Problema 2.1Una barra de 1.25 cm de diámetro está sometida a una carga de 2500 kg. Calcular la tensión axial de la barra en megapascales (MPa).

 Problema 2.2Calcular el esfuerzo usual en ingeniería, en el SI de unidades, de una barra de 1,50 cm de diámetro que está sometida a una carga de 1200 kg.

 Problema 2.3Calcular el esfuerzo usual en ingeniería, en el SI de unidades, de una barra de 15 cm de longitud y con una sección de 5,0 mm x 10,0 mm, sometida a una carga de 4500 kg.

 

 Problema 2.4

Calcular el esfuerzo usual en ingeniería, en el SI de unidades, de una barra de 25 cm de larga y que tiene una sección transversal de 6,0 mm x 3,0 mm, sometida a una carga de 4700 kg.

 Problema 2.5Una barra de 20 cm de largo con un diámetro de 0,30 cm es sometida a una carga de 4000 N de peso. Si el diámetro disminuye a 0,27 cm, determinar:a) El esfuerzo y la deformación usual en ingeniería para esta carga.b) El esfuerzo y la deformación verdadera para esta carga.a) Cálculo del esfuerzo,

Cálculo de la deformación,

V = S0 x L0 = S x L, de donde L = 24,69 cm

L = L0 (1 + ), de donde  = L / L0 - 1 = 0.2345

b) Cálculo del esfuerzo verdadero,

v =  (1 + ) = 565.9 (1 + 0.2345) = 698.6 MPa

Cálculo de la deformación verdadera,

v = ln (1 + e) = ln (1 + 0.2345) = 0.211

 Problema 2.6Un acero tiene un módulo de elasticidad de 200 GPa y un límite elástico de 360 MPa. Una varilla de este material de 12 mm2 de sección y 80 cm de longitud se cuelga verticalmente con una carga en el extremo de 1800 N.a) ¿Recuperará el alambre la longitud primitiva si le quitamos la carga?b) Calcular el alargamiento unitario en estas condiciones.c) Diámetro mínimo de una barra de este material que sometida a una carga de 5. 104 N no experimente deformación permanente.

a) Si  < L.E. se recupera.

Luego sí se recupera el alambre.

b) Como estamos en la zona elástica E = /, luego:

c) Para que no haya deformación permanente:

Por tanto d0 = 0,00133 m

 Problema 2.7En un ensayo con el péndulo de Charpy la maza de 25 Kg cayó desde una altura de 1 m y después de romper la probeta de sección 80 mm2 se elevó a 0,4 m. Calcular:a) Energía de rotura.b) Resiliencia.

a) m.g (H - h) = Eabs.

(25.9,8) N. (1- 0,4) m = 147 Julios

b)

 Problema 2.8En el ensayo de tracción de una barra de aluminio de longitud calibrada l0 = 5,00 cm y d0 = 1,30 cm. Se obtiene un registro de F =

3180 kp y l = 0,0175 cm. (En el L. E.). La distancia entre las marcas después de la rotura es 5,65 cm y su diámetro final 1,05 cm en la superficie de

fractura.Calcular:a) Límite elástico.b) Módulo de elasticidad.c) Ductilidad de la aleación.d) Longitud final de una barra de 125 cm a la que se aplica una tensión de 200 MPa.

a)

L.E. = 234,8 · 106 Pa = 234,8 MPa.

b)   =  · E (en el período elástico)

 = l / l0 = 0,0175/ 5 = 3,5. 10-3

c) Alargamiento:

Estricción:

d) Al encontrarse dentro de la zona elástica,

 l = l0 +  l0 ; l = l0 (1 + ) = 125 (1 + 2,98. 10-3);

l = 125,37 cm.

 Problema 2.9

Calcular en un ensayo Brinell:a) La dureza de un acero al carbono y su resistencia aproximada a la rotura por tracción. Se utilizó bola de 10 mm y carga de 3000 kp, obteniéndose una huella de 4 mm de diámetro.b) ¿Qué carga se habrá de usar con bola de 2,5 mm?

a) En el método Brinell, la dureza se obtiene presionando con una bola de acero, de diámetro D, con una fuerza P, obteniendo una huella de un casquete esférico de diámetro d, figura 2.6.

El número de dureza Brinell es:

 

 Conocido el número de dureza Brinell HB, se puede calcular, de forma aproximada, la resistencia a la rotura, por tracción, de algunos materiales, mediante la relación R = m HB + n, donde las constantes m y n dependen del material.

En los aceros al carbono ordinarios, en estado bruto de laminado o recocido, la relación es:

HB = - 20.81 + 0.32 R

Luego:

R = (20.81 + 229) / 0.32 = 780 MPa

b) Teniendo en cuenta que la constante de ensayo, Ce, es la relación entre las cargas aplicadas y el diámetro de la bola al cuadrado,

Ce = P/D2

que para los aceros será:

Ce = 3000 / 102 = 30

entonces, para D = 2.5 mm, tendremos:

P = 30 · 2,52 = 187,5 kp.

 Problema 2.10Determinar la carga que, aplicada en un ensayo de dureza Brinell con bola de 5 mm de diámetro produciría en la probeta de un material (HB 40) una huella de 1.2 mm de diámetro. ¿Cuál es la constante de ensayo?

 

de donde P = 45.9 kp

La constante de ensayo será,

 Problema 2.11Para realizar un ensayo de dureza Brinell en un acero se utiliza bola de 5 mm, obteniéndose una huella de 2 mm de diámetro. Calcular:a) Carga utilizadab) Dureza obtenidac) Resistencia a la rotura.

a) La constante del ensayo para los aceros es Ce = 30, con lo que,

P = Ce D2 = 30 x 52 = 750 kp

b) La dureza se obtendrá mediante la expresión: 

 c) De acuerdo con la expresión que relaciona la dureza Brinell con la carga de rotura, 

 Problema 2.12En un ensayo de dureza Vickers se ha utilizado una carga de 30 kp, obteniéndose 0,320 y 0,324 mm para las diagonales de la huella. Calcúlese la dureza.

HV = P/S = 2P sen 68°/d2 = 1,8544 P/d2

Siendo d la diagonal de la huella. Si las diagonales son distintas se toma la media aritmética.

d = (d1 + d2)/2

En este caso:

d = 0,322 

 Problema 2.13La escala del reloj comparador en un durómetro Rockwell está dividida en 100 partes, correspondiendo a un total de 1 mm. teniendo en cuenta que la relación entre las indicaciones del reloj comparador y el movimiento de la punta de diamante es de 5:1, determínese:a) La profundidad que corresponde a cada división del comparador y al total de la escala.b) La profundidad de huella correspondiente a HRc = 60.a) A la vista de la relación entre las indicaciones del reloj y el movimiento de la punta del cono de diamante, cada división del reloj corresponde a:

1/5 · 1/100 = 1/500 mm = 2 micras,

que es la equivalencia en profundidad de cada unidad Rockwell.

La amplitud total de medida es 200 micras.

b) Puesto que HRc = 100 - e, será:

e = 100 - HRc = 100 -60 = 40 divisiones,

equivalente a 40 · 2 = 80 micras

  Problema 2.14

Una probeta de acero Cr-V (E = 210 GN m-2), de 100 mm de longitud requiere una fuerza de 4000 daN para producirle una deformación total de 0,125 mm y 14000 daN para ocasionar la rotura. Con estos datos, se pide la penetración que producirá una bola en un ensayo de dureza HRb.La tensión que produce la deformación indicada será: 

con lo que la sección de la probeta será, considerando  = F / S,

de manera que la carga de rotura será:

y con ello, la dureza Brinell podrá expresarse como:

y relacionando la dureza Rockwell con la dureza Brinell tendríamos:

con lo que podremos calcular ya la penetración de la bola, mediante la expresión: 

con lo que e = 53.4 mm

 Problema 2.15Un componente estructural de chapa de un diseño de ingeniería debe soportar 207 MPa de tensión. Si se usa una aleación de aluminio 2024-T851 para esta aplicación, ¿cuál es el mayor tamaño de grieta que este material puede soportar? Considerar el factor de intensidad de tensiones, KIC = 26,4 MPa . m1/2

 con o cual la grieta tendrá unas dimensiones de:

5.177 mm si es exterior, y,

10.355 mm si es una grieta centrada.

 Problema 2.16¿Cuál es el tamaño más grande (en mm) de una grieta interna que una lámina gruesa de aleación de aluminio 7178-T651 puede soportar aplicándole un esfuerzo: a) 3/4 del esfuerzo de fluencia; b) 1/2 del esfuerzo de fluencia. Considerar: sesfuerzo fluencia = 570 MPa y KIC = 23.1 MPa . m1/2

a) Los 3/4 del esfuerzo de fluencia será, 570 x 0.75 = 427.5 MPa, por lo que:

b) La mitad del esfuerzo de fluencia será igual a 285 MPa, con lo que: 

 Problema 2.17El máximo esfuerzo que actúa en la superficie de una barra cilíndrica cuando se aplica una fuerza que la flexiona en un extremo es:

donde: l es la longitud de la barra, F es la carga, y, d el diámetro.

 Diagrama de esfuerzo y número de ciclos a la fractura de un acero de herramientas

Se aplica una fuerza de 2900 N. a una barra de acero para herramientas que gira a 3000 ciclos por minuto. La barra tiene un diámetro de 2,5 cm. y una longitud de 30 cm.a) Determinar el tiempo tras el cual la barra falla.b) Calcular el diámetro de la barra que evitaría el fallo por fatiga.

a)

Por tanto: 

b) Límite de resistencia a la fatiga:

L.F. (f) = 400 MPa. 

 d3 = 22.1 · 10-6 m3; d = 0.028 m = 28 mm.

 Problema 2.18Determina el modelo de resistencia, exponencial amortiguado, a la rotura por fatiga a tracción de un material del que se disponen los siguientes datos:

 Tensión de rotura: 750 MPa. Una pieza de sección circular de este material, de 2.5 mm de diámetro sometida

a una carga de tracción oscilante de 0 a + 2000 N, no ha sufrido fractura después de un número ilimitado de ciclos. Diámetros inferiores si sufren fractura.

 Una pieza de sección circular de ese mismo material, de 2.1 mm de diámetro sometida a la misma carga de sección oscilante, ha sufrido fractura después de 103 ciclos.

La tensión de rotura corresponde a la carga para un ciclo, así como el límite de fatiga sería el correspondiente a la carga,

Considerando la expresión del modelo analítico correspondiente a la resistencia a fatiga,

con los valores analíticos 0 = 750 MPa, f = 407 MPa, y  = 577 MPa cuando n = 103 ciclos. Sustituyendo en el modelo general

El modelo de resistencia será, por lo tanto: 

 Problema 2.19En el almacén de la empresa en que Vd trabaja se localiza una partida de barras de acero sin identificar. Se conoce, sin embargo, que sus características se ajustan a uno de los siguientes tipos de aceros:

 R (MPa) LEmin (MPa) A% min F-1150 650-800  350 14 F-1140 600-720  300 17 F-1130 550-700 280 20 F-1131 500-640 250 23

Para efectuar pruebas de tracción que permitan caracterizar dicho acero, dispone de una prensa de ensayos con Fmax = 50 KN. Las probetas de tracción deben ser normalizadas según UNE 7262, que exige se cumpla la relación: a) Determine cual de las siguientes dimensiones de probeta resulta adecuada para poder realizar el ensayo en su máquina:

 probeta tipo 1

 d0 = 8 mm S0 = 50,26

mm2 probeta  d0 = 10 mm  S0 = 78,50

tipo 2 mm2 probeta tipo 3  d0 = 12 mm  S0 = 113 mm2

b) Con la probeta ensayada, se obtiene el gráfico de la máquina representado en la figura. Tras la rotura, la longitud entre marcas vale Lf = 47.5 mm y el diámetro final df = 6.2 mm. Determine:

 b-1)

 El valor de R.

 b-2)

 El valor del LE.

 

 b-3)

 El valor del alargamiento.

 

b-4)

 La estricción.

 

 b-5)

 El tipo de acero al que corresponden las barras (Justificar).

a) En primer lugar deberemos comprobar cuales son los esfuerzos necesarios para romper las probetas de los diferentes materiales, tal como aparece reflejado en la tabla siguiente: 

 R (MPa)  Probeta 1   Probeta 2  Probeta 3F-1150 650-800  32.7-40.2   51.0-62.8  73.5-90.4F-1140 600-720   30.2-36.2  47.1-56.5  67.8-81.4F-1130  550-700 27.6-35.2   43.2-55.0  62.2-79.1F-1131  500-640 25.1-32.2   39.3-50.2  56.5-72.3

 Tal como se aprecia en la tabla debe seleccionarse las probetas del tipo 1 puesto que las demás superan la capacidad del equipo de que se dispone.

Las dimensiones de las probetas serán por tanto: d0 = 8 mm, S0= 50.26 mm2, L0 = 40 mm.

b) Para los datos suministrados por la gráfica, se obtiene:   b1) Carga de rotura, R = 34340 N / 50.26 mm2 = 683 MPa

   b2) Límite elástico, LE = 16100 N / 50.26 mm2 = 320 MPa

   b3) Alargamiento, en % = (Lf - L0) / L0 = 7.5 / 40 = 18.75 %

   b4) Estricción,  = (S0 - Sr) / S0 = 20.07 / 50.26 = 39.93 %

 

 b5) Corresponde a un acero F-1140, al corresponderle tanto la carga de rotura como el límite elástico superior al del acero F-1130, sin embargo el alargamiento es bastante superior también al del acero F-1150 que tendría mayor límite de elasticidad.

 Problema 2.20Una barra cilíndrica de 380 mm de longitud y un diámetro de 10 mm, es sometida a esfuerzos de tracción. Si la barra no debe experimentar, ni deformación plástica ni elongación superior a 0.9 mm, cuando se aplica una carga de 24500 N, ¿cual de los cuatro materiales de la tabla siguiente son posibles candidatos?. Justificar la respuesta.

 Material  E (GPa)  L.E. (MPa)  R (MPa) Aleación de aluminio  69  255  421

 Latón  100  345  421 Cobre  110  207  276 Acero  207  448  552

En primer lugar calcularemos la tensión correspondiente a la carga aplicada de 24500 N.

por lo tanto, para que la barra no experimente deformación plástica se descarta la aleación de aluminio y el cobre.

Para que la elongación no sea superior a 0.9 mm, deberá cumplirse que el módulo elástico sea superior a:

por lo que sólo el acero cumple las condiciones impuestas.

 Problema 2.21A partir de la curva tensión-deformación de la probeta de latón mostrada en la figura, determinar:a) El módulo de elasticidad.b) El límite elástico para una deformación del 0.002.c) La carga máxima que puede soportar una probeta cilíndrica con un diámetro original de 11.5 mm.d) El cambio en la longitud de una probeta originalmente de longitud 125 mm que es sometida a una tensión de tracción de 375 MPa.

a) Leyendo en el diagrama, para una tensión de 150 Mpa tenemos una deformación de 0.0014, con lo que: 

b) Leyendo la tensión directamente en el diagrama para una deformación del 0.2%, ésta es:

240 Mpa

c) F =  x S

F = 450 MPa x 103.9 mm2 = 46.7 kN

d) Para la tensión de 375 Mpa leemos en el diagrama que la deformación obtenida es de 0.11, por lo que la longitud de la probeta a esa tensión será:

125 mm x 1.11 = 138.75 mm

por lo que el cambio de longitud, L será de 13.75 mm.

 Problema 2.22

Una barra cilíndrica de 120 mm de longitud y con un diámetro de 15.0 mm se deforma usando una carga de 35 kN. No debe experimentar deformación plástica ni tampoco el diámetro debe reducirse en más de 1.2 · 10-2 mm. ¿Cuales de los materiales, tabulados a continuación, son posibles candidatos?. Justificar la respuesta

 Material Módulo de

elasticidad (GPa) Límite elástico

(Mpa) Coeficiente de

Poisson

 Aleación de aluminio  70  250  0.33

 Aleación de titanio  105  850  0.36

 Acero  205  550  0.27 Aleación de

magnesio 45  170  0.29

Para no experimentar deformación plástica, el límite elástico del material debe ser mayor que:

siendo S,

por lo que

y por tanto, la aleación de magnesio no sirve.

Se pide además que  < 1.2 x 10-2 mm. Considerando que:

calculamos la disminución de diámetro obteniendo los datos de la tabla: Material  Aluminio  Titanio  Acero

   2.12 · 10-2 mm  1.41 · 10-2 mm  0.72 · 10-2 mm

por lo que sólo cumple el acero.

 Problema 2.23Para un determinado latón, la tensión a la cual comienza la deformación plástica es 345 MPa y el módulo de elasticidad es 103 GPa. Calcular:a) ¿Cual es el máximo esfuerzo que puede aplicarse a una probeta con una sección de 13 mm de diámetro, sin que se produzca la deformación plástica? b) Si la longitud original de la probeta es de 75 mm, ¿cual es la máxima longitud que puede ser estirada sin causar deformación plástica? 

a) Para que no se produzca deformación plástica, s debe ser igual al límite elástico, por lo que:

b) De nuevo, para no producirse deformación plástica, debe cumplirse que:

de donde,

por lo tanto,

 Problema 2.24Una estructura de 15 cm2 de sección debe soportar sin deformar plásticamente 460 kN, y soportar al menos antes de romper 1010 kN.a) ¿De cual de los materiales de la tabla siguiente puede realizarse la estructura?.b) Calcular el diámetro mínimo del redondo necesario para el caso de seleccionar el acero inoxidable 304.

 Material  E (GPa)  LE (MPa)  R (MPa)  A (%)

Acero inoxidable 304  193  205 515 40 

Ti-6Al-4V  110  825  895 10 

 Bronce al aluminio  110  320 652 34

 Monel 400  179  283  579 39.5 

a) De la tabla calculamos, para la sección de la estructura, tanto el límite de elasticidad como la carga de rotura,

LEmin = 460 kN / 15 · 10-4 m2 = 306,7 MPaRmin = 1010 kN / 15 · 10-4 m2 = 673 MPa

Comparando con los datos de la tabla se observa que el único material que cumpliría estas condiciones es la aleación de titanio, Ti6Al4V.

b) Si seleccionáramos el acero inoxidable 304, como material para la estructura, las dimensiones de este deberían cumplir la doble condición, es decir:

Para el límite elástico, Smin = 460 kN / 205 MPa = 22,44 · 10-4 m2

Para la carga de rotura, Smin = 1010 kN / 515 MPa = 19,61 · 10-4 m2

siendo, como puede observarse, más restrictiva la condición del límite elástico, por lo que el diámetro mínimo será:

 Problema 2.25Una pieza cilíndrica de 240 mm de longitud y 14 mm de diámetro máximo se somete a tracción, a una carga de 26,5 kN, exigiéndole que no tenga deformaciones permanentes y que la deformación no sobrepase las 450 mm.¿Cuál de los materiales de la tabla 1, con las dimensiones propias que cumplan las condiciones expuestas, tendrá menor peso?

 Material Densidad

(g/cm3)  E (GPa)  Le (MPa)

 Coeficiente de Poisson 

 Aleación de aluminio  2.7  70  250  0.33 Aleación de titanio  4.5  105  850  0.36

 Acero  7.8  205  550  0.27

 Aleación de magnesio 2.1   45  170  0.29

Para las dimensiones dadas, la tensión será:

con lo que ya puede descartarse el magnesio, pues supera su límite elástico.

Si calculamos la deformación en cada uno de los materiales restantes, mediante las expresiones:

tendremos la siguiente tabla: Material  Deformación unitaria,  Deformación L (mm)

 Aleación de aluminioAleación de titanio

Acero

 0,00260,00160,00084

 0,59020,3930,2015

en la que observamos que la deformación acumulada en la aleación de aluminio es mayor de 450 mm, por lo que no podemos seleccionar este material, quedando por tanto como candidatos la aleación de titanio y el acero de los que calcularemos sus respectivas dimensiones que cumplan con las condiciones impuestas y que se encuentran tabuladas a continuación, siendo la deformación unitaria  = 450 m / 240 mm = 1,875 · 10-3.

 Material   =  · E  Sección  Volumen  Peso (g)

(MPa) (mm2) (cm3)Aleación de titanio

Acero196,875384,375

134,668,943

32,30516,546

145,37129,06

por lo que la pieza de menor peso, pese a tener mayor densidad el material, sería la fabricada con acero.

 Problema 2.26De los materiales de la tabla del problema anterior:a) ¿Cuál es el más rígido? ¿Por qué?b) ¿Cuál posee una mayor deformación transversal? ¿Por qué?c) Una pieza rectangular de acero, de 2 x 30 mm de sección, sometida a una carga de tracción de 25 kN, quiere sustituirse por una aleación de aluminio, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de la pieza para no tener deformaciones permanentes.d) ¿Cuál sería la deformación unitaria para las condiciones de cálculo del apartado c.e) ¿Cuál sería la variación del peso unitario de la pieza al cambiar de acero a aluminio?a) El material más rígido será el que tenga un mayor módulo elástico, que corresponde al acero con 205 Gpa.

b) El material con mayor deformación transversal será el que tenga mayor diferencia entre los diámetros inicial y el correspondiente al límite de elasticidad que vendrá relacionado con el coeficiente de Poisson por la expresión:

d =  · /Eque corresponderá a 1,18 · 10-3 para el aluminio, 2,91 · 10-3 para el titanio, 0,72 · 10-3 para el acero y 1,10 · 10-3 para el magnesio. Tal como se aprecia, el material que poseería mayos deformación transversal será el titanio, pues conjuga un elevado coeficiente de Poisson y un elevado límite de elasticidad.

c) Para no tener deformaciones permanentes, no debería superar la tensión al límite elástico, por lo que la sección de la pieza deberá ser:

y las dimensiones pueden ser para una sección rectangular, manteniendo el espesor de 2 mm correspondiente al acero, 2 x 50 mm.

d) La deformación unitaria vendrá expresada por:

e) Para una misma longitud de la pieza, la variación de peso vendrá dada por:

frente a la masa de acero,

lo que representa una disminución de 1.98 g/cm.

 Problema 2.27Se desea diseñar una estructura que debe soportar sin deformación plástica 52 kN y soportar sin romper, al menos, una carga de 120 kN, cuando se somete a esfuerzos de tracción.a) ¿De cual de los materiales de la tabla siguiente puede realizarse la estructura, si la sección de la misma fuera de 250 mm2?

 Material Módulo de

elasticidad (GPa) Límite

elástico (MPa) Tensión de rotura

(MPa) AceroBronce

Aleación AluminioTi 6Al 4V

 20711069110

450320205825 

550652421895 

b) Si el diámetro de dicha estructura, no debe exceder de 13 mm y la deformación máxima admisible para una longitud de 400 mm es de 1 mm, ¿cuál de todos los materiales tabulados sería el más adecuado, cuando se somete a una carga de 52 kN?

a) Para la sección especificada, el material seleccionado deberá cumplir las dos condiciones impuestas, primero que su límite elástico sea superior a la tensión sin deformación plástica, es decir:

en segundo lugar que su tensión de rotura sea también superior a la tensión especificada:

Tal como se aprecia en los valores tabulados, todos los materiales cumplen ambas condiciones a excepción de la aleación de aluminio. Por tanto la estructura podrá realizarse en cualquiera de los materialesacero, bronce o Ti6Al4V.

b) La condición que se imponen ahora es que la deformación sea menor de 1 mm cuando la longitud total es de 400 mm, por lo tanto:

 = 1/400 = 2.5 · 10-3 mm/mm

y esta para una carga de 52 kN, o lo que es lo mismo una tensión de:

para lo cual, el material a seleccionar debe tener un módulo elástico superior a:

y tal como se observa en la tabla, sólo el acero dispone de un módulo de elasticidad superior.