solucionesproblemarioysoluciones/i... · isbn-978-607-9023-47-8 introduccion. el presente trabajo...
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ISBN-978-607-9023-47-8
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SOLUCIONES DEL PROBLEMARIO
Álgebra, Geometŕıa y Cálculo
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x
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y
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1
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f(x) =x√
x2 + 1
ĺımx→∞
x√x2 + 1
= ĺımx→∞
1√
1 + 1x2
= 1
Sea x = −t :
ĺımx→−∞
x√x2 + 1
= − ĺımt→∞
t√t2 + 1
= −1
R(n) = 1 +n(n + 1)
2≤ 2n
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`A
BC
D
E
•
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•
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D0
E0
D1
E1
D2
E2
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Di
Ei
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Dado que DE ‖ AC :
]ACB = ]CBE
y ]CAB = ]ABD
⇒ ]CBE = ]ABD
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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Área de Tecnoloǵıas Digitales en Educación Matemática
Susana Cristina Mart́ınez Sánchez
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ISBN-978-607-9023-47-8
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ISBN-978-607-9023-47-8
CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Área de Tecnoloǵıas Digitales en Educación Matemática
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PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:
SOL UC
I O NES
Álgebra, Geometŕıa y Cálculo
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Susana Cristina Mart́ınez Sánchez
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ISBN-978-607-9023-47-8
Soluciones del Problemario
Susana Cristina Mart́ınez Sánchez
Primera edición2017
D.R. c©Centro de Investigación yde Estudios Avanzados del I.P.N. (Cinvestav)Av. I.P.N. 250807360, Ciudad de Méxicowww.cinvestav.mx
EditorCinvestav-Departamento de Matemática Educativa,Av. I.P.N. 250807360, Ciudad de Méxicowww.matedu.cinvestav.mx
versión pdfISBN: 978-607-9023-47-8
Las denominaciones empleadas y la presentación del material en esta publicación no im-
plican la expresión de opinión alguna por parte del Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del I.P.N. (Cinvestav), sobre la condición juŕıdica de los territorios aqúı anali-
zados, o de sus autoridades, ni respecto de la delimitación de sus fronteras o ĺımites o sobre
su sistema económico o grado de desarrollo.
NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O
TRANSMITIDA MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO ELEC-
TRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA
GRABACIÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACIÓN Y
ALMACENAMIENTO DE INFORMACIÓN) SIN CONSENTIMIEN-
TO POR ESCRITO DEL TITULAR.
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ISBN-978-607-9023-47-8
Introducción.
El presente trabajo tiene por objetivo presentar las soluciones de la edición 2017de la colección de ejercicios y problemas compilados en el Problemario1, en cuyaintroducción se anuncia la elaboración del cien por ciento de dichas soluciones.
En primer lugar, no está por demás decir que una parte muy importante, en cuantoa aprendizaje se refiere, proviene del esfuerzo realizado por el estudiante por resol-ver cualesquiera de los problemas presentados, pues las dificultades que tenga en losintentos pueden dejar expuesta una simple necesidad de “desenpolvarse” o deficien-cias más serias que requieran acciones más asertivas. Es por esto que se exhorta alestudiante a realizar dicho esfuerzo.
Ahora bien, una vez que se hayan hecho intentos serios por resolver el o los problemaselegidos, la idea es proporcionar al estudiante alternativas con las que pueda compa-rar el trabajo que haya realizado. Por lo tanto, la intención es ofrecer un Solucionariocon explicaciones claras, ilustradas, cuando es posible, con figuras que ayuden a vi-sualizar mejor las ideas y cuando es necesario se hace referencia a apéndices que sehan incluido para exponer de manera un poco más amplia las teoŕıas, explicacioneso procedimientos en que se basan las soluciones.
A los doctores Jesús A. Riestra Velázquez y Gonzalo Zubieta Badillo un agradeci-miento muy especial por el importante apoyo que brindaron a la suscrita, por susvaliosas explicaciones y compartir sus conocimientos sin lo cual la meta hubiera sidoinalcanzable.
En pro de hacer continua la tarea de corregir y enriquecer este material a favor deofrecer siempre mejores versiones, se hace la atenta petición de hacer llegar al correode la suscrita los errores que se detecten y las dudas que surjan en cualesquiera delas respuestas, ya que dichas dudas pondŕıan de manifiesto que las explicaciones enla o las respuestas en cuestión no son suficientemente claras. Sus observaciones ycomentarios serán siempre bienvenidos y muy apreciados.
Susana C. Mart́ınez Sá[email protected]
1Obra editada en el 2003 por los doctores Ernesto Sánchez y Gonzalo Zubieta, la doctora Claudia
Acuña y Diana Maya, del Departamento de Matemática Educativa (DME) del Centro de Investiga-
ción y de Estudios Avanzados del IPN (Cinvestav).
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ISBN-978-607-9023-47-8
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ISBN-978-607-9023-47-8
Índice
Introducción V
I. Algebra 1
I.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3. Progresiones Aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4. Progresiones Geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.5. Progresiones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17I.6. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21I.7. Ecuaciones Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.8. Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.9. Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37I.10. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42I.11. Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48I.12. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.13. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I.14. Inducción Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69I.15. Ráıces de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
II. Geometŕıa 91
II.1. Nociones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91II.2. Congruencia de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92II.3. Desigualdad del Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98II.4. Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103II.5. Semejanza de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114II.6. Cı́rculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125II.7. Cuadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132II.8. Construcciones con regla y compás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
III. Cálculo Diferencial e Integral 149
III.1. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149III.1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149III.1.2. Propiedades de las Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150III.1.3. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151III.1.4. Graficación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158III.1.5. Aplicaciones: Funciones a través de problemas. . . . . . . . . 173III.1.6. La función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
III.2. Ĺımites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
vii
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III.2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180III.2.2. Ĺımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193III.2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III.3. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203III.3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203III.3.2. Reglas de Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213III.3.3. Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219III.3.4. Razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234III.3.5. Graficación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240III.3.6. Teorema de Rolle. Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . 251III.3.7. Regla de L’Hôpital. Derivada Impĺıcita . . . . . . . . . . . . . 255III.3.8. Máximos y Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261III.3.9. Diferencial y Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 268
III.4. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275III.4.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275III.4.2. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288III.4.3. Aplicaciones de la Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299III.4.4. Integral Impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317III.4.5. Teorema del Valor Medio y ĺımites de Integración variables . 320III.4.6. Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . 327III.4.7. Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A PEN DIC ES: 353
A1. Un método para calcular
n∑
k=1
kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A2. Algunas identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A3. Algunas identidades en Combinatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
A4. Operaciones en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
G1. Congruencia de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
G2. Desigualdad del Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
G3. Semejanza de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
G4. Cı́rculo: Teorema del ángulo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
viii
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ISBN-978-607-9023-47-8
G5. Cuadriláteros ćıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
C1. Ĺımites de sucesiones. Ĺımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
C2. Demostración: ĺımx→0
senx
x= 1 y ĺım
x→0
tanx
x= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
C3. Enunciados del Teorema de Rolle y del Teorema del Valor Medio . . . . . . 368
C4. La n-ésima derivada de f(x) = csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
C5. La n-ésima derivada de f(x) = arc sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
C6. Seno y coseno del arctan(x). Seno del arc cos(x) y coseno del arc sen(x) . 377
C7. Cálculo de
∫
sec xdx y de
∫
dx√x2 − 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
C8. ¿Cuándo u ◦ v es integrable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
C9. Algunas Propiedades de la Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
C10. Continuidad de una función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Bibliograf́ıa 387
ix
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ISBN-978-607-9023-47-8
I. Algebra
I.1. Razones
1. Sean p y q tales quep
q=
7
12y p = q − 275
Luego,7q
12= q − 275 → 7q = 12q − 3300 → q = 3300
5
Por lo tanto tenemos que:
p = 385 y q = 660
2. Sabemos quex
y=
3
4
Luego
7x− 4y3x + y
=
7x−4y
y
3x+y
y
=7x
y− 4
3xy
+ 1=
734− 4
334
+ 1=
21
4− 4
9
4+ 1
=5
13
Por lo tanto7x− 4y : 3x + y = 5 : 13
3. Queremos probar quea
des igual a:
√
a5 + b2c2 + a3c2
b4c + d4 + b2cd2(1)
Tenemos que
Sia
b=
b
centonces c =
b2
a(2)
Sib
c=
c
dentonces d =
c2
b(3)
1
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Sustituyendo (2) en (3):
d =b3
a2(4)
→ b3 = a2d (5)
Sustituyendo (2) y (4) en (1) obtenemos
√
a5 + b2c2 + a3c2
b4c + d4 + b2cd2=
√
√
√
√
a5 + b2(
b2
a
)2
+ a3(
b2
a
)2
b4(
b2
a
)
+(
b3
a2
)4
+ b2c(
b3
a2
)2
=
√
a5 + b6
a2+ ab4
b6
a+ b
12
a8+ b
10
a5
=
√
a7+b6+a3b4
a2
a7b6+b12+a3b10
a8
=
√
a6(a7 + b6 + a3b4)
b6(a7 + b6 + a3b4)=
a3
b3
Sustituyendo (5) en esta última expresión obtenemos:
a3
b3=
a3
a2d=
a
d
Por lo tanto√
a5 + b2c2 + a3c2
b4c + d4 + b2cd2=
a
d
4. Tenemos que
y =r + p− qq + r − p · x (6)
z =p + q − rq + r − p · x (7)
Queremos demostrar que
(q − r)x + (r − p)y + (p− q)z = 0 (8)
2
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Sustituyendo (6) y (7) en (8):
(q − r)x + (r − p)r + p− qq + r − px + (p− q)
p + q − rq + r − px
= x
[
(q − r) + (r − p)r + p− qq + r − p + (p− q)
p + q − rq + r − p
]
= x
[
(q − r)(q + r − p) + (r − p)(r + p− q) + (p− q)(p + q − r)q + r − p
]
= xq+r−p
[
(q−r)(q+r)−p(q−r)+(r−p)(r + p)−q(r−p)+(p−q)(p+q)−r(p−q)]
= xq+r−p
[
q2 − r2 − pq + pr + r2 − p2 − qr + qp + p2 − q2 − rp + rq]
= xq+r−p
[
(q2 − q2) + (r2 − r2) + (p2 − p2) + (qp− pq) + (pr − rp) + (rq − qr)]
=x
q + r − p ·[
0]
= 0
I.2. Proporciones
5. a) 3 : 5 = 27 : x → 3x = (27)(5) → x = 45b) 6
x= x
24→ x2 = (24)(6) = 144 → x = 12
c)x
y+
y
x:x
y=
x
y: z → z
[
x
y+
y
x
]
=x2
y2→ z = x
2
y2
[
xy
x2 + y2
]
Por lo tanto: z =x
3
x2y + y3
6. Tenemos que ad = bc. Sumando ab en ambos lados de la ecuación obtenemos:
ab + ad = ab + bc → a(b + d) = b(a + c) → ab
=a + c
b + d
Luego, elevando al cuadrado ambos lados:
[
a
b
]2
=
[
a + c
b + d
]2
→ a2
b2=
(a + c)2
(b + d)2
3
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Comoa
b=
c
dentonces
a2
b2=
a
b· cd
=(a + c)2
(b + d)2
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por(a + c)
(b + d)
ac
bd· (a + c)(b + d)
=(a + c)2
(b + d)2· (a + c)(b + d)
Luego,a2c + ac2
b2d + bd2=
(a + c)3
(b + d)3
7. Sean a, b, c y d cuatro números proporcionales tales que
a
b=
c
d→ ad = bc (9)
a + d = 21 → d = 21− a (10)
b + c = 19 → c = 19− b (11)
a2 + b2 + c2 + d2 = 442 (12)
Sustituyendo (10) y (11) en (12):
a2 + b2 + (19− b)2 + (21− a)2 = 442
→ a2 + b2 + (361− 38b + b2) + (441− 42 + a2) = 442→ a2 − 21a + b2 − 19b + 180 = 0 (13)
Por otro lado, sustituyendo (10) y (11) en (9):
a(21− a) = b(19− b) → a2 − 21a = b2 − 19b (14)
Sustituyendo (14) en (13)
2(a2 − 21a) + 180 = 0 → a2 − 21a + 90 = 0 → a = 152(b2 − 19b) + 180 = 0 → b2 − 19b + 90 = 0 → b = 10
4
-
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Sustitúımos a = 15 y b = 10 en (10) y (11) obtenemos:
d = 21− 15 → d = 6c = 19− 10 → c = 9
En resumen, tenemos que
a = 15
b = 10
c = 9
d = 6
8. Tomamos a litros del barril A y b litros del barril B. Como la mezcla final seráde 6+27 litros, entonces
a + b = 33
Sea a = p + q y b = r + s donde p y r son litros de jerez de clase 1, y q y s sonlitros del de clase 2. Luego
a + b = p + q + r + s = 33 (15)
Por otro lado, sabemos que
p
q=
2
7y
r
s=
1
5(16)
y lo que buscamos es quep + r
q + s=
6
27=
2
9
A partir de (15) y del hecho de que pq
= 27
tenemos que:
p + q + r + s
q=
33
q→ p
q+ 1 +
r
q+
s
q=
9
7+
1
qr +
1
qs =
33
q
En esta última expresión, dividimos ambos lados de la ecuación entre s y apli-caremos el hecho de que r
s= 1
5:
9
7s+
1
q
r
s+
1
q
s
s=
9
7s+
1
5q+
1
q=
9
7s+
6
5q=
33
qs
Luego,45q + 42s
35qs=
33
qs→ 15q + 14s = 385
5
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ISBN-978-607-9023-47-8
Como q + s = 27 (s = 27− q) tenemos que
15q + 14(27− q)s = 15q + 378 − 14q = 385 → q = 7 → s = 20
Sustituyendo estos valores en (16) obtenemos que p = 2 y r = 4. Calculamosentonces a = p + q = 2 + 7 = 9 y b = r + s = 4 + 20. Luego
Hay que tomar 9 litros del barril A y 24 del B.
9. Tenemos x litros de vino, x la capacidad del barril. Se sustraen del barril 9`de vino, esto implica que
x ≥ 9Nos quedan entonces en el barril (x− 9)` de vino a los que se les añaden 9` deagua. Nos queda entonces una mezcla de vino y agua cuya razón es
agua : vino = 9 : (x− 9)
Se sustraen 9` de esta mezcla. Si a es la cantidad de agua en esos 9` de mezcla,entonces 9− a es la cantidad de vino en ellos. Por lo tanto
9
x− 9 =a
9− a → 9(9− a) = a(x− 9)
→ 81− 9a = ax− 9a → 81 = ax → a = 81x
Se añaden 9` más de agua. Aśı, el total de agua añadida es
9− 81x
+ 9 = 18− 81x
y, por lo tanto, el vino que queda es:
x−(
18− 81x
)
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Luego,
vino que queda
agua añadida=
x− 9(
2− 9x
)
9(
2− 9x
) =16
9
→ x2
2x− 9 − 9 = 16 →x2
2x− 9 = 25
→ x2 − 25(2x − 9) = 0
→ x2 − 50x + 225 = (x− 45)(x − 5) = 0
→ x = 45 ó x = 5
Pero sabemos que x ≥ 9 ; por lo tanto, la solución es x = 45, es decir, el barriltiene capacidad de 45`.
I.3. Progresiones Aritméticas
Se dice que una serie de números está en progresión aritmética cuando cada uno de
sus términos es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia de la
progresión.
10. a) a1 = 49, a2 = 44 → d = a2 − a1 = 44− 49 = −5. Luego,
a17 = a1 + (17− 1)d = 49 + 16(−5) = 49− 80 = −31
S17 =17(49 − 31)
2= 153
b) a1 =3
4, a2 =
2
3→ d = a2 − a1 = 23 − 34 = − 112 . Luego,
a19 = a1 + (19− 1)d =3
4+ 18
(
− 112
)
=3
4− 3
2= −3
4
S19 =17(3
4− 3
4)
2= 0
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c) a1 = −152 , a2 = −7 → d = a2 − a1 = −142 + 152 = 12 . Luego,
a24 = a1 + (24− 1)d = −15
2+ 23 · 1
2= −15
2+
23
2= 4
S24 =24(−15
2+ 4)
2= 12
(
−72
)
= −42
d) a1 =6√
3, a2 = 3
√3 → d = a2−a1 = 3
√3− 6√
3= 9−6√
3=√
3. Luego,
a50 = a1 + (50− 1)d =6√3
+ 49√
3 =153√
3
S50 =50( 6√
3+ 153√
3)
2= 1325
√3
11. Tenemos que a1 = 2 y an = 29. Entonces,
Sn =n(2 + 29)
2= 155 → n = 155 ∴ n = 10
Luego, con n = 10 y an = a10 = 29 tenemos
a10 = a1 + (10− 1)d = 2 + 9d = 29 → 9d = 27 ∴ d = 3.
12. Sean a1, a2 y a3 tres números en progresión aritmética. Tenemos que
a1 + a2 + a3 = 27 y a1 · a2 · a3 = 504.
Por otro lado tenemos que
S3 =3(a1 + a3)
2= 27 → a1 + a3 = 18 ∴ a2 = 9
Sustituyendo esto en el producto de los tres números tenemos que:
a1 · (9) · a3 = 504 → a1 · a3 =504
9= 56
Aśı, buscamos dos números que sumados dan 18 y multiplicados 56:
14 + 4 = 18 y 14× 4 = 56.Entonces,
a1 = 4, a2 = 9 y a3 = 14
los cuales están en progresión aritmética con d = 5 y podemos constatar que
4 + 9 + 14 = 27 y (4)(9)(14) = 504.
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13. Si an =n
a+ b entonces
a1 =1
a+ b y ap =
p
a+ b
Luego,
Sp =p(a1 + ap)
2=
p( 1a
+ b + pa
+ b)
2=
p
2
(
p + 1
a+ 2b
)
14. Tenemos que
d = a2 − a1 =1
1− x −1
1 +√
x=
√x
1− xPodemos entonces calcular an:
an = a1 + (n− 1)d
=1
1 +√
x+ (n− 1)
√x
1− x
=1 + (n− 2)√x
1− xLuego,
Sn =n(a1 + an)
2=
n
(
1
1+√
x+ 1+(n−2)
√
x
1−x
)
2
=n
2
(
1
1 +√
x+
1 + (n− 2)√x1− x
)
=n
2
(
2 + (n− 3)√x1− x
)
I.4. Progresiones Geométricas
Se dice que una serie de números está en progresión geométrica cuando cada uno de sus
términos es igual al anterior multiplicado por un factor constante.
15. a) Tenemos que:1
3= r · 1
2→ r = 2
3. Luego,
S7 =
1
2
[
(
2
3
)7 − 1]
2
3− 1 =
3
2
[
1−(
2
3
)7]
=3
2−(
2
3
)6
≈ 1.4122
9
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b) Tenemos que: −4 = r · 2 → r = −2. Luego,
S10 =2 [(−2)10 − 1]
−3 =2(1024 − 1)−3 = −682
c) Tenemos que:√
3 = r · 1 → r =√
3. Luego,
S12 =1[
(√
3)12 − 1]
√3− 1
= 364(√
3 + 1) ≈ 994.47
d) Tenemos que: −2 = r ·(
− 1√2
)
→ r = 2√
2. Luego,
S7 =− 1√
2
[
(2√
2)7 − 1]
2√
2− 1=
1− (2√
2)7
4−√
2≈ −560.04
16. Tenemos que S6 = 9S3 , entonces:
a1(r6 − 1)
r − 1 = 9a1(r
3 − 1)r − 1
→ r6 − 1 = 9(r3 − 1) → r6 − 1
r3 − 1 = 9
→ r3 + 1 = 9 → r3 = 8 ∴ r = 2
17. Tenemos que a5 = 81 y a2 = 24 . Como an = rn−1 · a1 , tenemos que:
a1 =81
r4y a1 =
24
r
Luego,81
r4=
24
r→ r3 = 81
24=
27
8∴ r =
3
2
Como an = r · an−1 , tenemos la serie:
a1 = 16 , a2 = 24 , a3 = 36 , a4 = 54 , a5 = 81 , . . .
18. Tenemos que a1 = 7 , an = 448 y Sn = 889 . Luego,
Sn =a1(r
n − 1)r − 1 =
7(rn − 1)r − 1 = 889 (17)
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Y también tenemos que
an = a1 · rn−1 = 7 · rn−1 = 448 ∴ rn−1 = 64 (18)
De (17) se sigue que:
rn − 1r − 1 = 127 → r
n − 1 = 127(r − 1) → r · rn−1 − 1 = 127(r − 1)
Sustituyendo (18) en esta última expresión:
64r − 1 = 127r − 127 → 127r − 64r = 126 → r = 12663
∴ r = 2
19.2 Tenemos que n términos son:
1 + 2a + 3a2 + 4a3 + · · · + nan−1 =n
∑
k=1
k · ak−1
Observemos que
1·a0 + 2 · a1 + 3 · a2 + 4 · a3 + · · · + n · an−1= a0 + (a1 + a1) + (a2 + a2 + a2) + (a3 + a3 + a3 + a3) + · · ·
lo cual vamos a disponerlo de la siguiente manera:
a0 + a1 + a2 + a3 + · · · + an−1a1 + a2 + a3 + · · · + an−1
a2 + a3 + · · · + an−1a
3 + · · · + an−1...
+ an−1
= a0 + 2a1 + 3a2 + 4a3 + · · · + n · an−1
Observemos que la suma por columnas nos da el total de la serie original. Ahorabien, vamos a definir Ai como la suma de los elementos del i-ésimo renglón delarreglo, es decir:
2Solución elaborada con sugerencias del Dr. Riestra.
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A0 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an−1
A1 = a1 + a2 + a3 + a4 + · · · + an−1
A2 = a2 + a3 + a4 + · · · + an−1
A3 = a3 + a4 + · · · + an−1
...An−2 = a
n−2 + an−1
An−1 = an−1
de tal forma que:n
∑
k=1
k · ak−1 =n−1∑
i=0
Ai
Observemos que A0 es una progresión geométrica cuyo factor es a y cuyoprimer elemento es a0 = 1; aśı tenemos:
A0 =n−1∑
k=0
ak = a0
(
1 − an1 − a
)
=1 − an1 − a
y observemos también que:
A1 = A0 − [a0]A2 = A0 − [a0 + a1]A3 = A0 − [a0 + a1 + a2]A4 = A0 − [a0 + a1 + a2 + a3]
...
An−1 = A0 − [a0 + a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−2]
donde, a su vez, en cada renglón los corchetes encierran un cierto número de lostérminos de la progresión geométrica. Por ejemplo, los corchetes del el i-ésimorenglón encierran i términos:
Ai = A0 − [a0 + a1 + a2 + a3 + · · · + ai−1] =1 − an1 − a −
[
1 − ai1 − a
]
con lo cual podemos entonces plantear lo siguiente:
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A0 =1 − an1 − a −
1 − a01 − a
A1 =1 − an1 − a −
1 − a11 − a
A2 =1 − an1 − a −
1 − a21 − a
...
An−1 =1 − an1 − a −
1 − an−11 − a
Luego:
n−1∑
i=0
Ai =
n−1∑
i=0
(
1 − an1 − a −
1 − ai1 − a
)
=
n−1∑
i=0
1 − an1 − a −
n−1∑
i=0
1 − ai1 − a
= n
(
1 − an1 − a
)
− 11 − a ·
n−1∑
i=0
(1− ai) =�
��n
1 − a −n·an1 − a −��
�n
1 − a +1
1− a ·n−1∑
i=0
ai
= − n·an
1 − a +1
1 − a ·1 − an1 − a =
1 − an(1− a)2 −
n·an1 − a =
n · an+1 − (n + 1) · an + 1(1− a)2
En resumen:
1+2a+3a2+4a3+· · ·+nan−1 =n
∑
k=1
k·ak−1 =n−1∑
i=0
Ai =n · an+1 − (n + 1) · an + 1
(1 − a)2
luego:
1 + 2a + 3a2 + 4a3 + · · · + nan−1 = nan+1 − (n + 1)an + 1
(1 − a)2
20. En forma análoga a la solución del ejercicio anterior, veamos que n términosson:
1
20+
2
21+
3
22+
4
23+
5
24+ · · · + n
2n−1
=1
20+
(
1
21+
1
21
)
+
(
1
22+
1
22+
1
22
)
+
(
1
23+
1
23+
1
23+
1
23
)
+ · · ·
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lo cual podemos disponerlo de la siguiente manera:
R0 :1
20+ 1
21+ 1
22+ 1
23+ · · · + 1
2n−1
R1 :1
21+ 1
22+ 1
23+ · · · + 1
2n−1
R2 :1
22+ 1
23+ · · · + 1
2n−1
R3 :1
23+ · · · + 1
2n−1
...
Rn−1 :1
2n−1
n−1∑
k=0
Rk =1
20+ 2
21+ 3
22+ 4
23+ · · · + n
2n−1
es decir,
n∑
k=1
k ·(
1
2
)
k−1
=n−1∑
i=0
Ri
Por otro lado, la progresión geométrica:
1
21,
1
22,
1
23, . . . ,
1
2n−1
tiene factor r = 12
y su primer elemento es a1 =1
2.
Por lo tanto tenemos que:
Sn−1 =1
2·[
1 −(
1
2
)
n−1
1 − 12
]
= 1 − 12n−1
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Entonces:
R0 = 1 +
(
1− 12n−1
)
R1 =
(
1− 12n−1
)
R2 =
(
1− 12n−1
)
−[
1
21
]
R3 =
(
1− 12n−1
)
−[
1
21+
1
22
]
R4 =
(
1− 12n−1
)
−[
1
21+
1
22+
1
23
]
...
Rn−1 =
(
1− 12n−1
)
−[
1
21+
1
22+
1
23+ · · ·+ 1
2n−2
]
De donde obtenemos que:
R0 = 1 +
(
1− 12n−1
)
R1 =
(
1− 12n−1
)
R2 =
(
1− 12n−1
)
−[
1− 121
]
R3 =
(
1− 12n−1
)
−[
1− 122
]
R4 =
(
1− 12n−1
)
−[
1− 123
]
...
Rn−1 =
(
1− 12n−1
)
−[
1− 12n−2
]
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Aśı,
n−1∑
i=0
Ri = 1 + n ·(
1− 12n−1
)
− (n− 2) +(
1− 12n−2
)
= 1 + n− n2n−1
− n + 2 + 1− 12n−2
= 4− n + 22n−1
Luego,n∑
k=1
k
2k−1=
1
20+
2
21+
3
22+
4
23+ · · ·+ n
2n−1= 4− n + 2
2n−1
21.3 Sean a y b números reales tales que a ≥ 0 y b ≥ 0. Si el doble de su mediageométrica es igual a su media aritmética tenemos que:
2√
ab =a + b
2→ 4ab = (a + b)
2
4→ 16ab = a2 + 2ab + b2
→ a2 − 14ab + b2 = 0 → a2 − 14ab + b2
b2=
0
b2
∴
(
a
b
)2
− 14(
a
b
)
+ 1 = 0 (19)
Aśı, vemos que llegamos a una ecuación cuadrática; vamos entonces a calcularsus ráıces:
a
b=
14±√
142 − 42
= 7± 4√
3 =
{
7 + 4√
3 = (2 +√
3)2
7− 4√
3 = (2−√
3)2
pues observemos que (2±√
3)2 = 4± 4√
3 + 3 = 7± 4√
3. Luego, las ráıces dela ecuación cuadrática (19) son:
a
b= (2 +
√3)2 y
a
b= (2−
√3)2
Como (2 +√
3)(2−√
3) = 1, para la primera de estas ráıces tenemos que:
a
b=
(2 +√
3)2
1=
(2 +√
3)(2 +√
3)
(2−√
3)(2 +√
3)=
(2 +√
3)
(2−√
3)→ a : b = (2+
√3) : (2−
√3)
3Solución elaborada con explicaciones del Dr. Riestra.
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Y con la segunda ráız:
a
b=
(2−√
3)2
1=
(2−√
3)(2−√
3)
(2−√
3)(2 +√
3)=
(2−√
3)
(2 +√
3)→ a : b = (2−
√3) : (2+
√3)
es decir, con esta ráız llegamos a que b : a = (2 +√
3) : (2−√
3), lo quesignifica que a y b guardan esa misma proporción.
I.5. Progresiones Armónicas
Se dice que tres números a , b y c están en progresión armónica cuando:
a
c=
a− bb− c
22. Sea a1, a2, . . . , ai, ai+1, . . . , an una progresión armónica. Por lo tanto se cum-ple que
ai
ai+2=
ai − ai+1ai+1 − ai+2
(20)
Por otro lado, la progresión
1
a1,
1
a2, . . . ,
1
ai,
1
ai+1, . . . ,
1
an
es una progresión aritmética si se cumple que
1
ai+1− 1
ai=
1
ai+2− 1
ai+1(21)
Partiendo de la igualdad (20) tenemos que
ai − ai+1 =ai
ai+2(ai+1 − ai+2)
→ ai − ai+1 =ai
ai+2· ai+1ai+1
(ai+1 − ai+2)
→ ai − ai+1ai · ai+1
=(ai+1 − ai+2)ai+1 · ai+2
→ 1ai+1
− 1ai
=1
ai+2− 1
ai+1
17
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Podemos ver que llegamos a la igualdad (21). Luego, la progresión de los rećı-procos
1
a1,
1
a2, . . . ,
1
ai,
1
ai+1, . . . ,
1
an
donde a1, a2, . . . , ai, ai+1, . . . , an es una progresión armónica, es una progre-sión aritmética.
23. Queremos cuatro términos de la progresión armónica: 5, a2, a3, 11. Sabemosque la progresión
1
5,
1
a2,
1
a3,
1
11
es aritmética. Entonces:
1
a2=
1
5+ d ;
1
a3=
1
5+ 2d y
1
11=
1
5+ 3d
→ 3d = 111− 1
5= − 6
55∴ d = − 2
55
Luego,
1
a2=
1
5− 2
55=
9
55∴ a2 =
55
9
1
a3=
1
5− 4
55=
7
55∴ a3 =
55
7
Aśı, la progresión armónica es
5,55
9,
55
7, 11
24. Queremos seis términos de la progresión armónica:
2
3, a2, a3, a4, a5,
2
13
Sabemos que la progresión
3
2,
1
a2,
1
a3,
1
a4,
1
a5,
13
2
18
-
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es aritmética. Entonces:
1
a2=
3
2+ d ;
1
a3=
3
2+ 2d ;
1
a4=
3
2+ 3d ;
1
a5=
3
2+ 4d
y13
2=
3
2+ 5d → 5d = 13
2− 3
2= 5 ∴ d = 1
Luego,
1
a2=
3
2+ 1 =
5
2;
1
a3=
3
2+ 2 =
7
2;
1
a4=
3
2+ 3 =
9
2;
1
a5=
3
2+ 4 =
11
2
Aśı, la progresión armónica es
2
3,
2
5,
2
7,
2
9,
2
11,
2
13
25. Si a , b , c están en progresión armónica, entonces
1
a,
1
b,
1
c
están en progresión aritmética, por lo tanto
1
b− 1
a=
1
c− 1
b→ a− b
ab=
b− cbc
→ c(a− b) = a(b− c)
→ ac− bc = ab− ac→ ac− bc− ab = −ac→ a2 − ac = a2 − ab + ac− bc (se suma a2 en ambos lados de la ecuación)
→ a(a− c) = (a + c)(a− b) → aa− b =
a + c
a− c∴ a : (a− b) = (a + c)(a− c)
26. Si b es el medio armónico entre a y c entonces
1
a,
1
b,
1
c
es una progresión aritmética, por lo tanto:
1
b=
1
a+ d (22)
1
c=
1
a+ 2d → d = 1
2
(
1
c− 1
a
)
19
-
ISBN-978-607-9023-47-8
Sustituyendo esto último en (22):
1
b=
1
a+
1
2
(
1
c− 1
a
)
=1
2
(
1
a+
1
c
)
=a + c
2ac
→ b = 2aca + c
→ b(a + c) = 2ac → 2ac− ab− bc = 0
Sumando b2 − ac en ambos lados de esta última igualdad obtenemos:
b2 − ac + 2ac− ab− bc = b2 − ac
→ b2 + ac− ab− bc = b2 − ac + ab− ab→ (b2 − ab) + (ac− bc) = (ab− ac) + (b2 − ab)→ b(b− a)− c(b− a) = a(b− c) + b(b− a)→ (b− a)(b− c) = a(b− c) + b(b− a)
→ a(b− c) + b(b− a)(b− a)(b− c) =
a
b− a +b
b− c = 1
→ ab− a +
b + a− ab− c =
a
b− a +a− (a− b)
b− c = 1
luego,a
b− a +a
b− c −a− bb− c = 1 (23)
Ahora bien, como a , b , y c están en progresión armónica, es cierto que
a
c=
a− bb− c
Sustituyendo esto en (23) tenemos:
a
b− a +a
b− c −a
c= 1 → 1
b− a +1
b− c −1
c=
1
a
∴1
b− a +1
b− c =1
a+
1
c
Que es lo que se queŕıa demostrar.
20
-
ISBN-978-607-9023-47-8
I.6. Series
27. a) Tenemos que: Sn =1
1(2)+
1
2(3)+
1
3(4)+ · · ·+ 1
n(n + 1). Por fracciones
parciales tenemos que:
1
k(k + 1)=
1
k− 1
k + 1
Luego,
n∑
k=1
1
k(k + 1)=
n∑
k=1
[
1
k− 1
k + 1
]
=
(
1
1− 1
2
)
+
(
1
2− 1
3
)
+
(
1
3− 1
4
)
+ · · ·+(
1
n− 1
n + 1
)
Quitando paréntesis y reduciendo por términos semejantes nos queda:
Sn = 1−1
n + 1=
n
n + 1
b) Tenemos que: Sn =1
1(4)+
1
4(7)+
1
7(10)+ · · · + 1
(3n− 2)(3n + 1) yvemos que:
1
(3n − 2)(3n + 1) =1
3
[
1
3k − 2 −1
3k + 1
]
Luego,
n∑
k=1
1
(3n − 2)(3n + 1)
=1
3
n∑
k=1
[
1
3k − 2 −1
3k + 1
]
=
(
1
1− 1
2
)
+
(
1
2− 1
3
)
+
(
1
3− 1
4
)
+ · · · +(
1
n− 1
n + 1
)
Quitando paréntesis y reduciendo términos:
Sn =1
3
[
1− 13n + 1
]
=n
3n + 1
21
-
ISBN-978-607-9023-47-8
c) Tenemos que:
Sn =1
1(4)(7)+
1
4(7)(10)+
1
7(10)(13)+ · · ·+ 1
(3n − 2)(3n + 1)(3n + 4)y vemos que:
1
(3n − 2)(3n + 1)(3n + 4) =1
3n + 1
[
1
(3n− 2)(3n + 4)
]
=1
3n + 1
[
1
(3n − 2) −1
(3n + 4)
]
· 16
=1
6
[
1
(3n− 2)(3n + 1) −1
(3n + 1)(3n + 4)
]
=1
18
(
1
(3n − 2) −1
(3n + 1)
)
− 118
(
1
(3n + 1)− 1
(3n + 4)
)
Aśı,
Sn =n∑
k=1
1
(3n− 2)(3n + 1)(3n + 4)
=1
18
n∑
k=1
(
1
(3n − 2) −1
(3n + 1)
)
− 118
n∑
k=1
(
1
(3n + 1)− 1
(3n + 4)
)
=1
18
[(
1− 14
)
+
(
1
4− 1
7
)
+
(
1
7− 1
10
)
+ · · ·+(
1
3n− 2−1
3n + 1
)]
− 118
[(
1
4− 1
7
)
+
(
1
7− 1
10
)
+
(
1
10− 1
13
)
+ · · ·+(
1
3n + 1− 1
3n + 4
)]
Quitando paréntesis y reduciendo términos nos queda:
Sn =1
18
(
1− 13n + 1
)
− 118
(
1
4− 1
3n + 4
)
=1
6
(
n
3n + 1
)
− 124
(
n
3n + 4
)
=n
6
[
1
3n + 1− 1
4(3n + 4)
]
=n
6
[
3(3n + 5)
4(3n + 1)(3n + 4)
]
∴ Sn =n(3n + 5)
8(3n + 1)(3n + 4)
22
-
ISBN-978-607-9023-47-8
d) Tenemos que: Sn =1
1 · 2 · 3 +1
2 · 3 · 4 +1
3 · 4 · 5 + · · ·+1
n(n + 1)(n + 2)y vemos que:
1
n(n + 1)(n + 2)=
1
n + 1
[
1
n(n + 2)
]
=1
n + 1
[
1
n− 1
n + 2
]
· 12
=1
2
[
1
n(n + 1)− 1
(n + 1)(n + 2)
]
=1
2
[(
1
n− 1
n + 1
)
−(
1
n + 1− 1
n + 2
)]
Entonces,
Sn =n∑
k=1
1
n(n + 1)(n + 2)=
1
2
n∑
k=1
[(
1
n− 1
n + 1
)
−(
1
n + 1− 1
n + 2
)]
=1
2
[(
1− 12
)
+
(
1
2− 1
3
)
+
(
1
3− 1
4
)
+ · · ·+(
1
n− 1
n + 1
)]
− 12
[(
1
2− 1
3
)
+
(
1
3− 1
4
)
+
(
1
4− 1
5
)
+ · · ·+(
1
n + 1− 1
n + 2
)]
Quitando paréntesis y reduciendo términos nos queda:
Sn =1
2
[(
1− 1n + 1
)
−(
1
2− 1
n + 2
)]
=1
2
(
n
n + 1− n
2(n + 2)
)
=n
2
(
1
n + 1− 1
2(n + 2)
)
=n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2)
∴ Sn =n(n + 3)
4(n + 1)(n + 2)
23
-
ISBN-978-607-9023-47-8
28. a) Tenemos que:
1 · 2 · 3 · 4 + 2 · 3 · 4 · 5 + 3 · 4 · 5 · 6 + · · ·+ n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
=
n∑
k=1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) =
n∑
k=1
(k4 + 6k3 + 11k2 + 6k)
=n∑
k=1
k4 + 6
n∑
k=1
k3 + 11
n∑
k=1
k2 + 6
n∑
k=1
k
Luego, (ver apéndice A1)
=
(
1
5n
5 +1
2n
4 +1
3n
3 − 130
n
)
+ 6
(
1
4n
4 +1
2n
3 +1
4n
2
)
+ 11
(
1
3n
3 +1
2n
2 +1
6n
)
+ 6
(
1
2n
2 +1
2n
)
=1
5n
5 +
(
1
2+
3
2
)
n4 +
(
1
3+ 3 +
11
3
)
n3 +
(
3
2+
11
2+ 3
)
n2
+
(
− 130
+11
6+ 3
)
n
=1
5n
5 + 2n4 + 7n3 + 10n2 +24
5n =
n
5
(
n4 + 10n3 + 35n2 + 50n + 24
)
=n
5(n + 1)
(
n3 + 9n2 + 26n + 24
)
=n
5(n + 1)(n + 2)
(
n2 + 7n + 12
)
=n
5(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
∴
n∑
k=1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) =n
5(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)
b) Tenemos que:
1 · 4 · 7 + 2 · 5 · 8 + 3 · 6 · 9 + · · ·+ n(n + 3)(n + 6)
=n∑
k=1
k(k + 3)(k + 6) =n∑
k=1
(k3 + 9k2 + 18k) =n∑
k=1
k3 + 9
n∑
k=1
k2 + 18
n∑
k=1
k
24
-
ISBN-978-607-9023-47-8
Luego, (ver apéndice A1)
=
(
1
4n
4 +1
2n
3 +1
4n
2
)
+ 9
(
1
3n
3 +1
2n
2 +1
6n
)
+ 18
(
1
2n
2 +1
2n
)
=1
4n
4 +7
2n
3 +55
4n
2 +21
2n =
n
4(n + 1)(n + 6)(n + 7)
∴
n∑
k=1
k(k + 3)(k + 6) =n
4(n + 1)(n + 6)(n + 7)
c) Tenemos que:
1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 10 + 3 · 7 · 11 + · · ·+ n(n + 4)(n + 8) =n∑
k=1
k(k + 4)(k + 8)
Ahora bien:
n∑
k=1
k(k + 4)(k + 8) =
n∑
k=1
(k3 + 12k2 + 32k) =
n∑
k=1
k3 + 12
n∑
k=1
k2 + 32
n∑
k=1
k
Y tenemos que (ver apéndice A1):
n∑
k=1
k3 + 12
n∑
k=1
k2 + 32
n∑
k=1
k
=1
4
(
n4 + 2n3 + n2
)
+12
6
(
2n3 + 3n2 + n)
+32
2
(
n2 + n
)
=n
4
(
n3 + 18n2 + 89n + 72
)
=n
4(n + 1)
(
n2 + 17n + 72
)
=n
4(n + 1)(n + 8)(n + 9)
∴
n∑
k=1
k(k + 4)(k + 8) =n
4(n + 1)(n + 8)(n + 9)
25
-
ISBN-978-607-9023-47-8
d) Tenemos que:
1 · 3 · 22 + 2 · 4 · 32 + 3 · 5 · 42 + · · ·+ n(n + 2)(n + 1)2
=
n∑
k=1
k(k + 2)(k + 1)2 =
n∑
k=1
(k4 + 4k3 + 5k2 + 2k)
=n∑
k=1
k4 + 4
n∑
k=1
k3 + 5
n∑
k=1
k2 + 2
n∑
k=1
k
Luego, (ver apéndice A1)
=1
5n
5 +1
2n
4 +1
3n
3 − 130
n + n4 + 2n3 + n2 +5
3n
3 +5
2n
2 +5
6n + n2 + n
=1
5n
5 +3
2n
4 + 4n3 +9
2n
2 +9
5n =
n
10
(
2n4 + 15n3 + 40n2 + 45n + 18)
=n
10(n + 1)
(
2n3 + 13n2 + 27n + 18)
=n
10(n + 1)(n + 2)
(
2n2 + 9n + 9)
=n
10(n + 1)(n + 2)(n + 3)(2n + 3)
∴
n∑
k=1
k(k + 2)(k + 1)2 =n
10(n + 1)(n + 2)(n + 3)(2n + 3)
I.7. Ecuaciones Cuadráticas
29. a)
(
x +4
5
)(
x− 37
)
= 0 → (5x + 4)(7x − 3) = 0
∴ 35x2 + 13x − 12 = 0
b)(
x− mn
)(
x +n
m
)
= 0 → (nx−m)(mx + n) = 0
∴ mnx2 + (n2 −m2)x−mn = 0
26
-
ISBN-978-607-9023-47-8
c)(
x− 7 + 2√
5) (
x− 7− 2√
5)
= 0 → (x− 7)2 − (2√
5)2 = 0
→ (x− 7)2 − 20 = 0 ∴ x2 − 14x + 29 = 0
d)
(
x− p− qp + q
)(
x +p + q
p− q
)
= 0
→ [(p + q)x− (p− q)] [(p− q)x + (p + q)] = 0
→ (p2 − q2)x2 + [(p + q)2 − (p− q)2]x− (p2 − q2) = 0
→ (p2 − q2)x2 + 4pqx− (p2 − q2) = 0
Con a2 = p2 − q2, a1 = 4pq y a0 = q2 − p2, tenemos la ecuación:
a2 x2 + a1 x + a0 = 0
30. Si el discriminante de una ecuación cuadrática es cero, entonces ésta tiene so-lución única (ráız de multiplicidad 2). Tenemos la ecuación cuadrática:
x2 − 15−m(2x− 8) = 0
donde a = 1, b = −2m y c = 8m− 15 y su discriminante es
b2 − 4ac = 4m2 − 4(1)(8m− 15)
= 4m2 − 32m + 60 = 4(m2 − 8m− 15)= 4(m− 5)(m− 3)
Luego, hay dos posibilidades de que el discriminante sea cero y que, por lo tanto,la ecuación cuadrática tenga una única solución:
- Con m = 5 tenemos: x2− 10x + 25 = 0 → (x− 5)2 = 0 ∴ x = 5- Con m = 3 tenemos: x2− 6x + 9 = 0 → (x− 3)2 = 0 ∴ x = 3
31. Supongamos que r1 y r2 son las ráıces de la ecuación cuadrática:
x2 − bxax− c =
m− 1m + 1
(24)
Queremos encontrar m tal que r1 = −r2 . Lo que necesitamos entonces es quela ecuación (24) sea una diferencia de cuadrados. Tenemos que:
27
-
ISBN-978-607-9023-47-8
(24)−→ x2 − bx =(
m− 1m + 1
)
· (ax− c)
→ x2 − bx =(
m− 1m + 1
)
· ax−(
m− 1m + 1
)
· c
→ x2 − bx− a(
m− 1m + 1
)
· x + c(
m− 1m + 1
)
= 0
→ x2 −[
b + a
(
m− 1m + 1
)]
· x + c(
m− 1m + 1
)
= 0
Sea B =
[
b + a
(
m− 1m + 1
)]
y C = c
(
m− 1m + 1
)
. Tenemos entonces:
x2 − Bx + C = 0 → x2 −Bx + C + B
2
4− B
2
4= 0
→(
x2 − Bx + B
2
4
)
−(
B2
4− C
)
= 0
→(
x− B2
)
2
−(
B2
4− C
)
= 0
Sea D2 =B2
4− C, entonces:
(
x− B2
)
2
−(
B2
4− C
)
=
(
x− B2
)
2
−D2 = 0
Por lo tanto:[(
x− B2
)
−D] [(
x− B2
)
+ D
]
= 0
→[
x−(
B
2+ D
)][
x +
(
D − B2
)]
= 0
28
-
ISBN-978-607-9023-47-8
Si aqúı hacemos B = 0 obtenemos (x − D)(x + D) que es la diferencia decuadrados que buscamos; luego:
Si B = 0 entonces b + a
(
m− 1m + 1
)
= 0
→ mb + b + ma− a = 0 → m(a + b) = a− b ∴ m = a− ba + b
Sustituyendo esto último en (24) obtenemos:
x2 − bxax− c =
a−b
a+b− 1
a−b
a+b+ 1
=a−b−a−b
a+b
a−b+a+b
a+b
=−2b
2a= − b
a
es decir,
x2 − bxax− c = −
b
a→ x
2 − bxax− c +
b
a= 0 → a(x2 − bx) + b(ax− c) = 0
→ ax2 − abx + abx− bc = 0 → ax2 − bc = 0 → x2 = bca
∴ r1 =
√
bc
ay r2 = −
√
bc
a
Es decir, con m =a− ba + b
tenemos que r1 = −r2 (iguales en magnitud pero designos contrarios).
32. Si α y β son ráıces de la ecuación cuadrática ax2+bx+c = 0 entonces tenemosque:
α =−b +
√b2 − 4ac
2ay β =
−b−√
b2 − 4ac2a
Luego,
α + β =−b +
√b2 − 4ac
2a+−b−
√b2 − 4ac
2a= − b
a
α− β = −b +√
b2 − 4ac2a
− −b−√
b2 − 4ac2a
=
√b2 − 4ac
a
α · β = −b +√
b2 − 4ac2a
· −b−√
b2 − 4ac2a
= −b2 − b2 + 4ac
4a2=
4ac
4a2=
c
a
29
-
ISBN-978-607-9023-47-8
Ahora bien, como
α + β = − ba
, α− β =√
b2 − 4aca
y αβ =c
a
tenemos que
a)
1
α2+
1
β2=
α2 + β2
(αβ)2=
α2 + β2 + 2αβ − 2αβ(αβ)2
=(α2 + 2αβ + β2)− 2αβ
(αβ)2
=(α + β)2 − 2αβ
(αβ)2=
(
− ba
)2 − 2(
c
a
)
(
c
a
)2=
b2
a2− 2c
a
c2
a2
=b2−2ac
a2
c2
a2
=b2 − 2ac
c2
∴1
α2+
1
β2=
b2 − 2acc2
b)
α4β
7 + α7β4 = (αβ)4(α3 + β3) = (αβ)4(α + β)(α2 − αβ + β2)
= (αβ)4(α + β)[(α2 + 2αβ + β2)− 3αβ]
= (αβ)4(α + β)[(α + β)2 − 3αβ]
=(
c
a
)4(
− ba
)
[
(
− ba
)2
− 3(
c
a
)
]
= −bc4
a5
(
b2
a2− 3c
a
)
= −bc4
a7
(
b2 − 3ac
)
∴ α4β
7 + α7β4 = −bc4
a7
(
b2 − 3ac
)
c)
(
α
β− β
α
)2
=
(
α2 − β2αβ
)2
=(α + β)2(α − β)2
(αβ)2
=
(
− ba
)2(
√
b2−4ac
a
)2
(
c
a
)2=
b2
a2
(
b2−4ac
a2
)
c2
a2
=b2 (b2 − 4ac)
a2c2
30
-
ISBN-978-607-9023-47-8
∴
(
α
β− β
α
)2
=b2 (b2 − 4ac)
a2c2
33. Si α y β son ráıces de la ecuación cuadrática x2+px+q = 0 entonces tenemosque:
α =−p +
√
p2 − 4q2
y β =−p−
√
p2 − 4q2
Por lo tanto,
(α + β)2 =−p +
√
p2 − 4q2
+−p−
√
p2 − 4q2
=(
−p2
)2
=p2
4
(α − β)2 = −p +√
p2 − 4q2
− −p−√
p2 − 4q2
=(
√
p2 − 4q)2
= p2 − 4q
Luego, la ecuación cuyas ráıces son (α + β)2 y (α − β)2 es:(
x− p2
4
)
(
x− (p2 − 4q))
= 0 →(
4x− p2) (
x− p2 + 4q)
= 0
→ 4x2 − (5p2 − 16q)x− 4p2q + p4
34. Las ráıces de una ecuación cuadrática son reales si su discriminante es positivoo cero. Tenemos que
2ax(ax + nc) + (n2 − 2)c2 = 0 → 2a2x2 + 2acnx + (n2 − 2)c2 = 0
Sean: A = 2a2 , B = 2acn y C = (n2 − 2)c2 . Tenemos entonces la ecuacióncuadrática Ax2 + Bx + C cuyo discriminante, B2 − 4AC , debe ser positivo ocero, es decir
B2 − 4AC ≥ 0 → (2acn)2 − 4(2a2)(n2 − 2)c2 ≥ 0
→ 4a2c2n2 − 8a2c2(n2 − 2) = −4a2c2n2 + 16a2c2 ≥ 0
→ 4a2c2n2 − 16a2c2 ≤ 0 → 4a2c2(n2 − 4) ≤ 0
→ n2 − 4 ≤ 0 → n2 ≤ 4 → |n| ≤ 2
∴ −2 ≤ n ≤ 2
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35. Tomemos en cuenta las siguientes consideraciones
· La parábola x2 − x + 1 abre hacia arriba y su vértice está en el punto(
1
2,
3
4
)
, por lo tanto, esta parábola es siempre positiva y no tiene ráıces,es decir,
x2 − x + 1 > 0 , ∀x ∈ R.
· La parábola x2 + x + 1 abre hacia arriba y su vértice está en el punto(
−12,
3
4
)
, por lo tanto, esta parábola es siempre positiva y no tiene ráıces,es decir,
x2 + x + 1 > 0 , ∀x ∈ R.
· Por lo anterior:x2 − x + 1x2 + x + 1
> 0 , ∀x ∈ R.
Sean A , B ∈ R con 0 < B < A , tales que:
B ≤ x2 − x + 1
x2 + x + 1≤ A
Como el denominador siempre es positivo tenemos que
B(x2 + x + 1) ≤ x2 − x + 1 ≤ A(x2 + x + 1)
→ B(x2 + x + 1) ≤ x2 − x + 1 y x2 − x + 1 ≤ A(x2 + x + 1)Si x2 − x + 1 ≤ A(x2 + x + 1) entonces:
(A− 1)x2 + (A + 1)x + (A− 1) ≥ 0
Esta desigualdad siempre se cumple si la parábola abre hacia arriba y sólo tieneuna ráız. Ahora bien, la parábola abre hacia arriba si
A− 1 ≥ 0 es decir: A > 1
y con respecto a tener una única ráız debe cumplirse que su determinante seacero, es decir:
(A + 1)2 − 4(A− 1)2 = 0 →(
A + 1
A− 1
)2
= 4 →∣
∣
∣
∣
A + 1
A− 1
∣
∣
∣
∣
= 2
Luego,
∣
∣
∣
∣
A + 1
A− 1
∣
∣
∣
∣
= 2 →
A + 1
A− 1 = 2 → A = 3
A + 1
A− 1 = −2 → A =1
3
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Como A > 1 ∴ A = 3
Análogamente, si B(x2 + x + 1) ≤ x2 − x + 1 entonces:(1−B)x2 + (1 + B)x + (1−B) ≥ 0
Como en el otro caso, esta desigualdad se cumple si la parábola abre haciaarriba, es decir, si
1− B ≥ 0 o sea: B < 1y con respecto a que su determinante sea cero tenemos:
(1 + B)2 − 4(1−B)2 = 0 →(
1 + B
1− B
)
2
= 4 →∣
∣
∣
∣
1 + B
1− B
∣
∣
∣
∣
= 2
Luego,
∣
∣
∣
∣
1 + B
1− B
∣
∣
∣
∣
= 2 →
1 + B
1− B = 2 → B =1
3
1 + B
1− B = −2 → B = 3
Como B < 1 ∴ B =1
3Luego,
1
3≤ x
2 − x + 1x2 + x + 1
≤ 3
36. Tenemos que[
x−√
a√a +√
a− b
]
·[
x−√
a√a−√
a− b
]
= 0
→ x2 −( √
a√a +√
a− b+
√a√
a−√
a− b
)
x +a
a− (a− b) = 0
→ x2 −(
a−√a√
a− b + a +√a√
a− ba− (a− b)
)
x +a
b= 0
∴ x2 − 2a
bx +
a
b= 0 → bx2 − 2ax + a = 0
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I.8. Combinatoria
37. {c , t , v} y {a , i , o , u}. Tenemos:(
3
1
)
·(
4
1
)
= 4× 3 = 12
38. Tenemos que
4
(
n
3
)
= 5
(
n− 13
)
→ 4 n!(n − 3)!3! = 5
(n− 1)!(n− 4)!3!
→ 4n(n − 1)(n− 2) = 5(n − 1)(n − 2)(n− 3)
→ 4n = 5n − 15
∴ n = 15
39. Tenemos que(
25
5
)
·(
10
3
)
=25!
20! 5!× 10!
7! 3!
=25 · 24 · 23 · 22 · 21
5 · 3 · 4 · 2 ×10 · 9 · 8
3 · 2 = 6, 375, 600
40. a) {i , n , d , e , p , e , n , d , e , n , c , i , a}. En total son 13 letras entre las quela letra “i” aparece 2 veces, la “n” 3 veces, la “d” 2 veces y la “e” 3 veces;luego, tenemos que
PR2,3,2,3
13=
13!
2! 3! 2! 3!
=13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4
2 · 3 · 2 · 2= 43, 243, 200
b) {s , u , p , e , r , s , t , i , c , i , o , s , o}. En total son 13 letras entre las quela letra “s” aparece 3 veces, la “i” 2, y la “o” 2 veces; luego, tenemos que
PR3,2,2
13=
13!
3! 2! 2!
=13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4
2 · 2= 259, 459, 200
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c) {i , n , s , t , i , t , u , c , i , o , n , e , s}. En total son 13 letras entre las quela letra “i” aparece 3 veces, la “n” 2, la “t” 2 y la “s” 2 veces; luego,tenemos que
PR3,2,2,2
13=
13!
3! 2! 2! 2!
=13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4
2 · 2 · 2= 129, 729, 600
41. En total son 17 bolas entre las que 7 son negras, 6 son rojas y 4 son blancas;luego,
PR7,6,4
17=
17!
7! 6! 4!
=17 · 16 · 15 · 14 · 13 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 4 · 3 · 2= 4, 084, 080
42. a) Sean “Juan” y “Rosa” las dos personas entre las que van a repartirse las 3cosas y supongamos que estos tres objetos son todos iguales. Podŕıa Juanrecibir todas las cosas, en cuyo caso Rosa no recibiŕıa cosa alguna o vice-versa, Rosa todo y Juan nada. Entre estos dos casos extremos tendŕıamosdos casos más, a saber:
# de cosas # de cosas cosas encaso para Juan para Rosa t o t a l
1 3 0 32 2 1 33 1 2 34 0 3 3
Lo que tenemos es:
CR3
2=
((
2
3
))
=
(
3 + 2− 13
)
=
(
4
3
)
= 4
que son los 4 casos descritos arriba. Ahora bien, si las tres cosas fuerantodas diferentes, digamos (a), (b) y (c), tendŕı