PROBLEMA 13.

Representemos los datos brindados en el problema mediante la siguiente figura.

Se trata, en este caso, del cono circular recto V-NB, con vértice V y altura H (longitud de VN). También es un cono circular recto V – MA, con vértice V y altura h (longitud de VM). Por datos del problema, si el volumen del tronco de cono (con bases en las circunferencias de centro M y N, respectivamente) es 4/5 del volumen del cono V-NB, entonces V-MA es 1/5 del volumen de V-NB. Luego, denominando r a la longitud de MB y R a la longitud de NB, tenemos:

π r2h=15π R2H…(1)

Por otro lado, tenemos que rR

= hH

(por semejanza de los triángulos VMA y

VNB). Reemplacemos esta relación en el corolario de (1):

hH

=15 ( Rr )

2

, de donde:

hH

=3√ 15=3√255

PROBLEMA 12.

a) Debemos tener presente que las caras del octaedro son triángulos regulares.

En la siguiente figura, se debe notar que hemos recortado al octaedro por el plano formado por el cuadrado MNQT. Ello permite trabajar solo en el ámbito de la pirámide base cuadrada P-MNQT.

Al unir los baricentros de dos caras adyacentes del poliedro, observaremos lo siguiente:

El problema nos exige determinar la longitud del segmento AB. Este segmento es paralelo a la diagonal NQ del cuadrado MNQT. Se conforma así el triángulo QHN, donde QH es mediana (y altura) de la cara MQP. Las mismas propiedades tiene NH con respecto a la cara MPN. Por los datos ya indicados, los triángulos NHQ y AHB son semejantes. Para calcular la razón entre los lados homólogos (entre NH y AH, por ejemplo), recordemos la razón que existe entre los segmentos de la mediana del triángulo, determinados por el baricentro: este se encuentra a 2/3 de cada vértice. Por ello:

AHNH

=13

Como AB es homólogo a QN, se encuentran en la misma razón. Suponiendo que la medida de la arista del octaedro regular es au ., en el cuadrado MNQT, QN=a √2. Luego:

ABQN

= x

a√2=13

, de donde x=a√23u.

b) Partimos de un fundamento similar para la solución de este problema

Al unir los baricentros de caras no adyacentes (triángulos equiláteros BEC y EAD), observamos que el problema nos exige determinar la longitud del segmento PQ. Este es paralelo al segmento MN, que une los puntos medios del cuadrado ABCD. Se conforma así el triángulo MEN, donde ME y EN son medianas y alturas de las caras EBC y EAD, respectivamente. Por los datos ya indicados, los triángulos MNE y QPE son semejantes. La razón entre s lados homólogos es la misma que existe entre los segmentos de la mediana del triángulo, determinados por el baricentro:

EPEN

= EQEM

=23

MN mide lo que el lado del cuadrado ABCD y es homólogo de PQ. Si suponemos que la medida de MN es au ., empleemos la razón descubierta para calcular la longitud de PQ.

PQMN

= xa=23

, de donde:

x=23au .

PROBLEMA 11.

a) Representemos los datos del problema de la siguiente manera:

Nos piden determinar la mínima distancia entre las rectas que contienen a MN y CH. Sin embargo, ambas rectas son alabeadas, lo que quiere decir que estas no son coplanares.

Como M y N son los puntos medios de las aristas EA y EH, respectivamente, el segmento que los une (MN) es paralelo a la diagonal de la cara AEHD. AH y HC son coplanares y concurrentes, con lo que determinan el plano AHC. De esta forma, MN es paralelo a este plano. Si la recta que contiene a MN es paralela al plano AHC, todos sus puntos se encuentran a igual distancia de este. Así mismo, esta distancia constante es la que media entre MN y el plano AHC. Por M se traza la perpendicular a este plano y se marca el punto de intersección P. Por este se traza la paralela a la recta que contiene a CH. La longitud de MP es la distancia entre las rectas que contienen a los segmentos MN y CH.

Para calcular la medida de MP, emplearemos la semejanza de los triángulos EQA y ERM. Suponiendo que la arista del cubo mide au . , la razón entre AQ y MR se calcula así:

AQMR

=

a√22a√24

=2

En esa misma razón se encontrarán EQ y MP:

EQMP

=

a√22x

=2↔MP=a√24u .