FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 1. Bosqueje la curva por medio de las ecuaciones

paramtricas para trazar los puntos. Indique con una flecha la direccin en la que se traza la curva cuando crece t.

a) 50,4,1 2 tttytx b) 20,cos,cos2 tttytx c) ttytx ,,sin5 2 2. Elimine el parmetro para hallar una ecuacin

cartesiana de la curva, adems, bosqueje la curva e indique con una flecha la direccin en la que se traza la curva cuando crece el parmetro.

a) 0,cos,sin yx b) 2/2/,sin5,cos4 yx c) 1,,ln ttytx 3. Halle el dominio de la funcin vectorial a) ttttr 5,1,)( 2

b) kejt

tittr t

1

ln)(

4. Halle el lmite a) tttt

tln,sin,coslim

0

b) tt

tt

e t

t

13,11,1lim

0

5. Dadas las ecuaciones vectoriales, trace la curva e

indique con una flecha la direccin en la que aumenta t, grafique para t=1 )(tr

a) tttr ,1)( 4 b) 23 ,)( tttr

c) ttttr 2,,)( d) ktjtittr cos)( 6. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de

500 m/s y ngulo de elevacin 30. Encuentre el alcance del proyectil, la altura mxima alcanzada y la rapidez en el impacto

7. Realice de nuevo el ejercicio anterior, pero ahora

considerando que el proyectil se lanza desde un lugar a 200 m sobre el nivel del suelo.

8. Se arroja una pelota con un ngulo de 45 con

respecto al suelo. Si la pelota aterriza a 90 m de distancia, Cul es la rapidez inicial de la pelota?

9. Se dispara una pistola con un ngulo de elevacin

de 30 Cul es la velocidad inicial del arma si la altura mxima del proyectil es de 500m?

10. Un bateador golpea la pelota de bisbol a 3 pies por arriba del nivel del suelo hacia la valla del campo central, la cual mide 10 pies de altura y est a 400 pies de home. Luego del golpe del bat, la pelota tiene una velocidad de 115 pies/s, con un ngulo de 50 con respecto a la horizontal La pelota podr librar la valla?

11. Trace el vector de posicin )(tr y el vector

tangente )(tr en el punto correspondiente al valor dado del parmetro t.

a) tttr sin,cos)( 4t b) 23 ,)( tttr 1t 12. Encuentre la derivada de la funcin vectorial. a) ttttr ,1,)( 2

b) ttttr 3sin,,3cos)( c) kejitr t4)( d) kjtittr 21 1sin)( 13. Halle el vector tangente unitario )(tT en el punto

correspondiente al valor dado del parmetro t. a) ttttr 2,4,6)( 35 , 1t

b) kejtittr t32 41)4ln()( , 1t c) ktjttitr cos3sin2)( , 6t 14. Si 32 ,,)( ttttr , encuentre )(tr , )1(T , )(tr

y )()( trtr . 15. Halle los vectores T, N y B en el punto dado. a) )1,,1(,,,)( 32

3322 ttttr

b) )1,0,1(,cos,sin,)( teteetr ttt 16. Halle las ecuaciones paramtricas de la recta

tangente a la curva con ecuaciones paramtricas dadas en el punto especificado

a) )1,1,1(,,, 345 tztytx b) )1,1,1(,1,1,1 22 tztytx c) )1,1,0(,cos,,sin tztytx 17. Encuentre la velocidad, la aceleracin y rapidez

de una partcula con funcin de posicin dada. Trace la trayectoria de la partcula y trace los vectores de velocidad y aceleracin para el valor dado de t.

a) 1,,1)( 2 ttttr b) 1,1,)( ttttr c) 0,cossin)( tktjtittr

18. Evale la integral a) dtktjtit

1

0

32 )(

b) dtktjtit 2

1

242 )1(4)1(

c) dtkttjtit 4

0)sin2sin2(cos

d) dtkt

jteit t

4

1 2

1

19. Halle )(tr si ktjtittr 232 4)( y jr )0( . 20. Halle )(tr si ktjtittr 2cossin)( y

kjir 2)0( . 21. Encuentre los vectores de velocidad y posicin de

una partcula que tiene la aceleracin y la velocidad y posicin iniciales dadas.

a) kta )( , jiv )0( , 0)0( r b) kta 10)( , kjiv )0( , jir 32)0( 22. Encuentre la longitud de la curva. a) ttttr cos2,5,sin2)( , 1010 t b) ktjtittr coslnsincos)( , 4/0 t c) kejeittr tt 2)( , 10 t d) ktjtittr ln2)( 2 , et 1 CILINDROS Y SUPERFICIES CUADRTICAS 23. Dibuje el cilindro que tiene la ecuacin indicada.

a) z=2x2 b) z2=4y2

24. Qu puntos P(x,y,z) satisfacen las ecuaciones 422 yx y 3z y cuales satisfacen a ambas

ecuaciones? 25. Relacione la ecuacin con su grfica marcadas

con nmeros romanos y d sus razones para sus elecciones.

a) 194 222 zyx b) 149 222 zyx c) 1222 zyx d) 194 222 zyx e) 222 zxy f) 222 zxy g) 12 22 zx h) 22 zxy

26. Identifique la superficie y trcela

a) x2y2+z2=1 b) 4x2 +9y2+36z2=36 c) 4z2x2y2=1 d) 4z2x2y2=1 e) y2=x2+z2 f) x2+4z2y=0 g) y=z2x2 h) 2x+y3z=6

27. Reduzca la ecuacin a una de las formas estndar,

clasifique la superficie y trcela. a) z2=3x2+4y212 b) 4x29y2+z2+36=0 c) x2+4y2+z22x=0 d) 4x=y22x2

28. Trace la regin limitada por los paraboloides

z=x2+y2 y z=2x2y2 29. Encuentre una ecuacin para la superficie

obtenida al girar la parbola y=x2 alrededor del eje y.

30. Obtenga la ecuacin de la superficie de revolucin

generada en el plano yz al girar la curva plana alrededor del eje indicado de 3632 22 zy :

a) Alrededor de y b) Alrededor de z 31. Calcule el rea de la seccin trasversal del

elipsoide 12594

222

zyx

en el plano z=4.

COORDENADAS CILINDRICAS Y ESFERICAS 32. Trace el punto dado en coordenadas cilndricas y

encuentre las coordenadas rectangulares. a) (3,/2,1) c) (2,/4, 2 ) b) (3,0,6)

33. Cambie de coordenadas rectangulares a cilndricas. a) (1, 1,4) c) (3,3, 2) b) (1, 3 ,2)

34. Cambie de coordenadas rectangulares a esfricas.

a) (3,0,0) c) ( 3 , 0,1) b) (1,1, 2 )

35. Cambie de coordenadas esfricas a rectangulares.

a) (1,0,0) c) (1, 6 , 6 ) b) (2, 3 , 4 )

36. Convierta las ecuaciones cilndricas o esfricas al

sistema rectangular e identifique la figura. a) 2r b) 422 zr c) sec2 d) cscr e) cos5 d) 0cossin 37. Identifique la ecuacin rectangular y convirtala a

los sistemas cilndrico y esfrico. a) 0z b) 2yx c) 922 yx d) 4222 zyx e) 22 yxz f) 4xy FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES CURVAS DE NIVEL 38. Se proporciona un mapa de curvas de nivel de una

funcin f . Con ste estime los valores de )3,3(f y )2,3( f . Qu puede decir con

respecto a la forma? Realice un trazo.

39. Se proporcionan dos mapas de curvas de nivel.

Uno es una funcin f cuya grfica es un cono. El otro es para una funcin g cuya grfica es un paraboloide. Cul es cul y por qu?

40. Se ilustra un mapa de curvas de nivel de una

funcin. Apyese en l para elaborar un esquema aproximado de la grfica f .

41. Elabore un esquema aproximado de un mapa de

curvas de nivel para las funciones cuyas grficas se muestran.

DERIVADAS PARCIALES

42. Si 22416),( yxyxf , encuentre )2,1(xf y )2,1(yf e interprete estos nmeros como

pendientes.

43. Si 22 44),( yxyxf , encuentre )0,1(xf y )0,1(yf e interprete estos nmeros como

pendientes. 44. Hallar todos los valores de x e y tales que

0),( yxf x y 0),( yxf y simultneamente

para la funcin xyyx

yxf 11),( .

45. Encuentre las primeras derivadas parciales de la

funcin. a) 423),( yxyxf b) yxez 3 c) 4235 33),( xyyxxyxf

d) yxyxyxf

),( e) cossin w

f)

vuvuf 1tan),( g) 22ln yxxz

h) yzzxyzyxf 3),,( 32 46. Encuentre las derivadas parciales indicadas. a) )4,3(,),( 22 xfyxyxf b) )4,6(),32sin(),( yfyxyxf

c) )1,2,3(,),,( zfzyxzyxf

47. Utilice la derivacin implcita para hallar xz

y

yz

.

a) xzyzxy b) )cos( zyxxyz c) )(2222 zyxzyx d) zyxzyxzxy 2332 48. Halle todas las segundas derivadas parciales.

a) 324 3),( yxxyxf b) yx

xz

c) teu s sin d) )53ln(),( yxyxf e) xyz 2tan 49. Halle la derivada parcial indicada. a) xxxfyxyxyxf ;2),(

432

b) xxyxy feyxf ;),(

2

c) xyzfyzzyxxzyxf ;),,(23445

d) xy

zyxz

2

3

;sin

50. La temperatura en un punto (x,y) en una placa

metlica plana est dada por

22160),(

yxyxT

, donde T se mide en C y

x y y en metros. Encuentre la razn de cambio de la temperatura con respecto a la distancia del punto (2,1) en la direccin de x y en la direccin de y.

51. La resistencia total R producida por tres

conductores con resistencias R1, R2 y R3, conectados en un circuito electrnico en paralelo,

est dada por la frmula 321

1111RRRR

.

Encuentre 1R

R .

DERIVACIN TOTAL 52. Encuentre el diferencial de la funcin a) 22 yxz b) )32ln( yxv

c) sinteu d) ts

ru2

e) 222ln zyxw f) yzxw sin 53. Si 225 yxz y ),( yx cambia de (1,2) a (1.05,

2.1), compare los valores de z y dz .

54. Si 22 3 yxyxz y ),( yx cambia de )1,3( a

)95.0,96.2( , compare los valores de z y dz . 55. La longitud y ancho de un rectngulo son de 30

cm y 24 cm respectivamente, con un margen de error en la medicin de 0.1 cm en cada dimensin. Utilice diferenciales para estimar el mximo error en el rea calculada del rectngulo.

56. Utilice diferenciales para estimar la cantidad de

estao en una lata cerrada con dimetro de 8 cm y altura de 12 cm, si la lmina tiene un grosor de 0.04 cm.

57. La presin, volumen y temperatura de un mol de

un gas ideal estn relacionadazos por la ecuacin TPV 31.8 , donde P se mide en kilopascales, V

en litros y T en grados kelvins. Utilice diferenciales para hallar el cambio aproximado en la presin si el volumen aumenta de 12 L a 12.3 L y la temperatura se reduce de 310 K a 305 K.

REGLA DE LA CADENA 58. Utilice la regla de la cadena para hallar dtdz / o

dtdw / . a) 3422 1,2, tytxxyyxz b) tt eyexyxz 2222 ,, c) tytxyxxz cos,sin),2ln( d) tezteyexyzxyw ttt cos,sin,,2 59. Utilice la regla de la cadena para hallar sz / y

tz / . a) stytsxyxyxz ,,22 b) tt seysexyxz 1,,/ c) tsytsxyez xy /,2,tan d) tstsz ,3,tansin 60. Utilice la regla de la cadena para hallar las

derivadas parciales indicadas.

a) sw

,

tw

para s=1 y t=0 de

tsztsystxzyxw sin,cos,,222

b) su

, tu

para s=0 y t=1 de

2,,, tzeystxzxyzxyw st

c) tz

,

uz

,

vz

para t=2, u=1 y v=0 de

222 ,,tan tvuyuvtxxyz

DERIVACIN IMPLICITA 61. Utilizando la ecuacin encuentre la derivacin

implcita dxdy / . a) 822 yxyx b) 1253 4225 xyxy c) 1coscos xyyx 62. Utilizando las ecuaciones para derivacin

implcita encuentre xz / y yz / a) 3222 zxyzxy b) 0 xy zeyzxe c) )cos( zyxxyz 63. La temperatura en un punto (x,y) es T(x,y),

medida en grados Celsius. Un insecto se arrastra de modo que su posicin despus de t segundos est dada por tx 1 , ty 312 donde x y y se miden en centmetros. La funcin de temperatura satisface que 4)3,2( xT y

3)3,2( yT . Con qu rapidez est subiendo la temperatura en la trayectoria del insecto despus de 3 segundos?

64. La produccin de trigo W, en un ao dado,

depende del promedio de temperatura T y la cantidad de lluvia anual R. Los expertos estiman que el promedio de temperatura est subiendo a razn de 0.15 C/ao y la lluvia est decreciendo a razn de 0.1 cm/ao. Tambin estiman que, a los niveles actuales de produccin, 2/ TW y 8/ RW .

a) Qu significan los signos de las derivadas parciales? b) Estime la actual razn de cambio de la produccin de trigo dtdW / . 65. El radio de un cono circular recto est creciendo a

razn de 1.8 pulg/s mientras que su altura est decreciendo a razn de 2.5 pulg/s Cul es la razn de cambio del volumen cuando el radio es de 120 pulg y la altura es de 140 pulg?

DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR GRADIENTE 66. Encuentre la derivada direccional en f en el punto

dado, en la direccin indicada por el ngulo . a) 3/),2,1(,2),( 432 yxyxyxf b) 4/3),2,4(),2sin(),( yxyxf c) 6/),1,4(,45),( yxyxf

67. Encuentre a) el gradiente de f. b) evale el gradiente en el punto P y c) Encuentre la razn de cambio de f en P, en la direccin del vector u.

a) 1312,

135),2,1(,45),( 32 uPyxxyyxf

b) 53,

54),3,1(,ln),( uPxyyxf

c) ),1,2,1(,),,( 32 Pzxyzyxf

31,

31,

31

u

d) ),3,0,2(,),,( 32 Pxzyzxyzyxf

32,

31,

32

u

68. Halle la derivada de la funcin en el punto dado

en la direccin del vector v. a) 3,4),4,3(,21),( vyxyxf b) jivestsg t ),0,2(,),( 2 c) 3,2,1),1,1,4(),/(),,( vzyxzyxf d) kjivyxzzyxg 1243),2,6,1(,),,( 23 69. Halle la derivada direccional de xyyxf ),( ,

en )8,2(P , en la direccin de )4,5(Q . 70. Encuentre la derivada direccional en )3,1,2(P en

direccin al origen de 222),,( zyxzyxf . 71. Encuentre la mxima razn de cambio de f en el

punto dado y la direccin en la que sta se magnifica.

a) )0,1(,3),( yxeyxf y b) )2,1(),ln(),( 22 yxyxf c) )1,3,4(,/),,( zyxzyxf

d) )1,2,4(,),,(zy

yxzyxf

72. La temperatura T en una bola metlica es

inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, situado en el origen. La temperara en el punto )2,2,1( es de 120. Encuentre la razn de cambio de T en )2,2,1( en la direccin que va hacia el punto )3,1,2( .

73. La temperatura en un punto (x, y, z) est dada por

222 93200),,( zyxezyxT donde T se mide en C y x, y, z en metros.

a) Encuentre la razn de cambio de la temperatura en el punto )2,1,2( P en la direccin que va hacia el punto )3,3,3( .

b) En que direccin aumenta ms rpido la temperatura en P? c) Encuentre la mxima razn de incremento en P. 74. Suponga que, en cierta regin del espacio, el

potencial elctrico V est dado por: xyzxyxzyxV 35),,( 2

a) Encuentre la razn de cambio del potencial en )5,4,3(P en la direccin del vector kjiv .

b) En qu direccin cambia V ms rpidamente en P? c) Cul es la mxima razn de cambio en P? MAXIMOS Y MINIMOS 75. Encuentre los valores mximo y mnimo locales y

punto(s) de ensilladura de la funcin. a) 22 4429),( yxyxyxf b) yxyxyxf 812),( 23 c) 4),( 222 yxyxyxf 76. Encuentre la distancia ms corta del punto

)3,2,2( al plano 2346 zyx . 77. Encuentre tres nmeros positivos cuya suma sea

100 y cuyo producto sea mnimo. 78. Encuentre las dimensiones de la caja rectangular

de mximo volumen, si el rea superficial total est dada como 64 cm2.

79. Su empresa debe disear un tanque de

almacenamiento para gas de petrleo lquido. Segn las especificaciones del cliente, se requiere un tanque cilndrico con extremos semiesfricos con capacidad de 8,000 m3 de gas. El cliente tambin quiere que se use la menor cantidad de material posible para la construccin del tanque. Qu radio y que altura recomienda usted para la porcin cilndrica del tanque?

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 80. Halle los valores mximo y mnimo de la funcin,

sujetos a la(s) restriccin(es) dada(s). a) 1;),( 2222 yxyxyxf b) 13;64),( 22 yxyxyxf c) 4;1;2),( 22 zyzyxyxyxf d) 1,1;),,( 22 zyxyxyyzzyxf 81. Encuentre el punto ),,( zyxP ms cercano al

origen sobre el plano 052 zyx Cul es la distancia? (R: 65,6535 ,, P , distancia 6

5 .

82. Utilice multiplicadores de Lagrange para dar una

solucin alternativa de los problemas 76, 77 78 y 79.

INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES 83. Encuentre el volumen de las siguientes integrales

dobles.

a) dydxxy 3

1

1

0)41( b) dydxyx

2

0 0

2 sin

c) 10,30|),(,)56( 432 yxyxRdAyyxR

d) dxdyyxx

1

0

1

0)1( e) dxdyx

x

1

0

1

0

2

)1(

84. Encuentre el volumen del slido S acotado por el

paraboloide 162 22 zyx , los planos 2x y 2y y los tres planos coordenados.

85. Encuentre el volumen de

R

dAyxcossin si

2,02,0 R . 86. Evale las integrales iteradas triples a) dzdxdyxz

z zx

1

0 0 06

b) dxdydzxyzx

x

y

1

0

2

02

c) dzdydxzez y y

1

0 0 0

2