problemario fluidos 2

Dedicado a mis nietas

Isabel y Verónica

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE LOS FLUIDOS REALES __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3

AGRADECIMIENTO

Quiero expresar mi más sincero agradecimiento al profesor Julián Aguirre Pe, quien con dedicación y detenimiento leyó los manuscritos haciendo las correcciones necesarias con el fin de obtener una mejor claridad en la explicación de los problemas. A la profesora Alix T. Moncada M., quien con entusiasmo y esmero, colaboró ampliamente en la realización de los gráficos, haciendo las sugerencias necesarias para su mejoramiento. Ellos dispusieron de gran parte de su tiempo libre, para que este trabajo fuera realizado satisfactoriamente en el tiempo previsto. Agradezco también a Mildred Pérez, por su dedicación y colaboración prestada de una u otra forma y en todo momento en que se hizo necesaria su ayuda.

Lionel


4

INDICE

Capítulo 1 Pág. Flujo de fluidos reales. 5 Capítulo 2 Flujo permanente en conductos cerrados. 39 Capítulo 3 Principio de energía y cantidad de movimiento aplicado al flujo en canales. 85 Capítulo 4 Flujo uniforme en canales abiertos. 117 Capítulo 5 Flujo gradualmente variado. 155 Capítulo 6 Flujo de un fluido ideal. 205


5

Capítulo 1

FLUJO DE FLUIDOS REALES

Determinación de la longitud de la placa x. Considerando como hipótesis que el flujo en la placa es turbulento (RX > 5 x 105), tendremos entonces:

5/15/4

5/1

5/1

5/15/1X

U

37.0x

x

xU

37.0xU

37.0

xR

37.0

x

4/1

5

4/54/14/54/55/1

10x6.13600

1000x108

37.0

0074.0x

U

37.0x

U

37.0x

x = 0.2783 m

Determinación del número de Reynolds de la placa.

5X5XX 10x22.5R

10x6.1

2783.03600

1000x108

RxU

R

como RX = 5.22 x 105 > 5 x 105, entonces el flujo es turbulento y la hipótesis es cierta.

Problema F.II-1.01 El aire a 20º C (ν = 1.6 x 10-5 m2/s) con una presión absoluta de 1.00 kg/cm2 fluye a lo largo de una placa con una velocidad de 108.00 km/h. ¿Qué longitud debe tener la placa para obtener un espesor de la capa límite de 7.40 mm?


6

Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:

ydU

u1

U

u

xU

0

20

Si η η no depende dey

y d y d y

Los nuevos límites de integración son:

00y

0ypara

1y

ypara

entonces el esfuerzo cortante es:

ηdU

u1

U

u

xU

1

0

20

223U

uycomo

. Al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:

1

0

43220

1

0

2220 d412113

xUηd23123

xU

1

0

543220 5

4

4

12

3

11

2

3

xU

x30

U2

0

Problema F.II-1.02

Utilizando un perfil de velocidades dado por 2

y2

y3

U

u

, determinar:

a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar. b) La tensión de cortadura. c) La relación entre el espesor desplazado y1 .


7

Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene:

Uyy

uyy

U

u

22

2323

, entonces

0y20

0y

2

0

0y

0

y43

yd

Uy

2y

3d

yd

ud

U30

igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:

xdU

90dxd

U

90d

U3

x30

U2

integrando se tiene:

U

x42.13

U

x180

U

x90

2

2

Determinación del esfuerzo cortante. Si se sustituye en la expresión del esfuerzo cortante 0 se tiene:

x

U224.0

U

x180

U3

3

00

Determinación de la relación entre el espesor desplazado y1 . El espesor desplazado 1 es la distancia que habría que desplazar la pared hacia dentro del fluido para que el caudal fuese el mismo que se tendría si no existiera el efecto de frenado de las partículas próximas a la pared, lo cual se representa en la siguiente figura:


8

El espesor desplazado 1 está expresado analíticamente por

0

1

0

1

0

1 ydU

u1yd

U

u

U

UyduUU

Para la distribución de velocidades del presente caso obtenemos, al reemplazar

223porU

u y hacer el cambio de variable y = , los nuevos índices de integración,

los cuales resultan: para y = 0, = 0, para y = , = 1

1

0

21 d231

Al integrar

3

2

2

31

3

2

2

31

1

0

321

61

Problema F.II-1.03 Desarrollar:

a) Una expresión para la velocidad media V. b) La ecuación de crecimiento de la capa límite turbulenta en tuberías circulares

de radio r0, a partir de 5/1

X

9/1

R

185.0fy

y

U

u


9

Determinación de la velocidad media V.

9/19/1

9/19/1

yU

uy

Uuy

U

u

R

0

9/19/1

R

0

R

0

rdr2yU

Qrdr2uQdAuQ

La relación que existe entre el radio de la tubería R, el radio variable r, y la distancia desde la pared y, es:

ydrdyRrryR

los nuevos límites de integración son:

para r = 0 RyyR0yRr

para r = R 0yyRRyRr

Al sustituir en la expresión del caudal se obtiene:

0

R

9/109/19/1

0

R

9/19/1

ydyRy2U

QydyRy2U

Q

9/199/199/1

0

R

9/199/109/1

R19

9R

10

90

2UQy

19

9Ry

10

92UQ

9/1

9/19

9/1

9/19 RU853.0Q

19

9

10

9R2UQ

Por otra parte:

2RVQAVQ

al igualar las expresiones del caudal se tiene:

9/1

9/12

9/19

9/1

9/192 R

U853.0VR

RU853.0V

RU853.0RV

Determinación del espesor de la capa límite. El esfuerzo cortante en placas es:

ydU

u1

U

u

xU

0

20


10

Si ydedependenoηdydyηy


00y

0ypara

1y

ypara


ηdU

u1

U

u

xU

1

0

20

9/1

U

uyComo

, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:

1

0

9/29/120

1

0

9/19/120 d

xUηd1

xU

11

9

10

9

xU

11

9

10

9

xU 2

0

1

0

9/119/1020

xU0818.0 2

0

En tuberías el esfuerzo cortante es:

8

fV

8

fV

2

00

como en el presente caso,

9/1

5/15/1

5/1

5/1x

RU853.0Vy

xU

185.0f

R

185.0f

entonces,

5/15/19/2

5/19/222

0

5/15/1

5/129/1

0 xU8

185.0RU853.0

8

xU

185.0RU853.0


11

5/15/19/2

5/19/22

0 xU

RU01683.0

igualando las expresiones del esfuerzo cortante se tiene:

5/15/19/2

5/19/222

xU

RU0.01683

xU0818.0

xdxU

R205.0dxU

R0.01683

x0818.0 5/1

5/19/29/2

5/15/19/2

5/19/2

15/15/1

9/29/115/45/1

9/29/11 x4

5

UR205.0

11

9xdx

4

5

UR205.0

11

9

x4

5

xUR205.0

9

11x

4

5

xUR205.0

11

95/1

9/29/11

5/1

9/29/11

11/95/1

9/2 x4

5

xUR205.0

9

11

55/9X

11/911/2

R

xR387.0

Determinación del número de Reynolds del flujo completamente establecido.

899R

98

10

73.91x05.0x00.20R

DvR

El flujo es laminar, por lo tanto toda la capa límite es laminar hasta que sea igual a la mitad del diámetro.

Problema F.II-1.04 Determinar la longitud de establecimiento del flujo en una tubería circular de diámetro D = 5.00 cm, si en ella fluye aceite con una velocidad media v = 20.00 m/s. La viscosidad del aceite es μ = 10 poise y la densidad ρ = 91.73 UTM/m3.


12

La ecuación para la capa límite laminar es:

2/1xR

65.4

x

2

22

2

2

X

2

2

2

X2

2

65.4

Ux

xU

65.4

xR

65.4

xR

65.4

x

m52.0x

98

1065.4

73.91x00.20x2

05.0

x65.4

U2

D

x2

2

2

2

El esfuerzo cortante en placas es:

ydU

u1

U

u

xU

0

20

Problema F.II-1.05 Hallar es espesor de la capa límite laminar en función de de la distancia x, y del

número de Reynolds, si el perfil de velocidades está dado por 3/1

y

U

u

y el esfuerzo

cortante obtenido experimentalmente es

U50.20 .


13



00y

0ypara

1y

ypara


ηdU

u1

U

u

xU

1

0

20

Como 3/1

U

uy

, al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:

1

0

3/23/120

1

0

3/13/120 d

xUηd1

xU

5

3

4

3

xU

5

3

4

3

xU 2

0

1

0

3/53/420

20

3

xU2

0

por otra parte experimentalmente se encontró que:

U50.2

0

Igualando las expresiones de los esfuerzos cortantes se tiene que:

xdU

U50.2

3

20d

U50.2

20

3

xd

dU

22

CU

x

3

50

2

2


14

Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresión anterior se obtiene C = 0, así:

x2

2

2

22

2

R

33.33

xxU33.33

xU

x

3

100

U

x

3

50

2

2/1xR

77.5

x

Cuando la velocidad es de 1.00 m/s Supongamos que la lámina se encuentra en reposo y sobre ella actúa una corriente de aire con una velocidad U = 1.00 m/s como se muestra en el siguiente esquema.

Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.

55L5LL 10x510x786.1R

10x40.1

50.2x00.1R

xUR

por lo tanto la capa límite es laminar y su espesor es:

m0275.0

10x786.1

65.4x50.2

R

65.4x

R

65.4

x 2/152/1L

2/1L

Problema F.II-1.06 Una lámina plana horizontal y lisa de 2.50 m de largo y 1.00 m de ancho se mueve longitudinalmente en aire en reposo con una velocidad de 1.00 m/s. (γ = 1.20 kg/m3 y ν = 1.40 x 10-5 m2/s).

a) Calcular el espesor de la capa límite al final de la placa y la potencia necesaria para mantener el movimiento de la lámina.

b) Si la velocidad de la lámina aumenta a 5.00 m/s ¿Cuál sería el espesor de la capa límite al final de la lámina? y ¿cuál la potencia requerida?


15

se producen dos capas limites una en la cara superior y otra en la cara superior. Para este caso el coeficiente de arrastre CD es:

003.0C

10x786.1

288.1C

R

288.1C D2/15D2/1

L

D

Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.

BL

2

U

gC2FA

2

UC2F

2

DD

2

DD

kg00092.000.1x50.22

00.1

81.9

20.1003.02F

2

D

Determinación de la potencia.

s

mkg00092.0P00.1x00092.0PUFP D

Cuando la velocidad es de 5.00 m/s Determinación del número de Reynolds RL al final de la lámina.

55L5LL 10x510x9.8R

10x40.1

50.2x00.5R

xUR

por lo tanto la capa límite es turbulenta y su espesor es:

m0597.0

10x9.8

50.2x37.0

R

x37.0

R

37.0

x 5/155/1L

5/1L

Para la capa límite turbulenta después de corregir la resistencia de la sección laminar el coeficiente de arrastre CD es:


16

7L

5

L5/1

L

D 10x1R10x5paraválidaR

1700

R

074.0C

0029.0C

10x9.8

1700

10x9.8

074.0C D55/15D

Determinación de la fuerza de arrastre de las dos caras.

BL

2

U

gC2FA

2

UC2F

2

DD

2

DD

kg022.000.1x50.22

00.5

81.9

20.10029.02F

2

D

Determinación de la potencia.

s

mkg0111.0P00.5x022.0PUFP D

Determinación de la longitud de la placa.

m50.0L60.0

10x300000L

U

RL

LUR

6L

L

m00424.0300000

50.0x65.4

R

x65.4

R

65.4

x 2/12/1X

2/1X

Problema F.II-1.07 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una velocidad U = 0.60 m/s actúa sobre una placa plana y lisa de ancho B = 0.50 m. Al final de la placa en número de Reynolds es de RX = 300000. Determinar:

a) El espesor de la capa límite al final de la placa. b) La velocidad en la sección terminal de la placa para:

321 y,80.0y,40.0y si el perfil de velocidades esta dado por:

3

2

1

2

3

U

u donde:

y

c) La fuerza de arrastre que el agua ejerce sobre la placa.


17

Determinación de las velocidades

3

3 y

2

1y

2

3Uu

2

1

2

3

U

u

4.0ypara 1

s/m34.0u4.02

14.0

2

360.0u

y

2

1y

2

3Uu4.0

y 33

1

8.0ypara 2

s/m57.0u8.02

18.0

2

360.0u

y

2

1y

2

3Uu8.0

y 33

2

3ypara

s/m60.0u0.12

10.1

2

360.0u

y

2

1y

2

3Uu0.1

y 33

3

Determinación de la fuerza de arrastre que se produce sobre la placa. Para flujo laminar el coeficiente de arrastre es:


18

00235.0C300000

288.1C

R

288.1C D2/1D2/1

X

D

50.0x50.0

2

60.0

81.9

1000x00235.02FA

2

UC2F

2

D

2

DD

FD = 0.0216 kg

Al inicio del canal, zona I, se produce una capa límite laminar hasta que R = 500000, esta distancia es:

m42.0x20.1

10x1x500000x

U

Rx

xUR

6X

X

desde este punto se comienza a producir, en la zona II, una capa límite turbulenta, para esa distancia el espesor de la capa límite laminar es:

m0027.0500000

42.0x65.4

R

x65.4

R

65.4

x 2/12/1x

2/1x

Problema F.II-1.08 Una corriente de agua (ν = 1 x 10-6 m2/s) con una profundidad de 0.50 m. fluye sobre el fondo de un canal desarrollando una capa límite. La velocidad al uniforme al inicio del canal es de U = 1.20 m/s. Determinar la longitud necesaria para que la capa límite ocupe toda la sección del flujo, es decir para que m50.0 .


19

despreciando la zona I y considerando que la capa límite es toda turbulenta se tiene:

5/15/4

5/1

5/1

5/15/1X

U

37.0x

x

xU

37.0xU

37.0

xR

37.0

x

4/1

5

4/54/14/54/55/1

10x6.1

20.1

37.0

50.0x

U

37.0x

U

37.0x

la capa límite turbulenta alcanza la superficie del agua a una distancia x = 25.90 m

Determinación de la ecuación de crecimiento de la capa límite laminar.

El esfuerzo cortante en la placa es:

ydU

u1

U

u

xU

0

20


Los nuevos límites de integración son:

00y

0ypara

1y

ypara

Problema F.II-1.09

Utilizando el perfil de velocidades en una placa dada por

y

U

u, determinar:

a) La ecuación de crecimiento de la capa límite laminar x

b) La ecuación del esfuerzo cortante 0

c) La expresión de la fuerza de arrastre FD para una placa de longitud L y ancho 1.00 m.

d) La ecuación del coeficiente de arrastre CD. e) La longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.


20


ηdU

u1

U

u

xU

1

0

20

U

uycomo , al sustituirlo en la expresión anterior se tiene:

1

0

220

1

0

20 d

xUηd1

xU

1

0

3220 3

1

2

1

xU

x6

U2

0

Por otra parte, según la ley de viscosidad de Newton, en la pared se tiene, para

Uy

uy

U

u

, entonces

0y0

0y

0

0y

0

U

yd

Uy

d

yd

ud

U0

igualando las expresiones del esfuerzo cortante 0 se tiene:

CxU

6

2xd

U

6d

U

x6

U 22

Las condiciones de borde son para x = 0, = 0. Al sustituir estos valores en la expresión anterior se obtiene C = 0.

2/1X

2

2

2

2

2

2

R

12

xxU

12

xx

U

6

x

1

2x

1x

U

6

2


21

2/1XR

464.3

x

Determinación del esfuerzo cortante 0

2/1

X0

2/1X

00 RU2887.0

R

3.464

UU

x

U2887.0

xUU2887.0

3

0

2/1

0

Determinación de la fuerza de arrastre FD.

L

02/1

3D

L

0

3

0D

L

0

0D x

xdU2887.0Fxd

x

U2887.0FxdF

LUL577.0Fx2U2887.0F 32/1D

L0

2/13D

2/1X

2D2/1

X

2/1

2/12/12/132/1

DR

LU577.0F

R

LULUL577.0

F

Determinación del coeficiente de arrastre CD.

L00.12

UCFA

2

UCF

2

DD

2

DD

Igualando las expresiones de la fuerza de arrastre FD se tiene:

2/1

X

D2/1X

22

DR

154.1C

R

LU577.0L00.1

2

UC

Determinación de la longitud crítica LC para la cual comienza a generarse la turbulencia.

U

500000L

LU500000500000R C

CL


22

Determinación del número de Reynolds de la placa.

7L6LL 10x67.1R

10

20.1x3600

1000x00.50

RLU

R

Determinación del coeficiente de arrastre CD (válido para 106 < RL < 109)

00277.0C

10x67.1log

455.0C

Rlog

455.0C D58.27D58.2

e

D

Determinación de la fuerza sobre los esquís.

15.0x20.1x22

3600

1000x00.50

102x00277.0FA22

UCF

2

2

D

F = 9.81 kg

Determinación de la potencia P.

.CV81.1P75

3600

1000x00.50x81.9

P75

UFP )CV(CVCV

Problema F.II-1.10 Determinar la potencia requerida para vencer la resistencia al avance de un esquiador que es arrastrado sobre el agua en reposo con una velocidad de 50.00 km/h. Cada uno de los esquís (considerados planos) tiene 1.20 m de longitud y 0.15 m de ancho. La viscosidad cinemática del agua es 10-6 m2/s y la densidad es 102.00 UTM/m3.


23

Determinación de las densidades del aire y del helio.

En los gráficos correspondientes de viscosidad absoluta y viscosidad cinemática para algunos gases y líquidos (gases a presión atmosférica normal) se encuentra para una temperatura de 50º C los valores que se muestran en la siguiente tabla.

μ (kg.s/m2)

Viscosidad absoluta

(m2/s)

Viscosidad cinemática

ρ (UTM/m3) /

Densidad

Aire 2.0 x 10-6 1.9 x 10-5 0.11

Helio 2.2 x 10-6 1.4 x 10-4 0.02

a) Cuando el globo asciende libremente las fuerzas que actúan se muestran en el

siguiente diagrama de cuerpo libre.

Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición a.

Problema F.II-1.11 a) Un globo esférico contiene helio y asciende en aire a 50º C a un presión

atmosférica normal. El globo y la carga (sin helio) pesan 150.00 kg. Qué diámetro permite una ascensión a una velocidad de 3.00 m/s considerando que el coeficiente de arrastre CD es 0.21.

b) Si éste globo se sujeta al suelo mediante un cable y sopla una corriente de aire a una velocidad de 10.00 km/h cuál es el ángulo de inclinación del cable y cuál su tensión.


24

E

33aire

3

aireaire D565.081.9x11.0D24

4g

2

D

3

4g

FD 1 2222

aireD D082.0D42

00.311.0x21.0A

2

UC

w 150.00

w1 33helio

3

heliohelio D103.081.9x02.0D24

4g

2

D

3

4g

La condición de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:

E – FD 1 – w – w1 = 0

Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación de equilibrio se tiene:

000.150D0D085.0D462.00D103.000.150D082.0D565.0 23323

ésta ecuación cúbica tiene dos soluciones imaginaras y una solución real positiva cuyo valor

es D = 6.93 m.

b) cuando el globo se encuentra sujeto al suelo y actúa una corriente de aire las fuerzas que

actúan se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.


25

Determinación del coeficiente de arrastre para la condición b.

65

10x01.1R10x9.1

93.6x3600

1000x10

RDU

R

Determinación de las diferentes fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre para la condición b.

E

kg95.18781.9x11.0x93.6x14.324

4g

2

D

3

4g 3

aire

3

aireaire

FD 2 kg98.31993.6

42

3600

1000x100

11.0x20.0A2

UC 2

2

2

aireD

w 150.00

w1 kg17.3481.9x02.0x93.6

24

4g

2

D

3

4g 3

helio

3

heliohelio

Las condiciones de equilibrio son: 0Fy0F VH , es decir:

11V wwEsenT0senTwwE0F

2D2DH FcosT0cosTF0F


26

Dividiendo, las ecuaciones anteriores, miembro a miembro se tiene:

2D

1

F

wwEtg

Sustituyendo los valores numéricos se obtiene:

´´37´40º0º677.00118.0tg98.319

17.3400.15095.187tg

a) Cuando la bola de densidad relativa 3.5 cae en aceite las fuerzas que actúan en este caso se muestran en el siguiente diagrama de cuerpo libre.


Problema F.II-1.12 a) ¿Cuál es la velocidad final de una bola de metal de 5.00 cm de diámetro y peso

especifico relativo S = 3.50 que cae en aceite de peso especifico relativo S = 0.80 y viscosidad μ = 1 poise?

b) ¿Cuál sería la velocidad final para la misma bola pero de densidad relativa S = 7.00?


27

E 05233.01000x80.005.06

1SD

6

1S 3

aguaacite3

aguaaciteaceite

FD

2D

22

D2

2

aguaD

2

aceiteD U08.0C05.042

U102x80.0CD

42

USCA

2

UC

w 22896.01000x50.305.06

1SD

6

1S 3

aguabola3

aguabolabola

La relación de equilibrio para esta condición es 0FV , es decir:

E + FD 1 – w = 0


177.0U08.0C022896.0U08.0C052233.0 2D

2D

DD C

2125.2U

C08.0

177.0U

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación anterior El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y éste a su vez de la velocidad; por lo tanto, el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación.

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando

DC

2125.2U

Con U se determina R según la ecuación

59.399UR

98

181.9

80005.0U

RDU

R

Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos

el valor de CD


28

Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1

Cálculo en forma tabulada para el caso a.

CD (asumido) DC

2125.2U 59.399UR CD

(obtenido del gráfico)

1.00 1.49 596 0.60

0.60 1.92 768 0.50

0.50 2.10 841 0.50

Por lo tanto para el caso a, la velocidad es U = 2.10 m/s.

b) Ahora, si la bola del mismo diámetro tiene una densidad relativa de 7.0 y cae en aceite, las fuerzas de empuje E y arrastre FD son las mismas cambiando el peso de la bola así:

kg45792.01000x00.705.06

1SD

6

1Sw 3

agua2bola3

agua2bolabola2


E + FD 1 – w2 = 0


406.0U08.0C045792.0U08.0C052233.0 2D

2D

DD C

075.5U

C08.0

406.0U


29

Cálculo en forma tabulada para el caso b.

CD (asumido) DC

075.5U 59.399UR CD


0.50 3.18 1274 0.40

0.40 3.56 1425 0.40

Por lo tanto para el caso b la velocidad es U = 2.10 m/s.

Determinación de la velocidad de caída de la gótica de neblina.

Suponiendo como hipótesis, que el número de Reynolds de la gotica de lluvia R es < 1, entonces

según la Ley de Stokes se tiene:

s/m019.0U09.100.1000

98

10x18

10x025.0

18

1U

d

18

1U

5

23

S

2

Determinación del número de Reynolds para verificar si la hipótesis asumida es cierta.

10288.0R

98

10x18

81.9

09.110x025.0x019.0

RdU

R5

3

, hipótesis correcta.

Determinación de la velocidad de caída de la gota de lluvia.

Problema F.II-1.13 En el seno de la neblina, las gotitas de agua (supuestas esféricas) tienen un diámetro d = 0.025 mm. Para formar una gota de lluvia (supuesta esférica) se necesita un millón de de góticas de neblina. ( γagua = 1000 kg/m3, γaire = 1.09 kg/m3, μaire = 18 x 10-5 poise.) Para estas condiciones determinar:

a) La velocidad de caída de una gotica de neblina. b) La velocidad de caída de una gota de lluvia.


30

El diámetro de la gota de lluvia es:

d10Dd10Dd10DD6

1d

6

110 23/136363336

m0025.0D10x025.010D 32

Cuando la gota de agua cae en el aire, las fuerzas que actúan en este caso se muestran en siguiente diagrama de cuerpo libre.


E 6

DD

6

1 33

aire

FD 8

DU

gCD

42

U

gCA

2

UC

22

D2

2aire

D

2

aireD

w 6

DD

6

1 S3

S3

gota


E + FD 1 – w = 0



31

6

D

6

D

8

DU

gC0

6

D

8

DU

gC

6

D 3S

322

DS

322

D

3

S2

DS

322

D 6

gD8UC

6

D

8

DU

gC

D

S

S

D

2

C

13

gD4

UC3

gD4U

La ecuación anterior representa la velocidad de caída de una esfera de diámetro D y de peso especifico γS en un ambiente de peso especifico γ cuando el número de Reynolds R > 1. Para el presente caso se tiene:

DDD

S

C

47.5U

C

109.1

1000

3

81.9x0025.0x4

C

13

gD4

U

La velocidad

U se puede determinar a partir de la ecuación anterior. El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación.

Se asume un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior resultando

DC

47.5U


24.151UR

98

10x18

81.9

09.10025.0U

RDU

R5

Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos

el valor de CD


32

Con este valor se encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1

Cálculo en forma tabulada.

CD (asumido) DC

47.5U 24.151UR CD


0.49 7.81 1.20 x 103 0.40

0.40 8.65 1.30 x 103 0.40

Por lo tanto para el caso a la velocidad es U = 8.65 m/s.

Determinación del número de Reynolds R.

45

3

10x2.2R10x488.1

10x12x00.27R

DUR

Determinación gráfica del coeficiente de arrastre CD.

En el siguiente esquema se muestra un gráfico para la determinación del coeficiente de arrastre para cilindros de gran longitud.

Problema F.II-1.14 Un cable de conducción eléctrica de 12.00 mm de diámetro está tensado y expuesto a un viento con una velocidad de 25.00 m/s que choca perpendicularmente a su eje. Determinar la fuerza que actúa sobre el cable si la distancia entre los postes que lo sostiene es de 100.00 m. La temperatura del aire es de 20.00 º C. (ρ = 0.1224 UTM/m3, ν = 1.488 x 10-5 m2/s)


33

Determinación de la fuerza de resistencia.

32

D

2

DD 10x12x00.1002

00.271224.0x30.1FA

2

UCF

FD = 69.6 kg

Utilizando velocidades relativas se puede supone que la placa se encuentra en reposo y el aire

tiene una velocidad U = 12.00 m/s


kg62.1F20.1x90.02

00.12

81.9

20.1x17.0FA

2

UCF D

2

D

2

DD

Determinación de la fuerza de sustentación FS.

kg85.6F20.1x90.02

00.12

81.9

20.1x72.0FA

2

UCF S

2

S

2

SS

En el siguiente esquema se muestran dichas fuerzas y su resultante.

Problema F.II-1.15 Una placa plana de 0.90 m x 1.20 m se mueve a 12.00 m/s a través de aire en reposo (γ = 1.20 kg/m3), formando un ángulo de 12º con respecto a la horizontal. Utilizando un coeficiente de resistencia CD = 0.17 y un coeficiente de sustentación CL = 0.72, determinar:

a) La fuerza resultante que ejerce el aire sobre la placa. b) La fuerza debido al rozamiento. c) La potencia (en CV) necesaria para mantener el movimiento.


34

kg02.7R85.662.1RFFR 222S

2D

el ángulo de inclinación de R respecto a la horizontal es:

º7.7662.1

85.6tgarc

F

Ftgarc XX

D

SX

el ángulo de existente entre la resultante R y la placa es.

º7.88º12º7.76º12X

La fuerza de rozamiento se obtiene al proyectar R sobre el plano de la placa, como se muestra

en el siguiente esquema.

kg16.0Fº7.88cosx02.7FcosRF RRR


CV259.0P75

00.12x62.1P

75

UFP D

CV

KW191.0P102

00.12x62.1P

102

UFP D

KW


35

En el siguiente esquema se muestra el alerón y las fuerzas de arrastre y sustentación, considerando el alerón en reposo y actuando sobre él una corriente de aire con velocidad U.

Determinación de los coeficientes de arrastre CD y de sustentación CS. En el siguiente esquema se muestra la determinación de dichos coeficientes.

Problema F.II-1.16 Un alerón se mueve en aire en reposo (γ = 1.22 kg/m3) a una velocidad de 252.00 km/h. La longitud es de 15.00 m y el largo de la cuerda de 2.00 m; si el a´ngulo de inclinación es de 8º sobre la horizontal, determinar:

a) La fuerza de arrastre FD. b) La fuerza de sustentación FS. c) La potencia requerida para desplazar el alerón.


36

Determinación de la fuera de arrastre FD.

kg00.366F00.15x00.22

3600

1000x00.252

81.9

22.1x04.0FA

2

UCF D

2

D

2

DD

Determinación de la fuera de sustentación FS.

kg00.7320F00.15x00.22

3600

1000x00.252

81.9

22.1x80.0FA

2

UCF D

2

D

2

SS


CV60.341P75

3600

1000x00.252x00.366

P75

UFP CV

DCV

Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre la placa (dos caras).

El número de Reynolds de la placa RL es:

Problema F.II-1.17 Un planeador cuyo esquema se muestra en la figura, aterriza a una velocidad de 144.00 km/h en una atmósfera de peso especifico 1.00 kg/cm2 y viscosidad cinemática 1.5 x 10-5 m2/s. Para frenar el planeador se suelta un paracaídas con un coeficiente de resistencia CD = 1.20. Calcular el diámetro del paracaídas para que éste produzca una resistencia al movimiento igual a la resistencia por fricción originada sobre las alas. Suponer que las alas se pueden sustituir por una superficie plana de 3.00 m de largo y 15.00 m de profundidad.


37

6L5LL 10x8R

10x5.1

00.33600

1000x00.144

RLU

R

para el presente caso, el coeficiente de arrastre para placas es:

00308.0C

10x8

074.0C

R

074.0C D5/16D5/1

L

D

la fuerza de arrastre es:

kg26.45F00.30x00.32

3600

1000x00.144

81.9

00.100308.02F D

2

D

Determinación de la fuerza de resistencia FD sobre el paracaídas.

2D

2

2

D

2

DD D92.76FD42

3600

1000x00.144

81.9

00.120.1FA

2

UCF

La fuerza generada en el paracaídas = La fuerza generada en la placa

m77.0D92.76

26.45D26.45D92.76

2/12

Problema F.II-1.18 Un aviso formado por un disco de 3.50 m de diámetro, se encuentra instalado como se muestra en el esquema, con H = 10.00 m. Si sobre él actúa perpendicularmente una corriente de aire con una velocidad de 100.00 km/h; determinar el momento que se produce al pie del soporte. (ρ = 0.126 UTM/m3 , μ = 2 x 10-6 kg.s/m2)


38

Determinación del número de Reynolds.

66

10x1.6R10x2

126.0x50.3x3600

1000x00.100

RDU

R

Determinación del coeficiente de arrastre CD.

Con R = 6.1 x 106 se encuentra CD en el siguiente gráfico (discos).


kg00.468F50.342

3600

1000x100

126.0x00.1FA2

UCF D

2

2

D

2

DD

El momento respecto al pie del soporte es:

m.kg00.4680M00.10x00.468HFM D

La velocidad U se puede determinar a partir de la ecuación de la fuerza de arrastre.

2/1

2D

2/1

2D

2/1

D

2

D DC

F8U

D4

C

F2U

AC

F2UA

2

UCF

Problema F.II-1.19 A qué velocidad debe moverse una esfera de 12.00 cm de diámetro, a través de una masa de agua a 10º C (ν = 1.2 x 10-6 m2/s) para que la fuerza de arrastre sea de 0.50 kg.


39

El coeficiente de arrastre depende del número de Reynolds y este a su vez de la velocidad, por lo tanto el procedimiento se debe hacer a través de tanteos sucesivos como se muestra a continuación. Se suponer un valor de CD y se determina U mediante la ecuación anterior, resultando

2/1

D

2/1

2D C

86730.0U

12.0x14.3x102C

50.0x8U


56

10UR10x2.1

12.0UR

DUR

Con R se encuentra en el siguiente esquema correspondiente a esferas y discos el valor de CD

Con este valor de CD encuentra nuevamente U y se repite el proceso hasta que CD n = CD n – 1

Cálculo en forma tabulada.

CD (asumido)

2/1

DC

86730.0U

510UR

CD (obtenido del gráfico)

2.00 0.66 6.6 x 104 0.58

0.58 1.22 1.22 x 105 0.50

0.50 1.31 1.31 x 105 0.50

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

39

Capítulo 2

FLUJO PERMANENETE EN CONDUCTOS CERRADOS

Determinación de la velocidad. Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (salida) se tiene:

f

2

1f2

222

1

211 h0

g2

v0z00hz

g2

vpz

g2

vp

La fórmula de Darcy-Weisbach para la pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:

g2

v

D

Lfh

2

f

al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:

1

2

1

2222

1 zD

Lf1

g2

vz

g2

v

D

Lf

g2

v

g2

v

D

Lf0

g2

v0z00

f10001

24.39v

012.0

00.12f1

00.2x81.9x2v

D

Lf1

zg2v 1

Problema F.II-2.01 Para vaciar aceite (γ = 800 kg/m3, μ = 0.10 poises) de un depósito se utiliza una tubería de acero comercial de 12 mm de diámetro y 12.00 m de longitud. Determinar el caudal cuando la superficie libre del aceite en el depósito se encuentra a 2.00 m por encima de la sección de salida de la tubería.


40

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Considerando como hipótesis que el flujo es turbulento. Determinación de la rugosidad relativa ε/D. En el Diagrama de Moody se encuentra que el valor de la rugosidad ε para acero comercial es ε = 0.0046 cm.

0038.0Dcm2.1

cm0046.0

D


v960R81.9

98

10.0800x012.0v

Rg

DvR

gDv

RDv

R

Para un valor supuesto de f = 0.065 se tiene.

s/m77.0v065.0x10001

24.39v

f10001

24.39v

con v se obtiene:

2000739R77.0x960Rv960R , la hipótesis es falsa, por lo tanto

el flujo es laminar.

Considerando como hipótesis que el flujo es laminar:

Para el caso de flujo laminar el coeficiente de fricción es:


41

Dv

g64f

g

Dv

64f

R

64f

al sustituir f en la ecuación de Bernoulli se tiene:

12

2

1

22

zD

vL32

g2

vz

g2

v

D

L

Dv

g64

g2

v

00.2800x012.0

v9810.0

x00.12x32

81.9x2

v2

2

s/m583.0v000.2v40.3v051.0 2

Determinación del número de Reynolds para verificar el tipo de flujo.

2000560R583.0x960Rv960R , la hipótesis es correcta, el flujo es

laminar, entonces el caudal es:

s/m000066.0Q012.04

583.0QD4

vAAvQ 322

min/l95.3Q60x066.0Qs/l066.0Q1000x000066.0Q

Problema F.II-2.02 Por el sistema de tuberías de fundición que se muestran en el esquema circula agua ( = 1 x 10-6 m2/s), despreciando las pérdidas menores para las longitudes siguientes. Longitud del tramo 1, L1 = 60.00 m, diámetro del tramo 1, D1 = 30 cm. Longitud del tramo 2, L2 = 30.00 m, diámetro del tramo 2, D2 = 15 cm. Determinar:

a) El caudal. b) La presión en el punto B el cual se encuentra situado 30.00 m aguas abajo del

tanque de alimentación de la tubería.


42

Determinación de la velocidad. Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:

2f1fDA2f1fD

2DD

A

2AA hh0zz00hhz

g2

vpz

g2

vp

La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:

g2

v

D

Lfh,

g2

v

D

Lfh

22

2

222f

21

1

111f

al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:

g2

v

D

Lf

g2

v

D

Lf zz

22

2

22

21

1

11DA

Mediante la aplicación de la ecuación de continuidad se tiene:

2

1

221

222

21121 D

DvvD

4vD

4vQQ

que al sustituirla en la ecuación anterior se tiene:

g2

v

D

Lf

D

D

g2

v

D

Lf zz

g2

v

D

Lf

g2

D

Dv

D

Lf zz

22

2

22

4

1

22

2

1

11DA

22

2

22

22

1

22

1

11DA

g2D

Lf

D

D

g2

1

D

Lf vzz

2

22

4

1

2

1

11

22DA

81.9x2x15.0

00.30f

30.0

15.0

81.9x2

1

30.0

00.60f v00.1050.17 2

4

12

2

212

2 f19.10f64.0v50.7

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y éste a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa D/ , según se observa en el diagrama de Moody.


43

El procedimiento de cálculo es el siguiente: Se suponen valores de f y con estos se determinan las velocidades, con estas velocidades se determinan los números de Reynolds y con estos números de Reynolds se encuentra en el diagrama de Moody, para ε/D, los valores de f. Si estos coinciden con los valores supuestos los valores de f son correctos si no se repite el proceso hasta que fn = fn+1

Suponemos f1 = 0.023 y f2 = 0.020

s/m86.5v02.0x19.10023.0x64.0v50.7 22

2

s/m47.1v30.0

15.086.5v

D

Dvv 1

2

1

2

1

221

Determinación de los números de Reynolds.

5161

111 10x40.4R

10x1

30.0x47.1R

DvR

5161

222 10x80.8R

10x1

15.0x86.5R

DvR

para tubería de fundición se encuentra en el diagrama de Moody = 0.0259 cm Determinación de las rugosidades relativas.

0017.0D15

0259.0

D,00086.0

D30

0259.0

D 1211

con 111 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.023 con 222 RyD/ se encuentra en el diagrama de Moody f2 = 0.019 0.020


44

por lo tanto v1 = 1.47 m/s y v2 = 5.86 m/s Determinación del caudal Q.

s/m100.0Q30.04

47.1QD4

vQAvQ 32211

Determinación de la presión en el punto B.

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

Bf

21

BB

ABfB

2BB

A

2AA h

g2

vz

pz00hz

g2

vpz

g2

vp

La fórmula de Darcy-Weisbach de pérdida de energía por fricción para flujo permanente en tuberías es:

g2

v

D

Lfh

21

1

B11Bf

Al sustituir la ecuación de Darcy-Weisbach en la ecuación de Bernoulli se obtiene:

81.9x2

47.1

30.0

00.300.023

81.9x2

47.1 50.1650.17

p

g2

v

D

Lf

g2

v zz

p 22B

21

1

B11

21

BAB

2BB

B m/kg640p1000x64.0p64.0p

Problema F.II-2.03 Una bomba eleva agua a 15º C, desde un lago a un tanque como se muestra en el esquema. El caudal a enviar es de 560.00 lts/s (lps), la tubería tiene una longitud de 400.00 m y un diámetro de 460 mm y es de fundición. Las pérdidas menores se producen principalmente por una válvula unidireccional con un kV = 10 y tres codos a 90º con un valor de kC = 0.90 cada uno. Despreciando otro tipo de pérdidas menores, ¿cuál será la potencia necesaria para la bomba en caballos de vapor (CV) si el rendimiento o eficiencia es del 60 %?.


45

Mediante la aplicación de la ecuación de Bernoulli entre la superficie del lago y la superficie del tanque se tiene:

menoresBAfb

2BB

BA

2AA hhz

g2

vpHz

g2

vp

Las fórmulas de las pérdidas de energía por fricción y las pérdidas menores son:

g2

vkh,

g2

v

D

Lfh

2

m

2BA

BAf

al sustituirlas en la ecuación de Bernoulli se obtiene:

g2

vk

g2

v

D

Lf z

g2

vpHz

g2

vp 22BA

b

2BB

BA

2AA

g2

v9.0x310

81.9x2

v

460.0

400.00f 00.13400H00.10000

22

B

Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.

s/m37.3v46.0

4

560.0v

D4

QvAvQ

22

Determinación del coeficiente de fricción f, mediante el diagrama de Moody,

000562.0Dcm46

cm0259.0

D

155Dv46x37.3cmDs/mv

con v D = 155 y 000562.0D

se encuentra f = 0.0178 según se muestra el siguiente

esquema del diagrama de Moody.


46

m31.50Hg2

37.39.0x310

81.9x2

37.3

460.0

400.000.0178 00.34H B

22

B


VC626P60.0x75

31.50x1000x560.0P

75

HQP VC

BVC

Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.

s/m735.0v

100

15

4

1000

13

vD

4

Qv

A

QvAvQ

22


46

10x25.5R10x10.2

15.0x735.0R

DvR

Determinación de la rugosidad relativa.

0008.0Dcm15

cm012.0

D

Determinación de coeficiente de fricción en el diagrama de Moody.

Problema F.II-2.04 Está fluyendo aceite desde un depósito cerrado a través de una tubería nueva de fundición asfaltada ( = 0.012 cm) de 15.00 cm de diámetro y 150.00 m de longitud hasta un punto B como se muestra en la figura, ¿qué presión, en kg/cm2, tendrá que actuar sobre la superficie del depósito para que circule un caudal de 13.00 l/s si la densidad relativa del aceite es 0.84 y la viscosidad cinemática es 2.10 x 10-6 m2/s.


47

Determinación de la presión en A. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mfB

2BB

A

2AA hhz

g2

vpz

g2

vp

g2

vk

g2

v

D

Lfz

g2

vpz

g2

v

S

p 2B

e

2B

B

2BB

A

2A

agua

A

81.9x2

735.05.0

81.9x2

735.0

15.0

00.1500235.000.30

81.9x2

735.0000.240

1000x84.0

p 222A

2

A4

A2

A cm/kg5617.0p10x17.56pm/kg17.56p

Problema F.II-2.05 a) El sistema está formado por una tubería de acero de 61.00 m de largo y 75.00 mm

de diámetro como se muestra en el esquema, si circula un caudal de aceite de 750 l/min, la viscosidad es de 0.10 poises y el peso específico es de 960 kg/m3, determinar el desnivel entre los depósitos ΔH si la válvula de ángulo se encuentra completamente abierta y su coeficiente es kV = 5.

b)Determinar el coeficiente kV 2 de la válvula si el caudal que circula es de 300 l/min.


48

a) Determinación de ΔH. Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.

s/m83.2v

10x754

60

750.0

vD

4

Qv

A

QvAvQ

232


4

3

10x04.2R

98

10.081.9

96010x75x83.2

Rg

Dv

R


0006.0Dcm5.7

cm046.0

D


Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mfB

2BB

A

2AA hhz

g2

vpz

g2

vp

m83.11Hg2

83.2155.0

81.9x2

83.2

075.0

00.610278.0000H00

22


49

b) Determinación del coeficiente kV de la válvula para un caudal Q = 300 l/min. Determinación de la velocidad según la ecuación de continuidad.

s/m13.1v

10x754

60

300.0

vD

4

Qv

A

QvAvQ

232


3

3

10x14.8R

98

10.081.9

96010x75x83.2

Rg

Dv

R



mfB

2BB

A

2AA hhz

g2

vpz

g2

vp

m153kg2

83.21k5.0

81.9x2

13.1

075.0

00.610278.000089.1100 V

2

V

2


50

Determinación de la altura de bombeo HB.

m86.23H

10001000

00.220

70x75H

Q

P75H

75

HQP BBB

BCV

Determinación de las velocidades.

s/m38.1v

45.04

1000

220

vD

4

Qv

A

QvAvQ

221

11

111

s/m11.3v

30.04

1000

220

vD

4

Qv

A

QvAvQ

222

22

222

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y D se tiene:

mfD

2DD

BA

2AA hhz

g2

vpHz

g2

vp

Problema F.II-2.06 Si la bomba BC de la figura transfiere al fluido 70.00 CV cuando el caudal de agua a 15º C es de 220 l/s. Si f1 = 0.030; f2 = 0.020; L1 = 600.00 m; L2 = 120.00 m; D1 = 45 cm; D1 = 30 cm; se pide:

a) La cota del tanque D. b) Las rugosidades de las tuberías. c) Presión, en kg/cm2, en la entrada de la bomba. d) Presión, en kg/cm2, en la salida de la bomba.


51

81.9x2

11.31

81.9x2

38.14.0

81.9x2

11.3

45.0

00.120020.0

81.9x2

38.1

45.0

00.6030.0z86.2300.6

2222

D

zD = 21.51 m

Determinación de las rugosidades de las tuberías.

005.0D

Moody0030.0fy10.6245x38.1cmDxs/mvcon1

111

001.0D

Moody020.0fy30.9330x11.3cmDxs/mvcon1

222

cm225.045x005.0005.0D 11

1

1

cm030.030x001.0001.0D 11

2

2

Determinación de la presión en la entrada de la bomba (punto B) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

mBAfB

2BB

A

2AA hhz

g2

vpz

g2

vp

81.9x2

38.14.0

81.9x2

38.1

45.0

00.600030.000.3

81.9x2

38.1p00.600

222B

4B

2BB

B 10x1020pm/kg1020p1000x02.1p02.1p

2B cm/kg102.0p


52

Determinación de la presión en la salida de la bomba (punto C) Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C se tiene:

mCAfC

2CC

BA

2AA hhz

g2

vpHz

g2

vp

81.9x2

38.14.0

81.9x2

38.1

45.0

00.600030.000.3

81.9x2

11.3p86.2300.600

222C

4C

2CC

C 10x22450pm/kg22450p1000x45.22p45.22p

2C cm/kg245.2p


Problema F.II-2.07 Una turbina se encuentra instalada como se muestra en el esquema si el diámetro de la tubería es D = 60 cm y el coeficiente de fricción es f = 0.020, despreciando las pérdidas menores, determinar:

a) Una expresión para la altura consumida por la turbina HT en función del caudal Q. b) Una expresión para la potencia consumida por la turbina en función del caudal. c) Tabular y graficar la expresión anterior. d) El caudal para que la potencia sea máxima. e) La potencia máxima. f) El caudal para cuando la turbina consume una potencia de 530 CV. g) Dibujar la línea de energía. h) El caudal cuando no existe turbina (es decir; HT = 0 y P = 0)


53

BAfTB

2BB

A

2AA hHz

g2

vpz

g2

vp

sustituyendo los valores numéricos y la expresión de HT y las pérdidas se tiene:

81.9x2

60.0

Q4

60.0

00.61000.610020.0H00.300000.10600

2

2

T

2T

2

2

T Q95.2576H81.9x2

60.0

Q4

60.0

00.1220020.076H

Determinación de la potencia consumida por la turbina P.

32

TCV Q346Q1013P

75

Q95.25761000QP

75

HQP

Q

(m3/s) P

(CV) 0.0 0.00 0.1 100.95 0.2 199.83 0.3 294.56 0.4 383.06 0.5 463.25 0.6 533.06 0.7 590.42 0.8 633.25 0.9 659.47 1.0 667.00 1.1 653.77 1.2 617.71 1.3 556.74 1.4 468.78 1.5 351.75 1.6 203.58 1.7 22.20 1.71 0.00


54

Determinación del caudal para que la potencia sea máxima.

0Q346x310130

Qd

Q346Q1013d0

Qd

Pd 23

s/m99.0Q346x3

1013Q 3

2/1

como se evidencias en el gráfico anterior. Determinación de la potencia máxima. La potencia máxima ocurre para Q = 0.99 m3/s y es:

CV15.667P99.0x34699.0x1013PQ346Q1013P 33

como se evidencia en el gráfico anterior. Determinación del caudal cuando P = 530 CV.

33 Q346Q1013530Q346Q1013P

0530Q1013Q0Q346 23 la ecuación anterior tiene como solución:


55

)negativo(929.1Q596.0Q340.1Q 321

como se evidencia en el gráfico anterior. Solución a.

CV530Pm40.29H340.1x95.2576Hs/m340.1QPara T2

T3

1

Solución b.

CV530Pm78.66H596.0x95.2576Hs/m596.0QPara T2

T3

El caudal cuando no existe turbina, es decir para P = 0

En la expresión de la potencia se tiene:

00Q1013Q0Q346Q346Q10130Q346Q1013P 2333 la ecuación anterior tiene como solución:

)negativo(71.1Q71.1Q00.0Q 321


56

como se evidencia en el gráfico anterior. Este valor se pudo haber obtenido aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B cuando no existe turbina. Lo recomendable desde el punto de vista práctico relacionado con el consumo de agua es que el caudal este comprendido entre Q = 0.00 m3/s y Q = 0.99 m3/s, la utilización de caudales mayores implica mayor consumo de agua obteniendo la misma potencia.

Determinación de las longitudes de las tuberías.

m64.21Lº45sen

20.1350.28L

L

zº45sen BABA

BA

m49.8Lº45sen

20.1320.19L

L

zº45sen CBBA

CB

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y C se tiene:

mfC

2CC

1

211 hhz

g2

vpz

g2

vp

81.9x2

v2.05.0

81.9x2

v

30.0

49.864.21f20.19

81.9x2

v000.3000

222

Problema F.II-2.08 Para el sistema de tubería que se muestra en el esquema se tiene la siguiente información: kA = 0.5, kB = 0.2, = 1.13 x 10-6 m2/s, ε = 0.12 cm, D = 30 cm Para estas condiciones se pide:

a) El caudal. b) La presión el los puntos A y B. c) Trazar la línea de energía y la línea piezométrica.


57

30.0

13.30f7.1

20.1900.3081.9x2v20.1900.30

30.0

13.30f2.05.01

81.9x2

v2

f43.1007.1

55.14v

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.

v10x65.2R10x13.1

30.0vR

DvR 6

6

Determinación de la rugosidad relativa:

004.0Dcm30

cm12.0

D


f (supuesto) f43.1007.1

55.14v

v10x65.2R 6 f (Moody)

0.028 6.86 1.8 x 106 0.0284

0.0284 6.83 1.8 x 106 0.0284

la velocidad es v = 6.83 m/s por lo tanto el caudal es:


58

s/m483.0Q30.04

83.6QD4

vQAvQ 322

Determinación de la presión en el punto A (inmediatamente al inicio de la tubería).

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y A se tiene:

g2

v5.0z

g2

vpz00hz

g2

vpz

g2

vp 2A

A

2AA

1mA

2AA

1

211

2A

22A m/kg2066p

g2

83.65.050.28

81.9x2

83.6

1000

p00.3000

Determinación de la presión en el punto B (inmediatamente antes de B).

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y B se tiene:

g2

v5.0hz

g2

vpz00hhz

g2

vpz

g2

vp 2B

fB

2BB

1mfB

2BB

1

211

g2

83.65.0

81.9x2

83.6

30.0

64.210284.020.13

81.9x2

83.6

1000

p00.3000

222B

2

B m/kg8360p

Determinación de las pérdidas concentradas.

Pérdida menor en el punto A m19.1h81.9x2

83.65.0h

g2

vkh A

2

A

2

AA

Pérdida menor en el punto B m48.0h81.9x2

83.62.0h

g2

vkh A

2

A

2

BA

Determinación de la pérdida de energía entre los puntos A y B.

m87.4h81.9x2

83.6

30.0

64.210284.0h BAf

2

f

Determinación de la pérdida de energía entre los puntos B y C.

m91.1h81.9x2

83.6

30.0

49.80284.0h CBf

2

f


59

Cotas de la línea de energía. Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = 30.00 – pérdida en la entrada CLE A = 30.00 – 1.19 = 28.81 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE A = 28.81 – pérdida hf AB CLE A = 28.81 – 4.87 = 23.94 m Cota en el codo, inmediatamente después del punto B CLE A = 23.94 – pérdida en el codo CLE A = 23.94 – 0.48 = 23.46 m Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = 23.46 – pérdida hf B C CLE A = 23.46 – 1.91 = 21.55 m Cotas de la línea piezométrica. Cota al inicio de la tubería, en el punto A CLE A = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE A = 28.81 – 2.38 = 26.43 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE B = 23.94 – 2.38 = 21.56 m Cota en el codo, inmediatamente antes del punto B CLE B = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE A = 23.46 – 2.38 = 21.08 m Cota final de la tubería, en el punto C CLE C = cota de la línea de energía – la altura de velocidad CLE C = 21.55 – 2.38 19.20 m con estos valores se dibuja la línea de energía total y la línea piezométrica como se indica en el siguiente esquema:


60

Determinación del caudal para la válvula totalmente abierta. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:

mf2

222

1

211 hhz

g2

vpz

g2

vp

81.9x2

v12.09.09.05.0

81.9x2

v

10.0

00.300.700.4f00.10000.102

22

Problema F.II-2.09 Por el sistema de tuberías de acero comercial de 10 cm de diámetro circula agua con una viscosidad cinemática = 1.3 x 10-6 m2/s, adicionalmente se tiene la siguiente información: L1 = 4.00 m, L2 = 3.00 m, L3 = 7.00 m, k1 = 0.5, k2 = 0.9, k3 = 1.0 Para estas condiciones hallar el coeficiente de pérdida kV de la válvula parcialmente cerrada que se necesita para reducir en un 50 % el caudal correspondiente a la válvula totalmente abierta (kV totalmente abierta 0.20).


61

10.0

14f5.3

00.10000.10281.9x2v0.10000.102

10.0

00.14f5.3

81.9x2

v2

f1405.3

26.6v

la velocidad v depende del coeficiente de fricción f y este a su vez depende del número de Reynolds R y de la rugosidad relativa ε/D, según se observa en el diagrama de Moody. Determinación de número de Reynolds.

v10x69.7R10x3.1

10.0vR

DvR 4

6

Determinación de la rugosidad relativa: En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0046 cm

0005.0Dcm10

cm0046.0

D


f (supuesto) f1405.3

26.6v

v10x69.7R 4 f (Moody)

0.017 2.58 1.98 x 105 0.019

0.019 2.52 1.99 x 106 0.019

la velocidad es v = 2.52 m/s por lo tanto el caudal es:


62

s/m020.0Q10.04

52.2QD4

vQAvQ 322

Determinación de kV para cuando el caudal es 50 % del caudal inicial.

s/m010.0Q020.0x50.0QQ50.0QQ%50Q 3inicialinicial

Determinación de la velocidad media.

s/m27.1v

10.04

010.0v

D4

QvAvQ

22


46

10x80.9R10x3.1

10.0x27.1R

DvR

con ε/D = 0.0005 y R = 9.80 x 104 se encuentra en el diagrama de Moddy f = 0.0205, según se muestra en el siguiente esquema:

El valor de k se puede determinar a partir de la expresión de la velocidad en función de kV

13.18k0205.0x140k3.3

26.627.1

f140k3.3

26.6v V

VV

Problema F.II-2.10 Dos depósitos contienen agua a 15º C y están conectados mediante tres tuberías de acero comercial unidas en serie. Para un caudal de 90.00 lps determinar el desnivel entre los dos depósitos. Adicionalmente se dispone de la siguiente información: Tramo 1: L1 = 300.00 m D1 = 20.00 cm Tramo 2: L2 = 360.00 m D2 = 30.00 cm Tramo 3: L3 = 1200.00 m D3 = 45.00 cm


63

Para agua a 21º C se encuentra en la tabla de propiedades físicas del agua s/m10x975.0 26 Para tubería de acero comercial se encuentra en el diagrama de Moody ε = 0.0046 cm Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 se tiene:

mf2

222

1

211 hhz

g2

vpz

g2

vp

llegada2exp1expent3f2f1f21 hhhhhhhz00z00

g2

vk

g2

vv

g2

vv

g2

vk

g2

v

D

Lf

g2

v

D

Lf

g2

v

D

LfH

23

2

232

221

21

1

23

3

33

22

2

22

21

1

11

Determinación de las velocidades, los números de Reynolds, la rugosidad relativa y el coeficiente de fricción en los diferentes tramos de tuberías.

Tramo

Velocidad

2D

4

Qv

Reynolds

DvR

Rugosidad relativa

D

f Obtenido del diagrama de

Moody

1 2.86 5.86 x 105 0.00023 0.0155

2 1.27 3.90 x 105 0.00015 0.0155

3 0.57 2.60 x 105 0.00010 0.0160


64

81.9x2

57.00.1

81.9x2

57.027.1

81.9x2

27.186.2

81.9x2

86.25.0

81.9x2

57.0

45.0

00.12000160.0

81.9x2

27.1

30.0

00.3600155.0

81.9x2

86.2

20.0

00.3000155.0H

2222

222

m31.12H

Condición inicial.

Problema F.II-2.11 La diferencia de nivel entre la superficie de un embalse y la superficie de un tanque elevado de suministro de agua a una ciudad es de 152.00 m y la distancia entre ellos LT = 48.3 km. Los depósitos estaban originalmente conectados cun una tubería diseñada para transportar 265.00 l/s. Tiempo después fue necesario aumentar el caudal a 370.00 l/s por lo que se decidió colocar otra tubería del mismo diámetro en paralelo con la anterior en una parte de su longitud conectándolas en un determinando punto. Considerar f = 0.007 para todas la tubeías Para estas condiciones se pide:

a) El diámetro para la condición inicial. b) La longitud de tubería, del mismo diámetro, necesaria para aumentar el caudal

hasta 370.00 l/s


65

Determinación del diámetro para la condición inicial. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf00z00zh

p

g2

vz

p

g2

vz

2

2T

21f2

22

21

21

1

5/1

2

2T

2

25

2T

2

2

2T

gz2

QLf4Dz

gD2

QLf4z

g2

D

Q4

D

Lf

m41.0D81.9x14.3x00.152x2

265.0x00.48300x007.0x4D

5/1

2

22

La instalación para la condición final con tuberías de diámetro D = 0.41 m es:

condiciones: Las pérdidas por fricción en el tramo AC = pérdidas por fricción en el tramo BC

la longitud del tramo AC, LAC = longitud del tramo BC, LBC L2 El diámetro del tramo AC = diámetro del tramo BC = D El coeficiente de fricción del tramo AC = coeficiente de fricción del tramo BC

BCACBCAC

2BC2

2AC2

BCfACf QQvvg2

v

D

Lf

g2

v

D

Lfhh

2

QQQ2QQQQQQQ ACACACACBCAC


66

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre la superficie del embalse (1) y la superficie del tanque (2) y considerando entre el punto 1 y el punto B la tubería AB y entre el punto B y el punto 2, la tubería inicial se tiene:

f2

22

21

21

1 hp

g2

vz

p

g2

vz

g2

D

Q4

D

LLf

g2

D

2/Q4

D

Lfz

2

2ACT

2

2AC

81.9x2

41.0x14.3

370.0x4

41.0

L00.48300007.0

81.9x2

41.0x14.3

2/370.04

41.0

L007.000.152

2

2AC

2

2AB

m34776LAC

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y 1 se tiene:

g2

D

Q4

D

Lfzz

phz

g2

vpz

g2

vp

2

21

1

1

11A

A1tramof1

211

A

2AA

s/m504.0Q81.9x2

40.0x14.3

Q4

40.0

00.3200017.000.9000.120

1000

10x2.8 31

2

21

4

Problema F.II-2.12 Una tubería principal se divide en tres ramales que descargan a la atmósfera como se muestra en el siguiente esquema, si la presión en el punto A es de 8.20 kg/cm2 y el coeficiente de fricción de todas las tuberías se puede suponer como f = 0.017. Determinar el caudal que circula por cada una de las tuberías y el caudal en la tubería principal.


67


g2

D

Q4

D

Lfzz

phz

g2

vpz

g2

vp

2

22

2

2

22A

A2tramof2

222

A

2AA

s/m464.0Q81.9x2

40.0x14.3

Q4

40.0

00.4800017.000.6000.120

1000

10x2.8 32

2

22

4


g2

D

Q4

D

Lfzz

phz

g2

vpz

g2

vp

2

23

3

3

33A

A3tramof3

233

A

2AA

s/m429.0Q81.9x2

40.0x14.3

Q4

40.0

00.6800017.000.3000.120

1000

10x2.8 33

2

23

4

El caudal por la tubería principal es:

s/m397.1Q429.0464.0504.0QQQQQ 3321

Problema F.II-2.13 Un caudal ( = 0.0113 x 10-4 m2/s) de 570 l/s circula a través de la red de tuberías de hierro fundido (ε = 0.26 mm) mostradas en la figura. Para una presión manométrica de 7.03 kg/cm2 en el nodo A. Determinar:

a) El caudal Q1 en el tramo 1. b) El caudal Q2 en el tramo 2. c) La presión en el nodo B.


68

Determinación de las pérdidas por fricción en el tramo 1 entre el nodo A y el nodo B. Asumiendo un valor de Q1 = 0.170 m3/s se tiene que la velocidad v1 es:

s/m405.2v30.0x14.3

170.0x4v

D

Q4v

A

Qv 1212

1

11

1

Determinación del número de Reynolds R1

5141

111 10x4.6R

10x0113.0

30.0x41.2R

DvR


0009.0mm300

mm26.0

D1

con R1 = 6.4 x 105 y 0009.0D1

se encuentra en el diagrama de Moody f1 = 0.0198,

según se muestra en el siguiente esquema.

La pérdida de energía en el tramo 1 es:

g2

D

Q4

D

Lfh

g2

v

D

Lfh

2

21

1

1

111tramof

21

1

1f

m68.11h81.9x2

30.0x14.3

170.0x4

30.0

00.6000198.0h 1tramof

2

2

1tramof


69

Para el tramo 2

0006.0mm470

mm26.0

D2

, suponiendo flujo turbulento en el diagrama de Moody f2 = 0.018

entonces

s/m61.3v81.9x2

v

470.0

00.460018.068.11

g2

v

D

Lfh 2

22

22

2

222tramof

6242

222 10x5.1R

10x0113.0

47.0x61.3R

DvR

con

0006.0D2

y R2 en el diagrama de Moody f2 = 0.018

por lo tanto

s/m626.0Q47.04

61.3QD4

vQAvQ 32

22

222222

s/m570.0Qs/m796.0Q626.0170.0QQQQ 33

21 como no se cumple que la sumatoria de los caudales sea igual al caudal que transporta la tubería, se reparte proporcionalmente el caudal, es decir:

s/m1217.0Q570.0626.0170.0

170.0QQ

Q

QQ 3

11´

´1

1

s/m4483.0Q570.0626.0170.0

626.0QQ

Q

QQ 3

21´

´2

2

Determinación de las pérdidas por fricción en cada una de las tuberías. La pérdida de energía en el tramo 1 es.

21

11

D

Q4v

11

1

DvR

1D

f

(del diagrama de Moody)

1.722 4.6 x 105 0.0009 0.0198


70

g2

D

Q4

D

Lfh

g2

v

D

Lfh

2

21

1

1

111tramof

21

1

1f

m98.5h81.9x2

30.0x14.3

1217.0x4

30.0

00.6000198.0h 1tramof

2

2

1tramof

Para el tramo 2 La pérdida de energía en el tramo 1 es.

22

22

D

Q4v

22

2

DvR

2D

f

(del diagrama de Moody)

2.58 1.07 x 105 0.0006 0.018

g2

D

Q4

D

Lfh

g2

v

D

Lfh

2

22

2

2

222tramof

22

2

2f

m995.5h81.9x2

47.0x14.3

4483.0x4

47.0

00.460018.0h 2tramof

2

2

1tramof

como, s/m448.0Qs/m127.0Qhh 3

23

12f1f

Determinación de la presión en el nodo B. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B se tiene:

g2

D

Q4

D

Lfz

pz

phz

g2

vpz

g2

vp

2

21

1

1

11

BA

A1tramof1B

2BB

A

2AA

2B

2

2B

4

m/kg55855p81.9x2

30.0x14.3

1217.0x4

30.0

00.600018.000.15

1000

p00.6

1000

10x03.7


71

Determinación del caudal para la condición inicial.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 se tiene:

zg2

D

Q4

D

Lfhz

g2

vpz

g2

vp

2

2i

21f2

222

1

211

Lf

Dzg2D

4Q 2

i

Determinación del caudal para la condición final.

Problema F.II-2.14 Una tubería de diámetro uniforme une dos depósitos. Determinar el porcentaje en que se incrementa el caudal si a partir del punto medio se pone a funcionar en paralelo otra tubería del mismo diámetro. Suponer un valor constante e igual para la fricción en todas las tuberías. Despreciar las pérdidas menores.


72

2

QQQ2QQQQQQ AABABA

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2, a través de la tubería A se tiene:

2MfM1f2

222

1

211 hhz

g2

vpz

g2

vp

zg2

D

2/Q4

D

2

L

fg2

D

Q4

D

2

L

f

2

2f

2

2f

z

g2D4

4

Q

D2

Lf

g2D4

Q

D2

Lf

22

2f

22

2f

z8

5

Dg2

Lf

D4

Qz

8

1

2

1

Dg2

Lf

D4

Q2

2

2f

22

2f

Lf

Dzg2

5

8D

4Q

5

8

Lf

Dzg2D

4Q 2

f

222

f

Determinación del porcentaje de incremento en el caudal.

26.01

15

8

Lf

Dzg2D

4

Lf

Dzg2D

4Lf

Dzg2

5

8D

4

Q

Q

Q

QQ

2

22

ii

if

%26Q

Q

i

Problema F.II-2.15 Determinar la pendiente de la línea de alturas piezométricas para un flujo de aire atmosférico a 27 º C a través de conducto de sección rectangular de 45 cm x 15 cm de hierro galvanizado si la velocidad media es v = 9.00 m/s.


73

La viscosidad cinemática de aire a 27º C se encuentra en el gráfico de viscosidad cinemática de algunos gases y líquidos. Los gases están a presión atmosférica normal, según se muestra en el siguiente esquema.

El radio hidráulico es

056.0R45.045.015.015.0

45.0x15.0R

P

AR HHH

Determinación del número de Reynolds

55

H 10x26.1R10x6.1

056.0x400.9R

R4vR

Determinación de la rugosidad relativa En el diagrama de Moody se encuentra ε = 0.0152 cm

007.0m056.0x4

m00152.0

R4 H

con la rugosidad relativa y el número de Reynolds se encuentra en le diagrama de Moody f = 0.035, según se muestra en el siguiente esquema.


74

Determinación de la pérdida de energía para una longitud de 100.00 m

m50.64h81.9x2

00.9

056.0x4

00.100035.0h

g2

v

R4

Lfh f

2

f

2

Hf

esto quiere decir que en 100.00 m de conducto hay una pérdida de energía de 64.50 m; lo que se puede expresar por un 64.50 % como se muestra en el siguiente esquema

Determinación del radio hidráulico

aR44

aR

a4

aR

P

AR HH

2

HH

g2a

Q

a

Lfh

g2

v

R4

Lfh

2

2

f

2

Hf

si el conducto tiene un longitud de 100.00 m y suponiendo un valor de f = 0.020 se tiene.

m62.0a81.9x2

300.0x00.100x020.01.0

81.9x2a

300.0

a

00.100020.01.0

2

2

2

El resultado del lado “a” es correcto si el valor supuesto de f es el adecuado, esto se puede verificar mediante el diagrama de Moody de la siguiente manera:

Problema F.II-2.16 ¿Qué dimensiones tendrá un conducto cuadrado para que transporte 300 l/s de agua a 15º C con una pendiente de la línea piezométrica de 0.1 % si la rugosidad del conducto es ε = 0.001 m.?


75

con el valor de “a” determinar la velocidad

con v determinar v (4 RH)

con “a” determinar la rugosidad relativa

con la rugosidad relativa y v (4 RH) se encuentra en el diagrama de Moody f

se repite el procedimiento hasta que fn fn – 1

a 2a

Qv cmR4s/mv H

HR4

f (del diagrama de Moddy)

0.62 0.78 48 0.0016 0.022

0.63 0.76 49 0.0016 0.022

Por lo tanto el valor de a es 0.63 m

Primera vuelta Suponiendo una altura piezométrica en el punto J de:

00.120zp

JJ

Problema F.II-2.17 Para el esquema de la figura si f = 0.025 y se desprecian las pérdidas menores. Determinar:

a) La altura piezométrica en el punto J. b) El sentido y magnitud del caudal en cada una de las tres tuberías.

Adicionalmente se tienen la siguiente información: z1 = 130.00 z2 = 115.00 z3 = 100.00 zj = 110.00 D1 = 0.30 D2 = 0.25 D 3 = 0.20 L1 = 900.00 L2 = 1100.00 L3 = 1500.00


76

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf

g2

D

Q4

zp

0z0hg2

vz

p

g2

vz

p

2

21

1

1

1

2

21

1

JJ

1J1f

2J

JJ

21

11

81.9x2

30.0x14.3

Q4

30.0

00.900025.0

81.9x2

30.0x14.3

Q4

00.120000.1300

2

21

2

21

Q1 = 0.114 m3/s

al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf00.1150

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

22

2

2

2

2

22

2

JJ

2Jf

22

22

2J

JJ

81.9x2

25.0x14.3

Q4

25.0

00.1100025.000.115

81.9x2

25.0x14.3

Q4

00.120

2

22

2

22

Q2 = 0.0465 m3/s


g2

D

Q4

D

Lf00.1000

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

23

3

3

3

2

22

2

JJ

3Jf

23

33

2J

JJ

81.9x2

20.0x14.3

Q4

20.0

00.1500025.000.100

81.9x2

20.0x14.3

Q4

00.120

2

23

2

22

Q3 = 0.0455 m3/s


77

Verificación si se cumple la ecuación de continuidad.

0920.0114.00455.00465.0?114.0QQQ 321

No se cumple la ecuación de continuidad, esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 disminuya y Q2 y Q3 aumenten, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo:

00.125zp

JJ

Segunda vuelta al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf

g2

D

Q4

zp

0z0hg2

vz

p

g2

vz

p

2

21

1

1

1

2

21

1

JJ

1J1f

2J

JJ

21

11

81.9x2

30.0x14.3

Q4

30.0

00.900025.0

81.9x2

30.0x14.3

Q4

00.125000.1300

2

21

2

21

Q1 = 0.0802 m3/s


g2

D

Q4

D

Lf00.1150

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

22

2

2

2

2

22

2

JJ

2Jf

22

22

2J

JJ

81.9x2

25.0x14.3

Q4

25.0

00.1100025.000.115

81.9x2

25.0x14.3

Q4

00.125

2

22

2

22

Q2 = 0.0656 m3/s



78

g2

D

Q4

D

Lf00.1000

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

23

3

3

3

2

22

2

JJ

3Jf

23

33

2J

JJ

81.9x2

20.0x14.3

Q4

20.0

00.1500025.000.100

81.9x2

20.0x14.3

Q4

00.125

2

23

2

22

Q3 = 0.0509 m3/s


1165.00802.00509.00656.0?0802.0QQQ 321

No se cumple la ecuación de continuidad; esto indica que la altura piezométrica en el punto J debe ser mayor para que Q1 aumente y Q2 y Q3 disminuyan, entonces se repite el proceso con otro valor de altura piezométrica como por ejemplo:

50.122zp

JJ

Tercera vuelta Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el punto 1 y el nodo J (el flujo es de 1 a J) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf

g2

D

Q4

zp

0z0hg2

vz

p

g2

vz

p

2

21

1

1

1

2

21

1

JJ

1J1f

2J

JJ

21

11

81.9x2

30.0x14.3

Q4

30.0

00.900025.0

81.9x2

30.0x14.3

Q4

50.122000.1300

2

21

2

21

Q1 = 0.1016 m3/s

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 2 (el flujo es de J a 2) se tiene:


79

g2

D

Q4

D

Lf00.1150

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

22

2

2

2

2

22

2

JJ

2Jf

22

22

2J

JJ

81.9x2

25.0x14.3

Q4

25.0

00.1100025.000.115

81.9x2

25.0x14.3

Q4

50.122

2

22

2

22

Q2 = 0.0551 m3/s

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre el nodo J y el punto 3 (el flujo es de J a 3) se tiene:

g2

D

Q4

D

Lf00.1000

g2

D

Q4

zp

hg2

vz

p

g2

vz

p

2

23

3

3

3

2

22

2

JJ

3Jf

23

33

2J

JJ

81.9x2

20.0x14.3

Q4

20.0

00.1500025.000.100

81.9x2

20.0x14.3

Q4

50.122

2

23

2

22

Q3 = 0.0478 m3/s


1029.01016.00478.00551.0?1016.0QQQ 321

Solución

La altura piezométrica en el punto J es 122.50 m. En la tubería 1 circula un caudal Q1 = 0.1016 m3/s del tanque 1 hacia el nodo J. En la tubería 2 circula un caudal Q2 = 0.0551 m3/s del nodo J hacia el tanque 2. En la tubería 3 circula un caudal Q2 = 0.0478 m3/s del nodo J hacia el tanque 3.


80

Primera vuelta Se supone una distribución de caudales como la indicada en la figura de tal forma que el caudal en cada nodo sea cero:

Problema F.II-2.18 Determinar los caudales que circulan por cada una de las tuberías de la red mostrada. Adicionalmente se dispone de la siguiente información: L1 = 800.00 D1 = 0.10 ε 1 = 0.15 mm L2 = 500.00 D2 = 0.15 ε 2 = 0.20 mm L3 = 400.00 D3 = 0.20 ε 3 = 0.10 mm


81

Las pérdidas de energía por fricción para cualquier tramo de tubería es:

2i5

i2

iiif

2

2i

i

i

iiif

2i

i

iiif Q

gD

Lf8h

g2

D

Q4

D

Lfh

g2

v

D

Lfh

2iiif5

i2

iii Qrh

gD

Lf8rsi

para los diferentes tramos se tiene:

T

L

(m)

D

(m)

ε

(mm)

D

f

Moody

gD

Lf8r 5

i2

iii

Q

x 10-3 (m3/s)

Pérdida por fricción

2iiif Qrh

ii Qr

1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 30 131.01 4367.10

2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 20 - 4.58 228.74

3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 70 - 8.61 122.99

ii

f

Qr2

hQ

la corrección ΔQ es:

s/m0125.0Q

66.9437

82.117Q

99.12274.22810.43672

61.858.401.131Q 3

s/l5.12Q

nuevos caudales

tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 + 12.5 30 - 12.5 = +17.5 2 +12.5 - 20 - 12.5 = - 32.5 3 +12.5 - 70 - 12.5 = - 82.5


82

Segunda vuelta


T

L

(m)

D

(m)

ε

(mm)

D

f

Moody

gD

Lf8r 5

i2

iii

Q

x 10-3 (m3/s)


2iiif Qrh

ii Qr

1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 17.5 44.58 2547.48

2 500 015 0.20 0.0013 0.021 11437 - 32.5 - 12.08 371.70

3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 - 82.5 - 11.96 144.95

ii

f

Qr2

hQ


s/m0033.0Q

26.6128

54.20Q

95.14470.37148.25472

96.1108.1258.44Q 3

s/l3.3Q

nuevos caudales

tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 - 3.3 +17.5 - 3.3 = +14.2 2 - 3.3 - 32.5 - 3.3 = - 35.8 3 - 3.3 - 82.5 - 3.3 = - 85.8


83

Tercera vuelta


T

L

(m)

D

(m)

ε

(mm)

D

f

Moody

gD

Lf8r 5

i2

iii

Q

x 10-3 (m3/s)


2iiif Qrh

ii Qr

1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 14.2 29.35 2067.09

2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 - 35.8 - 14.66 409.44

3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 - 85.2 - 12.75 149.70

ii

f

Qr2

hQ


s/m0003.0Q

46.5252

94.1Q

70.14944.40909.20672

75.1266.1435.29Q 3

s/l3.0Q

nuevos caudales

tramo Corrección ΔQ Caudal Q 1 - 0.3 + 14.2 - 0.3 = + 13.90 2 - 0.3 - 35.8 - 0.3 = - 36.10 3 - 0.3 - 85.2 - 0.3 = - 85.50


84

Cuarta vuelta


T

L

(m)

D

(m)

ε

(mm)

D

f

Moody

gD

Lf8r 5

i2

iii

Q

x 10-3 (m3/s)


2iiif Qrh

ii Qr

1 800 0.10 0.15 0.0015 0.022 145570 13.9 + 28.13 2023.42

2 500 0.15 0.20 0.0013 0.021 11437 36.1 - 14.90 412.88

3 400 0.20 0.10 0.0005 0.017 1757 85.5 - 12.84 150.22

ii

f

Qr2

hQ


s/m00008.0Q

04.5173

39.0Q

22.15088.41242.20232

84.1290.1413.28Q 3

s/l0Q

Resultado Los caudales que circulan por las diferentes tuberías son: tubería 1; Q1 = 13.90 l/s, tubería 2; Q2 = 36.10 l/s, tubería 3; Q3 = 85.5 l/s Las pérdidas por fricción en las diferentes tuberías son: tubería 1; hf 1 = 28.13 m, tubería 2; hf 2 = 14.90 m, tubería 3; hf 3 = 12.84 m

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN CANALES _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

85

Capítulo 3

PRINCIPIO DE ENERGIA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO AL FLUJO EN

CANALES La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es:

g2

vyE

2

esta ecuación se hace adimensional al dividir entre yC, obteniéndose:

C

2

CC yg2

v

y

y

y

E

en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene y

qv

Al sustituir en la expresión anterior resulta:

C

2

2

CC yyg2

q

y

y

y

E

La profundidad crítica en canales rectangulares es:

gyqg

qy 3

C2

3

2

C ,

al sustituir en la expresión anterior

2

C

CCC2

3C

CC

y

y2

1

y

y

y

E

yyg2

gy

y

y

y

E

Problema F.II-3.01 a) Desarrollar una expresión que represente E/yc en función de y/yc para canales

rectangulares. b) Graficar la expresión anterior.


86

si zy

ye,x

y

E

CC

, entonces la ecuación anterior se escribe como:

z2

1zx

La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:

Diagrama adimensional de energía específica

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

55,5

66,5

0 0,5

1 1,5

2 2,5

3 3,5

4 4,5

5 5,5

6 6,5

7 7,5

8

E/yc

y/y c

El caudal máximo qmax, se produce cuando la profundidad es la crítica yc, por lo tanto:

gyqg

qy 3

cmax3

2max

c

La energía mínima corresponde a la profundidad crítica yc y es igual

cmin y2

3E

La energía específica (energía referida al fondo del canal), para una sección rectangular es:

Problema F.II-3.02 c) Desarrollar una expresión que represente q/qmax en función de y/yc para canales

rectangulares. d) Graficar la expresión anterior.


87

g2

vyE

2

en canales rectangulares q = v y , al despejar se obtiene y

qv

al sustituir en la ecuación anterior se obtiene:

yEyg2qyg2

qyE 22

2

2

al dividir la expresión anterior entre qmax se obtiene:

c

2

c

2

maxc3

c

22

max y

y

2

3

y

y2

q

qyy

2

3

gy

yg2

q

q

si zy

ye,x

q

q

Cmax

, entonces la ecuación anterior se escribe como:

z

2

3z2x 22

La expresión anterior se puede calcular y graficar en excel obteniéndose el gráfico siguiente:

Diagrama adimensional de descarga

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

11,11,21,31,41,51,6

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1

q/qmáx

y/y c


88

La ecuación adimensional de energía específica para canales rectangulares es:

2

C

CC

y

y2

1

y

y

y

E

E/yC y2/yC y1/yC y1/y2 1.50 1.00 1.00 1.00 2.07 0.58 1.93 3.33 2.50 0.50 2.41 4.82 3.02 0.44 2.97 6.75 3.53 0.40 3.49 8.73 4.02 0.37 3.99 10.78 4.67 0.34 4.64 13.65 5.20 0.32 5.19 16.22 5.51 0.31 5.49 17.71

0

5

10

15

20

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5

E/yc

y 1/y

2

Problema F.II-3.03 Construir un diagrama adimensional que represente las alturas alternas y1/y2, de la compuerta rectangular que se muestra en la figura en función de E/yC


89

Perfil longitudinal

Determinación de la energía especifica aguas debajo de la compuerta:

g2

y

q

yEg2

vyE

2

222

22

22

al sustituir los valores numérico se obtiene:

m87.2E81.9x2

60.0

00.4

60.0E 2

2

2

Determinación de la profundidad crítica yC:

m18.1y81.9

00.4y

g

qy C

3

2

C3

2

C

a)Mediante la utilización del gráfico adimensional de alturas alternas de una compuerta de admisión inferior.

Con la relación adimensional 43.218.1

87.2

y

E

C

, se encuentra en el gráfico de alturas alternas

de la compuerta 70.4y

y

2

1 , como se indica en el siguiente esquema:

Problema F.II-3.04 En un canal rectangular de 1.00 m de ancho, se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, por dicho canal fluye un caudal de 4.00 m3/s. Si la profundidad aguas debajo de la compuerta es de 60.00 cm, determinar mediante la utilización de los gráficos adimensionales:

a) La profundidad aguas arriba de la compuerta. b) La fuerza producida por la corriente de agua sobre la compuerta.


90

por lo tanto y1 = 4.70 x y2 y1 = 4.70 x 0.60 y1 = 2.82 m

b) Mediante la utilización del gráfico adimensional de energía específica.

Con la relación adimensional 43.218.1

87.2

y

E

C

, se encuentra en el gráfico de energía

específica 39.2y

y

C

1 , como se indica en el siguiente esquema:

por lo tanto y1 = 2.39 x yC y1 = 2.39 x 1.18 y1 = 2.82 m

c) Determinación de la fuerza sobre la compuerta mediante la utilización del gráfico adimensional de fuerza especifica.

Con 39.218.1

82.2

y

y

C

1 se encuentra en el gráfico de fuerza especifica, 20.3yb

M2

C

1

Con 51.018.1

60.0

y

y

C

2 se encuentra en el gráfico de fuerza específica, 10.2yb

M2

C

2


91

10.220.3yb

F

yb

M

yb

M

yb

F2

C2

C

22

C

12

C

kg1531F18.1x00.1x1000x10.220.3Fyb10.220.3F 22C

La sección de aproximación, aguas arriba de la compuerta, se designará, sección 1. La sección de salida, aguas debajo de la compuerta, se designará, sección 2. Determinación de las velocidades v1 , v2 y el caudal Q: La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica:

12

122211221121 v

y

yvyBvyBvAvAvQQ

Problema F.II-3.05 Calcular, analíticamente, la fuerza que ejerce el agua sobre la compuerta rectangular de 1.00 m de ancho que se muestra en la figura.


92

para el presente caso la velocidad V2 es:

1212 v3vv60.0

80.1v

La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 al despreciar las pérdidas de energía y sustituir la ecuación de continuidad indica:

21

21

21

21

2

21

1

22

2

21

1 yyg2

v

g2

v9

g2

v3y

g2

vy

g2

vy

g2

vy

al despejar y sustituir se obtiene:

s/m72.1

8

60.080.181.9x2v

8

yyg2v 1

211

la velocidad V2 es:

s/m16.5v72.13vv3v 2212 y el caudal Q es:

s/m10.380.1x00.172.1AvQ 311

Determinación de la fuerza F, que ejerce el agua sobre la compuerta: Debido a que el agua se encuentra en movimiento esta fuerza se determina mediante la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2. Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control se muestran en el siguiente esquema:

donde: F1 es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 1, al ser las líneas de

corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática.


93

F2 es la fuerza producida contra el volumen de control en la sección 2, al ser las líneas de corriente rectas y paralelas se puede suponer que la distribución de presiones es hidrostática.

Fx es la fuerza producida contra el volumen por la acción de la compuerta.

kg00.162080.1x00.1x10002

1FyB

2

1F 2

1211

kg00.18060.0x00.1x10002

1FyB

2

1F 2

2222

La ecuación de cantidad de movimiento aplicada entre las secciones 1 y 2 indica:

x1x2X21x1x2x vvQFFFvvQF

72.116.5102x10.3F00.18000.1620 X

Fx = 354.00 kg

Esto indica que la acción de la compuerta sobre el volumen de control es de 354.00 kg hacia la izquierda, por lo tanto la acción del agua sobre la compuerta es de 354.00 kg hacia la derecha, es decir:

kg00.354F

Problema F.II-3.06 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, según se muestra en la figura. Demostrar que la profundidad crítica yC, se puede expresar en función de las profundidades alternas (profundidades correspondientes a la misma energía

específica) como: 21

22

21

C yy

yy2y


94

Energía especifica antes de la compuerta = Energía específica después de la compuerta

1222

21

2

22

2

221

2

1

22

2

21

1 yyy

1

y

1

g2

q

g2y

qy

g2y

qy

g2

vy

g2

vy

la profundidad crítica en canales rectangulares es:

g

qy

g

qy

23

C3

2

C

al sustituir yC

3 en la ecuación anterior se tiene:

1222

21

21

22

3C

1222.

21

3C yy

yy

yy

2

yyy

y

1

y

1

2

y

sustituyendo la diferencia de los cuadrados 12122

12

2 yyyyporyy , es tiene:

21

21

223

C22

21

123

C122

22

1

12123

C

yy

yy2y1

yy

yy

2

yyy

yy

yyyy

2

y

Problema F.II-3.07 En un canal rectangular se encuentra instalada una compuerta de admisión inferior, aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico con profundidades de 0.60 m antes del resalto y 1.50 m aguas abajo del resalto, como se muestra en la figura. Para las condiciones indicadas se pide:

a) El caudal por unidad de ancho q. b) La profundidad y0 antes de la compuerta. c) La energía disipada por el resalto. d) La fuerza por unidad de ancho, que ejerce el agua contra la compuerta.


95

Determinación del caudal unitario q: A partir de la ecuación del resalto hidráulico se puede obtener el número de Froude en la sección 1 así:

2

1

2 811y

y21F

Al sustituir los valores numéricos en la ecuación anterior se obtiene que el número de Froude es:

09.28

1160.0

50.1x2

81160.0

50.1x2

2

2

111 FFF

por otra parte

s/m07.5v60.0x81.909.2v60.0x81.9

v09.2

yg

v11

1

1

1 1F

mediante la ecuación de continuidad se obtiene:

m/s/m04.3q60.0x07.5qyvq 311

Determinación de la profundidad crítica yC:

m98.0y81.9

04.3y

g

qy C

3

2

C3

2

C

Determinación de la profundidad y0, aguas arriba de la compuerta:

con 61.098.0

60.0

y

y

C

1 se encuentra en el gráfico adimensional de energía especifica 81.1y

y

C

0 ,

según se muestra en el siguiente esquema.


96

como 81.1y

y

C

0 , entonces m81.1y89.0x81.1yyx81.1y 00C0

Determinación de pérdida de energía en el resalto hidráulico:

con 61.098.0

60.0

y

y

C

1 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 00.2y

E

C

1

este valor corresponde a la sección 1 (antes del resalto)

con 53.198.0

50.1

y

y

C

2 se encuentra en el gráfico anterior, de energía especifica 76.1y

E

C

2

este valor corresponde a la sección 2 (después del resalto), por lo tanto la pérdida de energía es:

24.0y

E76.100.2

y

E

y

E

y

E

y

E

CCC

2

C

1

C

m24.0E98.0x24.0E Determinación de la fuerza sobre la compuerta:

con 85.198.0

81.1

y

y

C

0 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza especifica 28.2yb

M2

C

0

Este valor corresponde a la sección 0 (antes de la compuerta)

Con 61.098.0

60.0

y

y

C

1 se encuentra en el siguiente gráfico, de fuerza específica 82.1yb

M2

C

1

Este valor corresponde a la sección 1 (después de la compuerta), por lo tanto la fuerza sobre la compuerta es:

46.0yb

F82.128.2

yb

F

yb

M

yb

M

yb

F2

C2

C2

C

12

C

02

C

kg442F98.0x1000x46.0F 2


97

La ecuación de continuidad muestra que:

11

110

00 y

qv

y

qvquey

2

qv

y

qv

La ecuación de cantidad de movimiento entre los puntos 0 y 1 es:

01

21

20 y

q

y

qq

gFy

2

1y

2

1

sustituyendo y0 = 2.00, F = 400.00 y dividiendo la expresión entre γ se tiene:

2

q

y

qq

g

1400

1y

2

112

2

11

1

21

2

Problema F.II-3.08 Para la compuerta rectangular que se muestra en el esquema determinar y1 y el caudal unitario, sabiendo que la fuerza por unidad de ancho que ejerce el agua sobre la compuerta es de 400.00 kg.


98

Por ser agua γ = 1000 kg/m3

2

q

y

qq

g

1

1000

400y

2

12

1

21

Al simplificar se obtiene:

21

1

2

y5.06.15.0y

1

g

q

ec.I

La ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y 1 es:

g2y

qy

g22

q2

g2

vy

g2

vy

21

2

12

221

1

20

0

121

2

y24

1

y

1

g

q

2

1

121

2

y225.0y

1

g

q

2

1

ec.II

Dividiendo miembro a miembro la ec. I entre la ec. II se tiene:

1

21

21

1

y2

y5.06.1

25.0y

1

2

1

50.0y

1

En la ecuación anterior y1 está implícito y se satisface para y1 = 0.72 m. De la ec. I se obtiene al despejar q:

m

s/m85.3q

5.072.0

181.972.0x5.06.1

q5.0

y

1gy5.06.1

q32

1

21


99

Determinación de las profundidades secuentes o conjugadas del resalto hidráulico: Las dos profundidades y1 e y2 antes y después de un resalto se denominan profundidades secuentes o conjugadas y corresponden a una fuerza especifica constante. En este caso el resalto hidráulico tiene una diferencia de alturas de: y2 – y1 = 0.96 m y2 = y1 + 0.96 La pérdida de energía en los resaltos hidráulicos en canales rectangulares es:

21

312

21 yy4

yyEEE

0

04.0

96.0y96.0x4y4

96.0yy4

96.004.0

3

121

11

3

012.22y84.3y4 1

21

Esta ecuación de segundo grado en y1, tiene como raíz real positiva: y1 = 1.92 m, como además y2 = y1 + 0.96, entonces, y2 = 1.92 + 0.96 = 2.88 m Determinación del caudal unitario, q: El caudal unitario q, se define como la relación entre el caudal total Q y el ancho del canal rectangular B es decir:

Problema F.II-3.09 Para el canal rectangular de ancho B que se muestra en el esquema si ΔE = 4 cm y Δy = 96 cm determinar: 1.- La profundidad y1, aguas arriba del resalto. 2.- La profundidad y2, aguas abajo del resalto. 3.- El caudal unitario q. 4.- La profundidad yo, aguas arriba de la compuerta.


100

s/móm

s/m

B

Qq 2

3

y corresponde a la cantidad de agua que circula en una franja de canal rectangular de 1.00 m de ancho La ecuación de continuidad aplicada entre las secciones 1 y 2, para un ancho unitario indica:

2222

111121 y

qvyvq;

y

qvyvqqqq

La ecuación de Bernoulli aplicada entre las secciones 1 y 2 y sustituyendo la ecuación de continuidad indica:

Eg2y

qy

g2y

qyE

g2

vy

g2

vy

22

2

221

2

1

22

2

21

1

al sustituir los valores numéricos correspondientes al presente caso se tiene:

04.081.9x2x88.2

q88.2

81.9x2x92.1

q92.1

22

obteniendo al simplificar y despejar:

m

s/m41.11

00615.001380.0

92.104.088.2q92.104.088.2q00615.0q01380.0

322

Determinación de la profundidad yo, antes de la compuerta: Las dos profundidades yo e y1 antes y después de una compuerta se denominan profundidades alternas y corresponden a una energía constante E.

g2y

qy

g2y

qy

g2

Vy

g2

Vy

21

2

120

2

0

21

1

20

0

al sustituir los valores correspondientes al presente caso se tiene.

81.9x2x92.1

41.1192.1

81.9x2xy

41.11y

2

2

20

2

0

obteniendo al simplificar y despejar:


101

063.6y72.3y72.3y

63.6y 2

0302

00

Esta ecuación de tercer grado en y0, tiene como raíz real positiva:

y0 = 2.96 m

a) Demostración de la ecuación para el caudal: La ecuación de continuidad muestra que:

H

CavvBCavBHvQQ C1

0C1010

Si no existe pérdida de energía entre la sección o y la 1 entonces:

g2

vCa

g2

vH

21

C

2o

Problema F.II-3.10 Para el esquema que se muestra se pide:

a) Demostrar que el caudal se puede expresar como:

Hg2

H

Ca1

BCaQ

C

C

b) Calcular el caudal por unidad de ancho para H = 2.00 m, a = 0.25 m, CC = 0.60. c) La altura y2 del resalto suponiendo que el resalto comienza inmediatamente

después de la vena contraída. d) La energía disipada por el resalto ΔE. e) La profundidad crítica yC. f) La altura del escalón Δz0 para que se produzca sobre él la profundidad crítica yC.


102

Sustituyendo v0 en la expresión anterior se tiene:

C2

2C

221

21

21

C

2

C1

CaHHg2

Cav

g2

v

g2

vCa

g2

H

Cav

H

C

2

C22

1 CaHH

Ca1

g2

v

H

Ca1

H

Ca1

H

Ca1Hg2

v

H

Ca1

H

Ca1

CaHg2v

CC

C

1CC

C1

H

Ca1

Hg2v

C1

Según la ecuación de continuidad Q = v A, entonces para el presente caso:

BCa

H

Ca1

Hg2AvQ C

C11

Hg2

H

Ca1

BCaQ

C

C

b) Para H = 2.00 m, a = 0.25 m y CC = 0.600 el caudal unitario es:

m

s/m906.000.2x81.9x2

00.2

600.0x25.01

600.0x25.0qHg2

H

Ca1

Ca

B

Qq

3

C

C

c) Determinación de la profundidad secuente o conjugada del resalto.


103

El número de Froude en la sección 1, de aproximación al resalto es:

98.4600.0x25.0x81.9600.0x25.0

906.0

CagCa

q

Cag

Ca

q

yg

y

q

yg

vF

CCC

C

1

1

1

11

Como 4.98 > 1, el flujo antes del resalto es supercrítico. La profundidad secuente o conjugada es:

2

11

22

11

2 F8112

yyF811

y

y2

m984.0y98.4x8112

600.0x25.0y 2

22

d) La energía disipada por el resalto ΔE es:

m983.0

600.0x25.0x984.0x4

600.0x25.0984.0E

yy4

yyE

3

12

312

e) La profundidad crítica yC es:

m44.0y81.9

906.0y

g

qy C

3

2

C3

2

C

f) Determinación de la altura del escalón Δz0 Como en el escalón se produce la profundidad crítica la energía correspondiente sobre él es la energía mínima. Si en el escalón no se produce pérdida de energía, entonces la energía especifica antes del escalón es igual a la energía sobre el escalón más la altura de Δz0, es decir:

C2

2

20C2

22

00C2

22 y

2

3y

g2

y

q

zy2

3y

g2

vzzy

2

3y

g2

v

al sustituir los valores numéricos se obtiene:


104

m37.0z44.0x2

3984.0

81.9x2984.0

906.0

z 0

2

0

La condición de flujo crítico se expresa por:

1Ag

TQ3

2

El ancho de la superficie libre T, en función de la profundidad crítica yc se obtiene así:

C

0

CCC

y3

32T

2

60tgy2T

2tgy2T

y

2/T

2tg

El área de la sección transversal del flujo es:

2CCC y

3

3Ayy

3

32

2

1A

sustituyendo los valores de T y A en la condición de profundidad crítica se obtiene:

1

y3

3g

y3

32300.0

3

2C

C2

m56.0y381.9x3

3x32x300.0y C

5/1

3

32

C

Problema F.II-3.11 Determinar la profundidad crítica en el canal triangular, simétrico, que se muestra en la figura si el caudal que circula es de 300 lts/s.


105

como el canal es simétrico y el ángulo del vértice es de 90º entonces T = 2 yc Determinación de la profundidad crítica yC: La condición de flujo crítico se expresa por:

1Ag

TQ3

2

al sustituir y despejar se obtiene:

m44.0y81.9

2x280.0y1

yy22

181.9

y2280.0C

25

C3

CC

C2

Determinación de la pendiente crítica SC : Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC.

ASRn

1Q 2/1

C3/2

H

la pendiente SC es:

2

3/2H

C3/2H

2/1C

AR

nQS

AR

nQS

El área de la sección transversal del flujo es:

Problema F.II-3.12 Para el canal triangular, simétrico, de madera que se muestra en la figura, con vértice de 90º, si n = 0.011 y Q = 280 l/s determinar:

a) la profundidad crítica. b) la pendiente crítica.


106

2CCC yAyy2

2

1A

El radio hidráulico es:

mojadoPerímetro

ltransversaciónsecladeAreahidráulcoRadio

22

y

y22

y

P

AR C

C

2C

H

2

2

3/2C

2

2C

3/2

C

C

44.0x22

44.0

011.0x280.0S

y22

y

nQS

00

0003

C /3012.0/012.310x012.3003012.0S

Determinación de la profundidad crítica yC: El inverso de la pendiente transversal del talud m, del canal es:

50.12

3ctgm

Problema F.II-3.13 En el canal trapezoidal, simétrico, que se muestra en la figura circula un caudal de 22.4 m3/s, si el coeficiente de rugosidad de Manning es 0.023, determinar:

a) La profundidad crítica yC. b) La pendiente crítica SC.


107

El área A, de la sección transversal es:

2CC

2 y50.1y00.6AymybA

El perímetro mojado P, es:

C2

C2 y61.300.6P50.11y200.6Pm1y2bP

El ancho de la superficie libre T, es:

CC y300.6Ty50.1x200.6Tym2bT


1Ag

TQ3

2

al sustituir los valores de Q, g y las expresiones de T y A se obtiene:

1y50.1y6x81.9

y364.2232

CC

C2

El valor de yC que satisface la ecuación anterior es yC = 1.03 m. Determinación de la pendiente crítica SC : Cuando la profundidad normal yn, es igual a la profundidad crítica yC, el flujo es crítico y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Manning siendo S0 = SC.

ASRn

1Q 2/1

C3/2

H

la pendiente SC es:

2

3/2H

C3/2H

2/1C

AR

nQS

AR

nQS

00592.0S

03.1x50.103.1x603.1x61.36

03.1x50.103.1x6

023.0x4.22S C

2

2

3/22C


108


1Ag

TQ3

2

Con el fin de determinar el área A y el ancho de la superficie libre T la sección transversal se

divide en áreas parciales como se indica:

El área de la sección transversal del flujo. Como el ángulo es de 45º la base de los triángulos laterales es b/3, por lo tanto el ancho del

cuadrado central también es b/3.

9

b2

3

b

3

b

3

b

3

b

2

12AAA2A

2

21

El ancho de la superficie libre T.

3

bT

Problema F.II-3.14 Calcular en función de Q y g al ancho de la base b, en un canal triangular como el mostrado en la figura si se diseña de tal forma que la profundidad crítica sea yC = b/3.


109

sustituyendo los valores de A y T en la condición de flujo crítico se obtiene:

5/12

32

2

g8

Q3b1

9

b2g

3

bQ

a) Energía específica

E1 = E2

g2

vy0yy

g2

vy

22

b) Cantidad de movimiento

12x vvQF

Problema F.II-3.15 En el esquema se muestra el canal rectangular de ancho B cerrado en el extremo por una compuerta. Por el canal fluye agua con una velocidad v y una profundidad y, el agua fluye sin pérdidas hacia una descarga de fondo. Calcular la sobre elevación Δy, en la superficie del agua, aguas arriba de la compuerta.

a) Aplicando la ecuación de energía entre las secciones 1 y 2. b) Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento entre las secciones 1 y 2

(suponer Δy pequeño). c) Cuál de las dos respuestas es la correcta y porqué.


110

v0g

ByvByy2

1By

2

1vvQFF 22

1221

gyvy

2

1yy2

2

1y

2

1y

2

1 2222

g

yvy

2

1yy

22

como Δy se considera pequeño, entonces el término Δy2 es despreciable por lo tanto:

g

vy

2

c) El resultado obtenido con la ecuación de energía es el correcto, en el caso de usar la

ecuación de cantidad de movimiento se comete el error de despreciar la fuerza R, mostrada en la siguiente figura

Problema F.II-3.16 a) Un canal rectangular tiene un escalón, con una altura Δz = 0.40 m. y extremos

aerodinámicos para no ofrecer resistencia al flujo. En estas condiciones las profundidades del agua son de 1.05 m. en la sección de aproximación y de 0.60 m. sobre el escalón.

b) Si la altura del escalón se modifica a Δz = 0.80 m cual será la nueva profundidad en la sección de aproximación.


111

La ecuación de continuidad entre las secciones 1 y 2 indica:

121212

12221121 v75.1vv

60.0

05.1vv

y

yvByvByvQQ

Para la condición inicial, la energía específica en la sección 1 es igual a la energía específica en la sección 2 más la altura del escalón, es decir:

g2

vyz

g2

vyzEE

22

2

21

121

Al sustituir la ecuación de continuidad en la ecuación de energía y los valores de la altura del escalón y las profundidades se obtiene:

60.040.005.1175.1g2

v

g2

v75.160.040.0

g2

v05.1 2

21

21

21

s/m69.0v

175.1

81.9x2x60.040.005.1v 121

El caudal unitario, q es:

m/s/m724.0q05.1x69.0qyvq 311

La profundidad crítica, yC es:

m376.0y81.9

724.0y

g

qy C

3

2

C3

2

C

La energía que dispone del fluido en la sección 1 es:

m07.1E81.9x2

69.005.1E

g2

vyE 1

2

1

21

11

La energía mínima, necesaria en la sección 2, cuando la altura del escalón es Δz = 0.80 m es:

m36.1376.0x2

380.0Ey

2

3zE minCmin

Como la energía existente en la sección 1 (E1 = 1.07 m) es menor que la mínima necesaria en la sección 2 (E2 = 1.36 m) entonces la altura en la sección 1, ahora denominada yN, debe aumentar hasta que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima, es decir:


112

36.1g2y

qy36.1

g2

y

q

y36.1g2

vy

2N

2

N

2

NN

2N

N

al sustituir q se obtiene:

36.181.9x2xy

724.0y

2n

2

N

al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica:

00267.0y36.1y 2N

3N

la cual se satisface para yN = 1.34 m, altura correspondiente a flujo sub crítico ya que (yN = 1.34) > (yC = 0.376).

Planta. Energía disponible en la sección 1:

m003.181.9x2

00.1x00..2

1000/500

00.1Eg2

A

Q

yEg2

vyE

2

1

2

111

21

11

En la garganta, sección contraída, se produce la energía mínima, como no se produce alteración de la profundidad esta energía es igual a 1.003 m, por lo tanto la profundidad crítica en la sección 2 es:

m67.0y003.1x3

2yE

3

2y 2C2C2C

Problema F.II-3.17 En un canal rectangular de 2.00 m de ancho fluye un caudal de 500 l/s con una profundidad de 1.00 m. Si se introduce un obstáculo lateral para reducir la sección, como el mostrado en la figura, determinar el valor de x, que permite el flujo con la misma profundidad.


113

Por otra parte la profundidad crítica en la sección 2 es:

gy

Qx

gx

Qy

g

x

Q

yg

qy

32C

2

2

23

2C

3

2

2C3

22

2C

al sustituir los valores de Q, yC 2 y g se obtiene:

.m29.0x

81.9x67.0

1000/500x

3

2

Determinación de la energía disponible en la sección 1, de aproximación:

g2

By

Bq

yEg2

A

Q

yEg2

vyE

2

111

2

11

21

11

al sustituir los valores numéricos se tiene:

m05.281.9x2

50.5x80.1

50.5x4

80.1E

2

1

Problema F.II-3.18 Un río muy ancho conduce un caudal q1 de 4.00 m3/s/m a una profundidad de 1.80 m. La construcción de un puente requiere pilas de 1.80 m de espesor cuyos centros están separados 5.50 m. Las pilas son hidrodinámicas y no tienen resistencia al flujo, para estas condiciones se pide:

a) Verificar si se produce sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente. b) En caso afirmativo determinar dicha profundidad.


114

Determinación de la profundidad crítica en la sección 1:

m17.1y81.9

00.4y

g

qy 1C

3

2

1C3

21

1C

Determinación del caudal unitario en la sección 2 (entre las pilas del puente):

m/s/m95.5q80.150.5

50.5x00.4q

eS

Sqq

B

Qq 3

221

22

2

Determinación de la profundidad crítica en la sección 2:

m53.1y81.9

95.5y

g

qy 2C

3

2

2C3

22

2C

Determinación de la energía mínima en la sección 2 (entre las pilas):

m30.2E53.1x2

3Ey

2

3E minmin2Cmin

Como la energía disponible en la sección 1 es de 2.05 m y la energía mínima necesaria en la sección 2 es de 2.30 m, por lo tanto no hay suficiente energía, entonces el nivel del agua debe aumentar hasta yN de manera que la energía en la sección 1 alcance el valor de la energía mínima de 2.30 m, es decir:

30.2g2y

qy30.2

g2

Sy

Sq

y30.2g2

vy

2N

2

N

2

NN

2N

N

al sustituir q se obtiene:

30.281.9x2xy

00.4y

2n

2

N

al simplificar se obtiene la siguiente ecuación cúbica:

082.0y30.2y 2N

3N

la cual se satisface para yN = 2.12 m, altura correspondiente a flujo subcrítico ya que (yN = 2.12 m) > (yC 1 = 1.17 m).


115

Planta

La energía disponible en la sección 1, se muestra en el siguiente esquema.

Perfil longitudinal y tiene un valor de:

m32.2E81.9x200.2

500.2E

g2y

qyE

g2

vyE 12

2

121

2

11

21

11

Si se quiere que no se produzca sobre elevación de la superficie del agua esta energía permanecerá constante y como no hay pérdida de energía entre las secciones 1 y 2, entonces, E1 = E2. Se quiere el máximo valor de a, en la sección 2, entonces entre dos pilas se producirá la profundidad crítica la cual corresponde a la energía mínima es decir:

Problema F.II-3.19 Un río muy ancho conduce un caudal q, de 5 m3/s/m, con una profundidad de 2.00 m. en la sección 1. La construcción de un puente requiere que existan pilas separadas 6.50 m entre centros. Si las pilas tienen forma hidrodinámica y no ofrecen resistencia al flujo, cuál es el máximo espesor a, que pueden tener las pilas sin que se produzca sobre elevación aguas arriba de las pilas del puente.


116

m54.1y32.23

2yE

3

2yy

2

3E 2C2Cmin2C2Cmin

El caudal máximo qmáx, se puede determinar mediante la utilización del diagrama adimensional de descarga como se muestra a continuación:

Para 29.154.1

00.2

y

y

C

se puede encontrar el diagrama adimensional de descarga el valor de máxq

q

como m/s/m024.683.0

00.5q83.0

q

q 3máx

máx

que es el caudal máximo que circula

entre las pilas o mediante la utilización de las ecuaciones correspondientes como se indica a continuación:

.m/s/m99.5q81.9x54.1qgyqg

qy 3

máx3

máx3

2Cmáx3

2máx

2C

entonces:

.m10.1a

024.6

50.6x00.550.6a

a50.6

50.6x00.5024.6

a50.6

Qq máx

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

117

Capítulo 4

FLUJO UNIFORME EN CANALES ABIERTOS La sección de máxima eficiencia es aquélla en la que el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad, es decir:

2

yR H

Por definición el radio hidráulico es igual a la relación entre el área y el perímetro mojado, es decir:

2H2

2

HHm12b

ymbyR

m12b

ymybR

P

AR

al igualar las expresiones anteriores se tiene:

22 00.11y2b

y00.1b

2

1

m12b

ymby

2

y

by83.0bb2y2y83.2y2b2y83.2b

21.1b

y

83.0

1

b

y

Se debe cumplir con la condición anterior para que la sección sea de máxima eficiencia. Como el flujo es uniforme se debe satisfacer la ecuación de Manning Para la determinación de las dimensiones del canal existen dos procedimientos. a. Determinación de las dimensiones b e y mediante la utilización de los gráficos

adimensionales.

Con 21.1b

y se encuentra en el gráfico siguiente 90.1

bS

nQ3/82/1

0

Problema F.II-4.01 Un canal trapezoidal de concreto con una rugosidad n de Manning de 0.013, conduce en flujo uniforme un caudal Q de 1.00 m3/s. La pendiente longitudinal S0 tiene un valor de 0.0004 y un talud lateral con un valor m = 1.00. Si la relación y/b es aquella que corresponde a la sección de máxima eficiencia determinar las dimensiones de la base o plantilla b y de la profundidad o tirante y.


118

8/3

2/13/82/13/82/10 90.1x0004.0

013.0x00.1b90.1

b0004.0

013.0x00.190.1

bS

nQ

.m81.0y67.0x21.1yb21.1y21.1b

ycomom67.0b

El canal es el mostrado en la siguiente figura.

b. Determinación de las dimensiones b e y mediante la ecuación de Manning.

2nn

2/10

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymyb

n

1QASR

n

1Q

como (b = 0.81 y) la ecuación anterior se puede escribir como:

2nnn

2/1

3/2

2nn

2nnn y00.1yy83.00004.000.11y2y83.0

y00.1yy83.0

013.0

100.1

2n

2/1

3/2

n

2n yx83.10004.0

y66.3

yx83.1

013.0

100.1


119

8/3

3/22/1n3/6

n2/13/2

n83.1x50.00004.0

013.0x1yy83.10004.0y50.0

013.0

100.1

m81.0yn

Determinación de las dimensiones b e y del canal. La condición de máxima eficiencia en un canal rectangular es aquélla en la que b = 2y

gb

Qy

g

b/Qy

g

b/Qy

g

qyyyy

2

23

3

3

23

3

2

3

2

Cn

como b = 2y, entonces:

m59.1y

81.9x4

00.20y

g2

Qy

g2

Qy

gy2

Qy

5/125/1

2

2

2

25

2

23

entonces m18.3b59.1x2by2b Determinación de la pendiente longitudinal S0 del canal.

18.3x59.1S59.1x218.3

18.3x59.1

015.0

100.20AS

P

A

n

1Q 2/1

0

3/2

2/10

3/2

0048.0S

18.3x59.159.1x218.3

18.3x59.1

015.0x00.20S 0

2

3/20

Problema F.II-4.02 Diseñar un canal rectangular que transporte un caudal de 20.00 m3/s de tal manera que la sección hidráulica sea de máxima eficiencia y el flujo uniforme sea crítico. El canal tiene un revestimiento con un valor del coeficiente de n de Manning de 0.015. Para estas condiciones determinar:

a. Las dimensiones b e y. b. La pendiente longitudinal S0 del canal. c. La velocidad media V. d. El esfuerzo cortante 0 , en el contorno del canal.


120

Determinación de la velocidad media v.

.s/m96.3v18.3x59.1

00.20v

A

Qv

Determinación del esfuerzo cortante 0 .

2000H0 m/kg82.30048.0x

59.1x218.3

18.3x59.1x1000SR

a) La profundidad normal yn, es aquella profundidad que satisface la ecuación de Manning.

Determinación del ancho de la superficie libre T:

y155.1Tº30tany2Ty

2/Tº30tan

Determinación del perímetro mojado P:

y310.2Py2

y155.12Py

2

T2PL2P 2

22

2

1

Determinación del área transversal mojada A:

2y578.0A2

y)y155.1(A

2

yTA

Problema F.II-4.03 Por un canal triangular simétrico, con ángulo inferior igual 60º circula, en régimen uniforme, un caudal de 300 l/s. Si el coeficiente n de Manning es de 0.010 y la pendiente longitudinal S0 es 0.040, determinar:

a) La profundidad normal yn. b) La profundidad crítica yC.


121

Determinación del radio hidráulico RH:

y250.0Ry310.2

y578.0R

P

AR H

2

HH

El valor de y que satisface la ecuación de Manning se denomina profundidad normal yn. Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning:

22/13/2 y578.0040.0y250.0010.0

1300.0

m36.0y578.0x250.0x040.0

010.0x300.0y n

8/3

3/22/1n

b) La profundidad crítica yC es aquella profundidad que satisface la condición de flujo crítico, es decir:

m56.0y

578.0x81.9

155.1x300.0y1

y578.0x81.9

y155.1x300.01

Ag

TQC

5/1

3

2

C32C

C2

3

2

ASRn

1Q 2/1

03/2

H

Problema F.II-4.04 Por el canal trapezoidal mostrado en la figura, circula agua en régimen uniforme. Si se dispone de la siguiente información: ancho de la base o plantilla b = 3.00 m, coeficiente de Manning n = 0.010, talud lateral m = 1.00, S0 =0.0036 y profundidad crítica yC = 2.00 m. determinar:

a) La velocidad crítica VC. b) La energía mínima Emin. c) El caudal. d) La profundidad normal yn. e) Tipo de flujo.


122

Determinación de la velocidad crítica, condición de flujo crítico.

2C

22

CA

Qv

C

CC

C

C2C

C

C2

C

2

3C

C2

T

Agv

T

Agv

T

Ag

A

Q1

Ag

TQ

2

C2

C2

CCC m00.10A00.2x00.100.2x00.3AymybA

m00.7T00.2x00.1x200.3Tym2bT CCCC

.s/m74.3v00.7

00.10x81.9v CC

Determinación de la energía especifica mínima.

.m71.2Ekg

m.kg71.2E

81.9x2

74.300.2E

g2

vyE minmin

2

min

2C

Cmin

Determinación del caudal.

.s/m40.37Q00.10x74.3QAvQ 3CC

Determinación de la profundidad normal. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning.

2nn

2/10

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymyb

n

1QASR

n

1Q

2nn

2/1

3/2

2n

2nn yx00.1yx00.30036.000.11y200.3

y00.1y00.3

010.0

140.37

El valor de yn es aquel que satisface la ecuación anterior el cual se puede obtener por tanteo, por un programa o mediante la utilización de un gráfico. La ecuación anterior se satisface para yn = 1.47 m. Utilización del gráfico adimensional:


123

33.0

bS

nQ

00.30036.0

010.0x40.37

bS

nQ3/82/1

03/82/13/82/1

0

con el valor de 33.0bS

nQ3/82/1

0

se encuentra en el gráfico 50.0b

yn , por lo tanto:

bien.m47.1m50.1y00.3x50.0ybx50.0y nnn

Determinación del tipo de flujo. Se puede determinar comparando la profundidad normal con la profundidad crítica así: Como yn < yC (1.47 m < 2.00 m) el flujo es supercrítico También se puede determinar el tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude. El número de Froude para una sección no rectangular es:

73.1F47.1x00.147.1x00.3x81.9

47.1x00.1x200.3x40.37F

32

2

Como el número de Froude es mayor que 1 el flujo es supercrítico.

3

2

Ag

TQF


124

Determinación de la energía especifica correspondiente a la profundidad normal.

81.9x2

47.1x00.147.1x00.3

40.37

47.1Eg2

A

Q

yEg2

vyE

2

2

2

n

2n

n

.m12.3Ekg

m.kg12.3E

Determinación del área mojada:

2321 m1413A201x201

2

12201x003501x405AA2AAA .......

Determinación del perímetro mojado:

m409P003201201x2501x2PbL2L2P 2221 .....

Determinación del caudal mediante la ecuación de Manning:

./...

.

.

//// sm6421Q1413

2000

1

409

1413

0170

1QASR

n

1Q 3

213221

032

H

Problema F.II-4.05 Determinar el caudal o gasto que circula por el canal cuya sección transversal se muestra en la figura si la pendiente longitudinal es de 1/2000 y el coeficiente de rugosidad de Manning es de 0.017.


125

Determinación de la profundidad crítica. La condición de flujo crítico es:

2

C

2CC

2C

C

C2

C2

2

3

2

ym2b

ymyb

g

v

T

A

g

v

T

A

Ag

Q1

Ag

TQ

Al sustituir el valor de la velocidad crítica en la ecuación de la energía mínima se obtiene:

2

C

2CC

Cmin

2C

Cminym2b2

ymybyE

g2

vyE

2

C

2CC

Cyx80.0x240.22

yx80.0yx40.2y40.2

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.76 m. Determinación del caudal:

2/1

C

32CC

2/13

3

2

ym2b

ymybgQ

T

AgQ1

Ag

TQ

al sustituir los valores se tiene:

.s/m79.23Q

76.1x80.0x240.2

76.1x80.076.1x40.2x81.9Q 3

2/132

Problema F.II-4.06 Por un canal trapezoidal con ancho de la base o plantilla b = 2.40 m, taludes laterales con m = 0.80, coeficiente de Manning n = 0.012 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001circula agua en régimen uniforme. Si la energía especifica mínima, es Emin = 2.40 kg.m/kg. Determinar:

a. La profundidad crítica yC. b. El caudal. c. La profundidad normal. d. El tipo de flujo.


126

Determinación de la profundidad normal yn. La profundidad normal es aquélla que satisface la ecuación de Manning.

2nn

2/1

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H y80.0y40.20001.080.01y240.2

y80.0y40.2

012.0

179.23ASR

n

1Q

esta ecuación se satisface para yn = 3.74 m, )subcríticoflujoyy( Cn

Otra forma de obtener la profundidad normal yn es a través de los gráficos adimensionales.

Con 76.240.2x0001.0

012.0x79.23

bS

nQ3/82/13/82/1

0

se encuentra en el gráfico siguiente 60.1b

y

por lo tanto yn = 1.60 x 2.40 = 3.84 m. este procedimiento gráfico no es exacto, el valor verdadero es yn = 3.74 m. Otra manera para determinar el tipo de flujo es determinar el número de Froude sección no rectangular así:

24.0F

74.3x8.074.3x40.2x81.9

74.3x8.0x240.2x79.23F

Ag

TQF

2

2

3

2

F = 0.24 < 1 indica que el flujo es subcrítico.

Problema F.II-4.07 Se desea construir un canal rectangular muy rugoso con un valor de la n de Manning de 0.035. El canal debe transportar un caudal de 43.20 m3/s. y tiene una pendiente longitudinal del uno por mil. Determinar el ancho del canal y la profundidad del agua para una sección hidráulica óptima.


127

La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir:

P

AR;

2

yR HH

y2by2bb2y2bb22

1

y2b

b

2

y

y2b

yb

2

y

P

A

Determinación de la profundidad normal mediante la ecuación de Manning.

2S

2nQyyy2S

2

y

n

1QASR

n

1Q

2/10

3/23/8

nnn2/1

0

3/2

n2/10

3/2H

.m91.3y2001.0

2x035.0x20.43y

2S

2nQy n

8/3

2/1

3/2

n

8/3

2/10

3/2

n

.m82.7b91.3x2by2b n

Problema F.II-4.08 Para un canal triangular, simétrico, de concreto, con un valor del coeficiente n de Manning de 0.015 y vértice con un ángulo de 90º que conduce un caudal de 5.00 m3/s en flujo uniforme, con una pendiente longitudinal S0 de 0.001 determinar:

1. La profundidad normal del agua. 2. El esfuerzo cortante promedio en el contorno. 3. El coeficiente de Chezy. 4. El factor de fricción f de Darcy. 5. La rugosidad ε en el diagrama de Moody que produce dicha fricción si la

viscosidad cinemática ν, del agua es 1 x 10-6 m2/s. 6. Como es el flujo, sub crítico, crítico o super crítico. 7. La profundidad alterna que corresponde a la misma energía especifica.


128

Determinación del área:

21 yAyy

2

12AA2A

Determinación del perímetro P.

2y2Py22Pyy2PL2P 222

Determinación del radio hidráulico RH.

22

yR

y22

yR

P

AR H

2

HH

Determinación de profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.

22/1

3/2

2/10

3/2H y001.0

22

y

015.0

100.5ASR

n

1Q

m79.1y

001.0

22x015.0x00.5y

8/3

2/1

3/2

Determinación del esfuerzo cortante promedio en el contorno 0 .

2000H0 m/kg63.0001.0x

22

79.1x1000SR

Determinación del coeficiente C de Chezy.

s/m62C015.0

22

79.1

Cn

RC 2/1

6/1

6/1H


129

Determinación del factor de fricción f de Darcy.

024.0f62

81.9x8f

C

g8f

22

En número de Reynolds equivalente para el flujo en este canal es:

6

6

2HH 10x95.3R

10x1

22

79.14

79.1

00.5

RR4

A

Q

RR4v

R

Determinación de la rugosidad ε, en el diagrama de Moody que produce la fricción f.

Con f = 0.024 y R = 3.95 x 106 se encuentra en el diagrama de Moody 0011.0R4 H

por lo

tanto mm8.2m0028.022

79.14x0011.0R4x0011.0 H

Determinación del tipo de flujo. a. Mediante la determinación de la profundidad crítica.

.m39.1y

81.9

2x00.5y1

yx81.9

y2x00.51

Ag

TQC

5/12

C32C

C2

3

2

como yn = 1.79 m. > yC = 1.39 m. el flujo es subcrítico

b. Mediante la determinación del número de Froude.

El número de Froude para una sección no rectangular es:

3

2

Ag

TQF


130

53.0F79.1x81.9

79.1x2x00.5F

32

2

Como el número de Froude es menor que 1 el flujo es subcrítico. Determinación de la profundidad alterna.

m91.1E81.9x2

79.1

00.5

79.1E

2

2

m13.1y81.9x2

y

00.5

y91.1

2

2

Determinación del área transversal A.

2321 m60.3A40.2x20.1

2

120.1x20.1

2

120.1x20.1AAAAA

Determinación del perímetro mojado P.

m58.5P40.220.120.120.120.1PLLLP 2222321

Problema F.II-4.09 El canal mostrado en la figura tiene un coeficiente de Chezy de 55 m1/2/s y transporta 10.00 m3/s de agua en régimen uniforme. Determinar: a La pendiente que debe tener el canal. b El coeficiente de fricción f de Darcy. c El coeficiente n de Manning. d El esfuerzo cortante 0 promedio del contorno.

e El caudal por unidad de ancho q.


131

Determinación del radio hidráulico RH.

m65.0R58.5

60.3R

P

AR HHH

La ecuación que expresa el caudal en un canal en función del coeficiente de Chezy es:

ASRCQ 2/10

2/1H

Determinación de la pendiente del canal.

00392.0S60.3x65.0x55

00.10S

ARC

QS 022

2

02H

2

2

0


026.0f55

81.9x8f

C

g8f

f

g8C

22

Determinación del coeficiente de n de Manning.

017.0n

55

65.0n

C

Rn

6/16/1H


2

000H0 m/kg55.200392.0x65.0x1000SR

El concepto de caudal unitario solamente es válido para canales rectangulares por lo tanto el caudal unitario para este canal no existe.

Determinación de la pendiente del canal S0.

2

0

2

2/102/1

2/10

2/10

2/1

75x00.4

50.1S

yC

vS

yC

vSSyCv

Problema F.II-4.10 Un canal muy ancho conduce agua en flujo uniforme con una profundidad de 4.00 m. y una velocidad de 1.50 m/s. El coeficiente de fricción de Chezy es de 75 m1/2/s. Determinar:

a. La pendiente S0 del canal. b. La rugosidad n de Manning. c. El factor de fricción f de Darcy. d. La altura ε de las rugosidades.


132

0001.0S0

Determinación de la n de Manning.

017.0n

75

00.4n

C

Rn

n

RC

6/16/1H

6/1H


014.0f75

81.9x8f

C

g8f

f

g8C

f

g8C

222

Determinación de las rugosidades. El número de Reynolds representativo para canales es:

7

6H 10x40.2R

10x1

00.4x4x50.1R

R4vR

con el valor de R = 2.40 x 107 y f = 0.014 se encuentra en el diagrama de Moody

0002.0R4 H

, según se muestra en el siguiente esquema.

Esquema del diagrama de Moody. por lo tanto ε = 0.0002 x (4 x 4.00) ε = 0.003 m ε = 3 mm.


133

El valor de m es:

00.1m45ctgmctgm 0 La sección hidráulica óptima es aquélla que corresponde a la sección transversal mínima.

n2

n

nnnH y828.0b

00.11y2b

y00.1by

2

y

2

yR

Determinación de la profundidad normal. Yn.

ASRCQ 2/10

2/1H

2n

2n

2/12/1

n yy828.00008.02

y00.8025.2

.m90.0y828.1x0008.0x00.80

2x25.2y n

5/2

2/1

2/1

n

.m745.0b90.0x828.0by828.0b n

Determinación de la n de Manning.

011.0n00.80

2

90.0

nC

Rn

n

RC

6/1

6/1H

6/1H

Problema F.II-4.11 Un canal trapezoidal de sección transversal mínima transporta un caudal de 2.25 m3/s. La pendiente longitudinal es S0 = 0.0008 y la rugosidad de Chezy es C = 80 m1/2 /s. Los taludes laterales están inclinados 45º con respecto a la horizontal. Determinar:

a. La anchura del fondo del canal B. b. La profundidad normal yn. c. La rugosidad n de Manning. d. El factor f de fricción de Darcy. e. El diámetro de los elementos de rugosidad que constituyen el contorno.


134


012.0f00.80

81.9x8f

C

g8f

f

g8C

f

g8C

222

Determinación de las rugosidades. El número de Reynolds representativo para canales es:

6

2H

10x1

2

90.0x4x

90.0x00.190.0x745.0

25.2

R2

y4

A

Q

RR4v

R

610x74.2R

con el valor de R = 2.74 x 106 y f = 0.012 se encuentra en el diagrama de Moody

00005.0R4 H

, según se muestra en el siguiente esquema.

Esquema del diagrama de Moody.

por lo tanto ε = 0.00005 x 2

90.0 ε = 0.00009 m ε = 0.09 mm.


135

Determinación de la profundidad nonrmal yn.

2m00.40A50.0

00.20A

v

QAAvQ

040y6y2y00.2y00.600.40ymybA n2

n2

nn2

nn Esta ecuación de segundo grado se satisface para un valor positivo de yn = 3.22 m. Determinación de la profundidad hidráulica media ym. Se define la profundidad hidráulica media como la relación existente entre el área mojada y el ancho de la superficie libre como se indica en la siguiente figura.

.m12.2y22.3x00.2x200.6

00.40y

ym2b

ymyby

T

Ay mm

2

mm

Determinación del número de Froude para sección no rectangular.

Problema F.II-4.12 En un canal trapezoidal de ancho de la base b = 6.00 m, talud lateral con m = 2.00 y pendiente longitudinal S0 = 0.0001 circula agua en régimen uniforme con un caudal de 20.00 m3/s con una velocidad media de 0.50 m/s. Determinar:

1. La profundidad normal yn. 2. La profundidad hidráulica media ym. 3. El tipo de flujo. 4. El radio hidráulico. 5. El coeficiente n de Manning. 6. El coeficiente C de Chezy. 7. El factor de fricción f de Darcy. 8. El esfuerzo cortante promedio 0 .

9. La profundidad crítica. 10. La velocidad crítica.


136

11.0F12.2x81.9

50.0F

yg

vF

m

< 1 (Flujo sub crítico)

Determinación del radio hidráulico.

2H2

2

HH00.2122.3x200.6

00.40R

m1y2b

ymybR

P

AR

.m96.1R H

Determinación de coeficiente n de Manning.

03.0n50.0

0001.0x96.1n

v

SRnSR

n

1v

2/13/22/10

3/2H2/1

03/2

H

Determinación de la C de Chezy.

.s/m29.37C03.0

96.1C

n

RC 2/1

6/16/1H


056.0f29.37

81.9x8f

C

g8f

f

g8C

f

g8C

222


2

000H0 m/kg196.00001.0x96.1x1000SR

Determinación de la profundidad crítica. Mediante la utilización condición de flujo crítico.

1

y00.2y00.681.9

y00.2x200.600.201

Ag

TQ32

CC

C2

3

2

Esta ecuación se satisface para yC = 0.93 m. Mediante la utilización de los gráficos adimensionales.

072.000.681.9

00.20

bg

Q2/52/12/52/1


137

con el valor de 072.0bg

Q2/52/1 se encuentra en el diagrama adimensional de profundidades

críticas 156.0b

yC , según se muestra en el siguiente esquema.

por lo tanto yC = 0.156 x 6.00 yC = 0.93 m. Determinación de la velocidad crítica vC.

.s/m74.2v93.0x00.293.0x00.6

00.20v

A

Qv C2C

CC

2

332/1

033/22/1

02/10

3/2H P

A

n

SQA

P

A

n

SQASR

n

1Q

Problema F.II-4.13 Determinar la profundidad normal y para que el caudal sea máximo en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.


138

Para que el caudal sea máximo 3/2

3/5

P

A debe ser máximo. Esto es equivalente a que el caudal al

cubo es máximo cuando 2

5

P

A es máximo.

Este valor se encuentra derivando la expresión anterior e igualándola a cero. El área mojada es, según el siguiente esquema:

22 yy10Ay2

12y00.10A

El perímetro mojado según el siguiente esquema es:

y83.210Py2200.10P

2

52

2

5

2

5

y83.210

y10

P

A

P

A

0y83.210

y10

yd

d0

yd

P

Ad

2

522

5

al derivar respecto a y se obtiene:

0

y83.210

yy1083.2y83.2102y83.210y210yy10522

52242

0yy1083.2y83.2102y83.210y210yy10552242

al simplificar se obtiene:

0500y10.15y64.22 2


139

la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:

500C;10.15B;64.22A cuya solución es:

28.45

33.21310.15y

64.222

50064.22410.1510.15y

2

m38.4y,m04.5y 21

5/2

5/3

2/10

3/22/1

0

3/52/10

3/22/1

03/2

H PS

nQAP

S

nQAAS

P

A

n

1QASR

n

1Q

por ser constante el termino

5/3

2/10S

nQ

se puede denominar K, entonces 5/2PKA

lo que muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Como se quiere obtener el talud óptimo se debe hallar la derivada del perímetro mojado con respecto al talud m e igualarla a cero.

2ymAyym2

12A

2

222

m12

Pym1y2Pymy2P

Problema F.II-4.14 Pruebe que la sección triangular más eficiente es aquélla que tiene un ángulo de 90º en el vértice.


140

sustituyendo y en la expresión anterior se tiene:

2

22

2 m14

PmA

m12

PmA

al igualar las dos expresiones del área se obtiene:

2

25/22

25/2

m14

mPPK

m14

PmPK

al realizar 0dm

dP en la expresión anterior, se obtiene:

22

22

25/3

m1

mm2m11

4

1P

m14

m

dm

dpP2

dm

dPP

5

2k

al sustituir 0dm

dP en la expresión anterior se obtiene:

0m1

mm2m110

m1

mm2m11

4

P22

2

22

22

1m0m2m10mm2m11 222

º90º45x22º451m

Problema F.II-4.15 Determinar la profundidad y como función de h para que en el canal, cuadrado, mostrado en la figura la velocidad sea máxima. La pendiente S0 y la rugosidad n se consideran constantes.


141

H

2/32/102/33/2

H

2/102/1

03/2

H Rn

SvR

n

SvSR

n

1v

Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios es máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema:

22

2

2

y2

hhy2Ayh

2

12

2

2hA


y22P2

hy22

2

2h2P


y22

y2

hhy2

RP

AR

22

HH

al derivar RH respecto a y se obtiene:

0y22

y2

hhy2

xd

d0

yd

Rd2

2

H


142

0y22

y2

hhy222y22y2h2

2

22

0y2

hhy222y22y2h2 2

2

al simplificar se obtiene:

707.0h

y

2

1

h

yhy2 22

5/2

5/3

2/10

3/22/1

0

3/52/10

3/22/1

03/2

H PS

nQAP

S

nQAAS

P

A

n

1QASR

n

1Q

por ser constante el termino

5/3

2/10S

nQ

se puede denominar K, entonces 5/2PKA , lo que

muestra que cuando el área es mínima el perímetro mojado también es mínimo. Así la sección óptima desde el punto de vista de economía en la excavación también es hidráulicamente óptima cuando se produce mínima infiltración y mínimo revestimiento. La sección óptima se encuentra derivando el perímetro mojado respecto a y e igualando la expresión a cero.

2yybAyy22

1ybA

y5yPby5byPymybyP 22

Problema F.II-4.16 Determinar la sección hidráulica óptima (b,y) del canal mostrado en la figura, el cual transporta un caudal Q de 30.00 m3/s, el coeficiente n de Manning es de 0.020 y la pendiente longitudinal S0 es 1/10000.


143

sustituyendo b en la expresión anterior se tiene:

22 y5yPAyyy5yPA al igualar las dos expresiones del área se obtiene:

5/22 Pky5yP

al realizar 0yd

Pd en la expresión anterior, se obtiene:

dy

dpP

5

2ky52Py

dy

dP 15/2

al sustituir 0yd

Pd en la expresión anterior se obtiene:

mínimoperímetroy52P0y52P El radio hidráulico óptimo es:

2

yR

y52

yy52R

y52

y5yPR

P

AR HH

2

HH

y24.1b2

1

y5by

yb

2

y

y5by

yby

2

y

y5by

yyb

2

yR

2

H

Para las condiciones encontradas se tiene, según la ecuación de Manninag:

22/13/2

2/10

3/2H yyy24.10001.0

2

y

020.0

100.30ASR

n

1Q

m08.4y0001.0x24.2

2x020.0x30yy20.20001.0

2

y

020.0

130

8/3

2/1

3/222/1

3/2

3/2

.m06.5b08.4x24.1by24.1b


144

H

2/32/102/33/2

H

2/102/1

03/2

H Rn

SvR

n

SvSR

n

1v

Para que la velocidad sea máxima el radio hidráulico elevado a la dos tercios debe ser máximo. Esto es equivalente a que la velocidad a la tres medios sea máxima cuando el radio hidráulico es máximo. Este valor se encuentra derivando la expresión del radio hidráulico e igualándola a cero. El área mojada es según el siguiente esquema:

22 yyzAy2

12yzA


y22zP


y22z

yyzR

P

AR

2

HH

Problema F.II-4.17 Determinar la profundidad y (profundidad normal) en función de z para que la velocidad sea máxima en un canal como el mostrado en la figura si n y S0 se consideran constantes.


145

0y22z

yyz

xd

d0

yd

Rd 2H

al derivar RH respecto a y se obtiene:

0

y22z

yyz22y22zy2z2

2

0yyz22y22zy2z 2 al simplificar se obtiene:

0zyz2y22 22

la ecuación anterior es una ecuación de segundo grado en y con coeficientes:

2zC;z2B;22A cuya solución es:

66.5

b91.3b2y

66.5

b91.3b2y

222

z224b2b2y

22

b34.0y

Problema F.II-4.18 El canal que se muestra en la figura conduce un caudal de 740 l/s con una pendiente longitudinal de 0.0001. Si la rugosidad de Manning es 0.0378 y el radio del semicírculo inferior es de 1.00 m. Determinar:

a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crítica yC. c. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).


146

Determinación de la profundidad normal yn, mediante la ecuación de Manning.

ASP

A

n

1QASR

n

1Q 2/1

0

2/12/1

02/1

H

Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yn es mayor que 1.00, entonces:

57.1X2A00.242

1X00.2AAAA 2

21

14.3X2P00.22

1X2PPPP 21

57.1X20001.014.3X2

57.1X2

0378.0

1740.0 2/1

3/2

La solución de esta ecuación es X = 1.00 m, por lo tanto

m00.2y00.100.1y00.1Xy nnn como yn = 2.00 m > 1.00 m la hipótesis asumida es correcta. Determinación de la profundidad normal yC mediante la utilización del gráfico adimensional. Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es menor que 1.00, entonces,

042.000.2x81.9

740.0

dg

Q5.25.2

con 042.0dg

Q5.2 en el gráfico adimensional de profundidad crítica para canales

circulares se encuentra 20.0d

yC


147

por lo tanto m00.1m40.0y00.2x20.0y CC , valor que satisface la hipótesis

asumida, por lo tanto yC = 0.40 m. Determinación del tipo de flujo. Como yn = 2.00 m > yC = 0.40 m el flujo es sub crítico.

Determinación del caudal Q, mediante la ecuación de Manning.

ASP

A

n

1QASR

n

1Q 2/1

0

2/12/1

02/1

H

Problema F.II-4.19 Se presenta flujo uniforme en un canal de concreto con un coeficiente n de Manning de 0.015 a una profundidad de 0.80 m con una pendiente S0 de 0.01. La sección transversal correspondiente se muestra en el esquema. Determinar:

a. El caudal. b. El tipo de flujo (subcrítico, crítico o supercrítico).


148

212/1

0

3/2

21

21 AASPP

AA

n

1Q

22/1

3/22

20.142

120.0x20.101.0

20.12

12x20.0

20.142

120.0x20.1

015.0

1Q

.s/m68.2Q 3

a. Determinación del tipo de flujo mediante la comparación entre la profundidad

crítica yC y la profundidad normal yn. La condición de flujo crítico es:

1Ag

TQ3

2

Si se considera como hipótesis, que la profundidad crítica yC es mayor que 0.60, entonces:

2

3/12

3

2

3

2

m958.0A81.9

20.1x68.2A1

A81.9

20.1x68.21

Ag

TQ

m928.0y20.142

120.160.0y985.0 C

2C

como yC = 0.928 m > 0.60 m la hipótesis asumida es correcta por lo tanto yC = 0.928 m. como yn = 0.80 m < yC = 0.928 m, el flujo es supercrítico. b. Determinación del tipo de flujo mediante la determinación del número de Froude.

30.1F

20.142

120.1x20.081.9

20.1x68.2F

Ag

TQF

32

2

3

2

como F = 1.30 > 1, el flujo es supercrítico.


149

La ecuación de Chézy para flujo uniforme indica que el caudal es:

20H

222/10

2/1H ASRCQASRCQ

La condición de flujo crítico es:

T

AgQ1

Ag

TQ 32

3

2

como el flujo uniforme es crítico, al igualar las ecuaciones anteriores se obtiene:

D

D42

1g

SD

2

1

D42

1

CT

AgSRC

T

AgASRC

2

0

2

20H

23

20H

2

0016.0S98x2

81.9x14.3S

C2

gS 02020

Problema F.II-4.20 Por un canal circular de coeficiente de Chézy igual a 98 m1/2/s, fluye agua con una profundidad igual al radio. Si en estas condiciones el flujo uniforme es crítico cuál será la pendiente del canal.

Problema F.II-4.21 ¿Qué radio debe tener un canal semicircular para transportar 2700.00 l/s, en flujo uniforme con una pérdida de energía de 1.25 m por kilómetro de canal, si el coeficiente de Manning es 0.018? ¿Existe una sección rectangular que tenga menos perímetro?


150

En flujo uniforme, la línea de energía, la línea de la superficie del agua y la línea del fondo del canal son paralelas es decir; tienen la misma pendiente. Determinación de r mediante la ecuación de Manning.

ASRn

1Q 2/1

03/2

H

22/1

3/22

r2

1

1000

25.1

r

r2

1

018.0

1

1000

2700

.m13.1r

14.3x1000

25.1

2x2x018.0x1000

2700

r

8/3

2/1

3/2

Determinación de las dimensiones óptimas de un canal rectangular. La sección rectangular óptima es aquella en la cual el radio hidráulico es igual a la mitad de la profundidad del agua es decir:

P

AR;

2

yR HH

y2by2bb2y2bb22

1

y2b

b

2

y

y2b

yb

2

y

P

A

2S

2nQyyy2S

2

y

n

1QASR

n

1Q

2/10

3/23/8

nnn2/1

0

3/2

n2/10

3/2H


151

.m03.1y

21000

25.1

2x018.0x1000

2700

y2S

2nQy n

8/3

2/1

3/2

n

8/3

2/10

3/2

n

.m06.2b03.1x2by2b n

El perímetro de la sección semicircular es:

.m55.3P13.1x14.3PrP 111

El perímetro de la sección rectangular es:

m12.4P03.1x206.2Py2bP 222 La sección semicircular tiene menos perímetro que la rectangular, por lo tanto la sección semicircular es mejor ya que tiene menos revestimiento y menos área de infiltración. Determinación de la pendiente del canal.

3/10

3/422

0

2

3/20

2

3/2H

02/1

03/2

H A

PnQS

AP

A

nQS

AR

nQSASR

n

1Q

00011.0S

00.542

1

00.52

1012.0x00.10

S 03/102

3/422

0

Determinación del mínimo diámetro. Se requiere el mínimo diámetro para que el canal fluya lleno sin presión, es decir que el conducto se comporte como un canal donde tenga validez la ecuación de Manning.

Problema F.II-4.22 Un canal circular de 5.00 m de diámetro conduce en flujo uniforme un caudal de 10.00 m3/s. Si el agua ocupa la mitad del diámetro y n = 0.012, determinar:

a. La pendiente del canal. b. El mínimo diámetro para que persista la condición de superficie libre.


152

22/10

3/22

2/10

3/2H D

4S

D

D4

n

1QASR

n

1Q

.m86.3D14.3x00011.0

4x012.0x00.10D

S

4x4nQD

8/3

2/1

3/58/3

2/10

3/2

22/1

0

3/22

ll2/1

0

3/2

ll2/1

03/2

Hll D4

SD

D4

n

1QAS

P

A

n

1QASR

n

1Q

22/13/2

ll22/1

0

3/2

ll 45.04

001.04

45.0

015.0

1QD

4S

4

D

n

1Q

.s/m078.0Q 3

ll

.s/m49.0v45.0

4

078.0v

d4

Qv

A

Qv ll

2ll

2

llll

ll

llll

con 72.0078.0

056.0

Q

Q

ll

, se encuentra en el siguiente gráfico 63.0d

yn ,

con 63.0d

yn , se encuentra en el siguiente gráfico 10.1v

v

ll

,

Problema F.II-4.23 Por una alcantarilla de drenaje fluye un caudal 56 l/s. en flujo uniforme. La alcantarilla tiene una pendiente de 1 por mil y un diámetro de 45 cm con un valor de n de 0.015. Determinar:

a. La profundidad normal. b. La velocidad media


153

entonces yn = 0.63 x 0.45 yn = 0.28 m. entonces vll = 1.10 x 0.49 vll = 0.54 m/s.

a. Suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones.

3/2

3/25.1mm

5.111

P

nP.............nPn

.m24.14P00.1000.300.3P 122

1

.m65.19P00.500.1000.400.400.2P 22222

2

Problema F.II-4.24 El canal mostrado en la figura tiene una pendiente longitudinal S0 = 0.001, con las rugosidades y profundidades indicadas. Determinar:

a. La rugosidad equivalente de Manning suponiendo que la velocidad es única en todas las secciones.

b. La rugosidad equivalente de Manning tomando la áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades.

c. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto a. d. El caudal con la n de Manning obtenida en el punto b. e. Calcular el porcentaje de error en el gasto total si consideramos que el valor de

n determinado en el punto b es el correcto.


154

3/2

3/25.15.1

65.1924.14

030.0x65.19015.0x24.14n

0243.0n

b. Tomando las áreas 1 y 2 con sus correspondientes velocidades.

n

13/2

ii

3/5i

3/2

3/5

Pn

A

1

P

An

.m40.35A00.3x00.32

100.3x00.10A 2

11

222 m00.61A00.400.300.5

2

100.10x00.5

2

100.5x00.4A

.m50.95A00.6140.35AAAA 221

.m89.33P65.1924.14PPPP 21

3/2

3/5

3/2

3/53/2

3/5

n

13/2

ii

3/5i

3/2

3/5

65.19x030.0

00.61

24.14x015.0

50.35

1

89.33

50.95n

Pn

A

1

P

An

0225.0n

c. El caudal suponiendo n = 0.0243.

.s/m94.247Q50.95x001.0x89.33

50.95

0243.0

1QASR

n

1Q 32/1

3/22/1

03/2

H

d. El caudal suponiendo n = 0.0225.

.s/m78.267Q50.95x001.0x89.33

50.95

0225.0

1QASR

n

1Q 32/1

3/22/1

03/2

H

e. El porcentaje de error ε.

%42.7%100x78.267

94.24778.267%100x

Q

QQ%

d

dC

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

155

Capitulo 5

FLUJO GRADUALMENTE VARIADO

Determinación de la profundidad crítica yC.

.m33.0y81.9x50.2

50.1y

gB

Qy

g

qy C

32

2

C3

2

2

C3

2

C

Determinación de la C de Chézy.

s

m64.62C

020.0

81.9x8C

f

g8C

2/1

El caudal según la ecuación de Chézy es:

ASRCQAvQ 0H

Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:

2CCH

2

2

C2

CCCH22

CCCHARC

QSASRCQASRCQ

Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de fricción de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una caída libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crítica. Determinar:

a. La profundidad crítica. b. El coeficiente C de Chézy. c. La pendiente crítica SC. d. La pendiente del canal S0. e. La profundidad normal yn. f. La n de Manning. g. El tipo de flujo. h. El perfil que se produce aguas arriba de la sección terminal.


156

22

2

C2

CC

C2

2

C

33.0x50.233.0x250.2

33.0x50.264.62

50.1S

yby2b

ybC

QS

0032.0SC


0016.0S2

0032.0S 00

Determinación de la profundidad normal yn.

n2/1

2/1

n

n2/10

2/1H0H yb0016.0

y2b

ybCQASRCQASRCQ

n2/1

2/1

n

n y50.20016.0y250.2

y50.264.6250.1

la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinación de la n de Manning.

014.0n64.62

42.0x250.2

42.0x50.2

nC

y2b

yb

nC

Rn

6/16/1

n

n6/1

H

Determinación del tipo de flujo. Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrítico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial. En la caída, punto B, se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, según se muestra en el siguiente esquema.


157

a. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es suprcrítico. Determinación de la profundidad crítica yC.

m01.1y52.13

2yE

3

2yy

2

3E CCminCCmin

Determinación del caudal unitario q.

81.9x01.1qgyqgyqg

qy

g

qy 33

C3

C2

23

C3

2

C

m

s/m195.3q

3

Determinación de la profundidad normal.

5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

nS

nqySy

n

1qySy

n

1q

.m18.1y0016.0

0165.0x195.3y n

5/3

2/1n

Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar:

a. La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. b. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. c. La prfundidad crítica yC. d. El caudal. e. Trazar cualitativamente el perfil superficial.


158

como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crítico por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces el flujo es subcrítico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crítica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal uno es subcrítico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinación de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. La velocidad en el tramo 1 según la ecuación de Manning es:

2/110

3/21n1n

2/110

3/2H1n Sy

n

1vSR

n

1v

3/21n1n

2/13/21n1n y42.2v0016.0y

0165.0

1v

La energía existente para esa profundidad es:

1n1n

23/21n

1n

21n

1n y30.0y52.181.9x2

y42.2y52.1

g2

vyE

la ecuación anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario según la ecuación de Manning es:

16.1x0016.0x16.1x0165.0

1qySy

n

1q 2/13/2

1n2/1

103/2

1n

m

s/m099.3q

3

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):

.m99.0y81.9

0999.3y

g

qy C

3

2

C3

2

C


159

Determinación de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.

5/3

2/12n

5/3

2/120

2n2n2/1

203/2

2n0400.0

0165.0x099.3y

S

nqyySy

n

1q

yn 2 =0.44 m.

Perfiles superficiales. En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S.

A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y ésta permanece constante hacia aguas abajo.

En el punto C se produce la profundidad crítica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrítico

tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2


160

Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrítico. La manera físicamente posible para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.

Determinación de la profundidad normal yn mediante la ecuación de Manning.

n2/1

0

3/2

n

n2/10

3/2H ybS

y2b

yb

n

1QASR

n

1Q


n2/1

3/2

n

n y00.400001.0y200.4

y00.4

01.0

100.5

Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en régimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar: a. La profundidad normal. b. La energía correspondiente a la profundidad normal. c. La profundidad crítica. d. La energía mínima e. La profundidad aguas arriba de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.


161

la ecuación anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinación de la energía correspondiente a la profundidad normal.

2

2

2

22

y00.4g2

QyE

Ag2

QyE

g2

vyE


.m40.3E

39.3x00.481.9x2

00.539.3E

2

2


.m54.0y81.9

00.4

00.5

yg

B

Q

yg

qy C

3

2

C

3

2

C3

2

C

Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrítico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinación de la energía mínima.

2C

2

Cmin2C

2

Cmin

2C

Cminybg2

QyE

Ag2

QyE

g2

vyE


.m81.0E

54.0x00.481.9x2

00.554.0E min2

2

min

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta.

C

2

CB

2

B

2C

C

2B

B ybg2

Qy

ybg2

Qy

g2

vy

g2

vy


2

2

2B

2

B20.0x00.462.19

00.520.0

y00.462.19

00.5y

la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).


162

Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m,

entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.

Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.

Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico, formándose éste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:

Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporción 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una sección terminal de caída libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisión inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide:

a. La profundidad normal. b. El caudal. c. La profundidad crítica. d. El número de Froude. e. La profundidad antes de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.


163

a. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es:

C

2C

CC

2

2

CC

2

2

C

3

2

T2

A

g2

v

T2

A

Ag2

Q

T

A

Ag

Q1

Ag

TQ

Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 3.00 m, entonces:

C

2CC

C0

C

C0

2C

C0 ym2b2

ymybyE

T2

AyE

g2

vyE

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC:

C

2CC

C yx00.1x200.42

y00.1y00.4y00.3

, la cual se satisface para yC = 2.19 m.

Determinación de la velocidad crítica.

.s/m98.3v81.9x2

v19.200.3

g2

vyE C

2C

2C

C0

Determinación del caudal Q.

.s/m95.53Q19.2x00.119.2x00.4x98.3QAvQ 32

CC


La profundidad normal yn es aquélla que satisface la ecuación de Manning.

ASRn

1Q 2/1

03/2

H


164

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.1y00.40004.000.11y200.4

y00.1y00.4

013.0

195.53

la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrítico, por lo tanto la hipótesis es falsa, entonces la pendiente es subcrítica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crítica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es subcrítico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinación de la profundidad normal yn. La velocidad correspondiente a la ecuación de Manning es:

2/1

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H 0004.000.11y200.4

y00.1y00.4

013.0

1vSR

n

1v

La energía existente para esta profundidad es:

g2

vyE

2

n

al sustituir el valor de la energía y la expresión de la velocidad se tiene:

g2

0004.000.11y200.4

y00.1y00.4

013.0

1

y00.3

2

2/1

3/2

2n

2nn

n

la ecuación anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinación del caudal Q. El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.- Mediante la utilización de la ecuación de Manning.


165

22/1

3/2

2

2

777.2x00.1777.2x00.40004.000.11777.2x200.4

777.2x00.1777.2x00.4

013.0

1Q

Q = 39.40 m3/s.

2.- Mediante la determinación de la velocidad a partir de la energía especifica.

.s/m092.2v777.200.381.9x2vg2

v777.200.3

g2

vyE nn

2n

2n

n

22nn 777.2x00.1777.2x00.4092.2QymybvQAvQ

Q = 39.37 m3/s.


1

y00.1y00.481.9

yx00.1x200.440.391

ymyb81.9

ym2bQ1

Ag

TQ32

CC

C2

32CC

C2

3

2

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.82 m.

como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrítico y los perfiles son tipo M.

Determinación del número de Froude.

32

2

32nn

n2

3

2

777.2x00.1777.2x00.481.9

777.2x00.1x200.440.39F

ymyb81.9

ym2bQF

Ag

TQF

F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrítico.

Determinación de la profundidad antes de la compuerta. Si se considera que en la compuerta no hay pérdida de energía entonces la energía antes de la compuerta es igual a la energía después de la compuerta por lo tanto:

22

2

221

2

121Ag2

Qy

Ag2

QyEE


166

2222

2

22211

2

1

ymybg2

Qy

ymybg2

Qy


22

2

2211

2

120.1x00.120.1x00.481.9x2

40.3920.1

y00.1y00.481.9x2

40.39y

232.3y00.1y00.481.9x2

40.39y

2211

2

1

211

22111 y00.1y00.462.19x232.340.39y00.1y00.462.19y

simplificando y agrupando términos semejante se obtiene:

036.1552y0y59.10140y37.193y55.93y62.19 2345

el polinomio anterior tiene como solución:

67645.4;0629.3;54782.2;20001.1;80672.1

el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta.

En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.

Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energía de la compuerta con la de aguas debajo de ésta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.


167

En el punto E por ser una caída libre se produce la profundidad crítica yC, hacia aguas

arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.

Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C

hacia aguas abajo es supercrítico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrítico. La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.

Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una sección de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha sección aumentará, disminuirá o permanecerá constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situación e indicar el perfil superficial que se produce.


168


m21.2y81.9x50.3

00.36y

gB

Qy

g

qy C

32

2

C3

2

2

C3

2

C

yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrítica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.

El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situación.


169

Determinación de la profundidad aguas arriba del resalto y1.

2

222

1

2

2

2

2

122

2

1

ygy

q811

y

y2

yg

v811

y

y2F811

y

y2

2

1

2

22

21

50.2x81.950.2

00.5811

2

50.2y

ygy

q811

2

yy

m65.0y1 Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.

Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formación de un resalto hidráulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar:

a. La profundidad aguas arriba del resalto. b. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. c. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formará el resalto

hidráulico.


170

Determinación de la distancia xA B.

3/13A

3/13B22

3/4A

3/4B2BA yy

qn

1

13

3yy

gn

1

4

3x

3/133/1322

3/43/42BA 50.065.0

00.5x015.0

1

13

350.065.0

81.9x015.0

1

4

3x

m50.52x BA

Determinación de la profundidad aguas arriba de la compuerta.

g2y

qy

g2y

qy

g2

vy

g2

vy

2B

2

B2A

2

A

2B

B

2A

A

m22.2y81.9x2x90.0

00.590.0

81.9x2xy

00.5y A2

2

2A

2

A

A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico formándose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1.

Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidráulico, determinar:

a. La profundidad aguas arriba de la compuerta. b. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. c. La profundidad secuente del resalto. d. La longitud desde el resalto hasta la sección terminal de caída libre. e. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.


171

Determinación de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3.

3/13B

3/13122

3/4B

3/4121B yy

qn

1

13

3yy

gn

1

4

3x

3/133/13122

3/43/412

90.0y00.5x015.0

1

13

390.0y

81.9x015.0

1

4

300.30

la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinación de la profundidad recuente del resalto y2.

2

111

2

2

1

1

1

221

1

2

ygy

q811

y

y2

yg

v811

y

y2F811

y

y2

2

2

2

11

12

00.1x81.900.1

00.5811

2

00.1y

ygy

q811

2

yy

m81.1y2

En la caída en el punto C se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinación de la profundidad crítica yC.

m37.1y81.9

00.5y

g

qy C

3

2

C3

2

C

Determinación de la distancia x2 C.

3/132

3/13C22

3/42

3/4C2C2 yy

qn

1

13

3yy

gn

1

4

3x


172

3/133/1322

3/43/42C2 81.137.1

00.5x015.0

1

13

381.137.1

81.9x015.0

1

4

3x

m60.143x C2


n2/1

0

2/1

n

n2/10

2/1H ybS

y2b

yb

n

1QASR

n

1Q

n2/1

2/1

n

n y00.80015.0y200.8

y00.8

025.0

100.11

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinación de la profundidad crítica yC. La condición de flujo crítico es:

3/1

2

2

C

3/1

2

2

C3

23

C3C

2

3

2

bg

Qy

bg

Qy

bg

bQy1

ybg

bQ1

Ag

TQ

Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la sección terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar:

a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crítica yC. c. Tipo de perfil que se produce. d. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresee

hasta 200.00 m aguas arriba del dique. e. Dibujar el perfil superficial.


173

.m58.0y00.8x81.9

00.11y C

3/1

2

2

C

o también para canales rectangulares:

.m58.0y81.9x00.8

00.11y

gb

Qy

g

qy C

32

2

C3

2

2

C3

2

C

como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrítica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

3

n

C

0

n

y

y1z

S

yx

Para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:

82.0z00.680x

02.1

58.01z

0015.0

02.1x

3

Tabla para el cálculo del perfil M1

y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al origen

(m)

1.70 1.67 0.1972 * 1025.64 0.00 1.65 1.62 0.2116 9.83.61 42.03 1.61 1.58 0.2246 949.16 76.48 1.55 1.52 0.2466 896.10 129.54 1.52 1.49 0.2591 868.73 156.91 1.50 1.47 0.2680 850.16 175.48 1.47 1.44 0.2824 821.73 203.91

El valor de *1972.0 fue obtenido por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.


174


.m47.0y81.9

00.1y

g

qy C

3

2

C3

2

C

Determinación de la pendiente crítica SC. En el caso de flujo crítico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crítica SC; así:

3C

2

2

C2

CCC22

CCCyC

qSySyCqySyCq

Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de fricción de Chézy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crítica. El canal termina en una caída libre, determinar:

a. La profundidad crítica yC. b. La pendiente crítica. c. La pendiente del canal. d. La profundidad normal. e. El tipo de pendiente. f. El tipo de perfil que se produce en el canal. g. Calcular mediante el método de la función de Bresse la distancia en la cual

la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.


175

32

2

C3C

2

2

C 47.0x00.55

00.1S

yC

qS

00318.0SC


000796.0S4

00318.0S 00

La pendiente del canal es subcrítica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinación de la profundidad normal yn.

3/2

2/10

nn2/1

02/1

nn0nSC

qyySyCqySyCq

.m74.0y000796.0x00.55

00.1y

SC

qy n

3/2

2/1n

3/2

2/10

n

La profundidad instantánea es y = 0.95 yn y = 0.95 x 0.74 y = 0.70 m. como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.

Determinación de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

3

n

C

0

n

y

y1z

S

yx


176

Para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

74.0z00.930x

74.0

47.01z

000796.0

74.0x

3

Tabla de cálculo del perfil M2

y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al origen

(m)

0.47 0.64 0.6897 120.55 120.55 0.70 0.95 1.4670 -126.09 -126.09

La distancia desde la caída libre donde ocurre la profundidad crítica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 – (– 126.09) = 246.64 m Determinación de la profundidad crítica yC.

m37.1y81.9

00.5y

g

qy C

3

2

C3

2

C

Problema F.II-5.10 En cierta sección (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una caída libre, 90.00 m aguas debajo de la sección (a). Determinar:

a. La profundidad crítica yC. b. La profundidad normal yn. c. Tipo de pendiente. d. Tipo de perfil que se produce. e. Calcular el perfil superficial mediante el método de la función de Bresse

tomando incrementos Δy = 5 cm. f. La profundidad en la sección terminal de caída libre.


177


5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

nS

nqySy

n

1qySy

n

1q

.m06.1y004.0

014.0x00.5y n

5/3

2/1n

como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3

Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

3

n

C

0

n

y

y1z

S

yx

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

159.1z00.265x

06.1

37.11z

004.0

06.1x

3

Tabla de cálculo del perfil S3

y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al origen

(m)

0.53 0.50 0.5168 291.23 0.00 0.58 0.55 0.5754 * 322.47 31.24 0.63 0.59 0.6245 * 348.15 56.92 0.68 0.64 0.6897 381.43 90.20

Los valores * fueron obtenidos por interpolación lineal en la tabla de la función de Bresse.


178

La profundidad del agua en la caída libre es de aproximadamente 0.68 m.


m54.1y81.9

00.6y

g

qy C

3

2

C3

2

C

Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contraída tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre está a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el método de la función de Bresse. Si se produce un resalto hidráulico determinar su ubicación.


179


5/3

2/10

n2/1

03/5

nn2/1

03/2

nS

nqySy

n

1qySy

n

1q

.m74.3y0001.0

015.0x00.6y n

5/3

2/1n

como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrítico. Cálculo de perfil superficial M3 mediante la función de Bresse.

3

n

C

0

n

y

y1z

S

yx

para el presente caso, al sustituir los valores numéricos se tiene:

9302.0z00.37400x

74.3

54.11z

0001.0

74.3x

3


y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al origen

(m)

0.500 0.1337 0.1337 * 349 0 0.748 0.20 0.2004 508 159 0.935 0.25 0.2510 617 268 1.122 0.30 0.3021 710 361 1.496 0.40 0.4066 814 465


180


En la sección terminal del canal en el punto C, en la desembocadura, l a p r o f u n d i d a d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrítico y el perfil que se produce en M2. Cálculo del perfil superficial M2 mediante la función de Bresse.

9302.0z00.37400x


y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al origen

(m)

1.80 0.4813 0.4950 * 839 0 1.87 0.50 0.5168 720 119 1.94 0.52 0.5399 665 174 2.02 0.54 0.5634 595 244 2.16 0.58 0.6120 400 439



181

Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

2

111

221

1

2

ygy

q811

y

y2F811

y

y2

31

21

231

2

1

2

y81.9

00.6x811

2

yy

yg

q8811

y

y2

Tabla de cálculo de las profundidades secuentes del resalto

Profundidad aguas arriba y1 (m) Profundidad aguas abajo y2 (m)

3

1

21

2y81.9

00.6x811

2

yy

0.50 3.58 0.748 2.78 0.935 2.37 1.122 2.06 1.496 1.59

La manera físicamente posible de pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico es a través de un resalto hidráulico formándose éste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.


182

El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un gráfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior.

Determinación de la profundidad crítica yC es (para ambos canales):

.m37.1y81.9

00.5y

g

qy C

3

2

C3

2

C


5/3

2/11n

5/3

2/110

1n1n2/1

103/2

1n0328.0

02.0x00.5y

S

nqyySy

n

1q

yn 2 = 0.70 m.

Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura está formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidráulico determinar si éste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formará.


183


5/3

2/12n

5/3

2/120

2n2n2/1

203/2

2n0025.0

02.0x00.5y

S

nqyySy

n

1q

yn 2 =1.52 m.

En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidráulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formándose un resalto hidráulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.

Tomando como hipótesis la posibilidad I. La profundidad y1 del resalto hidráulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.


184

2

111

221

1

2

ygy

q811

y

y2F811

y

y2

3

2

231

2

1

2

70.0x81.9

00.5x811

2

70.0y

yg

q8811

y

y2

La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es físicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hipótesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hipótesis la posibilidad II. La profundidad y2 del resalto hidráulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

2

222

122

2

1

ygy

q811

y

y2F811

y

y2

3

2

132

2

2

1

52.1x81.9

00.5x811

2

52.1y

yg

q8811

y

y2

La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual sí es físicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hipótesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinación de la distancia donde se forma el resalto hidráulico. Cálculo del perfil superficial mediante la función de Bresse.

3

n

C

0

n

y

y1z

S

yx

para el presente caso al sustituir los valores numéricos se tiene:

2678.0z00.608x

52.1

37.11z

0025.0

52.1x

3


185


y (m) ny

yz

x (m)

Distancia al punto A

(m)

0.70 0.46 0.472 * 202.83 0 1.22 0.80 0.9505 331.64 128.81


Sección de aproximación 1 - 1.

Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construcción de un puente requiere de la construcción de una pila de 2.00 m de diámetro. Si la pila es hidrodinámica y no ofrece resistencia al flujo, determinar:

a. Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qué. b. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. c. Qué tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. d. A cuántos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la

profundidad normal yn 1. (realice el cálculo mediante un solo paso)


186

Determinación de la energía existente en la sección de aproximación antes de colocar la pila.

g2ymyb

QyE

g2A

QyE

g2

vyE

22111

2

112

2

11

21

11

m32.2E

81.9x200.2x00.200.2x00.6

00.5000.2E 122

2

1

Determinación de la profundidad crítica yC 1 en la sección de aproximación.

1

y00.2y00.681.9

y00.2x200.600.501

ymybg

ym2bQ1

Ag

TQ32

1C1C

1C2

321C1C1

1C12

3

2

La ecuación anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Sección donde es colocará la pila 2 - 2.

Determinación de la profundidad crítica yC 2 en la sección 2.

1

y00.2y00.481.9

y00.2x200.400.501

ymybg

ym2bQ1

Ag

TQ32

2C2C

2C2

322C2C2

2C22

3

2

La ecuación anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinación de la energía mínima en la sección 2 – 2

m48.2E

81.9x286.1x00.286.1x00.4

00.5086.1E min22

2

min


187

La energía mínima necesaria para que el agua pase a través de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energía disponible en la sección 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mínima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la sección de aproximación para adquirir la suficiente energía para poder pasar. Esta nueva energía en la sección 1 -1 debe ser igual a la mínima; es decir, E1N = 2.48 m.

m48.281.9x2y00.2y00.6

00.50y

22N1N1

2

N1

La ecuación anterior tiene cinco raíces, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condición de flujo sub crítico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinación de la pendiente S0 del canal.

3/10

3/422

0

2

3/2

3/2

0

2

3/2H

02/1

03/2

H A

PnQS

AA

PnQS

AR

nQSASR

n

1Q

3/102

111

3/42

1122

0

ymyb

m1y2bnQS

000954.0S00.2x00.200.2x00.6

00.2100.2x200.6015.000.50S 03/102

3/4222

0

A continuación se muestran en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1 y = 1.01 x 2.00 y = 2.02 m

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método paso a paso

y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S

x104 S

x104 SS0

x104 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

2.25 23.63 16.06 1.67 0.23 2.48 - 6.0795 - -

2.02 20.28 15.03 1.49 0.31 2.33 0.15 9.1845 7.63201 1.90798 786.17


188

La ecuación de continuidad indica que

1212

12221121 q

00.4

00.5qq

b

bqbqbqQQ

Energía especifica en la sección 2. Como en la sección 2 la altura del agua es la profundidad crítica yC2, entonces la energía específica en la sección 2 es la energía mínima; es decir,

3/1

3/22

23

22

22C2 81.9

q

2

3E

g

q

2

3Ey

2

3E

3/1

3/21

3/2

3/2

23/1

3/2

1

23/1

3/22

2 81.9

q

4

5

2

3E

81.9

q4

5

2

3E

81.9

q

2

3E

Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reducción produce la profundidad crítica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reducción es crítico. Se pide:

a. El caudal. b. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. c. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reducción hacia aguas arriba

hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.


189

Energía especifica en la sección 1.

81.9x2x00.4

q00.4E

g2y

qyE

g2

vyE

2

21

121

21

11

21

11

Como no existe pérdida de energía entre las secciones 1 y 2 entonces

3/1

3/21

3/2

3/2

2

21

21 81.9

q

4

5

2

3

81.9x2x00.4

q00.4EE

la ecuación anterior se satisface para q1

= 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es: s/m50.66Q00.5x3.13QbqQ 3

11

El caudal unitario q2 es: m/s/m63.16q3.134

5qq

4

5q 3

2212

La profundidad crítica yC1 es: m62.2y81.9

3.13y

g

qy 1C

3

2

1C3

21

1C

La profundidad crítica yC2 es: m04.3y81.9

63.16y

g

qy 1C

3

2

1C3

22

2C

Determinación de la profundidad normal yn1 en el tramo 1.

1n12/1

0

3/2

1n1

1n12/10

3/2H ybS

y2b

yb

n

1QASR

n

1Q

1n2/1

3/2

1n

1n y00.5001.0y200.5

y00.5

014.0

150.66

la ecuación anterior se satisface para yn1

= 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crítico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2


190

Cálculo del perfil superficial.

SS

EEx

0

12

A continuación se muestra en forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.


y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S S SS0 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

4.00 20.00 13.00 1.776 0.563 4.563 - 0.00122 - -

4.11 20.55 13.22 1.801 0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180 -0.00018 450

1mº45tg

1m

Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 45º fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una caída libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de Δy = 10.00 cm.


191


La profundidad crítica es aquélla que satisface la siguiente ecuación:

1

00.11y2y00.381.9

y00.1x200.300.151

m1y2ybg

ym2bQ1

Ag

TQ3

2CC

C2

32

CC

C2

3

2

la ecuación anterior se satisface para yC = 1.19 m


La profundidad normal yn es aquélla profundidad que satisface la ecuación de Manning.

2nn

2/10

3/2

2n

2nn2/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymyb

n

1QASR

n

1Q

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.1y00.3001.000.11y200.3

y00.1y00.3

015.0

100.15

la ecuación anterior se satisface para yn = 1.58 m

yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la caída se

produce la profundidad crítica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a

alcanzar la profundidad normal yn formándose un perfil M2.

Esquema del perfil superficial.


SS

EEx

0

12



192


y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S S S-S0 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

1.19 4.99 6.37 0.72 0.46 1.65 - 0.00282 - -

1.29 5.53 6.65 0.78 0.38 1.67 -0.02 0.00215 0.00249 -0.0015 13.33

1.39 6.10 6.93 0.84 0.31 1.70 -0.03 0.00163 0.00189 -0.0009 33.33

1.49 6.69 7.22 0.90 0.26 1.75 -0.05 0.00128 0.00146 -0.0005 100.00

1.55 7.05 7.39 0.94 0.23 1.78 -0.03 0.00108 0.00118 -0.0002 150.00

1.57 7.17 7.44 0.95 0.22 1.79 -0.01 0.00102 0.00105 -0.00005 200.00

m66.496


C

32CC

3

3

2

ym2b

ymybgQ

T

AgQ1

Ag

TQ

s/m26.39Q

50.1x00.2x200.5

50.1x00.250.1x00.581.9Q 3

32

Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crítico a una profundidad de 1.50 m. En determinada sección su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide:

a. El caudal. b. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. c. Hacer los cálculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la

distancia Δx entre los límites de variación de y.


193

Determinación de la pendiente crítica S0 C en el tramo 1. La pendiente crítica es aquélla que satisface la ecuación de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crítica yC.

3/10

3/422

0

2

3/2

3/2

0

2

3/2H

02/1

03/2

H A

PnQS

AA

PnQS

AR

nQSASR

n

1Q

3/102

111

3/42

1122

0

ymyb

m1y2bnQS

0065.0S50.1x00.250.1x00.5

00.2150.1x200.5025.026.39S C03/102

3/4222

C0

Determinación de la pendiente crítica S0 en el tramo 2.

0055.0S001.00035.0S001.0SS 2020C020

Determinación de la profundidad normal en el tramo 2.

22n2n1

2/10

3/2

22n1

22n2n12/1

03/2

H ymybSm1y2b

ymyb

n

1QASR

n

1Q

22n2n

2/1

3/2

22n

22n2n y00.2y00.50055.000.21y200.5

y00.2y00.5

025.0

126.39

la ecuación anterior se satisface para yn1

= 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1


194


SS

EEx

0

12


Tabla para el cálculo del perfil C1 mediante un solo paso.

y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S S SS0 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

1.57 12.78 12.02 1.09 0.481 2.051 - 0.00541 -

1.50 12.00 11.71 1.03 0.546 2.046 0.005 0.00650 0.00596 0.00054 9.25

Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un río. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crítica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide:

a. La profundidad crítica yC. b. La profundidad normal yn. c. El caudal Q. d. El tipo de perfil superficial. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidráulico si este se

produce. g. Calcular mediante el método paso a paso el perfil superficial calculado

cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crítica.


195

Si se considera como hipótesis que la pendiente del canal es supercrítica (yC > yn) entonces:

m00.6y00.93

2yE

3

2y CCminC


81.9x00.5x00.6QgbyQgb

Qy

gb

Qy 2323

C2

23

C3

2

2

C

m/s/m03.46q00.5

16.230q

b

Qqm/s/m16.230Q 33

Determinación de la profundidad normal yn


ASRn

1Q 2/1

03/2

H

n2/1

3/2

n

n y00.50067.0y200.5

y00.5

013.0

116.230

la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hipótesis es correcta.


196

Perfiles superficiales.

Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.

En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crítica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.

Para pasar de flujo supercrítico a flujo subcrítico se tiene que formar un resalto hidráulico.

Si se considera como hipótesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es: Determinación de las profundidades secuentes del resalto.

2

111

221

1

2

ygy

q811

y

y2F811

y

y2

3

2

231

2

1

2

16.5x81.9

03.46x811

2

16.5y

yg

q8811

y

y2

y2 = 6.93 m

lo cual es físicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidráulico.


197

Esquema y cálculo del perfil superficial.

SS

EEx

0

12

A continuación, se muestran forma tabulada los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.

Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso

y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S

x 10-5 S

x 10-5 S-S0

x 10-5 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

56 280 117 6.868 0.034 56.034 - 1.64 - - 0.00

54 270 113 6.817 0.037 54.037 1.997 1.80 1.72 68.28 298.53

52 260 109 6.762 0.040 52.040 1.997 1.96 1.88 668.12 298.90

50 250 105 6.705 0.043 50.043 1.997 2.13 2.05 667.95 298.97

48 240 101 6.643 0.047 48.047 1.996 2.35 2.24 667.76 298.91

m61.1195


198

Considerando como hipótesis que el flujo en el canal es supercrítico. La velocidad crítica es:

C

2C

CC

2

2

CC

2

2

C

3

2

T2

A

g2

v

T2

A

Ag2

Q

T

A

Ag

Q1

Ag

TQ

Determinación de la profundidad crítica. como la energía disponible es E0 = 2.40 m entonces:

C

2CC

C0

C

C0

2C

C0 ym2b2

ymybyE

T2

AyE

g2

vyE

al sustituir los valores numéricos se obtiene la profundidad crítica yC:

C

2CC

C yx00.2x200.62

y00.2y00.6y40.2

, la cual se satisface para yC = 1.76 m.

Determinación de la velocidad crítica.

.s/m54.3v81.9x2

v76.140.2

g2

vyE C

2C

2C

C0

Determinación del caudal Q

Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la sección de entrada. Se pide:

a. La profundidad crítica yC. b. El caudal Q. c. La profundidad normal yn. d. El tipo de perfil que se produce. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Calcular la distancia mínima desde la entrada del canal a la que se puede

ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b.

g. Dibujar el nuevo perfil superficial.


199

.s/m31.59Q76.1x00.276.1x00.6x54.3QAvQ 32CC



ASRn

1Q 2/1

03/2

H

2nn

2/1

3/2

2n

2nn y00.2y00.6005.000.21y200.6

y00.2y00.6

014.0

131.59

la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrítico por lo tanto la hipótesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrítica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:

Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua moviéndose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el límite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situación descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:


200


SS

EEx

0

12


Tabla para el cálculo del perfil S1 mediante el método paso a paso

y A P 3/4HR

g2

v2

E ΔE S

x 10-3 S

x 10-3 S-S0

x 10-3 Δ x

(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)

2.10 21.42 15.39 1.55 0.40 2.50 - 0.992 - - -

2.00 20.00 14.94 1.48 0.46 2.46 0.04 1.20 1.096 3.904 10.25

1.90 18.62 14.49 1.40 0.53 2.43 0.03 1.45 1.330 3.670 8.17

1.80 17.28 14.04 1.32 0.62 2.42 0.01 1.80 1.630 3.37 2.97

1.76 16.89 13.91 1.30 0.65 2.419 0.001 1.92 1.860 3.140 0.32

m71.21

Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada sección se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar:

a. La profundidad crítica yC. b. El coeficiente n de Manning. c. El tipo de perfil superficial que se forma. d. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la

compuerta.


201


m27.0y81.9x50.1

65.0y

gb

Qy

g

qy C

32

2

C3

2

2

C3

2

C

Determinación del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es:

00063.0S1600

00.1S

L

zS 000

3/2

3/52/102/1

0

3/22/1

03/2

H PQ

ASnAS

P

A

n

1QASR

n

1Q

0205.0n70.0x250.165.0

70.0x50.100063.0n

y2bQ

ybSn

3/2

3/52/1

3/2

3/52/10

como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:


xSSEESS

EEx 021

0

12



202

Tabla para el cálculo del perfil M1 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

Δ x y A P 3/4HR

g2

v2

E S

(10-4) S

(10-4) S-S0

(10-4) E

(m) (m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m)

1.00 1.50 3.50 0.3231 0.0096 1.0096 2.442 -- -- 1.0096

685 0.75 1.125 3.00 0.2704 0.0170 0.7670 0.519 3.81 2.43 0.857

685 0.84 1.26 3.18 0.2910 0.0136 0.8530 3.843 3.14 3.11 0.815

685 0.80 1.20 3.10 0.2821 0.0149 0.8149 4.370 3.41 2.84 0.832

685 0.817 1.226 3.134 0.2861 0.0143 0.8310 4.130 3.29 2.96 0.825

685 0.810 1.215 3.120 0.2845 0.0146 0.8250 4.220 3.33 2.92 0.827

La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.

Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m3/s/m, con una pendiente longitudinal S0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una caída libre. Determinar:

a. La profundidad crítica yC- b. La profundidad normal yn. c. El tipo de perfil que se produce. d. La profundidad a 20.00 m de la caída. e. La profundidad a 40.00 m de la caída.


203


m61.0y81.9

50.1y

g

qy C

3

2

C3

2

C


m93.1y0001.0

020.0x50.1y

S

nqyySy

n

1q n

5/3

2/1n

5/3

2/10

nn2/1

03/2

n

como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrítica y el perfil es tipo M, el canal termina en una caída libre donde se produce la profundidad crítica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formándose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:


xSSEESS

EEx 021

0

12

A continuación se muestran, en forma tabulada, los cálculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.


204

Tabla para el cálculo del perfil M2 mediante el método de aproximaciones sucesivas.

Δ x y g2

v2

E S

(10-4) S

(10-4) S-S0

(10-4) E

(m) (m) (m) (m) (m)

0.621 0.309 0.918 46.25 0.918

20 0.700 0.234 0.934 29.55 37.90 - -36.90 0.992

20 0.758 0.200 0.958 22.66 34.46 - 33.46 0.985

20 0.758 0.186 0.971 20.17 33.21 - -32.21 0.982

20 0.796 0.181 0.977 19.26 32.76 - -31.76 0.982

20 0.800 0.181 0.981 18.94 32.60 -31.60 0.981

20 1.000 0.115 1.115 9.00 13.97 - -12.97 1.011

20 0.896 0.143 1.039 12.98 15.96 - -14.96 1.011

20 0.868 0.152 1.020 14.42 16.68 - -15.68 1.012

20 0.860 0.155 1.015 14.87 16.91 - 15.91 1.013

PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

205

Capitulo 6

FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL

Las expresiones de u y v son:

x32uy

yx3y2-x31u

yu

y33vx

yx3y2-x31v

xv

para que exista función potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir:

00

y

x32

x

y33

y

u

x

v

entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:

yfy

yf2

x3x2x32

xu

x

2

C2

y3y3yfy33yfvyfv

y

2

C

2

y3y3

2

x3x2yf

2

x3x2

222

Cy3x22

y3

2

x3 22

Problema F.II-6.01 La función de corriente para flujo bidimensional es: yx3y2x31 . Hallar la función potencial.


206

Determinación de la velocidad.

x5u

y

yx5u

yu

y5vx

yx5u

xv

jy5ix5Vjy5ix5VjviuV

Verificar si se cumple la ecuación de continuidad

0Vx55Vx

y

y5

x

x5Vx0

y

v

x

uVx

lo cual indica que sí se satisface la ecuación de continuidad Determinación de la rotacionalidad.

000

y

x5

x

y5

y

u

x

vZZZZ

Lo que indica que el flujo es irrotacional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial.

yfy

yf2

x5xdx5

xx5

xu

2

C2

y5yfydy5yfyfy5yfv

yv

2

C2

y5

2

x5 22

Problema F.II-6.02 La función de corriente de cierto flujo está dada por la expresión yx5 , para esta función se pide:

a) La expresión del vector velocidad en coordenadas cartesianas. b) Verificar si el flujo cumple con la ecuación de continuidad. c) La vorticidad. d) El potencial si existe.


207

Determinación de las expresiones de u y v

1y2u

y

1xx1yyu

yu

1x2vx

1xx1yyu

xv

Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

0V.00V.0

y

1x2

x

1y2V.0

y

v

x

uV.

efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad Determinación del rotacional

0222

1

y

1y2

x

1x2

2

1

y

u

x

v

2

1ZZZz

entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:

yfx2y

yfxxy21y2x

ux

Cyyf1x2x2yfvx2yfvy

Cyxxy2Cyxxy2

Problema F.II-6.03 Para un flujo definido por la función de corriente 1xx1yy Determinar: a) Las componentes de velocidad u y v según los ejes x e y respectivamente. b) Verificar si efectivamente la ecuación dada representa el flujo de un fluido

incompresible. c) El rotacional. d) El potencial si éste existe.


208

Determinación de las expresiones de u y v

x4u

x

ykx2u

xu

22

yk2vy

ykx2u

yv

22

verificación si el flujo es irrotacional

0002

1

y

x4

x

yk2

2

1

y

u

x

v

2

1ZZZZ

efectivamente, el flujo es irrotancional. Determinación de k para que se cumpla la ecuación de continuidad La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

2k0k240

y

yk2

x

x4V.0

y

v

x

uV.

Determinación de la función de corriente.

xfy4x

xfyx4x4y

uy

Cxf0xfy4xfy4yk2xfy4vx

Cyx4

Problema F.II-6.04 Un flujo irrotacional, bidimensional e incompresible tiene como función potencial

22 ykx2 ; para estas condiciones se pide:

a) El valor de k para que se cumpla con la condición enunciada. b) La función de corriente.


209

Para verificar la ecuación de continuidad se debe cumplir.

0x3y3y3x30y

xy3y

x

yx3x0

y

v

x

u 22222323

Entonces, si se cumple la ecuación de continuidad, es acertada la predicción. El flujo es rotacional si se cumple:

0y

u

x

v

0yx6yx60

y

yx3x

x

xy3y 2323

Lo que indica que el flujo no es rotacional; es irrotacional. Determinación de la vorticidad, 2ω.

0yx6yx6y

yx3x

x

xy3y

x

v

x

v

2

122

2323

la vorticidad es nula.

La rotación de un fluido es una cantidad vectorial y se puede expresar como:

Problema F.II-6.05 Se predice que un campo de flujo bidimensional tiene las siguientes componentes de velocidad: 2323 xy3yv;yx3xu . Para estas funciones se pide:

a) Es acertada la predicción, es decir, se cumple la ecuación de continuidad. b) El flujo es rotacional. c) La rotacionalidad. d) La vorticidad.

Problema F.II-6.06 Para kzyxjzyiyxv 222

, hallar las componentes de la rotación en

el punto (2, 2, 2)


210

wvuzyx

kji

VxVrot

ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

wVxVrot

y

u

x

v

2

1,

x

w

z

u

2

1,

z

v

y

w

2

1si ZYX

kjiVVrot ZYX

La rotación alrededor del eje x es:

2

1y1y2

2

1

z

zy

y

zyx

2

1

z

v

y

w

2

1XX

222

XX

La rotación alrededor del eje y es:

xx202

1

x

zyx

z

yx

2

1

x

w

z

u

2

1Yy

222

YY

La rotación alrededor del eje z es:

2

110

2

1

y

yx

x

zy

2

1

y

u

x

v

2

1ZZZZ

kjx2i1y2VxVrotk10jx20i1y2VxVrot

La rotación particularizada para el punto (2, 2, 2) es:

kj4i3VxVrotkj2x2i12x2VxVrot


211

como la distribución es lineal se tiene:

y25uy2

50uy

H

Uu

y

u

H

U

0v

xf0x

xf2

y25

yy25

yu

2

Cxfxf00x

v

C2

y25 2

para y = 0,

0CC2

0250C

2

y250

22

2

y25 2

Graficar las líneas de corriente con intervalos de 10

Problema F.II-6.07 En un flujo paralelo bidimensional en la dirección x positiva, la velocidad varía linealmente desde 0.00 m/s para y = 0.00 m hasta un valor de 50.00 m/s para una altura y = 2.00 m. Para estas condiciones se pide:

a) Una expresión para la función de corriente .

b) Graficar la función de corriente con intervalo de m/s/m10 3 . c) El rotacional.


212

2/12

25

2y

2

y25

2/1

25

2y

- 10 0.894 - 20 1.260 - 30 1.549 - 40 1.782 - 50 2.000

Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es:

2

25250

2

1

y

y25

x

0

2

1

y

u

x

v

2

1ZZZz

por lo tanto el flujo es rotacional, por lo tanto no existe función potencial.

Problema F.II-6.08 En un canal rectangular, horizontal, de 2.00 m de ancho se produce flujo uniforme con una velocidad de 2.00 m/s. Para estas condiciones se pide:

a) Una expresión para las líneas de corriente . b) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. c) El rotacional. d) La función potencial, si existe . e) Hacer un esquema de las líneas de corriente y equipotenciales. f) Determinar el caudal si la profundidad del agua en el canal es de 40.00 cm.


213

como el flujo es horizontal y uniforme se tiene:

0v2u

xf0x

xfy2y

2y

u

Cxfxf00x

v

Cy2

0CC020Cy20,0ypara

y2

Verificación de la ecuación de continuidad: La ecuación de continuidad en dos dimensiones es:

0V.00V.0

y

0

x

2V.0

y

v

x

uV.

efectivamente, si se satisface la ecuación de continuidad. Determinación del rotacional

000

y

2

x

0

y

u

x

vXXXz

entonces el flujo es irrotancional por lo tanto existe función potencial. Determinación de la función potencial:

yf0y

yfx22x

2x


214

2Cyf0yf0y

2Cx2yfx2

0CC0200,0xpara 22

x2

y x y2 x2

0.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 - 0.2 - 0.2 0.2 0.2 - 0.4 - 0.4 0.3 0.3 - 0.6 - 0.6 0.4 0.4 - 0.8 - 0.8

En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente y las líneas potenciales.

Determinación del caudal unitario.

m/s/m80.0q0.080.0qq 30004

El caudal total es:

s/m60.1Q00.2x80.0QBqQ 3

Donde el signo menos corresponde según el convenio establecido, que el caudal es negativo cuando el flujo es de izquierda a derecha.


215

Las expresiones generales del flujo alrededor de una esquina con ángulo α son para la función potencial y la función de corriente respectivamente:

senrAcosrA

La función potencial para el caso particular de 2/3 es:

3

2cosrA

2/3cosrA 3

22/3

La función de corriente para el caso particular de 2/3 es:

3

2senrA

2/3senrA 3

22/3

En el esquema siguiente se muestran la función potencial y la de corriente para α = 270º.

Problema F.II-6.09 Para flujo alrededor de una esquina si 2/3 , se pide:

a) La función potencial. b) La función de corriente. c) La expresión para rv .

d) La expresión para v .

e) Hacer un esquema de los vectores velocidad para un ángulo .


216

Determinación de la expresión de vr

3

2cos

3

2rA

r

1v

3

2senrA

r

1v

r

1v 3/2

r

3/2

rr

3

2cos

r3

A2v

3/1r

Determinación de la expresión de v .

3

2sen

r3

A2v

r

3

2senrA

vr

v3/1

3/2


217

Determinación de la función de corriente.

xfx

xfy2xf2

y4y4

yu

y2

2

Cx2xfC2

x4xfx4xfv

x2

2

Cx2y2 22

Si la condición de borde es: 0,0y,0xpara

0CC02020Cx2y2 2222

22222222 xy2x2y20x2y2Cx2y2

2r2

lo que representa circunferencias con centro en el origen como se muestra en el esquema.

Problema F.II-6.10 Las dos componentes de velocidad en un flujo bidimensional son: u = 4 y; v = - 4 x Para estas condiciones determinar:

a) La función de corriente . b) El rotacional. c) La función potencial, si existe. d) Dibujar las líneas de corriente y las equipotenciales, si éstas existen.


218

Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es:

4442

1

y

y4

x

x4

2

1

y

u

x

v

2

1ZZZZ

por lo tanto el flujo es rotacional y no existe función potencial.

Para una fuente las funciones de corriente y las equipotenciales son:

rln2

q;

2

q

Nota: º180radianes

(grados)

(radianes)

2

q

r (m)

rln2

q

30 6/ - 1/12 0.10 0.366

60 3/ - 2/12 0.20 0.256

90 2/ - 3/12 0.30 0.192

120 3/2 - 4/12 0.40 0.146

150 6/5 - 5/12 0.50 0.110

180 - 6/12

210 6/7 - 7/12

240 3/4 - 8/12

270 3/2 - 9/12

300 6/10 - 10/12

330 6/11 -11/12

360 2 -12/12

Problema F.II-6.11 Por una fuente fluye un caudal q = 1.00 m3/s, para esta fuente se pide dibujar:

a) Las líneas de corriente con º30 , desde 0º hasta 360º. b) Las líneas equipotenciales con m10.0r , desde 0.10 m hasta 0.50 m.


219

Determinación de las expresiones de u y v.

2232

y6x6uy

y2yx6u

yu

yx12vx

y2yx6u

xv

32

Determinación del las componentes de la velocidad en el punto de coordenadas (2; 3)

s/m00.30u5424u3626uy6x6u 2222

s/m00.72v3212vyx12v

Problema F.II-6.12 Para la función de corriente 32 y2yx6 , determinar:

a) La expresiones de las componentes de velocidades u y v. b) El módulo y ángulo del vector velocidad en el punto de coordenadas (2; 3). c) El rotacional. d) La función potencial, si ésta existe.


220

Determinación del módulo de la velocidad.

s/m00.78v00.7200.30vvuv 2222 Determinación del ángulo de la velocidad con respecto a la horizontal.

º38.6700.30

00.72tgarc

00.30

00.72tg

u

vtg

Determinación de la rotación. La rotación alrededor del eje z es:

0y12y122

1

y

x6y6

x

yx12

2

1

y

u

x

v

2

1XX

22

Xz

por lo tanto, el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.

Determinación de la función potencial:

yfyx12y

yfxy63

x6y6x6

xu

x2

322

Cyf0yfyx12yfyx12vy

Cxy6x2Cxy63

x6 2323


221

Determinación de rv .

r

1

2

qv

r

2rln

2

q

vr

v rrr

Determinación de v .

r

1

2v

2rln

2

q

r

1v

r

1v

Verificación de la ecuación de continuidad.

0v

r

1v

r

1

r

vr

r

0

r

1

2

q

r

1r

2

qr

1

2

r

1

r

1

2

q

r

1

r

r

1

2

q

2

Problema F.II-6.13

Un campo de flujo tiene como función de corriente rln22

q

y como

función y potencial

2

rln2

q, para estas condiciones se pide:

a) La expresión de rv .

b) La expresión de v .

c) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. d) El Rotacional. e) Dibujar a escala la línea de corriente para m/s/m2 3 , m/s/m1 3

y. m/s/m1q 3


222

0r2

q0

r2

q22

por lo tanto sí se cumple la ecuación de continuidad Determinación del rotacional.

0v

r

vr

r

1 rZ

000r

10

r

1

2

q

r

r

1

2r

r

1ZZZ

El rotacional es cero por lo tanto el flujo es irrotacional. Dibujar a escala la línea de corriente para m/s/m2 3 , m/s/m1 3 y m/s/m2q 3 .

rln1592.01592.02rln14.3x2

1

14.3x2

12rln

22

q

(radianes) r (m)

0 rln1592.001592.02 r = 286751

6/ rln1592.06/1592.02 r = 169804

4/ rln1592.04/1592.02 r = 130692

3/ rln1592.03/1592.02 r = 100589

2/ rln1592.021592.02 r = 59588

rln1592.01592.02 r = 12367

2/3 rln1592.02/31592.02 r = 2575

2 rln1592.021592.02 r = 533


223

qrln2

1qrln

2

1

2

qrln

221

qrln2

para una línea de corriente determinada el valor de 2 es constante y se llamará k, es decir, 2k , entonces:

re

ererlnqkqrlnk

q

kqk

Si el valor de ke constante, entonces:

q

qertetanconsr

e

tetancons, para cada valor de la constante existe una espiral.

En el siguiente esquema se muestran las líneas de corriente del vórtice, del sumidero y de la superposición del vórtice más el sumidero:

Problema F.II-6.14

Dados

2

;rln2 11 para un vortice libre, y

rln2

q;

2

q22

para un sumidero,

mostrar que las líneas de corriente correspondientes a la superposición del vértice y el sumidero son las espirales qer constante.


224

Para la fuente El caudal por unidad de longitud se llama intensidad de la fuente y se designa por 2 , es

decir; 2q F Las funciones potencial y de corriente para una fuente son:

2

qrln

2

qrln FF

Para el vórtice El caudal por unidad de longitud se llama intensidad del vórtice y se designa por 2 , es

decir; 2q V

Las funciones potencial y de corriente para un vórtice son:

rln2

qrln

2

q VV

Problema F.II-6.15 Una fuente de intensidad 0.20 m3/s/m y un vórtice de intensidad 1.00 m3/s/m están localizados en el origen de coordenadas. Para estas condiciones determinar las ecuaciones de las funciones de:

a) Potencial. b) Corriente. c) Velocidad rv

d) Velocidad v


225

La función potencial correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:

2

qrln

2

q

2

qrln

2

q VFVF21

0.1rln20.02

1qrlnq

2

1VF

rln20.02

1

La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el vórtice es:

rlnqq2

1rln

2

q

2

qVF

VF21

rln20.02

1rln0.120.0

2

1

Las expresiones de las velocidades vyvr en coordenadas polares son:

rr

1v

r

1

rvr

La velocidad vr es:

r10

1v

r

1

2

20.0v

r

rln20.02

1

vr

v rrrr

La velocidad v es:

r2

1v

2

1

r

1v

rln20.02

1

r

1v

r

1v


226

Determinación de las expresiones de u y v.

x4u

y

yx4u

yu

y4vx

yx4v

xv

El vector velocidad es:

jy4ix4Vjy4ix4VjviuV

Verificación de la ecuación de continuidad. La ecuación de continuidad para flujo en dos dimensiones es:

044V.0

y

y4

x

x4V.0

y

v

x

uV.

si se satisface la ecuación de continuidad. Determinación del rotacional. La rotación alrededor del eje z es:

0002

1

y

x4

x

y4

2

1

y

u

x

v

2

1XzZZ

por lo tanto el flujo es irrotacional y sí existe función potencial.

Problema F.II-6.16 La función de corriente de un cierto flujo está dada por la ecuación yx4 , para esta función se pide:

a) El vector velocidad. b) Verificar si se cumple la ecuación de continuidad. c) El rotacional. d) El potencial si existe. e) La velocidad en el punto 1 de coordenadas )6/;2r( . f) En el punto 2 de coordenadas (3; 30), la presión del fluido es de 1 kg/m2.

Cuál será la presión en el punto de coordenadas )6/;2r( , si la

densidad del fluido es 3m/UTM1


227

Determinación de la función potencial:

yfy

yfx2yf2

x4x4

xu

x2

2

Cy2yfC2

y4yfy4yfv

y2

2

Cy2x2 22

Si la condición de borde es: 0,0y,0xpara

0CC02020Cy2x2 2222

22 y2x2 Determinación de la velocidad en el punto 1 de coordenadas )6/;2r( .

Las coordenadas cartesianas del punto 1 son:

m73.1xº30cos00.2x6/cos00.2xcosrx 1111

m00.1yº30sen00.2y6/cos00.2ysenry 1111

s/m92.6u73.14ux4u

s/m00.4v00.14vy4v

s/m00.8v00.492.6vvuv 122

122


228

Determinación de la velocidad en el punto 2 de coordenadas (3; 20)

s/m00.12u00.34ux4u s/m00.80v00.204vy4v

s/m90.80v00.8000.12vvuv 222

222

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 considerando que el flujo se produce en el plano horizontal es decir, Δ z = 0.00 m.

g2

v

g

p

g2

v

g

p

g2

vz

p

g2

vz

p 222

211

22

22

21

11

2

1

221 m/kg3241p

81.9x2

90.80

81.9x1

1

81.9x2

00.8

81.9x1

p

Problema F.II-6.17 Una fuente y un sumidero, cada uno de intensidad q = 60 m3/s/m están ubicados en los puntos de coordenadas (-3; 0) y (+3; 0) respectivamente, para estas condiciones se pide:

a) La expresión de la función de corriente , en coordenadas cartesianas. b) El valor de la función de corriente , en los puntos de

coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4). c) Una expresión para la velocidad u, en coordenadas cartesianas. d) Una expresión para la velocidad v, en coordenadas cartesianas. e) El valor de u y v para los puntos de coordenadas P1 (0; 0) y P2 (0; 4).


229

La función de corriente para una fuente es:

3x

yarctg

2

q

x

yarctg

2

qscartesiana.coorden

2

q1

1

1111

La función de corriente para el sumidero es:

3x

yarctg

2

q

x

yarctg

2

qscartesiana.coorden

2

q2

2

2222

La función de corriente correspondiente a la superposición de la fuente y el sumidero es:

3x

yarctg

3x

yarctg

2

q

3x

yarctg

2

q

3x

yarctg

2

q21

El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 0) es:

030

0arctg

30

0arctg

2

60

3x

yarctg

3x

yarctg

2

q

El valor de la función de corriente particularizada para el puntos P1(0; 4) es:

m/s/m101430

4arctg

30

4arctg

2

60

3x

yarctg

3x

yarctg

2

q 3

Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes a la fuente son:

r2

qv

2

q

r

1v

r

1v r

1

rr

0vr

2

q

vr

v1

r

Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes a la fuente son:

11

111r1 cosr2

qusenvcosvu

11

111r1 senr2

qvcosvsenvv


230

Los vectores velocidad, en coordenadas polares, correspondientes al sumidero son:

r2

qv

2

q

r

1v

r

1v r

1

rr

0vr

2

q

vr

v1

r

Los vectores velocidad, en coordenadas cartesianas, correspondientes al sumidero son:

22

222r2 cosr2

qusenvcosvu

22

222r2 senr2

qvcosvsenvv

Los vectores velocidad correspondientes a la superposición de la fuente y el sumidero son:

2

2

1

12

21

121 r

cos

r

cos

2

qucos

r2

qcos

r2

quuuu

2

2

1

12

21

121 r

sen

r

sen

2

qvsen

r2

qsen

r2

qvvvv

En general para cualquier punto se tiene:

2222 yx

xcos

r

xcosy

yx

ysen

r

ysen

por lo tanto.

22

22

22

12

1

1

22

22

22

22

2

21

21

21

21

1

yx

x

yx

x

2

qu

yx

yx

x

yx

yx

x

2

qu


231

2222 y3x

3x

y3x

3x

2

qu

222

221

22

22

22

22

2

21

21

21

21

1

yx

y

yx

y

2

qv

yx

yx

y

yx

yx

y

2

qv

2222 y3x

y

y3x

y

2

qv

Los valores de u y v en el puntos P1(0; 0) son:

22222222 030

30

030

30

14.3x2

60u

y3x

3x

y3x

3x

2

qu

s/m37.6u

22222222 030

0

030

0

14.3x2

60v

y3x

y

y3x

y

2

qv

s/m0v

Los valores de u y v en el puntos P2 (0; 4) son:

22222222 430

30

430

30

14.3x2

60u

y3x

3x

y3x

3x

2

qu

s/m29.2u

22222222 430

4

430

4

14.3x2

60v

y3x

y

y3x

y

2

qv

s/m0v

BIBLIOGRAFIA

Aguirre, J., Florez, I., Macagno, E. “Mecánica de Fluidos Fundamental”, Consejo de Publicaciones, ULA, Mérida, 1987. Irving H. Shames, “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. Colombia, 1995 R. Roca Vila, “Introducción a la Mecánica de los Fluidos”, Editorial Limusa, México, 1978. Streeter, Víctor L., “Mecánica de los Fluidos”, McGraw-Hill, inc. México, 1974. White, Frank M., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, inc. España, 1983.

problemario fluidos 2

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