Universidad Simón BolívarDepartamento de MatemáticasPuras y AplicadasMA-2113

Problemario 5

Temas: Límites y Continuidad. Funciones Analíticas. Ecuaciones de Cauchy- Riemann.

1. Resolver las siguientes ecuaciones:

(a) ez + i = 0 (Resp: (4k − 1)πi/2)

(b) 4 cos z + 5 = 0 (Resp: (2k + 1)π + i ln 2)

(c) cosh z = i (Resp: ln(1 +√

2) + (4k + 1)πi/2, ln(√

2− 1) + (4k − 1)πi/2)

(d) Log (i− z) = 1 (Resp: −e + i)

(e) cos z + sen z = 2 (Resp: ±i ln(1 +√

2) + (π/4 + 2kπ))

(f) sen z = 3 (Resp: π/2− i ln(3±√

8) + 2kπ)

2. ¾Es inyectiva la función f(z) = z + (z2/2) en |z| < 1? Probar que no lo es en ningún círculo mayor.

3. Calcular los límites siguientes:

(a) limz→−iz2+3iz−2

z+i (Resp: i)

(b) limz→π4

cos(2z)cosh(iz)+isenh(iz) (Resp:

√2)

(c) limz→−π2i

e2z+1ez+i (Resp: −2i)

4. ¾Son continuas las siguientes funciones en todo el plano complejo? (a) zz (b)Re(z) (c) f(z) =

f(x, y) = x3+y3

x2+y+ iy

5. Suponga que f = u + iv es analítica en A = z |Re z > 1 y que ux + vy = 0 en A. Demuestre que

existe un constante real c y una constante compleja d tal que f(z) = −icz + d en A.

6. Sea w = zz. ¾Es analítica por lo menos en un punto la función w? (Resp: No)

7. Sea f : Ω ⊂ C −→ IR analítica. Demostrar que f es constante.

8. ¾Donde son analíticas las siguientes funciones? (a)z (b)(z4 + 1)/(z2 + 1) (c)(√

z + 1)/(√

z − 1)(d)√

1− z2

9. Vericar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0 para

f(z) =

z5

|z4| si z 6= 00 si z = 0

¾Es f analítica en z = 0?

10. Hallar la función analítica w = f(z) a partir de su parte real conocida, u(x, y) = 2ex cos y, y con la

condición complementaria f(0) = 2. (Resp: f(z) = 2ez)

11. Sea f : C −→ C una función entera. Si f(z) = u + iv, Demostrar:

(a) Si |f(z)| es constante entonces f es constante.

(b) Si u es constante entonces f es constante.

(c) Si Arg f(z) es constante entonces f es constante.

12. Hallar todos los puntos z ∈ C donde f(z) = Log (sen z) es analítica. Dibuje dicho conjunto.

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