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Departamento Física Aplicada

Ampliación Física II

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

INTRODUCCIÓN MATEMÁTICA

Esta introducción pretende resumir algunos de los conceptos matemáticos que se utilizarán a lo largo del curso. En ningún caso debe pensarse que todas las matemáticas necesarias están aquí. La ampliación de lo que se dice aquí mediante el estudio en libros y asistencia a las correspondientes clases en la universidad será de gran utilidad, tanto para el curso como para la vida misma.

VECTORES

Existen magnitudes que para caracterizarlas basta con indicar un numero (e.j. la masa). Pero hay otras que además de un numero es necesario indicar su dirección y sentido, por ejemplo la velocidad. A este tipo de magnitudes se les denomina vectoriales. Un vector es un objeto matemático con las siguientes propiedades:

* Si a y b son vectores, entonces a+b=c es un vector.* Si a es un vector, y un número, entonces a=c es un vector.

aquí representamos los vectores con letras en negrita. Habitualmente se les representa con un símbolo con una flecha encima. Un vector se caracteriza por su módulo, dirección y sentido. Se suelen representar gráficamente con una flecha, donde lo que mide la flecha es su modulo, la recta de la flecha su dirección, y la punta de la flecha indica el sentido. Con esta representación es posible sumar gráficamente vectores:

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O multiplicar un vector por un escalar (un número). Para hacer esto basta multiplicar la longitud por el número, sin cambiar el sentido si el número es positivo. En caso de que el número sea negativo, además habrá que invertir el sentido del vector.

Con estas dos operaciones (suma de vectores, y producto de un vector por un escalar), los vectores tienen las siguientes propiedades:

a+(b+c)=(a+b)+ca+b=b+a(a+b)=a+ba=a

Además, podemos definir otras dos propiedades entre vectores

Producto escalar de dos vectores:

- El resultado es un número

a·b = |a| |b| cos

Donde |a| y |b| son el módulo de los dos vectores, y el ángulo que forman. Esta expresion puede usarse para calcular el ángulo entre dos vectores.

El producto escalar tiene las siguientes propiedades:

a·b = b·a

a·(b+c) = a·b+a·c

(a·b)=(a)·b=a·(b)

Importante, el producto escalar es conmutativo a·b=b·a

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Producto vectorial de dos vectores

- El resultado es un vector:

a^b = c

Con c perpendicular a los vectores a y b.

El módulo de c se puede calcular con la formula c=a^b = |a| |b| sen Pero ahora esto no

es suficiente, también se necesita la dirección y sentido del vector resultante.

Las propiedades son similares a las del producto escalar, pero con una diferencia

importante, el producto vectorial es anticonmutativo: a^b = - b^a

Otras diferencias importantes son que

-si a y b son paralelos, su producto vectorial es 0, su producto escalar es distinto de 0.

-si a y b son perpendiculares, su producto escalar es 0, su producto vectorial es distinto

de 0.

Componentes de un vector

Supongamos un vector de modulo 1 (vector unitario) en la dirección del eje x, otro en la dirección del eje y, y otro en la dirección del eje z

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A estos vectores unitarios los llamaremos respectivamente i, j y k. Podemos entonces

escribir cualquier vector a o b como:

a= ax i + ay j + az k

a= bx i + by j + bz kDonde ax, ay y az son las componentes del vector respecto a la base i,j,k.

Si conocemos las componentes de los vectores es sencillo realizar las distintas operaciones:

Módulo: |a|2 = ax2+ay

2+az2

Suma de dos vectores: a+b =(ax +bx) i +(ay +by) j+(az +bz) k

Producto de número por vector: a= ax i + ay j + az kProducto escalar de dos vectores:

a·b = axbx +ayby + azbz

Producto vectorial de dos vectores:

i j k

a^b= ax ay az = i (aybz-azby) + j (azbx-axbz) +k (axby-aybx)

bx by bz

Lo anterior es un determinante.

Importante, si dos vectores son iguales significa que TODAS sus componentes son iguales.

a=b <====> ax=bx, , ay=by , az=bz

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ANÁLISIS VECTORIAL

La derivada de un vector se realiza calculando la derivada de cada uno de los componentes, por ejemplo una derivada respecto al tiempo:

da/dt = d ax/dt i+ day/dt j + daz/dt k

Hay que tener en cuenta que probablemente nuestro vector (y sus componentes) dependerá de más de una variable. Se define la derivada parcial, por ejemplo con respecto a x, como /x. La forma de hacerla es derivando respecto a x considerando el resto como constantes.

Definimos otra forma de derivar: el gradiente de una función escalar (x,y,z):

y el resultado es un vector. La forma de interpretar el gradiente es que da información sobre la dirección de máxima variación de la función (x,y,z).

Una forma de simbólica de representar el gradiente es definiendo el operador vectorial

nabla ∇

= ∇∂∂x i +

∂∂y j +

∂∂ z k

Ahora el gradiente se calcula como el producto del vector nabla ∇ por el no vector , tal

como se explico antes para el producto número vector.

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De forma similar definimos la Divergencia de un vector como el producto escalar

entre el operador ∇ y un vector F:

El Rotacional se define como el producto vectorial entre ∇ y el vector F:

El Laplaciano de un escalar se define como la divergencia del gradiente de ese escalar.

La forma de calcularlo:

El laplaciano de un vector es el vector resultante de aplicar el laplaciano a cada una de sus componentes.

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VARIABLE COMPLEJA

Todo comienza con que en el dominio de los números reales el número −1 no existe. La forma de solucionar esta cuestión es definir otro tipo de números, que llamaremos complejos, de forma que ahora:

−1 =i

i se conoce como unidad compleja. Desde aquí, cualquier número se puede escribir

como

z=a+b i

donde a será la parte real del número z, y b su parte compleja (o imaginaria). Si b=0, decimos que el número es real puro. Estos son los números que acostumbramos a utilizar. Si a=0, el numero es imaginario puro.

Se define el modulo de z como ∣z∣=a2b2 , se definen las partes real e imaginaria

de z como

Re(z)=a Img(z)=b

A esta forma de escribir los números complejos ( z=(a,b) ó z=a+b), o se le llama Representación Binómica. Otras formas de representar los números complejos se basan a considerarlos como vectores, donde la dirección real y compleja son perpendiculares entre sí:

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Si z=a+b i

Representación trigonométrica: z= r cos + i rsen

Representación polar-exponencial: z=r e(i)

Combinando estas relaciones obtenemos que:

r=a2b2

= arctg b/a

a= r cos

b =r sen

e(i)=cos + i sen

A esta última relación se le conoce como la igualdad de Euler.

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Algunas operaciones y definiciones con números complejos:

Suma y resta, si z1=a +i b y z2=c + id

z1+z2 = (a+c) + i (b +d); z1-z2=(a-c)+i (b-d)

Producto y división

Si z1=r1 e(i) y z2=r2 e(i)

z1·z2=r1·r2 ei( )

z1/z2 =r1/r2 ei( )

Si z=a +i b, se define el complejo conjugado como z*= a � ib. En representación

exponencial, si z=r e(i) , entonces z*=r e(-i).

Utilizando el complejo conjugado se obtienen las siguientes relaciones:

|z|2=z·z* , Re(z)=(z+z*)/2 , Im(z)=(z-z*)/2Finalmente, algunas propiedades de la exponencial compleja que pueden ser de utilidad a lo largo del curso:

ei2 =1ei =-1

ei =i

ez+i2 =ez

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TRIGONOMETRÍA

Algunas relaciones trigonométricas que pueden ser de utilidad a lo largo del curso:

sen (90 � ) = cos α αcos (90 – ) = sen α αsen (180 – ) = sen α αcos (180 – ) = –cos α αsen 2 = 2 sen cos α α α

cos 2 = cosα 2 senα 2 αsen ( + ) = sen cos + cos sen α β α β α βsen ( ) = sen cos cos sen α β α β α βcos ( + ) = cos cos sen sen α β α β α βcos ( ) = cos cos + sen sen α β α β α β2 sen cos = sen ( + ) + sen ( – ); α β α β α β

2 sen2( ) = 1 – cos(2 ); α α

2 cos2( ) = 1 + cos(2 ); α αsen cos + sen cos = sen( + )Cos( ) α α β β α β α β

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senasenb=2sen ab2

cos a−b2

sena−senb=2cos ab2

sen a−b2

cosacosb=2cos ab2

cos a−b2

cosa−cosb=−2sen ab2

sen a−b2

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