UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

PROB LEM A DU AL

EJERCICIO N° 1

MAX: Z= 400A + 300BS.a.

2A + B ≤ 60A + 3B ≤ 40A + B ≤ 30A, B ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 400A + 300B + 0H1 + 0H2 + 0H3

2A + B + H1 ≤ 60A + 3B +H2 ≤ 40A + B + H3 ≤ 30

A, B, H1, H2, H3 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z – 400A - 300B - 0H1 - 0H2 - 0H3 = 0

2A + B + H1 = 60A + 3B +H2 = 40A + B + H3 = 30

A, B, H1, H2, H3 ≥ 0

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ A B H1 H2 H3 VALOR

Z H1H2

100

-400 -300 0 0 01 1 0 03 0 1 0

02 601 40

H3 0 1 1 0 0 1 30

VE= AVS= H3PIVOTE=1

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VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ A B H1 H2 H3 VALOR

Z H1H2A

1 0 100 0 0 4000 0 -1 1 0 -20 0 2 0 1 -10 1 1 0 0 1

120000

1030

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 12000

VALORES ÓPTIMOS

A=30 B=0

H1=0 H2=10 H3=0

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL

MIN: Z= 60Y1 + 40Y2 + 30Y3

S.a.

2Y1 + Y2 + Y3 ≥ 400

Y1 + 3Y2 + Y3 ≥ 300

Yi ≥ 0

1. 2Y1 + Y3 = 400 - Y1 - Y 3 = 3 0 0

Y1 = 100

2. 2Y1+ Y3 =4002(100) + Y3 = 400Y3 = 400-200Y3 = 200

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COMPROBACIÓN

Z= 60Y1 + 40Y2 + 30Y3

Z= 60(100)+40(0)+30(200)

Z= 6000 + 6000

Z= 12000

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 12000

VALORES ÓPTIMOS

Y1=100

Y2= 0

Y3= 200

EJERCICIO N° 2

MIN: Z= 4X1 + 7X2S.a.

X1 ≤ 62X2 = 14

3X1 + 2X2 ≥ 20Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 7X2 +MA1 +MA2 + 0H1 + 0H2 (-1)

-Z= -4X1 - 7X2 - MA1 - MA2 - 0H1 - 0H2

X1 + H1 ≤ 6

2X2 + A1 =14 (-M)

3X1 + 2X2 + A2 – H2 ≥ 20 (-M)

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

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VARIABLES VARIABLESBÁSICAS Z X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z -1 (-3M+4) (-4M+7) 0 0 0 M (-34M)H1 0 1 0 0 0 1 0 6A1 0 0 2 1 0 0 0 14

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FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

-Z + 4X1 + 7X2 +MA1 + MA2 + 0H1+ 0H2 = 0

- 3MX1 - 2MX2 - MA1 = -14M

-2MX2 -MA2 + MH2 = -20M

-Z+ (-3M+4) X1+ (-4M+7) X2 +0H1+MH2 = -34M

S.a.

X1 + H1 = 6

2X2 + A1 = 14

3X1 + 2X2 + A2 -H2 = 20

X1, X2, A1, A2, H1, H2 ≥ 0

A2 0 3 2 0 1 0 -1 20

VE= X2VS= A1PIVOTE=2

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z H1X2

-100

(-3M+4) 0 (2M-7/2) 0 0 M0 0 0 1 01 1/2 0 0 0

(-6M-49)1 60 7

A2 0 3 0 -1 1 0 -1 6

VE= X1VS= A2PIVOTE=3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 A2 H1 H2 VALOR

Z H1X2X1

-1 0 0 (M-13/6) (M-4/3) 0 1 1/30 0 0 1/3 - 1/3 1 1/30 0 1 1/2 0 0 00 1 0 - 1/3 1/3 0 - 1/3

-57472

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SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 57

VALORES ÓPTIMOS

X1=2 X2=7

H1=4 H2=10

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL

MIN: Z= 6Y1 + 14Y2 + 20Y3

S.a.

Y1 + 3Y3 ≥ 4

2Y2 + 2Y3 < > 7

Yi ≥ 0

1. 3Y3 =4Y3 = 4/3

2. 2Y2 + 2(4/3) =72Y2 +8/3 = 7

Y2 = 13/6

COMPROBACIÓN

Z= 6Y1 + 14Y2 + 20Y3

Z= 6(0)+14(13/6)+20(4/3)

Z= 57

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 57

VALORES ÓPTIMOS

Y1=0 Y2= 13/6 Y3= 4/3

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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

EJERCICIO N° 3

MAX: Z= 4X1 + 7X2S.a.

X1 ≤ 42X2 ≤ 12

3X1 + 2X2 = 18Xi ≥ 0

FORMA ESTÁNDAR

Z= 4X1 + 7X2 –MA1 + 0H1 + 0H2

X1 + H1 ≤ 4

2X2 + H2 ≤ 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18 (-M)

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

FORMA CANÓNICA O DE ECUACIONES

Z - 4X1 -7X2 +MA1 - 0H1 - 0H2 = 0

-3MX1 - 2MX2 - MA1 = -18M

Z+ (-3M-4) X1+ (-2M-7) X2 - 0H1 - 0H2 = -18M

S.a.

X1 + H1 = 4

2X2 + H2 = 12

3X1 + 2X2 + A1 = 18

X1, X2, A1, H1, H2 ≥ 0

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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z A1

10

(-3M-4) (-2M-7) 0 0 02 1 0 0

(-18M)3 18

H1 0 1 0 0 1 0 4H2 0 0 2 0 0 1 12

VE= X1VS= H1PIVOTE=1

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z 1 0 (-2M-7) 0 (3M+4) 0 (-6M+169A1 0 0 2 1 -3 0 6X1H2

0 10 0

0 0 1 0 0

01

42 12

VE= X2VS= A1PIVOTE=2

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z X2X1

1 0 0 (M+7/2)0 0 1 1/20 1 0 0

-6 1/2 000

37-1 1/2 3

1 4H2 0 0 0 -1 3 1 6

VE= H1VS= H2PIVOTE=3

VARIABLES BÁSICAS

VARIABLESZ X1 X2 A1 H1 H2 VALOR

Z X2X1H1

1 0 0 (M+4/3) 0 2 1/60 0 1 0 0 1/60 1 0 1/3 0 - 1/30 0 0 - 1/3 1 1/3

50622

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CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 50

VALORES ÓPTIMOS

X1=2 X2=6

H1=2 H2=0

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DUAL

MIN: Z= 4Y1 + 12Y2 + 18Y3

S.a.

Y1 + 3Y3 ≥ 4

2Y2 + 2Y3 ≥ 7

Yi ≥ 0

1. 3Y3 = 4Y3 = 4/3

2. 2Y2 +2(4/3) = 72Y2 = 13/3

Y2 = 13/6

COMPROBACIÓN

Z= 4Y1 + 12Y2 + 18Y3

Z= 4(0)+12(13/6)+18(4/3)

Z= 50

SOLUCIÓN ÓPTIMA

Z= 50

VALORES ÓPTIMOS

Y1=0 Y2= 13/6 Y3= 4/3

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