problemario de ecuaciones diferenciales

Problemario De Ecuaciones Diferenciales

PÁG. 1

PROBLEMARIO DE ECUACIONES

DIFERENCIALES

5.0 Solución De Una Ecuación

Diferencial

Verifique que la función indicada es una solución de la

ecuación diferencial dada. Donde c1 , c2 son constantes.

2

1 1

2 2 21

2

2

1] si 0, 0

1 12] si cos 10

2 2

3] 2 2 0 si

14] 2 0 si

5]

x

dy yy x c x c

dx x

y y senx y senx x e

xydx x y dy x y y c

x dy xydx yx

y

1

1

22 2 21

2

11 si ln 0

6] si 1

7] 0 si c

8] tan si cos ln sec tan

9] 3

at

at

y

x

y y x x xx

ac edPP a bP P

dt bc e

x y dx x xy dy x y xe

y y x y x x x

x y

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2 2 2

4 0 si ln , 0

10] 3 3 0 si

11] si

12] si 2 ln

13] 2 si

x

xy y y x x x x

y y y y y x e

xy y x y y xtgx

xyy x y y

x y

xyy x y y x cx

14]

Compruebe que es una familia uniparamétrica de soluciones

2 2es y xy y y cx c

Determine un valor para k tal que 2y kx sea una solución

singular de la ecuación diferencial dada.

15] Encuentre los valores de m tales que

mxy e Sea una solución de cada una de las

Siguientes ecuaciones diferenciales.

02510 )

065 )

yyyb

yyya

16] Encuentre los valores de m tales que my x sea una

solución de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales.

0416 )

0 )

2

2

yyxyxb

yyxa

5.1 Ecuaciones Diferenciales Por

Variables Separables

Resuelva la ecuación diferencial dada, por el método de

separación de variables.

3 3

2 23

3 2 2 3

2 2 2 2

2

11] 0

3

2] ( 1) 6 5ln 1

3] 3 3 ln1

4] 3 2

5] (4 ) (2 ) 0 2 (4 )

6] 2 ( 1) ln

x x

x y y x

dx e dy y e c

dyx x y x x c

dx

dx x yx x xy cx

dy x

dye e e c

dx

y yx dy x xy dx y c x

y x dy xdx y x x

1 c

2 3 23

2

2

1 17] ln ln 2 ln

3 9 2

8]1

9] sec csc 0 4cos 2 2

t

dx y x yy x x x y y c

dy x

dP PP P ce

dt P

xdy ydx y x sen x c

2

2 3

2 1

10] 2 cos ( ) 0

. 2cos

11] ( 1) ( 1) 0

. ( 1) 2( 1)

y

y y y

y y x x

x y

e sen xdx x e y dy

sol x e ye e c

e e dx e e dy

sol e e c

2 2

1

12] ( ) ( 1)

1 1. ( 1) ln 1 ln

2

3 313]

2 4 8

. 5ln 3 5ln 4

dyy yx y

dx

xsol y y y c

x

dy xy x y

dx xy x y

sol y y x x c

2

22

14] (cos 2 cos ) . cot cos

15] 1 .2

dysenx y y sol y x c

dx

xx y dx dy sol y sen c


PÁG. 2

2 1 116] .

17] 1 1 cos (0) 0

. 1 cos 1 4

x x x

y

y

dye e y sol y tg e c

dx

e senxdx x dy y

sol x e

1

12 2

2 2

2

34

12

3

2

18] 4 1 (0) 1

. 1 2 2

19] 4 1 14

. 4

20] ( 1) 1 .

121] 1 .

3

122]

x

ydy x y dx y

sol y x

dxx x

dy

sol x tg y

x y y xy y sol xy e

xdyx sol y

dx

dy ysol

dx x

. 1y cx

2 2

22 2

2

123] 1 1

3

124] 1 ln 1

2

2 3 2 125]

4 5 2 3 4 5

x y x y y x xdye y e e e y e e c

dx

yx y dy y dx y y c

x

dy yc

dx x y x

26] 70 . 70ktdQK Q sol Q ce

dt

1 1 1 1

2 2 2 22 22 227] 1 1 1 1y dy

x y y x cx dx

2

2 2

1

2

2

2

1 228] 2 .

2 229] 2ln 1 5ln 3

3 3

30] (1) 3 . 3

1 1 131] (2) 2 .

1 1 1

532] 2 1 (0)

2

t

dy xsol y x x c

dx y y

dy xy y xy y x x c

dx xy y x

dyty y y sol y e

dt

dy y y xy sol c

dx x y x

y y y

2

5 5

4 4

2

2 2

1 133] 0 .

34] 4 :

35] 0 . cos

36] 1 1 0 .1

x

x y y sol cy x

y xy sol y ce

y ytgx sol y c x

c xx dy y dx sol y

cx

32 1

37] ln 0 .

38] . cos3

39] 0 . sec

40] 1 .

cxy ydx xdy sol y e

xy seny x sol y c

y ytgx sol y c x

xyy y sol

ln 1 lny y x c

5.2 Ecuaciones Diferenciales

Homogéneas

Resuelva la ecuación diferencial homogénea dada.

2 2

2 2 1

2

2 3 3

1] 0 . ln

2] 0 . ln

3] ln 2

4] 0 . 4 ln

5] 2 3

x y dx xdy sol x x y cx

y yx dx x dy sol x y x cy

dy y x yx y tg c

xdx y x

ydx x xy dy sol x y y c

x ydx x y dy

29 3 3

2

22

2 2 2

2 3 3 3 3

.

6] . 2 ln

7] 4 . 8ln

8] .

9] (1) 2 . 3 l

xx

y y

yx

sol y c x y

dy y x ysol x c

xdx x y

dxy x ye sol e y c

dy

x xy y dx xydy sol y x cx e

dyxy y x y sol y x

dx

3

22 2 2

2 2

n 8

10] 2 3 (1) 2 . 4

11] 0 (1) 0 . ln 1

12] 3 4 (1) 1

. 4 ln ln

y y yx x x

x x

dyx xy y y sol y x x y

dx

x ye dx xe dy y sol x e

y xy dx x xy dy y

ysol x x x y x c

x

0ln)(.

1)0(0]13 222

xyyxsol

ydyyxyxdxy

2

1

2

2

2

114] 12

. ln 2 1 2

15] 2 . 2

316] .

3

dyx y xy y y

dx

xsol yy

ydx x y dy sol x y cy

dy x ysol x y c x y

dx x y


PÁG. 3

24 4 3

2 2

21

2

2 2

17] 2 0 . ln

18] 1 . ln

19] ln . ln 1

20] 2 ( 1)

y

x

xx y dx x ydy sol x c

y x

dy y x ysol y x tag x c

xdx x y

dy y ysol cx

dx x x

x y dx xydy y

4 2 2

2 2 2

2 2

3 3 2

2 2

2

1 . 2

21] (0) 1

. ln 1

22] 2 2 (1) 2

1. ln

2

23] (1) 0 .

sol x x y

xydx x dy y x y dy y

sol x y y y

y dx x dy x ydx y

sol y x x

x y dx xdy y sol

24] Suponga que 0),(),( dyyxNdxyxM es una

ecuación homogénea. Pruebe que las sustituciones cosrx

, rseny reduce la ecuación a una de variables

separables.

2 2 2 2 425] 2 0 .x y dx xydy sol y x cx

32 2

2

2

2 2

6

26] 3 2 0 .1

27] 2 . ln ln

28] 0 . 2

229] 2 6 .

7

30

y

x

cxx y xy y sol y

cx

xy y xe sol y x cx

x y dx x y dy sol x xy y c

cxy x y sol y x

x

22 2] 2 .

1

cxx y y xy sol y

cx


Reducibles A Homogéneas

1] 1 2 2 1 0

. 2 ln

2] 1 4 2 0

.

3] 2 3 1 0

.

4] 2 4 0

.

x y dx x y dy

sol x x y x y c

x y dx x y dy

sol

x y dx x y dy

sol

x y dx x y dy

sol

2

15] .

1

3 2 76] .

4

67] .

8

88] (1) 2 2 18 3

1

dy x ysol

dx x

dy x ysol

dx x y

dy x ysol

dx x y

dy y xy y x y x x

dx y x

22 1 1

9] 14 4 97 2 2

210] 3ln 1

4

2 111] .

5 2 3

212] .

1

2 113]

4

dy y xy y x y x

dx y x

dy x yy x y x c

dx x y

dy x ysol

dx y x

dy x ysol

dx y

dy x y

dx

.

2 3sol

y x

414] .

6

415] .

6

16] 2 2 1 0 .

117] .

4 2

18] 2 3 1 4 1 0 .

dy x ysol

dx x y

dy x ysol

dx x y

x y dx y dy sol

dy x ysol

dx x y

x y dx x dy sol

5.4 Ecuaciones Diferenciales Exactas

Determine si la ecuación diferencial es exacta, si es exacta

resuélvala.

3

2 4

3 2 2

3 2 212

2

3

1] 5 4 4 8 0

5. 4 2

2

2] 2 0

.

3] 3 2 cos 0

. cos

4] 2 6

. 2 2 2

3 35] 1 1 0

. 3ln

x

x

x y dx x y dy

sol x xy y c

x y x y dx x x y dy

sol

y y senx x dx xy y x dy

sol xy y x x c

dyx xe y x

dx

sol xy xe e x c

y dx x dyx y

sol x y xy

xy c


PÁG. 4

2 3 3 2

2

3 3 1

2 3

2 2 4

3 2 4 2

4 3 3

2

16] 0

1 9

. 3

7] cos cos 0

. ln cos cos

8] 1 2 2 4 4

. 2

9] 4 15 3 0

. 5

10] 2

dxx y x y

x dy

sol x y tg x c

tgx senx seny dx x ydy

sol x x seny c

dyx y x xy

dx

sol y x y y x c

x y x y dx x y x dy

sol x y x xy y c

x y dx xy x

2

3 2 2

2 2

2

3 3 2

1 0 (1) 1

1 4.

3 3

11] 4 2 5 6 4 1 0 ( 1) 2

. 4 5 3 8

12] cos cos 0

. cos2

13] 1 ln 1 ln .

14] 3 0

dy y

sol x x y xy y

y x dx y x dy y

sol xy x x y y

seny ysenx dx x x y y dy

ysol y x xseny c

yx dx x dy sol

x

x y dx xy dy

3 41.

4sol xy x c

2

2

2 3

3 2

215] 0 .

16] 3 2 0

.

y y

y

x x xdx dy sol c

y y y

x y e dx x xe y dy

sol x y ye y c

2

17] 3 cos3 3 3 2 5 0

. 5 3 3

18] 2 (0) 1

. 2 3

x y

y y x

x x sen x dx y dy

sol y y xsen x x c

e y dx x ye dy y

sol y xy ye e e

19] Halle el valor de k de modo que las siguientes

ecuaciones sean exactas.

3 4 2 2 3

4

2 2

3 2 2

) 2 3 20 0 10

) 2 20 0 5

) 2 2 1 0 1

) 6 cos 0 9

x x

a y kxy x dx xy x y dy k

b x ysenxy ky dx xy xsenxy dy k

c xy ye dx x y ke dy k

d xy y dx kx y xseny dy k

20] Obtenga una función ),( yxM que de modo sea exacta

la siguiente ecuación diferencial.

01

2),(

dy

xxyxedxyxM xy

xhx

yyyeyxMsol xy

2

2),(.

21] Obtenga una función ),( yxN que de modo sea exacta

la siguiente ecuación diferencial.

0),(2

21

21

dyyxNdx

yx

xxy

3 3

4 4

22] 0

. 4

23] cos cos 0

.

y x dx x y dy

sol xy x y c

y y xy dx x x xy dy

sol xy senxy c

2 2

2

2 2

2 2

24] cos cos

. cos

25] 01

1. ln

1

26] 1 2 cos 0

. cos

y y

y

senxseny xe dy e x y dx

sol xe senx y c

ydx xdyxdx

x y

xysol x c

xy

y senx dx y xdy

sol x y x c

3 2 2

2 3

4 2 3

2 4

27] 2 cos 3 0

.

28] 2 4 cos 0

.

xy y x dx x y senx dy

sol x y ysenx c

xy seny dx x y x y dy

sol x y xseny c

5.5 Ecuaciones Diferenciales Con

Factor Integrante

Encuentra un factor integrante para que la ecuación

diferencial sea exacta y resuélvela.

2 5 3 4

3 5 2 2

2

2

2 2

2 3

1] 0

.

2] 0

1. 2 2 cos

3] 2 0

1.

i

i

xx

xi

x y dx x y dy

sol f x y x y c

x senxdx xydy

sol f senx x x y cx

ee y dx xy y dy

y

sol f e xy y cyy


PÁG. 5

2

2

4 2 3

2 2 3 6

4] 2 0

.

5] 2 3 6 0

.

x x xi

i

xy y y dx x y dy

sol f e xye y e c

xy y dx x xy dy

sol f y x y xy c

2 2 4 3 3

3 4 2 2 2

2 3

2

2

2 2

6] 6 4 2 4 0

.

17] 1 ln 3 0

. ln

8] 1 ln 2 2 0

1. ln

i

i

i

x y y dx x y xy dy

sol f x x y x y c

xxy dx dy

y y

sol f y x xy y c

y xy x dx x y dy

sol f x xy y x cy

2 2

3 4 4 6 5 5

9] 4 5 6 5 0 (1) 2

. 32i

y xy dx xy x dy y

sol f x y x y x y

31 12 2 2

2

3 5 4 2

2

74 5

10] 2 0

. 2 5

11] 2 0

2. 2

3

12] 5 0

.7

i

i

i

x y dx xydy

sol f x x x y c

ydx x y dy

sol f y c xy y

y x dx xdy

xsol f x c x y

2 2

1 2 2

2 5 3 3 4 2

2

1 1

2 2

13] 0

. 1

14] 2 ln 0

. 2 ln

15] 0

.

16] ln ln 0

. ln ln

17] 2 3 2 0

.

x xi

i

i

i

x y xy dx xdy

sol f e xy x ce

x y dx xy x dy

sol f x x y x c

x y y dx x y xy dy

sol f y

xy y y dx xy x x dy

sol f x y x x y y c

y xy y dx x xy x dy

sol

2 2

4 2 2 3

2

1 2 2

4 4

18] 3 2 0

.

19] 1 0

. 2 ln

20] 3 0

.

i

i

i

x y dy xydx

sol f y x y cy

xy dx x xy dy

sol f x xy x y c

xdy ydx x y dy

sol f

2

21] cot 2 csc 0

.

x x

xi

e dx e y y y dy

sol f seny e seny y c

2

2 3

2 2 3

2

2 3 2 4

1 2

22] 2 cos 0

.

23] 2 0

. 1

24] 3 2 0

. 4

25] ln 2 0

. ln

x xi

i

i

i

x senydx x ydy

sol f xe x e seny c

ydx x x y dy

sol f x y xy cxy

x y dx xydy

sol f x x y x c

y y xy dx x y dy

sol f y x y x y c

5.6 Ecuaciones Diferenciales Lineales

Halle la solución general de la ecuación diferencial lineal

dada:

3

5

3 4

2 2

2 1 1

1] 3 12 4 .

12] .

3

13] 3 .

3

4] 1 . ln

5]

x

x x

x

dyy sol y ce

dx

dyy e sol y ce

dx

y x y x sol y ce

x y xy sol y x x cx

x

12 2 2

3

44 2 0 .

5

6] cos

7] 1 0 .1

8] cos 1 . cos

9] 4 .

x x

x

y dy ydx sol x y cy

senx cxdy xsenx y dx y x

x x

dy ce e y sol y

dx e

dyx ysenx sol y senx c x

dx

dyx y x x sol y

dx

3 4

2

2 2

1 1

7 5

110] 2 .

2

x x x

x x cx

cx y x x y e sol y e e

x x

2 3

2 2

3 3 3

11] cos cos 1 0

. sec csc

12] 2 0

1 1 1.

2 2 4

13] 3 1 .

y

y y y y

x x x

xsenxdy y x dx

sol y x c x

ydx xy x ye dy

csol x e e e e

y y y

dy cx x y e sol y e e

dx x


PÁG. 6

2

6 6 4

2

2

2

14] 4 0 . 2

115] ln

116] 2 2 0 .

17] sec cos sec cos

18] 2 5

xx x x x

x x

y

ydx x y dy sol x y cy

dy ey y e e e ce

dx e e

cydx x xy y dy sol x e

y y

drr tg r c

d

dyx

dx

1 45

8 4 2 23

y xy y x c x

5

3 2

23 3 2 2

2 2

19] 10 cosh . 10

20] 5 20 0 2 . 4 2

21] 2 0 1

. 22

22] 2 1 5 . 2 3

senhx

x

x x

x x x x

y y x sol y ce

dyy y sol y e

dx

y y x e e y

xsol y xe e e e

dxy x y x sol x y y

dy

2

2

3 2

23] 2 0 .

1 124] 2 .

2 2

x

x

dyy sol y ce

dx

y xy x sol y x ce

22 2

3 2

3

2

1125] 2 5

2 2 4

26] 1 3 .1

27] cot 2cos . csc

28] 1 .

29] 1 2 .

30]

x

x

x xy y x y ce

dy cx x y sol y

dx x

dyy x x sol y senx c x

dx

x y xy x x sol

xy x y e sen x sol

dysenx

dx

2

2

2 4

2 2

(cos ) 0 .

31] 3 8 3 0 . 3 4

32] 0 .

533] 24 5 0 . 5 6

34] 3

x y sol

ydx dy sol xy x c

x

yx dx dy sol y x cx

x

yx dx dy sol xy x c

x

y x y x

31.

3

35] cos cos . 1

x

senx

sol y ce

y x y x sol y ce

2 2 236] 2 3 2 . 3 ln 2xy y x x sol y x x x cx

5 3 5 3 4237] 4 9 2 .

7xy y x x sol y x x cx

5.7 Ecuaciones Diferenciales De

Bernoulli

Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli dada.

3 3

2

3 3 3

2 2

2 4

11] . 1

12] 1 .

3

3] .

14] 2 3 1 .

2

5] 1

x

xy

dyx y sol y cx

dx y

dyy xy sol y x ce

dx

dyx y xy sol e cx

dx

dyx xy y y sol

dx

xy

2

2 1 2 2

2 1

2

2 3 3 2

1 3

2 2

1 1 0 2

16] .

2

7] 1 .

8] 3 1 2 1 1 1

9] 1 0 4

y

x x x

dyxy y sol x y e

dx

dyy e y sol y e ce

dx

dyx x y xy sol

dx

dyx xy y y x c

dx

dyy y y

dx

2

.

10] 2 1 4 .

sol

dy y x y sol

dx x y

2

2

4 4 2

3 3

32 3 2

3 1 2 4 2

12 4

1 2 111] .

3

12] . 1

113] 4 .

3

14] 2 . 2

15

x

x

y y x y sol x cx x y

y xy xy sol y ce

y y x y sol y x cxx

y xy xy sol y ce

3 2 3 3 2] 3 2 .xy y x y sol y x cx

5.8 Ecuaciones Diferenciales De Ricatti

Resuelva las siguientes ecuaciones de Ricatti dada.

21 3 1

3

212 3

11] 2 y 2 . 2

4 1 2 2 12] .

4

x

dyy y sol y

dx ce

dyy y y sol y

xdx x x x x cx


PÁG. 7

2 21

2

3] 1 2

1.

1

14] 6 5 . 2

1

x x x

x

x

x

dye e y y y e

dx

sol y ece

dyy y sol y

dx ce

2

21

2 21 2

2 21

2

5] 1 1 .

1 26] 2 2 .

1

7] sec tan tan

1.

1 cos cos

x

dyx y xy y sol

dx

dy xx y y y x sol y x

dx x ce

dyx x y y y x

dx

sol y tgxx x x c x

21

2

2 2

8] 2 2 . 2

9] 2 4 2

.

10] 4 2 2

dyxy y sol y x

dx

dyy xy x y

dx

sol

dyy x y x

dx

5.9 Método De Reducción De Orden

Encuentra una segunda solución de la ecuación diferencial

dada, utilizando el método de reducción de orden.

51 2

2 21 2

1 2

2 23 3

1 2

2 4 41 2

2

1] 5 0 1 .

2] 4 4 0 .

3] 16 0 cos 4 . 4

4] 9 12 4 0 .

5] 7 16 0 . ln

6] 2 6 0

x

x x

x x

y y y sol y e

y y y y e sol y xe

y y y x sol y sen x

y y y y e sol y xe

x y xy y y x sol y x x

x y xy y

21 2 3

1.y x sol y

x

1

1 12 2 2

1 2

21

22

7] 0 ln . 1

8] 4 0 ln .

9] 1 2 2 1 2 0 1

. 2

xy y y x sol y

x y y y x x sol y x

x x y x y y y x

sol y x x

1

22

1

1 2

1 2

110] 1 2 0 1 . ln

1

11] 0 1 .

12] 2 0 .

x

x x

xx y xy y sol

x

y y y sol y e

y y y y xe sol y e

1 2

5 51 2

13] 9 0 3 . cos3

14] 25 0 .x x

y y y sen x sol y x

y y y e sol y e

3 21 215] 6 0 .

x x

y y y y e sol y e

2

1 2

1 2

2

1 2

3

1

21

16] 1 2 4 4 0 .

17] 1 0 .

18] 0 . ln

19 9 0 .

20 4 0

x

x

x

x y xy y y e sol y x

x y xy y y x sol y e

x y xy y y x sol y x x

x y xy y y x sol

y xy y y e

21

.

21 2 2 0 .

sol

x y x x y x y y x sol

122 1 2 0 .xx y x y y y e sol

123 2 0 .xy y y y e sol

2 3 3

1 2

2

2

3

1

2

1 2

24] 5 9 0 ln .

25] 0 cos ln . ln

26] 3 1 9 6 9 0

. 3 2

27] 1 0 . 1

x

x

x y xy y y x x sol y x

x y xy y y x sol y sen x

x y x y y y e

sol y x

xy x y y y e sol y x

2

1

2

2 2 3 2

1 2

2 10

1 2 2

1

2

28 2 0 si ln

. cos ln

29] 4 6 0 si .

130] 7 20 =0 si .

31] 3 tan 0 si 1

. sec

x y xy y y xsen x

sol y x x

x y xy y y x x sol y x

x y xy y y x sol yx

y x y y

sol y

1

ln sec

32] 2 0 si 1 .

xtngx x tgx

xy x y y sol

1

1

2 2

1

2

1

3

1

33 2 2 0 .

334 0 1 .

35 4 0 .

36 2 1 2 0 .

37 1 3 12 0 .

x

x

y xy y y x sol

y y y solx

x y xy y y x sol

xy x y y y e sol

xy x y x y y e sol

Recomendación utiliza el siguiente cambio de variable

para reducir el orden de la ecuación diferencial

du du dy duy u y u

dx dy dx dy

1 2

2

1 1 2

34

1 2

41 2

1] 0 ln

2] 1 02

43] 4 0

3

4] 4 0x

xy y y c x c

xx y y y c c x c

xy y y c x c

y y y c e c


PÁG. 8

1

2 21 2

3 22 1

22 2 21 1 1 2

2

2

5] 0

6]

17] 2 ln

2

8] 0 c x

yy y y c x c

xy y y x y c c

x y xy y y x c x c c x c

yy y y c e

1

1

2

2

23

1 2

2

2

2 3

1 2

312

9

10 2 03

11 1 1

112 3 0

2

13 2 03

14 2

c x

c x

yy y c e

y

yy y y c y c x

y y y y c e

xy x y x c x c

cy xy y x c

y

3

1 2

1 2

54

1 2

0 2

15 2 csc 0 2

416 4 0

5

y y x c c

x y y senx c x c

y xy y c x c


Homogéneas Con Coeficientes

Constantes

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones

diferenciales.

3 21 2

4 41 2

1 2

1] 6 0 .

2] 8 16 0 .

3] 12 5 2 0 .

4] 9 0 . cos3 3

5] 4 5

x x

x x

y y y sol y c e c e

y y y sol y c e c xe

y y y sol

y y sol y c x c sen x

y y y

21 2

31 2

0 . cos

2 26] 3 2 0 cos

3 3

x

x

sol y e c x c senx

y y y y e c x c sen x

51 2 3

3 31 2 3

1 2 3

7] 4 5 0 .

8] 5 3 9 0 .

9] 2 0 cos

x x

x x x

x x

y y y sol y c c e c e

y y y y sol y c e c e c xe

y y y y c e e c x c senx

21 2 310] 3 3 0 . x x xy y y y sol y c e c xe c x e

1 2 3 4

1 2 3

3

11 6 11 4 0

2 2. cos cos

2 2 3 3

12 0

.

13 4 3 0 0 7 0 11

. 5 2

14 9 6 4 0 0 3 0 4

.

15 6 25 0 0 3 0 1

iv

x x x

x x

y y y

x x x xsol y c c sen c c sen

y y y y

sol y c e c e c xe

y y y y y

sol y e e

y y y y y

sol

y y y y y

so

3. 3cos 4 2 4xl y e x sen x

21 2 3 4

16] 0

3 3. cos

2 2

iv

x

y y y

sol y c c x e c x c sen x

4

4 2

1 2 3 4

17] 16 24 9 0

3 3 3 3. cos cos

2 2 2 2

d y d yy

dx dx

sol y c x c sen x c x x c xsen x

51 2 3 4 5

1 5 1

6 6

18] 5 2 10 5 0

.

19] 4 5 0 (1) 0 (1) 2

1 1.

3 3

20] 12 36 0 (0) 0 (0) 1 0 7

5 5 1.

36 36 6

21] 10

v iv

x x x x x

x x

x x

y y y y y y

sol y c e c xe c e c xe c e

y y y y y

sol y e e

y y y y y y

sol y e xe

y y

5 5

2 2 51 2 3

23

33

1

25 0 (0) 1 (1) 0

.

22] 9 24 20 0

.

23 2 3 2 0 0 1 0 1 0 3

.

24 3 2 0 0 1 0 0 0 1

1. 13 6 9

4

25 27 0

.

x x

x x x

x

x

y y y

sol y e xe

y y y y

sol y c e c xe c e

y y y y y y

sol

y y y y y

sol y x e

y y

sol c e e

22 3

3cos 3 3

2 2

26 3 6 0

.

x

iv

c x c sen x

y y y y y

sol


PÁG. 9

27 6 0 0 0 0 5

.

y y y y y

sol

52

28 5 6 0 0 1 0 2

.

29 4 20 25 0 0 1 0 2

9. 1

2

x

y y y y y

sol

y y y y y

sol y x e

3 2

30 6 0 0 1 0 1

1. 4

5

31 8 16 0 0 2 0 1

.

32 17 0 0 1 0 0

.

x x

y y y y y

sol y e e

y y y y y

sol

y y y y

sol

2

21 2 3

2 21 2 3

33] 7 4 12 0 (0) 1 (0) 0

(0) 36

16 5 17.

7 2 14

34] 2 2 0 .

35] 6 12 8 0 .

x x x

x x x

x

y y y y y y

y

sol y e e e

y y y y sol y c e c e c e

y y y y sol y e c c x c x

21 2 3 4

4

5 5

36] 2 3 4 4 0

.

37] 8 16 0 0 1 0 6

. 1 2

2 338] 2 0 1 1

.

39] 5 0 0 3 0 5

. 2

40] 8 4 0 0 0 0 1

iv

x x

x

x x

y y y y y

sol y e c c x e c c x

y y y y y

sol y x e

y y y y ye e

sol

y y y y

sol y e e

y y y y y

.

41] 0 2 1

.

142] 0 1 1

4

. 2cos2 2

sol

y y y y

sol

y y y y

x xsol y sen

43 2 5 0 0 1 0 3 .

44 2 2 0 2

. cos

45 2 5 0 3 .

x

x

x x

y y y y y sol

y y y y e y e

sol y e senx x

y y y y e y e sol

5.11 Método De Coeficientes

Indeterminados

Encuentra la solución general de las siguientes ecuaciones

diferenciales

2

1 2

5 5

1 2

2

2 2 2

1 2

2 3

2 3

1 2

1] 3 2 6

. 3

2] 10 25 30 3

6 3.

5 5

13] 2

4

7. 4

2

4] 3 48

4. cos 3 3 4 4

3

x x

x x

x x

x

x

y y y

sol y c e c e

y y y x

sol y c e c xe x

y y y x x

sol y c e c xe x x

y y x e

sol y c x c sen x x x e

1 2

2

22 2 21 2

5] 3

. 3

16] 3

4

1. 12

2

x

x

x x x

y y

sol y c c e x

y y y e

sol y c e c xe x e

1 2

2

1 2

2

1 2

7] 4 3 2

3. cos 2 2 cos 2

4

8] 2

1 1. cos cos

2 2

9] 2 5 cos 2

1. cos 2 2 2

4

10] 2 3cos 2

1. cos

2

x

x x x

x x

y y sen x

sol y c x c sen x x x

y y xsenx

sol y c x c senx x x xsenx

y y y e x

sol y c e x c e sen x xe sen x

y y y senx x

sol y c e c xe x

12 9

2 cos 225 25

sen x x

6 21 2 3

21 2 3

24

21 2 3 4

11] 6 3 cos

1 6 1. cos

4 37 37

12] 3 3 4

2. 3

3

13] 2 1

. cos cos 2 3

x

x

x x x x

y y x

sol y c c x c e x x senx

y y y y x e

sol y c e c xe c x e x x e

y y y x

sol y c x c senx c x x c xsenx x x


PÁG. 10

25

14] 5 6 (0) 0 (0) 10

. 200 200 3 30x

y y x y y

sol y e x x

4

2 2 4

15] 4 5 35 (0) 3 (0) 1

. 10 cos 9 7

x

x x x

y y y e y y

sol y e x e senx e

3 21 2

1 2

2

2

16] 5 6 12 7

11. 6

2

17] 2 2 4 cos

. cos 2

18] 2 5 3

.

19] 2 5 3

.

20] 4 4

x

x x x

x

x x

x

y y y x e

sol y c e c e x e

y y y e x

sol y e c x c senx e xsenx

y y y senx

sol

y y y x x

sol

y y y e x

Encuentra una solución particular para cada ecuación

diferencial siguiente

2 2 2 2

2 3 2 3

2 2

1 1 321 2 3

2 2 4

22 2 8 8

23 2 2

824 8 2 4

3

1 225 9 20 3 2

3 27

26 3 9 12 9

36

73

x x

p

x x

p

x x x x

p

x x

p

p

p

y y y e x y xe x x

y y e x y e x

y y e e x y xe xe x

y y e x x y e x x

y y sen x x y senx x

y y y senx x

y

2 2

3 2 2

96 1cos

73 3

27 2 5 17cos 2 15

6cos 2 4 2 3

5

28 6 12 8 6 16

2 6 6

p

x

x

p

x senx x

y y y x x

y x sen x x

y y y y e x

y x e x x

2 2

2

2 2

129] 3 2 2

5

130] 16 15cos cos

32

3 131] cos 5

5

1 232] 9 20 3 2

3 27

33] 4 8 2 2

x x x x

p

iv x x

p

p

p

y y y e e y e e

y y e x y xe x

y y y x x

y y senx x y senx x

y y sen x y sen x

34] 4 4 2 cos 2

35] 4 2 0 1 0 2

3 1. cos 2 2

4 2

p

p

y y sen x y x x

y y x y y

sol y x sen x x

2

36] 3 2 0 0 0 3

1. 15 16

6

37] 9 2 0 1 0 0

2 1. cos3 3 2

15 5

x

x x x

p

p

y y y e y y

sol y e e e

y y sen x y y

sol y x sen x sen x

2

38] 2 2 1 0 3 0 0

5 1. 2cos 1

2

39] cos 0 1 0 1

1. cos

2

x

p

p

y y y x y y

sol y e x senx x

y y x y y

sol y x senx xsenx

40] 2 8cos 4

41] 4cos 2 cos 2

p

p

y y y x y senx

y y x senx y x x xsenx

2

2 2

1 2

2

1 2

2

8 3 2

1

2

2

1 2

42] 4 4 6

1 1. 3

4 4

43] 2 6 8 2

. 3 2 2

44] 8 48 65

3 3. 8cos 2

4 16

45] 2 2 4cos 2

.

x

x

x x

x x x x

x

x

x x

y y y e x

sol y e c c x x x

y y y e e

sol y c e c xe x e e

y y x senx

sol y c c e x senx x x x

y y e x

sol y c e c e x

2 1 1cos 2 2

2 2

xe x sen x

5.12 Método De Variación De

Parámetros

Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de variación

de parámetros.

1 2

1

2

1 2

1] sec

. cos cos ln cos

2]

1. cos cos

2

3] cos

1 1. cos cos 2

2 6

y y x

sol y c x c senx xsenx x x

y y senx

sol y c x c senx x x

y y x

sol y c x c senx x


PÁG. 11

14] 3 2 .

1

5] 3 2 .

6] 2 ln .

7] 3 6 6 sec

x

x

t

x

y y y sole

y y y sene sol

y y y e t sol

y y y e x sol

2

2

2

8] 4 (0) 1 (0) 0

.

9] 2 8 2 .

10] tan .

11] sec .

12] sec .

x

x

y y xe y y

sol

y y y e e sol

y y x sol

y y tg sol

y y x sol

3

2

913] 9 .

14] 2 .1

15] 2 4 .

16] .

x

x

xy y sol

e

ey y y sol

x

y y y x sol

y y tgx sol

17] 4 sec2 .y y x sol

10

218] 10 25 .

19] 4 4 8 .

20] 0 1 0 0

.

21] 2 1 0 1 0 0

.

x

x

x

ey y y sol

x

y y y e x sol

y y xe y y

sol

y y y x y y

sol

1

22] 4 2 cos 2 ln sec 2 24

py y tg x y x x tg x

2 21 323] 2 ln ln

2 4

x x x

py y y e x y x e x x e

2

p

2 2

p

2 2 2

p

24] 2 3 64 . 8 4 1

325 3 2 4 y

2

126 2 8 3 y 6 1

12

27 4 4 2 y

28 4 2

x x

p

x x

x x

x x

y y y xe sol y e x x

y y y e e

y y y e x e

y y y e x e

y y senh x

p

p

p

2

p

1y 4 cosh 2 2

16

129 9 3 y cos3

6

2 230 9 2sec3 y 3 cos3 ln cos3

3 9

31 csc y 1 cos ln csc cot

x x senh x

y y sen x x x

y y x xsen x x x

y y x x x x

2

p

3 3

132 4 y 1 2

8

133] 2 3 .

10

x x

p

y y sen x xsen x

y y y e sol y e

Encuentra una solución particular para las siguientes

ecuaciones diferenciales, utilizando el método de

variación de parámetros.

2 2p

2 2

p

p

4 4

p

2 3

5 134 cos y

4 2

35 4 3 y

36 4 2cos 2 y 22

137 2 3 y 2 1

12

38

x x

x x

x x

x

y y y e x e xsenx

y y y xe xe

xy y x sen x

y y y xe e x

y y x e

32

p

2 2

p

2

p

4

p

y 72 84 37864

139 2 y 2 8cos 2

65

40 8 cos y 2 cos 1 2

41 cos y cos2

42

x

x x

xx

ex x

y y e sen x sen x x e

y y x x x x senx x

ey y e x senx x

y

44 2

p

p

2 2

p

4 4 y 8 4 116

81 9943 9 18 y cos

101 101

15 2544 6 5 y cos

34 34

xx

x x

x x

ey xe x x

y y e senx e senx x

y y y e senx e x senx

2 2 2

p

p

p

3 3

p

3 3 345 2 6 y

2 2 4

446 4 cos y 2 cos

5

2 447 6 5 8 y

3 9

848 4 8 y

3

x x

x x

x x

x x

y y xe e x x

y y e x e senx x

y y y xe e x

y y xe xe

3

2

2 2 2

2

4

3 4 4

16

9

249 4 4 1 0 1 1

1 1. 2 2 ln 1

50 3 12 1 0 0 0 4

7 4 3. 3

12 3 4

x

x

x x x

p

x

x x x

p

e

ey y y y y

x

sol y e xe xe xe

y y e x y y

sol y e xe e


PÁG. 12

5.13 Ecuación Diferencial De Cauchy -

Euler

Resuelve las siguientes ecuaciones de Cauchy- Euler.

2 1 2

1 2

2

1 2

2

1 2

2

1] 2 0 .

2] 3 0 1 0 1 4

4. ln

3] 0 . ln

4] 4 0 cos 2 ln 2 ln

5] 2

x y y sol y c x c x

x y xy y y y

sol y xx

xy y sol y c c x

x y xy y y c x c sen x

x y x

2

2 6 2 62

1 2

2

1 2

2

1 12 2

2

2 0 1 4 1 0

8 4.

3 3

6] 3 2 0 .

1 17] 25 25 0 cos ln ln

5 5

18] 0 1 0 1 1

4

.

9] 9 3 0

y y y y

sol y xx

x y xy y sol y c x c x

x y xy y y c x c x

x y xy y y y

sol y x x

x y xy y

1

3

2 2 2

1 2

1 3 1 0

sol. 3 ln

10] 5 4 0 . ln

y y

y x x

x y xy y sol y c x c x x

2

1 2

2 2

2

1

21 2

11] 2 0 cos ln ln

12] 10 0 1 1 1 1 cos ln

13] 3 6 0

3 3. cos ln ln

6 6

x y xy y y x c x c sen x

x y xy y y y y x x

x y xy y

sol y x c x c sen x

3

3

1 2 3

3 2 1 2 4

1 2 3

3 2 2 2

1 2 3

2

2

2

14] 6 0

. cos 2 ln 2 ln

15] 2 2 8 0

16] 2 4 4 0 ln

17] 3 0 (1) 0 (1) 4

. 2 2

18] 0 (1) 1 (1)

x y y

sol y c x c x c sen x

x y x y xy y y c x c x c x

x y x y xy y y c x c x c x x

x y xy y y

sol y x

x y xy y y y

2

2

2

. cos ln 2 ln

19] 4 0 .

20] 0 .

11 121] 0 1 1 1 0

6 6

sol y x sen x

x y y sol

xy y sol

x y xy y y y

1132

2

2

2 6

. 2 3

22] 5 8 0 2 32 2 0

.

23] 4 0 1 5 1 3

.

1 124] 5 8 8 0 0

2 2

.

sol y x x

x y xy y y y

sol y

x y xy y y y

sol y

x y xy y x y y

sol y

2

2

2

2

2

25] 5 3 0 .

26] 3 4 0 .

27] 4 4 0 .

28] 8 6 0 .

29] 7 41 0 .

x y xy y sol

x y xy y sol

x y xy y sol

x y xy y sol

x y xy y sol

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante

variación de parámetros.

2

1 2

1

2 2 1 221 2

221 2

2 4

2 3

30] ln4

1 131] 2 5

15 6

32] 2 ln ln

33] 4

34] 4 x

xxy y x y c c x

x y xy y x x y c x c x x x

x y xy y x y c x c x x x x

x y xy x y

x y xy x e

22

2 4

2 3

2 3 2 2

2

2

4 1

35] 2 ln

36] 2 2

37] 2 2 ln

338] 2 2 6

2

39] 2 ln ln

40] 2 ln

xp

p

x

x xp

p

y e x

x y xy y x y x x

x y xy y x e y

x y xy y x x y

x y xy y x e y xe

x y xy y x x y x x

x y y x

212

2 1 1 2

5

321 2

33

1

2 3

1 1ln

2 2

ln41] 7 5 10 4 2

42] ln ln ln6

43] cos ln ln10

44] 2 9 x

cy x c x

x

c cxx y xy y x y

x x x

xx y xy y x x c x c x x x y

xx y xy y x y c x c sen x

x y y x e

2 145]

1

y

x y xy y yx


PÁG. 13

2 2

2

2

2 3

2 4 2

46] 10 8

47] 4 6 ln

48] 3 13 4 3

49]

50] 4 6 2

x y xy y x y

x y xy y x y

x y xy y x y

x y xy y x y

x y xy y x x y

5.14 Familias De Trayectorias

Ortogonales

Encuentra la familia de trayectorias ortogonales.

2 2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

2

1 2

2 3 2 2

1 2

3 3

2

1

2 2 2 2 2

1 2

3 2 2 2

1 2

1] 2

2] 1 2ln

3] 2

4] 2 3

5]1

6] 2 4 ln

7] 3

x

y c x y x c

c x y y x y c

y c e y x c

y c x x y c

xy x y c

c x

x y c x y y x c y

y x y c y x c

1 2 2

22

2 2 2 4

1 2

3 2

2

1

8] 2 2ln1

19] 4 1 0

4 6

110] 2 3

ln

y

x

cy y x x c

x

y x c e y x c x

y y x cc x

1

2

1

2 2 2

1

1

1

2

1

2 2 3

1

1

11] 3 4

12]

13] 2

114]

1

15] 2

16]

117]

x y c

y x c

x y c

c xy

c x

x y c x

y x c x

yc x

2

2 2

2

2 2 2 2

32

2 2

18]

19] 2

20]

21]

22] 2

823] ln

3

x

x

x y c y x

y ce y x c

x y c y ce

xy c x y c

y cx x y c

y x c y x c

2

3 2

3 2

2

22 2 4

2 1

3

2

24] 6 ln 4

25] ln 3 2 9

26] cos 2 ln

27] 2 4 ln2

28] ln

429]

3

x

y x c y x c

y cx y x c

y c x y csenx

yy cx x cy

y ce y cx

y x c y x c

5.15 Problemas De Aplicación

1]. La población de un pueblo crece a una tasa proporcional a la

población presente en el tiempo t. La población inicial de 500 se

incrementa 15% en diez años. ¿Cuál será la población en 30 años?

¿ Qué tan rápido está creciendo la población en t = 30?

. 790 11 /Sol x personas años

2] La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa

proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo t.

Después de tres horas se observó que están presentes 400 bacterias.

Después de diez horas hay 2000 bacterias. ¿Cuál fue el número

inicial de bacterias?

3]. El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209. Decae a una rapidez

proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida

media de 3,3 horas. Si al inicio está presente un gramo de este

isótopo, ¿cuánto tiempo tarda en decaer 90% del plomo?

. 11Sol hrs

4] Al inicio había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.

Después de 6 horas la masa había disminuido en 3%. Si la rapidez

de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia

presente en el tiempo t, determine la cantidad restante después de

24 horas.

5] Se toma un termómetro de una habitación donde la

temperatura es de 70°F y se lleva al exterior, donde la

temperatura del aire es de 10°F . después de medio minuto el

termómetro marca 50°F ¿Cuál es la lectura del termómetro

en 1t minuto ? ¿Cuánto tarda el termómetro en alcanzar

15°F.

. 1 36.76 3.06 minutosSol T F t


PÁG. 14

6] Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la

temperatura del aire es de 5° F. Después de un minuto el

termómetro marca 55° F y después de 5 minutos la lectura es de

30° F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?

7] Un termómetro que marca 70° se coloca en un horno

precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de

vidrio en la puerta del horno, un observador registra que

después de medio minuto el termómetro marca 110°F y luego

de un minuto la lectura es de 145° F ¿Cuál es la temperatura

del horno? . 390Sol F

8] Un depósito contiene 200 litros de liquido en el que se

disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un

gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una

rapidez de 4 L/minuto; la solución bien mezclada se bombea

hacia afuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de

gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo

t.

50. 200 170t

Sol A t e

9] Un depósito grande se llena parcialmente con 100 galones

de liquido en el que se disuelven 10 libras de sal. Se bombea

al depósito salmuera que contiene media libra de sal por

galón a razón de 6 gal/min . la solución bien mezclada se

bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de

libras de sal en el depósito a los 30 minutos.

. 64.38Sol lb

10] Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un

circuito RL en serie en el que la inductancia es de 0.1 henry

y la resistencia es de 50 ohms. Calcule la corriente i t si

0 0i Determine la corriente cuando t

5003 3 3.

5 5 5

tSol i t e i t i cuando t

11] Se aplica una fuerza electromotriz a un circuito en serie

en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es

de 10-4

farad. Encuentre la carga q t en el capacitor si

0 0q

50 501 1 1.

100 100 2

t tSol q t e i t e

12] Una fuerza electromotriz de 200 v se aplica a un

circuito RC en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms

y la capacitancia es de 65 10 farad. Determine la carga

q t en el capacitor si 0 0.4i Amp determine la carga y la

corriente en t = 0.005 seg. Determine la carga cuando t

13] En cierta ciudad, la rapidez de crecimiento da la

población aumenta proporcionalmente respecto al tamaño de la

población. Si la población era de 100 000 habitantes en 1980

y de 150 000 en 1990, ¿Cuál es la población esperada en el

año 2020 suponiendo que siga esta tendencia?

14] Una batería de 12 voltios se conecta a un circuito

simple en serie en donde la inductancia es de 0.5 henry y la

resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente, si la

corriente inicial es cero.

15] Una pequeña barra metálica, cuya temperatura inicial fue

de 20°C, se sumerge en un gran recipiente de agua hirviente;¿

Cuánto tarda la barra en alcanzar 90°C si se sabe que su

temperatura aumenta 2° en un segundo ? ¿cuánto le toma a la

barra llegar a 98°C?

. 7.9

10

Sol t años

t años

16] Determine la vida media del la sustancia radiactiva que

se describe en el problema 4. . 136.5Sol hrs

17] La población de una comunidad se incrementa a una

tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo

t . Si en cinco años se duplica una población inicial P0

,¿cuánto tiempo tarda en triplicarse? ¿En cuadruplicarse?

. 82.1

145.7

Sol t seg

t seg

18] Un circuito R-L en serie tiene una , 8 2fem sen t voltios

una resistencia de 10 , una inductancia de 2 hernrios y una

corriente inicial de 5 Amperios . Hallar la corriente en el

circuito cuando .2

t seg

. 0.02779Sol i amperios


PÁG. 15

19] Un circuito RC en serie tiene una , 300cos2fem t voltios ,

una resistencia de 200 y una capacitancia de 210 faradios .

Inicialmente no hay carga. Hallar la corriente en el circuito en

4t seg

. 1.412Sol i amperios

20] Sabemos que un material que un material radiactivo se

desintegra proporcionalmente a la cantidad existente en cada

momento. En una prueba realizada con 60 mg de este material.

Se observó que después de 3 hrs. Solamente el 80% de la

masa permanecía en ese momento: Hallar;

a) La ecuación que exprese la cantidad restante de masa en

un tiempo t.

b) ¿Qué cantidad permanece cuando 5t hrs ?

c) ¿Para qué valor de t, la cantidad de material es de1

4de

la cantidad inicial ?

ln 0.8

3. ) 60

) 41.365

) 18.6

t

Sol a y

b y mg

c t hrs

5.16 Transformadas De Laplace

Utilice la definición de la transformada de Laplace para

encontrar f tL .

2 2

2 2

22

2 2

2 22

1

2 cos

23

4

24 cos

kf t senkt F s

s k

sf t kt F s

s k

kf t sen kt F s

s s k

s kf t kt F s

2 2

2 2

2 2

2

4

15

6

7 cos

28

at

s s k

f t e F ss a

kf t senhkt F s

s k

sf t hkt F s

s k

kf t senh kt F s

2

2 2

2 22

2 2

2

2 2

4

29 cosh

4

110

11

12 cos

at

at

at

s s k

s kf t kt F s

s s k

f t te F ss a

kf t e senkt F s

s a k

f t e kt

2 2

s aF s

s a k

2 2

2 2

22 2

13

14 cos

215

16 cos

at

at

kf t e senhkt F s

s a k

s af t e hkt F s

s a k

ksf t tsenkt F s

s k

sf t t kt F s

2 2

22 2

2

22 2

3

22 2

217 cos

218 cos

k

s k

ksf t senkt kt kt F s

s k

kf t senkt kt kt F s

s k


PÁG. 16

2

2 2

3

2 2 2

119

20

21 1 cos

22

at bt

at bt

e ef t F s

a b s a s b

ae be sf t F s

a b s a s b

kf t kt F s

s s k

kf t kt senkt F s

s s k

Utilice las tablas para encontrar f tL

4

5

322

2

3 2

3

4 3 2

4

4823] 2

124] 3 3

2

2 6 325] 6 3

6 6 3 126] 1

27] 1 t

f t t F sS

f t t t F s s s

f t t t F ss s s

f t t F ss s s s

f t e

22

2

5

1 1

4

1 2 128] 1

2 4

29] 4 5 3

30]

t

F ss s

f t e F ss s s

f t t sen t F s

f t t F s

5 3 732 2 2

13 2

11 2

2

2

31 3 4 4 192 / 8

32 2 2 / 3

33 1 cosh 5 25

234 2 cos 2

4

35 cos 2

t

f t t t F s s s s

f t t e F s s s

f t t F s s s s

F s sf t sen t t

s

f t t

1

2

2

1

162

336 3 cos3 36

sF s ss

f t sen t t F ss

2

5

2

2

2

2

3 237 3

1

4 1238 4 4

5 16

12 139 3 4

16 2

140 cos

4

t

t

t

sf t e t F s

s

f t e sen t F ss s

f t sen t e F ss s

f t sent t F ss

2

2

3 241 3cos 2 2

4

4 7 442 7 cos3 3

3 9

sf t t sen t F s

s

sf t t sen t F s

s

Encuentra la transformada de Laplace de las siguientes

funciones. Utilizando los teoremas de translación

2 2

3 5

3 2

10 7

5

22

43]

44]

45]

46]

47] 3

48] 3

cos h49]

50]

51] c

t

t

t

t

t

t

t

t t

t

t e F s

t e F s

t e F s

t e F s

e sen t F s

e sen h t F s

tF s

e

t e e F s

e

L

L

L

L

L

L

L

L

L

2

2

5 3

2

2 2 5

5 3

2 2

4 3 3

os 3

52]

53] 6 4

54] 2

55]

56] cos 2

57] cos 4

58] 5

t

x

x x

t

t t

t F s

e sen t F s

e x sen x F s

x sen x F s

x e e F s

t t t F s

e t t e F s

e sen t t e

L

L

L

L

L

L

L

2 3 359] t t t

F s

te t e t e F s

L

5.17 Transformadas Inversas De Laplace

Hallar la inversa de la transformada de Laplace:

4

2 5

3

2 3

4

2

2

4

1 481] . 2

1 3 12] . 1 3

2 6

1 1 13] . 1

2

1 14] .

4 1 4

t

t

sol f t t ts s

ssol f t t t t

s

sol f t t es s s

sol f t es

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L


PÁG. 17

2

2

55] . 7

49 7

46] . cos

4 1 2

sol f t sen ts

s tsol f t

s

-1

-1

L

L

2

3

2

3

2

.2 3 6

2 67] . 2cos3 2 3

9

1 1 18] .

3 3 3

3 19] .

2 3 4 4

10]

t

t t

ssol f t

s s s

ssol f t t sen t

s

sol f t es s

ssol f t e e

s s

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L

3

1 12 3 6

2 2

2 4

2 25 4

1 1 111] . cos 5

5 5 5

12] 4 3 cos 3

t t te e e

s

s s

sol f t ts s

tf t e t sent

-1

-1

L

L

2 2

2

2

2

32

13] cos 24 5

14] 1

2 1 315] 5 5 4

21

t t

t t

t t t

sf t e t e sent

s s

sf t e te

s

sf t t e te t e

s s

-1

-1

-1

L

L

L

3

4

1 116]

61

tf t t es

-1L

2

3

2

2

2

1 117] 2

2 5 2

2 5 118] 2 cos5 5

6 34 10

519] 5 2 1

2

t

t

t

f t e sen ts s

sf t e t sen t

s

sf t e t

s

-1

-1

-1

L

L

L

3 7

3

3

2

2 2

1 1 120]

3 7 4 4

521] 2

1 3

1 4 4 122]

3 9 9 3

1 1 123] 4

16 6416

t t

t t

t

f t e es s

sf t e e

s s

sf t e t

s s

f t t sen ts s

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L

2

2 2

2

3

2

2

1 1 124] cos 2 2 2

8 164 8

425] 2

1 1

5 7 226] 2cos 2 2 2

23 2

3 127] cos

5 33 2 2

t

t t t

t

t

sf t t e t sen t

s s s

sf t e e te

s s

sf t t e sen t

s s

sf t e t s

s s s

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L 33

5

tent e

2

2

5

3

3

128] cos 2 2

2 5

5 5 529]

1 2 3 3

230]

3 5 3

4 4 431]

3 3 3

t

t t

t

t

sf t e t sen t

s s

f t e es s

f t es

f t es s

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L

2

4 3

2

22

1432]

3 2 4

233] 5 3

1 2

2 3 2 534] 1

1 2 3

tt

t

t t

f t e es s

sf t e e

s s

s sf t e e

s s s

-1

-1

-1

L

L

L

3

22

1

22

3 4

2

2

2 15 15 135] cos 15

3 6 2 15 2

3 2 15 7 15 136] 3 cos 15

4 2 45 2

2 5 7 11 337]

1 3 4 10 14 35

2 238]

3 1

t

t

t t t

sf t e t sen t

s s

sf t e t sen t

s s

sf t e e e

s s s

s s

s s

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L

3 3

2

2

1

2

1 15 17

16 16 4

339]

2 1

7 1 7 27 7 7cos

2 2 2 7 2

t t t

tt

f t e e te

s s

s s s

f t e e t sen t

-1L


PÁG. 18

25 3

2

6 13 2 31 17 240]

3 5 5 6 15

1 1 141] cos 4

16 1616

t ts sf t e e

s s s

f t ts s

-1

-1

L

L

2 32 2

2 32

2 2

1 142] cosh

2

1 143] cos

2

1 144] 1at at

f t senh at at atas a

f t sen at at atas a

f t ate eas s a

-1

-1

-1

L

L

L

2

3

2

2 5

2

2

3 2

3 2

1 145] 2

4 2

5 646] 2 3

3

5 247] 3 5

7 10

548] 2 3

2

149]

5

t

t t

t t

f t senh ts

sf t e

s s

sf t e e

s s

sf t e e

s s s

s s

-1

-1

-1

-1

-1

L

L

L

L

L 511 5

25

tf t e t

2

2

2

150]

3 2

151]

2 1

152]

4 13

f ts s

f ts s

f ts s s

-1

-1

-1

L

L

L

5.18 Ecuaciones Diferenciales Con

Transformadas De Laplece

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la

transformada de Laplace.

4

4

1] 4 0 2

. 2

2] 2 0 0 1 0 1

. 2

t

t

t t

y y e y

sol y te e

y y y y y

sol y e te

3 3

3

3] 6 9 0 0 0 1

1 2 2 10.

9 27 27 9

4] 6 13 0 0 0 0 3

3. 2

2

5] cos 0 0 0 0

1 1 1. cos

2 2 2

t t

t

t

t t

y y y t y y

sol y t e te

y y y y y

sol y e sen t

y y e t y y

sol y e t e sent

3 2

3

2

6] 1 0 0

.

7] 4 4 0 0 0 0

.

8] 4 4 0 1 0 0

.

9] 2 20 51 0 0 2 0 0

.

10] 4 4 0 0 0, 0 3

. 3

t

t

x

y y te y

sol

y y y t e y y

sol

y y y t y y

sol

y y y y y

sol

y y y si y y

sol y x xe

2

2 3

11] 2 2 2 0 0, 0 1

. 1 cos

12] 3 0 0, 0 1

. 5 5 6 3

x

x

y y y si y y

sol y x e x

y y x si y y

sol y x e x x x

13] 2 1 0 1

.

14] 0 0

.

15] 5 4 0 0 1 0 0

.

y y y

sol

y y sent y

sol

y y y y y

sol

2

1

2

16 3 2 0 0 1 0 1

. 2 3

17 4 2 0 0 0 0

1. cosh 2 1

2

5 118 0 0 1 0

2 2

.

t t

t

y y y y y

sol y e e

y y y y

sol y t

y y y y y

sol y e


PÁG. 19

3

9

3

4

3

19 3 2 0 0 3 0 2

5 7.

4 4

20 8 9 10 0 0 0 4

3 23 10.

5 45 9

21 6 8 2 0 0 0 2

. 2 2

22 3 3 3 0 0 0 0 0 2

3 5 1. 1

8 4 8

t t

t t

t

t

t t t

y y y y y

sol y e e

y y y y y

sol y e e

y y y e y y

sol y e e

y y y y y y y

sol y e e e

2

3 2

23 4 4 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1.

6 6 12 12

24 2 5 6 0 0 2 0 1 0 1

1 1. 2

5 5

t

t t t t

t t t

y y y y e y y y

sol y e e e e

y y y y y y y

sol y e e e

2

25 2 1 2 0 0 0 4

. t t

y y y t y y

sol y e e t

2 2

3

2

26 2 0 0 0 0

1 1 1 1.

6 9 27 27

27 2 0 0 0 0

1.

6

28 4 2 0 0 0 1

3 1. 2 cosh 2

8 4

29 2 3 0 1 0 0

. 1

30 4 4 0

t

t t

t

t

t

t

y y y te y y

sol y e t t e

y y y te y y

sol y t e

y y senh t y y

sol y senh t t t

y y y t y y

sol y t te

y y y te y

32

2

0 0 1

.6

31 4 5 0 0 0 0 1

.

t

t

y

tsol y e t

y y y y y

sol y e sent

2

2

32 4 13 0 0 1 0 0

2. cos3 3

3

33 4 5 0 1 0 3

29 22 4. cos

25 25 5 25

t

t

y y y y y

sol y e t sen t

y y y t y y

tsol y e t sent

34] 2 5 1 0 0 0 4

.

35] 0 1 0 1

.

36] 16 1 0 1 0 2

.

y y y t y y

sol

y y sent y y

sol

y y y y

sol

4

37] cos 0 0 0 0

.

38] 2 3 3 2 0 0 0 0 0 1

.

39] 2 2 3 0 0 0 0 0 1

.

40] 0 0 1 0 0 0 1 0 0

.

41] 1 0 2

.

t

t

t

y y e t y y

sol

y y y y e y y y

sol

y y y y sen t y y y

sol

y y y y y y

sol

y y te y

sol

problemario de ecuaciones diferenciales

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