1. TEORIA DE LA PROBABILIDAD

IntroducciónImportancia de ProbabilidadesEn muchos problemas frente a incertidumbres tenemos que tomar decisiones. ¿Durante cuánto tiempo funcionara?, ¿Cuánto tiempo funcionara?, ¿Cuál porcentaje funcionara?, etc. En la mayoría de estos problemas hay que tomar decisiones y la probabilidad nos ayuda a tomar la decisión más certera.

Experimento AleatorioLos experimentos u operaciones reales o hipotéticas pueden dividirse en dos clases:

Determinístico: Si el experimento está completamente determinado y puede describirse una fórmula matemática o también llamado modelo determinístico.Ejemplo: Soltar una piedra en el aire. La segunda ley de Newton a=F/m.

No determinístico: Si los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realizar el experimento. Ejemplo: Lanzar una moneda, un dado, etc.

Experimentos Aleatorios: son experimentos no determinístico, cada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar la condiciones esenciales y cada uno de estos experimentos tiene varios posibles resultados que pueden describirse de antemano como el en caso de la moneda cara o cruz.

Espacio MuestralLlamamos al espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.

Espacio Muestral Discretos: Pueden ser finitos o infinitos. Hay una correspondencia uno a uno de los elementos con el conjunto de enteros positivos de modo que pueda ser enumerado.

Espacio Muestra Continuo: Si tiene un número no numerable de elementos. Es decir, cuyo elementos son todos los puntos de algún intervalo.

Sucesos o EventosSe llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral (posibles resultados). Y suceso a todo elemento de un espacio muestral.

Probabilidades: definición clásica y frecuencia relativa.Definición ClásicaLa posibilidad de un evento es la razón entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles, siempre que nada obligue a creer que algunos de estos sucesos debe tener preferencia a los demás, lo que hace que todos sean igualmente posibles.

P [a ]= N (a)N (Ω)

=Numerode sucesos favorables a ANumerodecasos posibles

Ejemplo: Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a) dos caras, b) al menos dos caras, c) a los mas dos caras.

Espacio muestral = Ω=ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss N(Ω)=8a) Suceso: Ocurres dos Caras

Los sucesos Favorables a A son (ccs, csc, scc,) entonces N(A)=3Por lo tanto P[A]= ¾

b) Suceso: Ocurre al menos dos Caras Los sucesos favorables al evento B son (ccs, csc, scc, ccc) entonces N(B)=4Por lo tanto P[B]= 4/8 = ½

c) Suceso: Ocurre a lo mas dos caras.Suceso favorable a C son (sss, ssc, scs, css, ccs, csc, scc) entonces N(C)= 7Por lo tanto P[C]= 7/8

Definición por Frecuencia RelativaSi un experimento bien definido se repite n veces, sea Na < n el número de veces que el evento A ocurre en los ensayos, entonces la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento A Na/n, es la estimación de la probabilidad ocurra este evento.

Ejemplo: Una muestra aleatorio de 10 fabricas que emplean un total de 10.000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.

n= 10.000 número de veces que se repite el experimento. Suceso, evento A: un accidente de trabajo en la industria determinada.Entonces N(A) = 500

P[A] = 500/10.000 = 0.05

*Ya que este valor de la probabilidad se basa en una muestra, por lo tanto es una estimación del valor real desconocido. Se supone implícitamente que las formas de seguridad no han cambiado desde que se realizo el muestreo.

Probabilidad SubjetivaLa probabilidad subjetiva se usa cuando no pueden aplicarse la definición clásica (casos favorables sobre casos posibles) ni la empírica (veces que sucedió el evento sobre cantidad de experimentos cuando n tiende a infinito). Subjetiva es porque no se basa en razones concluyentes sino que se completa el desconocimiento con la intuición.

Ejemplos:

1) Probabilidad de vida inteligente en el sistema solar.2 )Probabilidad de que me guste una nueva comida.3) Probabilidad de aprobar un examen.

Relación con la probabilidad con la teoría de conjuntos.Hemos identificado el espacio muestral con el conjunto universal de la teoría de conjuntos, y los eventos como subconjuntos del espacio muestral. Identificamos también el conjunto vacio (ø) de la teoría de conjuntos con el evento imposible, esto es, un evento que no ocurre. Por ejemplo lanzar dos dados y que la suma me de 14, es un evento imposible. Al espacio muestral se llama evento seguro.

De esta manera de revisión de la teoría de conjuntos en el lenguaje de eventos. Es decir desde que los eventos son tomados como conjuntos, las operaciones de elementos de algebra es decir; intersección unión, inclusión serán definida para eventos; las leyes y propiedades de la teoría de conjuntos son validas.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

2. PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA

Probabilidad condicional Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal

P(A∨B)=P(A∩B)P(B)

Donde :

P(A∨B) = probabilidad de que ocurra A dado BP(A∩B)= probabilidad de que ocurra A y B a un mismo tiempo P(B) = probabilidad de que ocurra B

Eventos Independientes Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Si A y B son cualesquier eventos en el espacio muestral, tales que P(A) > 0 y P(B) > 0, decimos que A es independiente de B si y solo si

P(A∨B)=¿ P(A) e implica que P(B∨A)=P (B)

Eventos dependientes Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la

probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La

expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A∨B)=P(A∩B)P (B )

P(A∨B)=P(A∩B)P(A)

Tipos de eventos o sucesos

- Sucesos o eventos mutuamente excluyentes: Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos, imposibilita la ocurrencia de los otros.

De la teoría de conjuntos se sabe que dos o más conjuntos que no tengan puntos muestrales en común su intersección es nula.

La probabilidad de ocurrencia de E1 o E2, es la suma de las probabilidades de cada uno.

P E1ó E2 =P E1∪E2 =P E1 +P E2

- Eventos solapados: Dos eventos E1 y E2, son solapados si tienen puntos muéstrales comunes, los puntos muestrales comunes a E1 y E2, forman un subconjunto llamado intersección de E1 y E2, y se representa por E1 ∩ E2.

-La fórmula para calcular la probabilidad de dos eventos solapados es:

P E1∪E2 =P E1ó E2 =P E1 +E2 −P E1∩E2

Donde: P E1∩E2 =P E1 ∙ P [E2 ]Fórmula para tres eventos solapados:

P E1∪E2∪E3 =P E1 +E2 +P E3 =P E1 +P E2 +P E3 −P E1∩E2 − E1∩E3 −P E2∩E3 +P E1∩E2∩E3

- Eventos complementarios: Dos eventos E1 y E2, son complementarios si el segundo es un subconjunto que contiene todos los puntos muéstrales del espacio muestral que no están en el primero. Los eventos complementarios, son a su vez mutuamente excluyentes: E1∪E2=S y E1∩E2=∅

S, representa el espacio muestral E, es el complementario de E, es decir, E es lo que le falta a E, para se igual a S.E, se lee complementario de E ó “No E”La probabilidad del espacio muestral es 1; P S =1 , por lo quese tiene :

P S =P E +P E =1

P E =P S −P E =1−P E

- Eventos independientes: Dos eventos E1 y E2 son independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de ellos en una prueba, no afecta la probabilidad del otro en cualquier otra prueba.

En el lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener cara es ½ y la probabilidad de obtener otra cara en otra prueba, es también ½. Por lo que los dos eventos E1 y E2.

La fórmula para buscar la probabilidad de que E1 y E2, aparezcan cuando sean independientes es:

P E1∩E2 =p E1 y E2 =P E1 .E2 =P E1 .P E2

EJEMPLO:

I. Se lanzan dos dados simultáneamente. Uno verde y uno rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que V ≥4 y R≤2?

Procedimiento:

1. Se construye el espacio muestral (en un diagrama cartesiano), señalando los puntos muestrales para cada dado.

2. Para el dado rojo existen 12 puntos muéstrales, que resultan de la combinación (1 y 2) con los puntos (1, 2, 3, 4, 5,6) del dado verde.

3. Para el dado verde existen 18 puntos muestrales al combinar los puntos (4, 5 y 6), con los (1, 2, 3, 4, 5, 6) del dado rojo.

4. Se calcula la probabilidad para cada evento:

P E1 =P V ≥4 =1836

=12; P E2 =P R≤2 =12

36=1

3

5. Se sustituye en la fórmula para eventos independientes:

P E1 y E2 =P V ≥4 y R≤2 =P E1 .P E2 =12∙ 13=1

6

6. También se obtiene el mismo resultado dividiendo los puntos muestrales de la intersección de los dos eventos, por la cantidad de puntos muestrales del espacio muestral.

7. Interpretación: Si se lanzan dos dados simultáneamente, uno rojo y otro verde, la probabilidad de que el verde muestre una cara con números mayores o iguales a 4 y el rojo, menores o iguales a dos, es de 1/6.

Teorema de Las Probabilidades Totales El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejercicio 1º: En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:

a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.

Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta elegida es:

a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.

Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?: 1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%2.- Aplicamos la fórmula:

Luego,

P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54

Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%

Teorema de BayesEl Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

A partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

3. ESPACIO MUESTRAL FINITO

Sea d el espacio muestral, que contiene n elementos a1, a2, a3,.....,an, si a cada uno de los elementos de d le asignamos una probabilidad pi ³ 0, entonces estamos transformando este espacio muestral en un espacio finito de probabilidad; el que debe cumplir con las siguientes características:

1) 1) Las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d deben ser mayores o iguales a cero, pi³0.

2) 2) La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los elementos de d debe de ser igual a 1. Spi = 1

En caso de que no se cumpla con las características antes mencionadas, entonces no se trata de un espacio finito de probabilidad.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire un dado normal, si la probabilidad de que aparezca una de sus caras es proporcional al número que ostenta, a) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número par?, b) ¿cuál es la probabilidad de que aparezca un número primo?

Solución:

d = 1, 2, 3, 4, 5, 6

En este caso asignaremos las probabilidades como sigue;

p(aparezca el número 1) = p, p(aparezca el número 2) = 2p, .....,

p(aparezca el número 5) = 5p, p(aparezca el número 6) = 6p

Y por ser d un espacio finito de probabilidad, entonces,

p(d) = p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p =1

Por tanto, 21p = 1, luego, p = 1/21

a. a. Luego;

A = evento de que aparezca un número par = 2, 4, 6

p(A)=p(2)+p(4) + p(6) = 2p + 4p + 6p = 12p = 12(1/21) = 12/21= 0.5714

b. b. B = es el evento de que aparezca un número primo = 1, 2, 3, 5

p(B)=p(1) + p(2) + p(3) + p(5) = p + 2p + 3p + 5p = 11p = 11(1/21) = 11/21 = 0.5238

Resultados Igualmente Probables:

Designa los resultados de un experimento que tienen la misma oportunidad de suceder.

Es igualmente probable obtener 1 a 6 al tirar un dado normal.

4. ANALISIS COMBINATORIO: PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

PermutacionesHay dos tipos de permutaciones:

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".2. Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y

segundo a la vez.

1. Permutaciones con repeticiónSon las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

Así que la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(Se puede repetir, el orden importa)

2. Permutaciones sin repeticiónEn este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?, Despues de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

Nota: en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones.

Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:

16! = 20,922,789,888,000

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...

16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...

¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden importa)

Ejemplos:

Nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería:

16!=

16!=

20,922,789,888,000= 3360

(16-3)! 13! 6,227,020,800

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10!=

10!=

3,628,800= 90

(10-2)! 8! 40,320

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

NotaciónEn lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

CombinacionesTambién hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repeticiónEn realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repeticiónAsí funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe.

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1

1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial

5. VARIABLES ALEATORIAS

Sabemos que no todo espacio muestral Ω asociado a un experimento aleatorio esta constituido por elementos numéricos, si no que en muchos casos son abstractos como el lanzamiento de una moneda teníamos resultados como csc, ssc, ccs, etc.

Una variable X se dice que es aleatoria cuando toma valores co determinada probabilidad. Si X toma valores discretos( de modo que entre dos valores consecutivos no se alcanza todos lo intermedios) se dice que es discreta; si toma todos los valores dentro de un intervalos se dice que es continua.

Esperanza Matemática

Sea X una Variable Aleatoria discreta o continua. Se denomina esperanza matemática de X o valor

esperado, E( X )o bien , a la cantidad que se expresada como,

E( X )=∑xx i⋅f ( x i ) E(X )=∫−∞

+∞x i⋅f ( x i)dx

respectivamente.

Ahora bien, ello es válido para transformaciones de la variable aleatoria, de forma que

E(h (X ) )=∫−∞

+∞h (x )⋅f (x )dx

En el caso continuo y similarmente para el caso discreto

Por las analogías existentes entre la definición de media aritmética y esperanza matemática, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda, de forma que se puede obtener,E( a+bX )=a+bE (X )E( X−E( X ))=E(X )−E( X )=0

Ejemplo. Si X es el número de puntos obtenidos al lanzar un dado de seis caras, encontremos el valor esperado de la variable aleatoria Y = X2 .

La función de probabilidad de X es f(x) = 1/6 si x1,2,3,4,5,6. La función de probabilidad

de Y = X2 es entonces f(y) = 1/6 si y1,4,9,16,25,36, así E(Y) = 1/*1 + 1/*4 + 1/*9 + 1/*16 + 1/*25 + 1/*36 = *P(X=1) + 22*P(X= 2) + 32*P(X= 3) + 42*P(X= 4) + 52*P(X= 5) + 62*P(X= 6) = X2*P(X=x)

Ejemplo. Supongamos ahora que X es una v.a. que tiene función de probabilidad f(x) = 1/6 si x-2,-1,0,1,2,3y Y = X2 . La función de probabilidad de Y es f(y) = 2/6 si y1, 4 y f(y) = 1/6 si y0, 9. Entonces E(Y) = 2/*1 + 2/*4 + 1/*0 + 1/*9. Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: E(Y) = 2/*1 + 2/4 + 1/*0 + 1/*9 = *P(Y=1) + *P(Y=4) + *P(Y=0) + *P(Y=1) = 12*P(X=1 ó X=-1) + 22*P(X=2 ó X=-2) + 02*P(X=0) + 32*P(X=3) = X2*P(X=x)

A través de estos ejemplos vemos que no es necesario calcular la función de probabilidad de Y, sólo tenemos que usar la función de probabilidad de X y los valores obtenidos al aplicar la

función Y = g(X) = X2 . Esto es cierto aún en el caso en que la función no es uno-uno.

LA VARIANZA

La varianza la denotamos mediante V(X) o VAR(X) o 2, y se calcula como,

V (X )=E (X−E( X ))2=¿ ∑x ( x i−E( X ))2. f ( xi )→X ¿Discreta ¿ ¿¿¿

Obsérvese que del mismo modo en que se demuestra la relación se comprueba que V(X)=E(X2)-(E(X))2

Similarmente, V(a+bX)=b2.V(X)=b22

Ejemplo. Consideramos una variable aleatoria discreta con función de probabilidad,

f ( x )=¿| c4x

¿ x≥1 |0 otro caso ¿

Obtener el valor de la constante c para que sea una función de probabilidad, los valores de las funciones de probabilidad y distribución para todos los valores de x, y P(x=3), y P(x≤3).

Solución: Para ello consideramos,

∑x=1

∞ c4 x=c ( 1

41+142 +

143+⋯)= c

3 , ya que tenemos la suma de una progresión geométrica de razón menor que la unidad:

Calculemos sucesivos valores de f(x) y F(x),

x 2 3 4 5 …

f(x) 3/4 3/16 3/64 3/256 …

F(x) 0.75 0.94 0.987 0.999 ….

Y como se observa que: si x crece, f(x) decrece y F(x) crece hasta llegar a su máximo valor 1P(X=3)=f(3)=0.047 P(X≤3)=0.987

Ejemplo para la variable aleatoria continua, función de densidad

f ( x )=¿|cx3¿0≤x≤1 |0 otro caso ¿Hallar: El valor de la constante c para que sea una función de densidad, la función de distribución, el valor medio, y la probabilidad de que la variable este comprendida entre 0,2 y 0,7 Solución. Consideremos,

∫0

1cx 3dx=c x

4

4|01= c

4La cual debe ser de valor 1, entonces c/4=1, esto es, c=4

F (x )=∫−∞

xf ( x )dx=∫−∞

x4 x3dx=4 x

4

4|0x=x4

luego, la función de distinción acumulada es F(x)=x4 para 0<x≤1, 0 en valores x≤0 y 1 para x≥1

El valor medio es:

E( X )=∫−∞

∞x⋅f ( x )dx=∫0

1x⋅4 x3 dx=4 x

5

5|01=0 .8

P(0.2≤x≤0.7)=F(0.7)-F(0.2)=0.72-0.22=0.24

6. DISTRIBUCIONES O MODELOS DE PROBABILIDAD

Distribución Binomial Cuando en un solo ensayo de algún proceso o experimento puede ocurrir sólo uno de dos resultados mutuamente excluyentes, llamados (arbitrariamente) como éxito o fracaso, se denomina Ensayo de Bernoulli.Una secuencia de ensayos Bernoulli, repetidos n veces, se denomina Distribución Binomial.

-Número de frutas dañadas en un cajón de n = 100. Siendo p = 0.80-Número de TV con defectos en un lote de n =300. Siendo p = 0.10

Propiedades de la Distribución Binomial

El experimento se repite un número n de veces (ensayos).

En cada ensayo ocurre uno de dos posibles resultados, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, denominados (arbitrariamente) éxito y fracaso.

La probabilidad de un éxito, se denota por p, y es constante de ensayo en ensayo, al igual que la probabilidad de fracaso, 1 - p.

Los ensayos son independientes, esto significa que el resultado de algún ensayo en particular, no es afectado por el resultado de cualquier otro ensayo.

Modelo matemático

Parámetros

E(X) = n * p V(X) = n * p * (1 - p)

Distribución de Poisson

Como un proceso estocástico

Muchos hechos no ocurren como resultado de un número definido de pruebas sino como puntos definidos en Tiempo, Espacio o Volumen al azar.

o Número de accidentes / día.o Número de vehículos que transitan por un determinado lugar / hora.o Número de defectos / cm2.o Número de bacterias / cm3.

Propiedades de la Distribución Poisson

El número de ocurrencias del hecho es independiente de una unidad (intervalo de tiempo, espacio, volumen, etc.) especificado a otra.

El valor esperado de la variable es proporcional al tamaño de la unidad especificada.

La probabilidad de más de una ocurrencia del hecho en una unidad especificada es despreciable (pequeña) en comparación con la probabilidad de que ocurra una sola vez.

Modelo matemático

Parámetros

E(X) = n* p = V(X) =

Como Límite de la Binomial

Características:

p chico (< 0.01) n grande (> 100)

Distribución GeométricaEsta distribución es un caso especial de la Binomial, ya que se desea que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento, para obtener la fórmula de esta distribución, haremos uso de un ejemplo.

Ejemplo:Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila.

Solución:Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación:S S S S S S S A

Sí denotamos;x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientosp = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3Entonces la probabilidad buscada sería;P(aparezca una águila en el último lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

=q*q*q*q*q*q*q*p = pq x 1

Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

pq)x(p x 1

Donde:

p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vezp = probabilidad de éxitoq = probabilidad de fracasoResolviendo el problema de ejemplo;x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águilap = 2/3 probabilidad de que aparezca una águilaq = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) = 000304803231 18 .)/()/(

Distribucion Hipergeometrica

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.Ejemplo:

En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?

Solución:Luego;donde:p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados

xnaNxa C*C muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenosdnNC todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total

= espacio muestralConsiderando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?Solución:N = 10 objetos en totala = 3 objetos defectuososn = 4 objetos seleccionados en muestrax = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra

!)!(!

!)!(!

*!)!(

!

CC*C

CC*C)n,x(p

441010

2277

2233

42410

2723

410

2431023

!!!*

xxxxxx

!!!xxxx!!!xx

*!!!xx

!!!

!!!

*!!!

224

789106723

4667891025

56721

123

4610

257

213

donde:

nN

xnaNxa

CC*C

)n,x(p

789106723xxxxxx

probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes

!!!22

4

formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos

Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:

300201606048

424

5040252

224

789106723 .*

!!!*

xxxxxx

Distribución Multinomial

Características:

a) a) Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b) b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.c) c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.d) d) El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

Ejemplo:Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco.

Solución:Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación

1

2 1

1 3 2

4..... 3

5 4

2º lanzamiento 6 5

5ºlanzamiento 6 1

2

3

A 4

5

6 1

2

1er lanzamiento 3 2º lanzamiento

4

5

6

Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión:

p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas)

Para esto definiremos lo siguiente:

n = número de lanzamientos del dado x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2x2 = número de veces que aparece el número 2 = 0x3 = número de veces que aparece el número 3 = 2x4 = número de veces que aparece el número 4 = 0

x5 = número de veces que aparece el número 5 = 1p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6p4 = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6p5 = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6p6 = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6

Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5?

Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente;

(1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc.

¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que?

SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES.

Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:

El número de ramas =

Y en forma general,

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;

p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p1*p1*p3*p3*p5=

=p12*p3

2*p5

Por tanto la fórmula general será:

kxk

xx

kk p....pp

!x!...x!x!n)n,x,...x,x(p 21

2121

21

Donde:

p(x1, x2,....,xk, n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x1 objetos del primer tipo, x2 objetos del segundo tipo.......y xk objetos del último tipo.

n = x1+x2+....xk

Resolviendo el ejemplo;

n = 5x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2x3 = número de veces que aparece el número 5 = 1p1= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

304

120122

51225

!!!!P ,,

!x!...x!x!nP

kx,...x,xn k

2121

p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

00385800001286030616161122

55121 122

321 .).)(()/()/()/(!!!

!)n,x,x,x(p

Bibliografía

Libro: Probabilidades y inferencia estadística, Rufino Moya & Gregorio Saravia.

http://rosebelprobabilidadyestadistica.blogspot.com/2011/04/eventos-dependientes-independientes-y.html