2

Ʈ max ¿ R=¿√(σ ' z−σ ' x2

)2

+Ʈ xz2¿

Ʈ min ¿ R=¿−√(σ ' z−σ ' x2

)2

+Ʈ xz2 ¿

3.

σ ' 3+Rcos (2θ−2α )=σ ' z+σ ' x2

Ddα [Rcos (2θ ) cos (2α )+Rsen (2θ ) sen (2α ) ]= D

dα [ σ ' z+σ 'x2−σ '3]

Para obtener la dirección de los planos principales

−2 Rcos (2θ ) sen (2α )+2 Rsen (2θ ) cos (2α )=0

sen (2θ )cos (2α )=cos (2θ ) sen (2α )

tg (2α )=tg (2θ )=2Ʈ xzσ ' z−σ

'x

α=12arctg ( 2Ʈ xzσ ' z−σ

'x)

4.

2 β=2θ+90

cos (2 β)=cos (2θ+90)

cos (2 β )=cos (2θ )cos (90 )−sen (2θ ) sen (90 )

cos (2 β )=−sen (2θ )( I )

2 β=2θ+90

sen(2 β)=sen (2θ+90)

sen (2β )=sen (2θ ) cos (90 )+cos(2θ)sen(90)

sen (2β )=cos (2θ )(II)

de I y II

tg (2β )= −1tg (2θ )

β=12arctg ( σ

'x−σ

'z

2Ʈ xz )5.

σ 'α+Rcos (180−2α )=σ ' z+σ

'x

2

σ 'α=σ 'z+σ

'x

2−Rcos (2α )

σ 'α=σ 'z+σ

'x

2−√( σ 'z−σ 'x2 )

2

+4Ʈ xz2 .cos (2α )

Ʈ α=Rsen (180−2α )

Ʈ α=Rsen (2α )

Ʈ α=√( σ ' z−σ ' x2 )2

+4Ʈ xz2 . sen (2α )