuera. Para evitar confusiones sobre el inicio y final de un parntesis se utilizan tambin corchetes los cuales funcionarn con el mismo orden, de dentro hacia fuera.

(-3 [2+5] + 8) + (2 + 11)= En esta operacin se resuelven primero los corchetes cuya funcin es la misma de los parntesis, se utilizan para que sea ms fcil su distincin:

(-3 [7] + 8) + (2 + 11) = La manera adecuada de resolver el primer parntesis requiere seguir con estricto apego el orden de las operaciones: la multiplicacin antes de la suma, al mismo tiempo se puede resolver el segundo parntesis, que slo tiene una operacin:

(-21 + 8) + (13) = Se obtiene el resultado del primer parntesis para, al final, completar las sumas y restas que falten por realizarse:

(-13) + (13) = 0

Comparacin de resultados con otros compaeros

El Alumno: Realizar operaciones utilizando una hoja de clculo y una calculadora

siguiendo y no siguiendo la prioridad del orden de las operaciones. Comparar sus resultados con sus compaeros. Presentar sus conclusiones. Ejemplo:

2 ( 4 + 3 ) + 3 ( -4 + 2 ) = Tomando en cuenta el orden de las operaciones, se resuelven primero los ejercicios de adentro de los parntesis, luego las multiplicaciones y al final se suman los resultados; dando un total de 8. Sin considerar los parntesis y slo realizando las operaciones de izquierda a derecha, el resultado obtenido sera -54. 1.2.2 LEYES DE LAS

OPERACIONES Considerando que los valores de a, b y c pertenecen al conjunto de los nmeros reales, la descripcin de las propiedades de la suma es la siguiente:

Propiedad de cerradura de la

suma La suma de a + b da como resultado un nmero real.

-15 + 7 = -8 Propiedad de cerradura de la

multiplicacin El producto de dos nmeros reales ser otro nmero real, a b = c



15 (-2) = -30

Propiedad conmutativa de la

suma El orden en que se sumen a y b no afecta el resultado, sumar a + b es igual que sumar b+a:

10 + 3 + 7 = 20 Es lo mismo sumar primero 10 + 3 y a su resultado sumarle 7

(10 + 3) + 7 = 20

13 + 7 = 20 que sumar 3 +7 y agregarle 10

(3 + 7) + 10 = 20 10 + 10 = 20

Propiedad conmutativa de la

multiplicacin El orden de los factores no altera el producto. Dos nmeros reales pueden multiplicarse en cualquier orden y dar el mismo producto:

a b = b a

7 5 = 35 5 7 = 35

Propiedad asociativa de la

suma

En el caso de ms de dos sumandos, estos se pueden asociar y darn el mismo resultado si a la suma de a + b, se le agrega c, que si a la suma de c + b se le agregara a.

3 + 5 + 1 + 8 + 9 + 5 =

En este caso podemos realizar la suma, es decir a 3 agregarle 5 y a su resultado 1, a ste 8 ms 9 y al final sumarle 5 o se pueden ir agrupando para que sean menos sumandos (3 + 5 + 1) + (8 + 9 +5) =

9 + 22 = 31

Propiedad asociativa de la

multiplicacin Al multiplicarse varios factores no importar en que orden se multipliquen siempre darn el mismo resultado (a b) c = (a c) b = (c b)

a (2 1) 5 = 10

(2 5) 1 = 10 (5 1) 2 = 10

Propiedad distributiva Para las operaciones del tipo a (b + c), donde el nmero a multiplica a la suma de b + c, la propiedad distributiva nos dice que es igual realizar primero la suma del parntesis (b + c) y despus multiplicarla por a, que multiplicar cada uno de los sumandos y al final sumarlos:



a (b + c) = (a b) + (a c) 3 (4 + 2) = 18

(3 4) + (3 2) =18 Propiedad de identidad aditiva Si al nmero real se le adiciona el cero, el resultado seguir siendo el mismo nmero, por eso al cero se le conoce como elemento de identidad para el caso de las sumas; a + 0 = a.

13 + 0 = 13

Propiedad de identidad

multiplicativa Si multiplicamos u nmero real por 1, se obtendr como resultado el mismo nmero; a 1 = a Propiedad del inverso

multiplicativo Cualquier nmero real multiplicado por su recproco, dar como resultado el nmero 1.

a 1/a = 1

5 (1/5 )= 1 9 (1/9 )= 1

Realizacin del ejercicio El Alumno: Resolver un problema

relacionado con un rea especfica de su especialidad, usando operaciones en las que deber identificar los siguientes pasos: Plantear el problema en el lenguaje

aritmtico

Realizar las operaciones aritmticas Interpretar los resultados

obtenidos. Si el ingreso de una persona es $5,000.00, y sus egresos mensuales son

Concepto Alumno 2Transporte 500 Vivienda 2500 Alimentacin 1300 Vestido 350 Colegiatura 200 Total $4,850

Cunto le queda para gastar en diversiones y otras actividades? Planteamiento del problema en lenguaje matemtico: 5000(500+2500+1300+350+200)=

Realizando las operaciones aritmticas se obtiene el resultado.

5000 4850 = 150 Interpretacin del resultado. La persona tiene mensualmente $150.00 para diversiones y otras actividades. 1.2.3. ARITMTICA DE LOS NMEROS RACIONALES E IRRACIONALES Operaciones con nmeros

racionales

Recuerdas la definicin de los nmeros racionales? Son aquellos que



representan el cociente de dos enteros, siempre y cuando el divisor sea diferente de cero. En una divisin, el nmero que a dividir se denomina dividendo, y se coloca en la parte superior de la raya; el nmero entre el cual se divide se conoce como divisor y va en la parte de abajo. a dividendo b divisor Si la representacin es con una diagonal, el primer nmero corresponder al dividendo y el segundo al divisor:

dividendo a / b divisor Cuando se trata de fracciones, se modifica el nombre al dividendo por numerador y al divisor por denominador. Al resultado de la divisin se le conoce como cociente; una vez realizada la divisin, la parte no divisible se denomina residuo. c cociente divisor b a dividendo r residuo Teorema de la divisin Aunque suene muy complicado, dividir dos nmeros reales es equivalente a multiplicar el numerador por el recproco del denominador, es decir

a = (a) 1 = c, b b siempre que b0 10 = (10) 1 = 2 5 5 Conversin de fraccin a

decimal Para convertir una fraccin en un nmero decimal se requiere dividir el numerador entre el denominador; nuestro resultado, es decir, el cociente, ser el decimal correspondiente a esa fraccin. 15 = 1.5 10 5 = 0.5 10 En caso de que las fracciones tengan enteros en su expresin, se debe convertir a fraccin impropia, es decir, colocar al entero como parte de la fraccin. Esto se realiza multiplicando el denominador por el entero y sumndolo al numerador de ste; ahora ya se puede llevar a cabo la divisin y obtener el nmero en forma decimal; otra manera ms sencilla es saber que el entero pasa a decimal como entero y realizar la divisin para obtener la parte decimal.



Operaciones con exponentes Hay algunos atajos o maneras de simplificar las multiplicaciones. Si se requiere realizar una operacin de este tipo de un nmero que se repite varias veces, se utilizan los exponentes, es decir, un nmero pequeo ubicado arriba a la derecha de otro denominado base; este ltimo es el nmero que se va a multiplicar varias veces y el exponente el nmero de veces a repetirse. El ejercicio de la accin con exponentes se conoce como elevar un nmero a la n potencia, siendo n el exponente. Ejemplo: si desea multiplicar el 5, 4 veces, nuestro nmero base ser el 5 y el exponente el 4 quedando: 54, lo cual equivale a 5 5 5 5 = 625 23 = 2 2 2 = 8 Si la base es un nmero racional negativo depender del exponente el signo del resultado. Si el segundo es un nmero non, el resultado ser negativo; en el caso de par corresponder un resultado positivo; ejemplificando es comprensible el porque: (-3)5 = (-3)(-3)(-3) (-3)(-3) = -243,

el primer par de nmeros (-3)(-3) da un 9 positivo, al multiplicarlo por (-3) queda un (-27), al volver a multiplicar por otro negativo (-3) nos queda 81, el cual al multiplicarse por el ltimo (-3) vuelve a convertir la cantidad en negativo. Es posible ver que por cada par de negativos el producto es positivo, pero al incrementar otro vuelve a convertirse, por eso, cuando el exponente es impar el resultado ser negativo. Asimismo, cualquier cantidad elevada a la cero potencia es igual a 1: 100 = 1 30 = 1 1300 = 1 Raz cuadrada El ejercicio denominado Raz cuadrada nos permite encontrar qu nmero multiplicado por s mismo es igual al original. Para resolverlo, primero el nmero original se separa, de dos en dos, de derecha a izquierda:

44,1 luego se toma el primer grupo de la izquierda (el 1, en este caso) y buscamos un nmero que multiplicado por s mismo sea igual o se aproxime

por

ms 2 = (3) (4) + 2 = 14 = 3.54 4 4 3



1

1 2

1

1 2 2

2

ms al grupo; lo anotamos en una lnea del lado derecho del radical: 1,44 se multiplica el nmero por s mismo, anotamos el resultado debajo del primer grupo y lo restamos para bajar el segundo grupo: 1,44 1 0 44 el siguiente paso es colocar una lnea horizontal debajo de aquella sobre la que se postra el uno y, sobre ella, colocamos un nmero que sea el doble de nuestro primer resultado, es decir, el doble de uno. 1,44 1 0 44 despus se busca un nmero, el cual se coloca tanto en la lnea de resultados de arriba como en la de abajo, que al multiplicarlo por los nmeros de abajo sea igual o se aproxime al resultado de la operacin anterior: 1,44 1 0 44 44 se resta el producto de la operacin al resultado de la resta anterior para tener un nuevo punto de inicio. Repetimos

los dos pasos anteriores hasta terminar todos los grupos.

Estudio individual El Alumno: Obtendr, utilizando la

calculadora y con el algoritmo, la raz cuadrada de los siguientes nmeros:

169 484 225 576

Operaciones con exponentes

fraccionarios El campo de posibilidades de las matemticas permite elevar un nmero a una potencia racional, aunque implica una labor ms detallada su resolucin:

1443/2 = 1443 = 1,728 Para resolver esta ecuacin, se obtiene la raz cuadrada de 144 elevado a la tercera potencia. Por el orden de las operaciones, tienen la misma prioridad las races y potencias, por tanto, es igual que se lleve a cabo primero la raz y despus se eleve a la tercera potencia, o lo contrario. Conversin de decimal a

racional Convertir un nmero decimal en racional necesita de la siguiente



metodologa: la parte entera del racional pasar como entero y la parte decimal deber multiplicarse por el nmero que se desee sea el denominador del racional, el resultado de esta multiplicacin quedar como numerador, Para convertir 3.25 a fraccin con denominador 4, es decir en cuartos, es necesario multiplicar la parte decimal, 0.25, por 4; el resultado corresponde al numerador y el denominador es el cuatro ya conocido. Los enteros pasan como tales y se obtiene como resultado 3.

1.2.4 APLICACONES DE

OPERACIONES CON NMEROS REALES

Razn y Proporcin Una razn es el cociente entre dos nmeros y se puede escribir como una divisin o fraccin o escribiendo dos puntos en forma vertical entre los nmeros:

a : b que se lee a es b Las razones comparan cantidades que se encuentren en la misma unidad, es decir pesos con pesos, gramos con gramos, litros con litros, de lo contrario no pueden ser comparables. Proporciones

Una proporcin se forma con dos razones que son iguales y cuyo denominador no debe ser cero. Una proporcin puede expresarse de las siguientes formas a : b :: c : d o a/b = c/d y se lee a es a

b como c es a d Propiedad de la proporcin Considerando que a, b, c, d son nmeros reales, donde b y d son diferentes de cero

a : b :: c : d entonces ad = bc Teniendo esta propiedad en mente, es factible encontrar el valor cuando falta de conocerse una de las variables En las proporciones el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Ejemplo:

6 : x :: 3 : 7 el producto de los extremos es 6 7 = 42, el de los medios ser 3x conociendo que los productos deben ser iguales, se tiene que 3x = 42, despejando x = 42/3 dando como resultado x = 14 La proporcin queda:

Realizar la prctica nmero 1. Manejo de operaciones con nmeros reales.



6 : 14 :: 3 : 7 Si son iguales los medios, se considera que es una proporcin continua. Cuarta, tercera y media

proporcional

En una proporcin, si a, b, c, d Son distintos, se dice que la proporcin es discontinua y que a, b, c, y d son una cuarta proporcional geomtrica.

En una proporcin, si los

trminos medios son iguales y los extremos distintos, se dice que la proporcin es continua y que los trminos extremos son tercera proporcional geomtrica.

En una proporcin continua, los

trminos que se repiten se llaman media proporcional geomtrica. 3 : x :: 15 : 5 cuarta proporcional

T ercera proporcional 4 : 8 :: 8 : 16 cuarta proporcional

Tanto por ciento Un tanto por ciento representa una fraccin cuyo denominador es 100. Un porcentaje es la multiplicacin de un nmero por un tanto por ciento.

25 / 100 = 25%

150 / 100 = 150%

Si se multiplica la cantidad 120 por el 0.25, se obtiene el 25 por ciento de 120

120 .25 = 30 Regla de tres La regla de tres es un mtodo de clculo por medio del cual se obtiene una cantidad o incgnita, conociendo tres cantidades proporcionales, pasando del primer mltiplo a la unidad y deduciendo entonces el siguiente mltiplo Por ejemplo: Si tres pantalones cuestan $600.00 Cunto cuestan 5 pantalones? La proporcin ser :

3 : 600 :: 5 : x la connotacin queda

Pantalones Precio 3 600

5 x Se multiplica 5 600 y el resultado se divide entre 3, es decir, 3000 3 = 1000. por cinco pantalones se pagan $1,000.00. Si utilizamos la ley conmutativa, sera igual a dividir 600 3 y multiplicarlo por cinco, al realizar la divisin



obtenemos el precio unitario de los pantalones, $200.00, posterior-mente se calcula el precio de cinco pantalones multiplicando el precio unitario por la cantidad de pantalones. Investigacin de campo El Alumno: Realizar una investigacin grupal en una tienda departamental calculando los descuentos porcentuales de, al menos, 10 productos. Producto Precio

$ Descuento

% Neto

$ Pantaln 400 30 280 Zapatos 500 20 400 Tenis 800 15 680 Calcetines 80 10 72 Suter 600 25 450 Mochila 300 20 240 Lentes 1300 50 650 Reloj 450 0 450 Agenda 200 15 170 Disco 150 10 135 RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS Escribe en lenguaje aritmtico: 1. Debe a su hermana $14.25 2. La Ciudad de Mxico est a 2303

metros sobre el nivel del mar 3. La temperatura en invierno lleg a

15C bajo cero

Escribe el opuesto de cada nmero: 4. -1.75 5. - 10 6. 513 Escribe el valor absoluto de los siguientes nmeros: 7. |-3 | 8. | 23 | 9. |-3.25|

Simplificar cada una de las siguientes expresiones: Ejemplo 11 + 2(6 + 4) 3(1 + 3) Solucin 11 + 2(10) 3(4) 11 + 20 12 31 12 19 10. (7 + 3 + 2) 3 + 1 11. (7 + 3 + 2) (3 + 1) 12. 5(7 + 9) 4 + 3 13. 21 + 5(7 + 3) 20 Escriba la cantidad como un problema de multiplicacin repetitivo. 14. (-3)4 15. (5)3 16. (2)7 Escriba el problema de multiplicacin repetitivo usando notacin exponencial. 17. (-5) (-5) (-5) (-5) 18. (5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5) Evale la expresin exponencial.



19. (-4)3 20. -52 21. (-3)4

Obtenga la raz cuadrada de los siguientes nmeros utilizando el algoritmo: 22. 576 23. 900 24. 289 RESULTADOS 1. -$14.25 2. + 2303 3. -15C 4. 1.75 5. 10 6. 513 7. 3 8. 23 9. 3.25 10. 5 11. 3 12. 23 13. 51 14. (-3) (-3) (-3) (-3) 15. (5) (5) (5) 16. (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 17. (-5)4 18. (5)6 19. -64 20. 25 21. 81 22. 24 23. 30 24. 17



PRCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRCTICA Unidad de aprendizaje:

1

Prctica nmero: 1 Nombre de la prctica:

Manejo de operaciones con nmeros reales.

Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno aplicar conceptos y operaciones de nmeros reales.

Escenario: Aula Duracin: 2 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

Cartulina Plumones Hojas blancas

tamao carta

Lpiz y goma.

Calculadora.



Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene. Limpiar el rea de trabajo. Evitar la manipulacin de lquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo. 1. Elaborar reunidos por equipos las definiciones de acuerdo a las instrucciones del

PSA, de los conceptos enlistados a continuacin, repartindose el trabajo de manera equitativa de acuerdo al nmero de equipos formados en el grupo. - Enunciar el concepto de aritmtica - Identificar la simbologa y terminologa utilizadas en este curso - Enunciar la definicin de nmeros naturales, con ejemplos - Enunciar la definicin de nmeros enteros, con ejemplos - Enunciar la definicin de nmero racional, con ejemplos - Obtener fracciones equivalentes de un nmero racional, con ejemplos - Representar con ejemplos un nmero racional en forma de razn y en forma

decimal - Transformar un nmero racional a decimal - Transformar un nmero decimal a racional - Enunciar la definicin de los nmeros irracionales - Enunciar la definicin de los nmeros reales.

2. Elaborar en cartulinas las definiciones o las representaciones solicitadas. Cada

equipo nombrar un relator que expondr al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compaeros.

3. Elaborar de la misma manera por equipo de una breve explicacin de los temas

enlistados, disponiendo de un tiempo determinado por el PSA para que al final se lleve a cabo una exposicin breve de uno de los temas enlistados a continuacin. - Propiedades de los nmeros reales - Enunciado de la ley de tricotoma en los nmeros reales - Grafica de la correspondencia de los nmeros reales con la recta numrica - Ejemplos de operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y potenciacin - Aplicacin de las propiedades de los signos para la adicin, multiplicacin y

potenciacin con nmeros racionales.



Procedimiento

4. Transcribir el resultado o la respuesta ya elaborada correspondiente a la definicin

o representado de lo que se solicita, en una cartulina de manera mural. Cada equipo nombrar un relator que expondr al grupo los resultados de sus trabajos, resolviendo preguntas o dudas de sus compaeros.

5. Presentar conclusiones de los temas abordados por equipo. 6. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la prctica que deber incluir

las conclusiones de la misma. 4 Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente

destinado para su posterior envi a reciclaje.



LISTA DE COTEJO DE LA PRCTICA NMERO 1: Manejo de operaciones con nmeros reales

Fecha: ______________

Nombre del alumno: __________________________________________________________

Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios a verificar en el desempeo del alumno.

De la siguiente lista marque con una 9 aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeo.

Desarrollo Si No No

Aplica Aplic las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo

de la prctica.

Limpi el rea de trabajo Evit la manipulacin de lquidos y alimentos cerca de los

documentos de trabajo.

1. Elabor por equipos las definiciones de acuerdo a las instrucciones del PSA

- Enunci el concepto de aritmtica - Identific la simbologa y terminologa utilizadas en este

curso

- Enunci la definicin de nmeros naturales - Enunci la definicin de nmeros enteros - Enunciar la definicin de nmero racional - Obtuvo fracciones equivalentes de un nmero racional - Represent un nmero racional en forma de razn y en

forma decimal

- Transform un nmero racional a decimal - Transform un nmero decimal a racional - Enunci la definicin de los nmeros irracionales - Enunci la definicin de los nmeros reales.



Desarrollo Si No No

Aplica 2. Elabor en cartulinas las definiciones o representaciones

solicitadas.

3. Cada equipo nombr un relator. - El relator expuso al grupo los resultados de sus trabajos - Resolvieron dudas y preguntas.

4. Elabor la explicacin de los temas enlistados. - De las propiedades de los nmeros reales - - Enunciado de la ley de tricotoma en los nmeros reales - Grafica de la correspondencia de los nmeros reales con

la recta numrica

- Ejemplos de operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin y potenciacin

- Aplicacin de las propiedades de los signos para la adicin, multiplicacin y potenciacin con nmeros racionales.

5. Transcribi el resultado o la respuesta ya elaborada correspondiente a la definicin o representado de lo que se solicita, en una cartulina de manera mural.

6. Cada equipo nombr un relator. - Expuso al grupo los resultados de sus trabajos,

resolviendo preguntas o dudas de sus compaeros

7. Present conclusiones de los temas por equipo. 8. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la

prctica que deber incluir las conclusiones de la misma.



Desarrollo Si No No

Aplica4 Coloc las hojas desechables en el recipiente destinado para

las mismas.

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de trmino: Evaluacin:

problemas con numeros reales

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