Problema: un muchacho rema aguas arriba por un río, de un punto a otro a 4 kilómetros de distancia, en 1½ hora. El viaje de regreso cuando rema a favor de la corriente, sólo dura 45 min. ¿Con qué rapidez rema, en relación con el agua, y cuál es la rapidez con la que corre esta?

Solución: si llamamosx = rapidez de remado (en km/hrs)y = rapidez de la corriente (en km/hrs)

cuando el muchacho rema a favor de la corriente, se moverá a un total de

x + y km/hrs

pero cuando rema contra la corriente, se moverá a

x – y km/hrs

La distancia río arriba y río abajo es la misma, 4 kilómetros. Entonces:

y23)(4 yx 4

3)(4 yx

Si multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 4, para eliminar los denominadores, tendremos.

Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

1633

833

yx

yx

En general, los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma:

Son conjuntos formados por dos ecuaciones de primer grado que se verifican para los mismos valores de las incógnitas. Las soluciones del sistema serán los valores x e y que satisfagan ambas ecuaciones.

feydx

cbyax

Cada una de las ecuaciones tiene una representación gráfica que corresponde a una recta. Entonces, las soluciones del sistema corresponden a las coordenadas de los puntos donde se intersectan las rectas.

Ejemplo: encuentre gráficamente la solución del sistema

(1) (2)02

3

yx

yx

Solución: confeccionemos una tabla de valores para cada recta y usando las coordenadas de solamente dos puntos, grafiquemos cada recta en un mismo sistema cartesiano:

(1) (2)x y x y

0 3 punto (0,3) 0 0 punto (0,0)

3 0 punto (3,0) 1 2 punto (1,2)

El punto de intersección de las rectas es la solución del sistema. En este caso es x = 1 e y = 2.

Al graficar un sistema como éste se presentan tres casos: las rectas se intersectan en un punto (secantes), las rectas no se intersectan (rectas paralelas), o las dos ecuaciones representan la misma recta (coincidentes) y, en este caso, todos los puntos de una de ellas satisfacen también la otra ecuación (el sistema tiene infinitas soluciones).

En el problema introductorio las representaciones de las ecuaciones 3x – 3y = 8 y 3x + 3y = 16 corresponden a rectas secantes, las cuales se intersectan en el punto de coordenadas (4,4/3).

Como las coordenadas de este punto no son fáciles de leer en el gráfico, es necesario de disponer de métodos de solución algebraicos que eviten dicho problema.

SOLUCIÓN ANALÍTICA:

Método de sustitución Método de igualación Método de reducción

Método de sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas, ya sea en la primera o en la segunda ecuación y reemplazarla en la otra.

Ejemplo: (1) (2)

De (1) despejemos y: (3), y reemplazamos en (2);

75

42

yx

yx

42 xy

Reemplazando este valor en (3) se obtiene

Entonces la solución es el par ordenado (3, -2).

7)42(5 xx

;2432 y

72010 xx279 x

3x9/

Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar ambos resultados.

Ejemplo: (1) (2)

despejando x de ambas ecuaciones: (1) (2)

2432

9

yx

yx

2324

9yx

yx

Igualamos y resolvemos la ecuación resultante:

/23249 yy 2

yy 324218

182423 yy

6y

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en que aparece despejada la incógnita x:

Entonces, la solución es el par (3, 6).

3

69

9

x

x

yx

Método de reducción: consiste en buscar el M.C.M. de los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y luego amplificar las ecuaciones por números apropiados para eliminar la incógnita por suma o resta según los coeficientes igualados tengan distinto o el mismo signo, respectivamente.

Ejemplo: (1)

(2)1635

1023

yx

yx

Multiplicando la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2 se consigue igualar los coeficientes de y:

(3) (4)

Restando las ecuaciones obtenidas [(3)-(4)], obtenemos:

2/1635

3/1023

yx

yx32610

3069

yx

yx

3230109 xx2 x

2x1/

Reemplazando en (1) tendremos:

Luego la solución del sistema es (2, -2).

10223 y

1026 y

6102 y

2y21/

Ejercicios: resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de sustitución, igualación y reducción:

a) 3x + 2y = 21 5x – y = 22

b) x + 2y = 0 5x – y = 11