13/07/2014

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PROBLEMA INVERSO FUNCIONAL

Universidad Nacional De San Agustín Facultad De Ingeniería Geológica, Geofísica Y

Minas Escuela De Ingeniería Geofísica

INTEGRANTES:

Batallanos Vilca Ingrid Oroz Ochoa Indira

Rodríguez Romero Alejandra

AREQUIPA - 2014

Introducción

Muchos problemas inversos implican funciones: el conjunto de datos a veces se compone de registros como una función de tiempo o el espacio, y lo desconocido principal en el conjunto de parámetros a veces consiste en una función de las coordenadas espaciales y / o de tiempo. Muy a menudo, las funciones pueden ser aproximadas por sus versiones discretizados, y un problema de dimensión infinita se reduce entonces a uno de dimensión finita. De hecho, muchos "funciones" se manejan y se muestran por las computadoras digitales, y su discretización es implícita (como, por ejemplo, cuando se trata de imágenes espaciales de la Tierra). A pesar de esto, hay situaciones en las que el problema inverso es mejor formulado usando funciones (es decir, utilizando los conceptos de análisis funcional). Uno puede ir bastante lejos usando la formulación funcional, incluso si, al final, una cierta clase de discretización se utiliza para los cálculos reales. Se necesitan pocos acontecimientos para el problema inverso general (veremos que la definición misma de la función aleatoria considera discretizaciones sucesivas).

Funciones aleatorias

Descripción de una función aleatorias

Observando las figuras 5.1 a 5.2, podemos comprender lo que se entiende generalmente por una función aleatoria. Cada una de las figuras representa algunas realizaciones de la función aleatoria considerado, cada realización es una función ordinaria.

Figura 1. Algunas realizaciones de una función aleatoria es un camino aleatorio unidimensional. En cada intervalo de tiempo (abscisas), el punto elige aleatoriamente a ascender un paso hacia arriba o uno tono.

Figura 2. Cuatro realizaciones aleatorias de una función aleatoria definida sobre un espacio 2D. Las realizaciones son continuos dentro de un número finito de bloques (estos son, de hecho, las células de Voronoi). Contrariamente al ejemplo en la Figura 5.1, cada realización se define por una cantidad finita de información: esta función aleatoria es de dimensión finita.

Una realización particular, puede ser visto como un punto en un espacio abstracto (llamado un espacio función o espacio de funciones). Para caracterizar completamente algunas funciones, se necesita un número infinito de puntos, como en el ejemplo de la figura 1, mientras que para caracterizar algunas otras funciones, un número finito de parámetros es suficiente: cada realización en la Figura 2 se caracteriza por las coordenadas de los puntos en el centro de cada dominio. Vamos a concentrarnos aquí en el caso de dimensión infinita: si el espacio de la función es de dimensión finita.

Para fijar las ideas, consideremos primero una función aleatoria x (t), donde ambas variables t y x son escalares (se puede, por ejemplo, pensar en una cantidad escalar x en función del tiempo (t). Si t → x (t) es una función aleatoria, entonces, por definición, para cualquier dado t, x (t) es una variable aleatoria ordinario cuya probabilidad se denota densidad f (x, t).

El conocimiento de f (x, t) para todo t no es suficiente para caracterizar la función aleatoria: f (x, t) sólo lleva información sobre la distribución de probabilidad marginal de la variable x en un momento dado t, pero no lleva información sobre las posibles dependencias (o correlaciones) entre las dos variables aleatoria x (t1) y (t2) x en dos instantes t = t1 y t = t2. Para caracterizar este, se necesita el conocimiento, para cualquier dos valores t = t1 y t = t2, de la densidad de probabilidad de dos dimensiones para las dos variables x1 = x (t1) y x2 = x (t2), una densidad de probabilidad de que podemos denotar f (x1, x2, t1, t2).

Pero, de nuevo, esto le da la información sobre los marginales bidimensionales, pero no en el orden superior densidades de probabilidad conjuntas: una caracterización completa de una función aleatoria, lo que necesitamos saber la densidad de probabilidad conjunta de cualquier orden. Por lo tanto,

una función aleatoria t → x (t) se caracteriza si el N-dimensiones de densidad de probabilidad f (x1, ..., xn; t1, ..., tn) es conocido por cualquier puntos t1,. . . , Tn y para cualquier valor de n.

Sólo las funciones aleatorias muy especiales se pueden caracterizar por los marginales de orden inferior (por ejemplo, una función aleatoria gaussiana está perfectamente caracteriza por sus dos marginales dimensionales). Tenga en cuenta que cuando se le da una densidad de probabilidad de n dimensiones, se puede deducir los marginales de dimensiones inferiores. Por ejemplo, se puede pasar de una densidad de probabilidad de dos dimensiones f (X1, X2; T1, T2) a la marginal unidimensional f (x1; t1) = dx2 f (x1, x2; t1, t2). El resultado f (x1; T1) debe ser en realidad independiente del valor T2, la imposición de una restricción en una función f (x1, x2; T1, T2) con el fin de aceptar la interpretación de ser una densidad de probabilidad de dos dimensiones de un aleatoria función.

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Probabilidades de Informática

Si t → x (t) representa una función aleatoria y supongamos que tenemos una perfecta descripción de la misma, es decir, que para cualquier puntos t1,. . . , Tn y para cualquier n, la densidad de probabilidad conjunta f(x) ≡ f (x1, ..., xn; t1, ..., tn) de las variables aleatorias x (t1),. . . , X (tn) es conocido. Deseamos para calcular la probabilidad de una realización de la función aleatoria estar dentro de ciertos límites. De manera más precisa, para cada valor de t, nos lleva a introducir un conjunto numérico E (t). Queremos calcular la probabilidad para x (t) para comprobar (ver la Figura 3)

x(t) ∈ E(t) ….. (1)

El conjunto de todas las posibles realizaciones de la función aleatoria se verifica en la ecuación (1) se denotará por A.

consideremos primero el subconjunto An del conjunto de todas las posibles realizaciones de la función aleatoria para que los valores asociados a los puntos t1,. . . , Tn pertenecen a los conjuntos numéricos E (T1),. . . , E (tn). Por definición de una densidad de probabilidad, la probabilidad de que el conjunto An es claramente

Figura 3. Dada una función aleatoria, es posible calcular la probabilidad de una realización de ser dentro de límites dados.

Este cálculo demuestra que, incluso si la noción de densidad de probabilidad no generaliza espacios de dimensión infinita (debido a que el equivalente de la integral de Lebesgue hace no existe), las probabilidades reales de las regiones definidas sobre variedades de dimensión infinita puede ser definido (y computarizada).

Para cualquier valor entero positivo de n, que ahora consideramos una partición de la gama de variación del argumento t en n subintervalos de tal manera que la longitud de cada uno de los n subintervalos tiende a cero cuando n → ∞. A veces, tenemos que considerar dos funciones aleatorias t → x1(t) y t → x2(t) de

forma simultánea. Cada función aleatoria se caracteriza individualmente por una densidad de probabilidad conjunta Además, lo que necesitamos ahora para caracterizar las dependencias (correlaciones) entre el azar las variables x1 (t) y x2 (t). Esto se hace por la densidad de probabilidad conjunta puede ser calculado.

Procesos Generales azar

a partir del cual las dos densidades de probabilidad densidades

En los problemas más generales, en lugar de dos funciones aleatorias, tenemos que considerar un número arbitrario. Sus variables, a su vez,

pueden ser multidimensional y pueden ser diferentes. Es posible que tengamos que considerar no sólo las funciones aleatorias, pero al mismo tiempo también algunos discretos variables

aleatorias así. La notación puede llegar a ser complicado en detalle, pero no hay dificultad conceptual.

Los (de dimensión infinita) espacios de funciones que consideramos no son necesariamente espacios lineales: la suma de dos funciones no se puede definir (o puede no ser útil). Las razones que obligaron nosotros en el capítulo 1 al Consideramos que el espacio de parámetros es un colector general, que no necesariamente

uno lineal, prevalecen aquí. Una situación típica es cuando las propiedades eléctricas de un cable puede dependemos aleatoriamente a tiempo: podemos considerar de manera equivalente como una función

aleatoria la resistencia R (t) del alambre o su conductancia S (t) = 1 / R (t). La suma de dos funciones de resistencia R1 (t) + R2 (t) no es equivalente a la suma de las dos funciones de conductancia S1 (t) + S2 (t), y uno no puede desear introducir una suma o la otra. El espacio funcional es aquí un colector de dimensión infinita que (todavía o no) no es un espacio lineal.

Funciones de azar más de Espacios Lineales

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Consideremos, a continuación, una función aleatoria x (t) que es un elemento de un espacio función lineal, donde la suma x1 (t) + x2 (t) y la multiplicación por un escalar λ x (t) . Si el unidimensional probabilidad (marginal) densidades de f (x, t) son conocidos para cualquier t, estimadores centrales o estimadores de dispersión de la función aleatoria se pueden calcular. Por ejemplo, el valor medio de la función aleatoria es la (no aleatoria) la función m (t) definido por

y la desviación estándar σ (t) se define por

Si la probabilidad conjunta de dos dimensiones densidades f (x1, x2, t1, t2) también son conocidos por cualquier t1 y t2, las correlaciones son perfectamente conocidos. La función de covarianza C2 (t, t’ ) de la función aleatoria se define como la covarianza (en el sentido habitual) entre el al azar variables x (t1) y (t2) x:

Figura 4. Pseudorandom realización de un Función aleatoria gaussiana con covarianza exponencial. La función de covarianza de este gaussiano aleatorio función es idéntica a la de la función aleatoria en la Figura 5.

Funciones de covarianza no caracterizan funciones aleatorias

Figura 5. Pseudorandom realización de un función aleatoria, donde los pasos ocurren al azar veces (con densidad de probabilidad constante) y en el que el pasos son aleatorios normalmente distribuidos (con media cero). Esto (no gaussiana) función aleatoria tiene la misma covarianza función que en la figura 4, lo que demuestra que la media y la covarianza no son suficientes para caracterizar una función aleatoria.

Esto no debe sorprender, ya que este es sólo el equivalente, en dimensión infinita espacios, de el hecho bien conocido de que las variables aleatorias unidimensionales con completamente diferente densidades de probabilidad bien pueden tener la misma media y la misma varianza. la problema es que cuando el número de dimensiones bajo consideración es alta, no es fácil para obtener una idea intuitiva de lo que las densidades de probabilidad parecen, y uno puede ser fácilmente engañado con las hipótesis formuladas.

Bibliografía

•Inverse problem theroy and Methods for model parameter Estimation, Albert Tarantola